217

y=yj

УДК 539.3:534.1 Г. В. Тертышный

ВЛИЯНИЕ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ НА ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ПОЛОГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ

Ключевые слова: свободные колебания, оболочка, ребра жесткости.

Приводятся теоретические и экспериментальные результаты исследования свободных колебаний пологой упругой изотропной круговой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости, причем учитывается эксцентриситет их расположения относительно срединной поверхности оболочки. Края панели жестко защемлены по всему контуру.

Keywords: free oscillations, panel, rigid reinforcements.

Theoretical and experimental results of free oscillations of cylindrically curved isotropic panel with rarely arranged rigid reinforcements are presented, their arrangement relatively to the mid-surfase shell is taken into account. The edges of the panel are fixed stiffly on the perimeter.

В работе [4] рассмотрены свободные и вынужденные колебания пологих оболочек

двоякой кривизны с дискретно расположенными ребрами жесткости. Для решения задачи был использован метод Бубнова-Галеркина. Автор не учитывал эксцентриситета расположения ребер жесткости относительно срединной поверхности оболочки.

Работа [5] посвящена исследованию свободных колебаний пологой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости. Для решения задачи использовались уравнения Эйлера-Лагранжа. Авторами при решении задачи учитывался эксцентриситет расположения подкреплений относительно оболочки. В выше указанных работах граничные условия на контуре оболочки следующие: [4,5] – оболочка шарнирно оперта по всему контуру; [5] – прямолинейные края панели защемлены, а криволинейные шарнирно оперты.

Рассмотрим тонкую пологую цилиндрическую панель прямоугольную в плане. Оси координат расположим, как показано на рисунке 1. Пусть wv,u, – перемещения в направлениях yx, и z .

Рис. 1 Оболочка подкреплена сеткой ребер, причем принимается, что перемещения оболочки

и ребер жесткости на поверхности контакта равны. По линиям constxx i и constyy i расположены шпангоуты и стрингеры. Работу оболочки будем описывать на основе гипотез Кирхгофа-Лява, расчет ребер жесткости будем выполнять на основе теории стержней Кирхгофа-Клебша.

Компоненты деформации оболочки выражаются через перемещения следующим образом [3]:

a b

x

y z

x=xi

218

x

uε1

,

R

w

y

vε2

, x

v

y

uγ

,

2

2

1 x

wκ

, y

v

R

1

y

wκ

2

2

2

,

yx

wτ

2

R

1

x

v

. (0.1)

Используя δ - функцию Дирака [4] и соотношения (0.1) потенциальную энергию системы можно записать в следующем виде:

dxdyyyδx

v

R

1

yx

wIG

x

wIE

x

wh

x

uFE

Eh

ν1

xxδ

y

u

R

1

yx

wIG

y

v

R

1

y

wIE

y

wh

R

w

y

vFE

Eh

ν1

x

v

R

1

yx

wν12

y

v

R

1

y

w

x

w2ν

y

v

R

1

y

w

x

w

12

h

x

v

y

u

2

ν1

R

w

y

v

x

u2ν

R

w

y

v

x

u

)ν12

EhΠ

q

1jj

22

kр.ji

2

2

2

jj

2

2

2

jjj

2

i

P

1i

22

kр.ii

2

2

2

ii

2

2

2

iii

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

22a

0

b

0

2

2

(0.2)

Выражение кинетической энергии оболочки с ребрами жесткости, можно записать

следующим образом:

dxdyt

uyyδmm

2

1dxdy

t

vxxδmm

2

1

dxdyt

wyyδmxxδmm

2

1T

2a

0

b

0

q

1jij0

2a

0

b

0

p

1iii0

2a

0

b

0

p

1i

q

1jjjii0

(0.3)

В соотношениях (0.2) и (0.3) введены следующие обозначения: Е – модуль упругости; h – толщина оболочки; ν - коэффициент Пуассона; ih – расстояние от нейтральной оси i -

го шпангоута до срединной поверхности оболочки; jh – аналогичная характеристика j -го

стрингера; IG ,IE ,FE,IG ,IE ,FE кр.jjjjjjкр.iiiiii – жесткости растяжения, изгиба и свободного

кручения поперечных и продольных ребер жесткости; 0m – масса оболочки, отнесенная к

площади срединной поверхности оболочки; ji mm , – массы i -го и j -го ребер жесткости,

отнесенные к длине соответствующего ребра жесткости. Пусть оболочка совершает гармонические колебания и имеет на контуре однородные

граничные условия. Граничные условия будут выполнены, если представить перемещения в следующем виде:

,b

yλY

a

xλXCw

,a

xλX

b

yλY

λ

bBv,

b

yλY

a

xλX

λ

aAu

nn

mmnm,

mm

n'n

nnm,

nn

m'm

mnm,

(0.4)

где mX и nY – балочные функции; m и n – число узловых параллелей и меридианов, включая

узловые линии, совпадающие с закрепленными контурными линиями оболочки; mλ и nλ – собственные числа m -ой и n -ой балочной функции.

