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Seite 1 Zufallsfelder Def. Zufallsfeld: Sei V eine endliche Menge (von Orten). Fr jedes v V existiere eine (endliche) Menge X(v) von Zustnden x(v). Der Raum der Konfigurationen x = {x(v):v V} ist das Produkt X = v X(v). Ein strikt positives Wahrscheinlichkeits- ma auf X heit dann Zufallsfeld.

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Zufallsfelder 2 Unter Zufallsfeld versteht man auch den Zufallsvektor X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (X,). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsfeldern wird i.d.R. ber die bedingte Verteilung definiert Seite 2

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Beispiel: Gibbs-Feld Sei X(v) = {-1,1} fr alle v V. Dann hat das Gibbs- Feld der Ising-Energie die Form Dabei bedeutet s~v, dass s und v Nachbarn sind Seite 3

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Nachbarn Def. Nachbarschaftssystem: Eine Menge von Orten = {{v}: v V} ist ein Nachbarschaftssystem, wenn gilt: Alle s {v} heien Nachbarn von v. Eine Teilmenge C von V heit Clique, falls alle Elemente von C untereinander Nachbarn sind. Seite 4

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Beispiele fr Nachbarschaftssysteme Seite 5

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Markovfelder Def. Markovfeld: Ein Zufallsfeld ist ein Markovfeld bezglich des Nachbarschaftssystems, falls fr alle x X gilt Fr endliche Rume X ist jedes Zufallsfeld auch ein Markovfeld. Interessant sind Markovfelder mit kleinen Nachbarschaften. Seite 6

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Bedingte Unabhngigkeit Def. Bedingte Unabhngigkeit: Seien X, Y und Z Zufallsvariablen mit endlichem Zufallsraum. Dann sind X und Y bedingt unabhngig bezglich Y, falls fr alle x, y, z gilt: Satz 3.1: ist genau dann ein Markovfeld, wenn X v und X V\{{v}Uv} bedingt unabhngig gegeben X {v} sind. Seite 7

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Brooks Lemma

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Clique

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Hammersley-Clifford Meist nur Cliquen aus 2 Elementen

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Auto-logistisches Modell

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Gauss-Markov-Zufallsfelder Gehen wir von einem eindimensionalen autoregressiven Prozess aus: Dann gilt fr alle t = 2,...,T Seite 12

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GMRF 2 Falls x 1 ~ N(0,1/(1- 2 )), gilt mit Seite 13

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GMRF 3 Erweitern wir obiges auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen: Def. Gauss-Markov-Zufallsfeld: Ein Zufallsfeld heit Gauss-Markov-Zufallsfeld, falls fr jedes v aus einer Menge von Orten v gilt Es lt sich zeigen: Seite 14

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Intrinsische GMRF Seite 15

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Zusammenfassung Zufallsvektoren mit Kovarianzstruktur Nachbarschaftsstrukturen Markovfelder Bedingte Unabhngigkeit Gauss-Markovzufallsfelder Seite 16