219

Подставляя (0.4) в (0.2) и (0.3) и применяя процедуру метода Релея – Ритца придем к определителю третьего порядка, который должен быть равен нулю [2]:

71 ΔPP 2P 3P

2P 84 ΔPP 5P =0 (0.5)

3P 5P 96 ΔPP

Раскрывая определитель (0.5) придем к уравнению следующего вида: 0KΔKΔKΔK 01

22

33 (0.6)

Практическую ценность представляет наименьший корень этого уравнения, поэтому пренебрегаем членами, содержащими 3Δ и 2Δ . Тогда из (0.6) получим достаточно простую формулу для определения частот свободных колебаний пологой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости:

1

02nm, K

Kω . (0.7)

Если система совершает изгибные колебания, то формула (0.7) упрощается и выглядит следующим образом:

22419

02nm, PPPP

Kω

. (0.8)

В выражениях (0.6), (0.7) и (0.8) введены следующие обозначения: 2

nm,ωΔ ; 226

234

2515326410 PPPPPPPP2PPPPK ;

25647

23618

224191 PPPPPPPPPPPPK ;

8769749812 PPPPPPPPPK ; 9873 PPPK ;

6i2

p

1i2

2

kр.ii

2

5j3

q

1j

2jj

2

222

132

1 БDR

μIG

Еh

ν1DБλFE

Еh

ν1DБμν10,5DБλP

;

22442 DλμБν10,5DνλμБP ;

6i2

p

1i

2kр.ii

2

5j3

q

1j

3jjj

2

143 БDλμR

1IG

Еh

ν1DБλhFE

Еh

ν1DБ

R

νλP

;

;DБR

λIG

Еh

ν1БD

R

μIEБDμFE

Еh

ν1

DБλR

ν12DБ

R

μ

12

hDБλν10,5DБμP

6j22

2q

1jkр.jj

2p

1i5i32

2

ii5i32

ii

2

222

2312

22

222

312

4

;DμБλR

1IG

Еh

ν1БD

R

μIEDμhFED

R

μFE

Еh

ν1

DБR

μλν12DБ

R

μνλDБ

R

μ

12

hDБ

R

μP

6j22

q

1jkр.jj

2

5i

p

1i3

3

ii33

iii4ii

2

22

2

44

2

31

32

415

(0.9)

;DБμλIGDБλIEDБλhFEЕh

ν1

БDμλIGБDμIEБDR

μ2hDμh

R

DFE

Еh

ν1

DБμλν12DБμλ 2νDБμDБλ12

hDБ

R

1P

q

1j6j2

22kр.jj5j3

4jj5j3

42jjj

2

p

1i6i2

22kр.ii5i3

4ii5i4

2i

342

i21

ii

2

2222

4422

314

134

2

1126

220

q

1j5j2j120

2

7 DБmDБmЕh

ν1P ;

p

1i5i2i210

2

8 БDmDБmЕh

ν1P ;

p

1i

q

1j5j1j5i1i110

2

9 DБmБDmDБmЕh

ν1P ;

a

λλ m ;

b

λμ n

dxXa

1Б

a

0

2m1 ; dxX

λ

aБ

a

0

2m2

m2 ; dxX

λ

aБ

a

0

2m4

m

3

3 ; dxXXλ

aБ

a

0mm2

m4 ;

dyYb

1D

b

0

2n1 ; dyY

λ

bD

b

0

2n2

n2 ; dyY

λ

bD

b

0

2n4

n

3

3 ; dyYYλ

bD

b

0nn2

n4 ;

a

xλX

a

1Б im2

m5i ;

b

yλY

b

1D jn2

n5j ;

a

xλX

λ

aБ im2

m2m

6i ;

b

yλY

λ

bD jn2

n2n

6j .

Для определения 4321m Б,Б,Б,Б ,λ использовались трансцендентные уравнения и

формулы работ [1,3,6]. Числовые значения 4321m Б,Б,Б,Б ,λ были вычислены с точностью 10-6

и приведены в таблице 1.

1. Края оболочки жестко защемлены по всему контуру

Для жесткого защемления контура граничные условия выглядят следующим образом: 0wwvu x при a0,x , 0wwvu y при b0,y . (1.1)

Условия (1.1) будут выполнены, если балочные функции взять в следующем виде: ,λx chλx cosςλx shλx sinXm (1.2)

,μy chμy cosςμy shμy sinY 1n

где ,chλcosλshλsinλς

mm

mm

.chλcosλshλsinλς

nn

nn1

Коэффициенты 5iБ и 5iД выразятся формулами:

,λx chλx cosςλx shλx sina

1Б 2

iiii5i

.μy chμy cosςμy shμy sinb

1Д 2

jj1jy5j (1.3)

Подставляя (1.2), (1.3) в (0.9) и используя числовые значения таблицы 1 мы получим из (0.6), (0.7) или (0.8) значения частот свободных колебаний пологой цилиндрической панели с дискретно расположенными ребрами жесткости.

Были произведены числовые расчеты для гладкой пологой цилиндрической панели прямоугольной в плане из алюминия и стали. Полученные значения частот сравнивались с теоретическими и экспериментальными значениями частот свободных колебаний гладкой панели, которые получены были другими авторами с использованием других методов решения. Данные для сравнения приведены в таблице 2, где звездочкой обозначены результаты данной работы.

Maddok [10] для решения задачи использовал метод Релея – Ритца с представлением

перемещений в виде: nm n

mYXw ; nm n

'm

m

YXλ

au ; m

m n

'n

n

XYλ

bv . Cheung [9] при

решении задачи о свободных колебаниях гладкой пологой цилиндрической панели пользовался методом конечных элементов. Как видно из таблицы 2, различие результатов для гладкой панели с результатами других авторов небольшое.

221

Таблица 1

m 1 – – 1,875104 – – – 2 4,730041 4,694091 4,730041 3,926602 3,926602 3 2 7,853205 7,864757 7,853205 7,068583 7,068583 4

mλ 3 10,995607 10,995540 10,995607 10,210176 10,210176

5 4 14,137165 14,137168 14,137165 13,351768 13,351768 6 5 17,278759 17,278759 17,278759 16,493361 16,493361 7 6 20,420352 20,420352 20,420352 19,634954 19,634954 8 7 23,561944 _ 23561944 22,776542 22,776546 1 – – 1,855645 – – – 2 0,5 1,035936 0,964064 1,035932 0,998447 0,998447 3

1Б 0,5 0,998448 1,001553 0,998448 0,999997 0,999997

4 3Б 0,5 1,000068 1,000000 1,000068 1,000000 1,000002

5 0,5 1,000000 1,000000 1,000000 1,000002 1,000002 6 0,5 1,000000 1,000000 1,000000 1,000013 1,000013 7 0,5 1,000000 1,000000 1,000000 0,999786 0,999786 8 0,5 1,000000 _ 1,000000 0,945313 0,945313 1 – – 2,452955 – – – 2 0,5 0,569640 1,418342 2,291079 0,745525 1,763426 3 0,5 0,745525 1,254820 1,763426 0,858528 1,424413 4 2Б 0,5 0,818102 0,954527 1,545689 0,902059 1,293825

5 0,5 0,964642 0,964632 1,247574 0,925106 1,224691 6 0,5 0,971063 0,971062 1,202561 0,939501 1,182023 7 0,5 0,975515 0,975515 1,171398 0,948857 1,152575 8 0,5 0,978779 _ 1,148545 0,901408 1,077026 1 – – 0,452954 – – – 2 -0,5 -0,569640 -0,581658 -0,569640 -0,745525 -0,745525 3 -0,5 -0,745525 -0,745172 -0,745525 -0,858629 -0,858529 4

4Б -0,5 -0,820312 -0,863581 -0,820312 -0,901693 -0,901693

5 -0,5 -0,893897 -0,893896 -0,893897 -0,925104 -0,925104 6 -0,5 -0,913188 -0,913188 -0,913188 -0,939369 -0,039369 7 -0,5 -0,926539 -0,926539 -0,926539 -0,949070 -0,949070 8 -0,5 -0,936338 _ -0,936338 -0,956095 -0,956095

Были проведены числовые расчеты для стальной пологой цилиндрической панели с

ребрами жесткости, которые имеют прямоугольное поперечное сечение. Механические и геометрические характеристики панели и ребер жесткости были следующие:

;7800кг/мρ ;мн10196Е 329 1,8м;R 0,0006м;h 0,15м;ba 0,3;ν

;м100,9J;м100,3F 4131i

261i ;м100,729J;м100,6F 4122

i262

i

0,005м.a0,1м;x0,05м;x0,075м;x 13i

2i

1i , 1a –ширина ребра жесткости.

С целью проверки достоверности расчетной формулы (0.7) было проведено экспериментальное исследование спектра собственных частот гладкой и ребристой пологой цилиндрической панели. Испытания проводились на специальной установке, описанной в работе [7,8]. Панели изготавливались из стальной рулонной ленты, радиус кривизны которой совпадал с радиусом кривизны оснастки. Оснастка представляет собой стальную цилиндрическую панель толщиной 5 мм, которая имеет отверстие по форме испытываемого

222

образца. Панель крепилась к оснастке с помощью точечной контактной сварки. Этим обеспечивалось выполнение граничных условий жесткого защемления. Ребра жесткости крепились к оболочке также с помощью точечной контактной сварки, а изготавливались из той же стальной рулонной ленты, что и сам испытываемый образец панели.

Таблица 2

m/n

Алюминий a =0,279м; b =0,229м; R =2,438м;

y =0,0013м.

Алюминий a=0,279м; b =0,229м; R =2,438м; y =0,0013м.

Сталь a =0,175м; b =0,143м; R =1,37м;

h =0,00058м. теория эксп. теория эксп. теор. эксп.

[10] * [10] [11] [9] * [11] * [8] 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 3/2 3/3 ¾

3/5 3/6 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6

346 471 778 1225 1795 440 590 900 1347 1917 628 794 1104 1548 2117

343 475 794 1256 1842 441 599 921 1392 1977 635 810 1131 1611 2193

231 385 696 1128 1746 436 561 861 1283 1815 636 793 1077 1492 2025

317 357 445 589 789 331 400 511 672 882 483 553 670 836 1050

300 352 448 601 _

332 399 516 _ _

471 540 _ _ _

312 349 522 797 1161 360 421 600 883 _

464 546 730 1020 1381

250 299 532 640 816 233 351 497 _ _

405 507 656 835 1052

561 629 945

410 471 729

Теоретические и экспериментальные данные для гладкой оболочки и панели с ребрами

жесткости указанных выше параметров приведены в таблице 3. Теоретические значения частот, приведенные в таблице 3, найдены по формуле (0.7) без учета эксцентриситета расположения ребер жесткости относительно срединной поверхности и без учета жесткости ребер при свободном кручении. Из таблицы 3 видно, что расхождение теоретических и экспериментальных результатов колеблется в пределах от 3% до 26%.

2. Оболочка шарнирно оперта по всему контуру

Данная задача решалась в работах [4,5] методом Бубнова – Галеркина и с использованием уравнений Эйлера – Лагранжа. Теоретические данные не проверялись экспериментально. В данном параграфе задача решается методом Релея – Ритца и теоретические данные сравниваются с экспериментальными результатами. Числовые расчеты производились для панели с ребрами жесткости тех же параметров, что и в первом параграфе.

Граничные условия на контуре оболочки 0uwwv xxx при a0,x ,

0vwwu yyy при b0,y

будут выполнены, если балочные функции mX и nY взять в следующем виде:

λх sinXm μу sinYn .

223

Таблица 3

m=2 m=3

n=2 3 4 5 6 7 n=2 3 4 5 6 7

теория 458 571 895 1383 2010 2768 625 778 1107 1608 2231 2987эксперимент 375 499 811 1320 1912 2512 600 699 913 1522 2152 -

1i

1i

1i x;;IF теор. 453 565 887 1373 1998 2753 625 778 1107 1608 2231 2987

эксп. 338 489 832 1319 1829 2497 576 688 913 - - - 1i

2i

2i x;;IF теор. 458 612 1006 1585 2323 3214 625 778 1107 1608 2231 2987

эксп. 344 538 844 1368 1899 - 598 726 909 - - - 3

i2i

1i

1i x;x;;IF теор. 452 563 886 1371 1995 2750 603 749 1073 1568 2188 2939

эксп. 337 499 _ 1343 1869 _ _ 690 991 _ _ _ 3i

2i

2i

2i x;x;;IF теор. 458 619 1025 1617 2374 3286 594 786 1204 1826 2608 3555

эксп. 340 544 1003 1506 - - 450 746 - - - -

Таблица 4

m=2 m=3

n=2 3 4 5 6 7 n=2 3 4 5 6 7 теория 255 329 637 1080 1652 2350 475 554 837 1273 1843 2541

эксперимент 235 - 586 1071 1630 - 447 _ 870 1179 1793 2470 1

i1i

1i x;I;F теор. 248 325 631 1074 1644 2340 475 554 837 1273 1843 2541

эксп. 233 - 588 1071 1650 _ 443 560 829 1179 1778 24201i

2i

2i x;;IF теор. 244 351 705 1213 1867 2366 475 554 837 1273 1843 2541

эксп. 228 _ 699 1106 1658 - 442 548 860 1172 1752 - 3

i2i

1i

1i x;x;;IF теор. 245 322 629 1071 1640 2335 460 534 815 1249 1816 2510

эксп. 230 - 627 1060 - - 415 530 _ 1227 1799 _ 3i

2i

2i

2i x;x;;IF теор. 240 360 732 1265 1950 2787 449 544 884 1406 2088 2923

эксп. 226 - - - 1904 - 400 528 905 - - -

224

Теоретические и экспериментальные данные приводятся в таблице 4. При экспериментальном исследовании панель крепилась на специальной оснастке. Оснастка представляет собой две стальные цилиндрические панели толщиной 5 мм, причем внутренний радиус одной панели равен внешнему радиусу кривизны другой. Обе оболочки имели одинаковые отверстия, которые соответствовали форме и размерам испытываемого образца. На расстоянии 2 мм от края отверстия по всему контуру обеих оправок проделывалась канавка. Получившийся в результате этого буртик около отверстия закруглялся. Испытываемый образец зажимался между оправками.

Максимальное расхождение теоретических значений частоты с экспериментом составляет для данного вида граничных условий 12%.

Выводы

1. Ребра жесткости могут не только повышать, но и несколько понижать частоту свободных колебаний пологой панели. 2. Ребра жесткости не изменяют частоты свободных колебаний панели, если они стоят в узловых линиях панели. 3. Теоретические результаты хорошо согласуются с результатами эксперимента.

Литература

1. Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. –М.: Физматгиз, 1960. – 434с.

2. Иванов, В.А. К определению собственных значений в задачах математической физики/ В.А. Иванов // Вест. Казан. технол. ун-та.–2011.–№8.–с.207-209.

3. Гонткевич, В.С. Собственные колебания пластинок и оболочек / В.С. Гонткевич. – Киев.: Наукова думка, 1964. – 261с.

4. Назаров, Н.А. О колебаниях пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости /Н.А. Назаров // Прикладная механика. – 1965. – т.1, №3. – с.24-31.

5. Немчинов, Ю.И. Свободные колебания пологих цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости / Ю.И. Немчинов, Ю.А. Талбатов // Строит. механика и расчет сооружений. – 1975. – №3. – с.17-22.

6. Тимошенко, С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко. – М.: Наука, 1967. – 472с. 7. Шишкин, А.Г. Исследование собственных колебаний прямоугольных пластин, ослабленных вырезами различных очертаний / А.Г. Шишкин, Ю.Г. Коноплев // Сб. асп. работ. Теория пластин и оболочек. Казань. Изд-во КГУ. – 1973. – Вып.3. – с.11-14.

8. Шишкин, А.Г. Свободные колебания цилиндрических панелей и оболочек с вырезами / А.Г. Шишкин, Г.В. Тертышный // Сб. асп. работ. Точные науки. Математика. Механика./ Казань. Изд-во КГУ. – 1975. – с.160-163.

9. Cheung, Y.K. Vibration analysis of cylindrical panels / Y.K. Cheung., M.S. Cheung // J. Sound and Vibration. –1972. –V.22, №1. – p.31-37.

10. Maddok, N.R. Frequency analysis of a cylindrically curved panel with clamped and elastic boundaries / N.R. Maddok, H.E. Plumblee, W.W. King // J. Sound and Vibration. –1970. –V.12, №2. –p.51-55.

11. Sewall, J.L. Vibration analysis of cylindrically curved panels with simply-supported or clamped edges and comparison with some experiments / J.L. Sewall // NASA TN.D. – 1967. – 3791.

____________________________________ © Г. В. Тертышный – ст. препод. каф. машиноведения КНИТУ, vingva@yandex.ru.