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Zufallsfelder

Def. Zufallsfeld: Sei V eine endliche Menge (von Orten). Für jedes v V existiere eine (endliche) Menge X(v) von Zuständen x(v). Der Raum der Konfigurationen x = {x(v):v V} ist das Produkt X = Πv X(v). Ein strikt positives Wahrscheinlichkeits-maß Π auf X heißt dann Zufallsfeld.

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Zufallsfelder 2

Unter Zufallsfeld versteht man auch den Zufallsvektor X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (X,Π).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsfeldern wird i.d.R. Über die bedingte Verteilung definiert

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)|()|( \\ vvvvvVvVvv xXxXPxXxXP

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Beispiel: Gibbs-Feld

Sei X(v) = {-1,1} für alle v ∈ V. Dann hat das Gibbs-Feld der Ising-Energie die Form

Dabei bedeutet s~v, dass s und v “Nachbarn” sind

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vs

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z vsvs

xx

zz

x~

~

exp

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1)(

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Nachbarn

Def. Nachbarschaftssystem: Eine Menge von Orten ∂ = {∂{v}: v ∈V} ist ein Nachbarschaftssystem, wenn gilt:

Alle s ∈ ∂{v} heißen Nachbarn von v. Eine Teilmenge C von V heißt Clique, falls alle Elemente von C untereinander Nachbarn sind.

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}{

svvs

vv

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Beispiele für Nachbarschaftssysteme

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Markovfelder

Def. Markovfeld: Ein Zufallsfeld Π ist ein Markovfeld bezüglich des Nachbarschaftssystems ∂, falls für alle x X gilt∈

Für endliche Räume X ist jedes Zufallsfeld auch ein Markovfeld. Interessant sind Markovfelder mit kleinen Nachbarschaften.

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}){,|(),|( vsxxvsxx svsv

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Bedingte Unabhängigkeit

Def. Bedingte Unabhängigkeit: Seien X, Y und Z Zufallsvariablen mit endlichem Zufallsraum. Dann sind X und Y bedingt unabhängig bezüglich Y, falls für alle x, y, z gilt:

Satz 3.1: Π ist genau dann ein Markovfeld, wenn Xv und XV\{∂{v}Uv} bedingt unabhängig gegeben X∂{v} sind.

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)|()|()|,( zZyYPzZxXPzZyYxXP

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Brooks Lemma

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Clique

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Hammersley-Clifford

Meist nur Cliquen aus 2 Elementen

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Auto-logistisches Modell

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Gauss-Markov-Zufallsfelder

Gehen wir von einem eindimensionalen autoregressiven Prozess aus:

Dann gilt für alle t = 2,...,T

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i.i.d. )1,0(~1

N

xx

t

ttt

1111 |~)1,(~,,| ttttt xxxNxxx

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GMRF 2

Falls x1 ~ N(0,1/(1-ϕ2)), gilt

mit

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),0(~ Nx

10000

1

01

001

2

2

1

Q

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GMRF 3

Erweitern wir obiges auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen:

Def. Gauss-Markov-Zufallsfeld: Ein Zufallsfeld Π heißt Gauss-Markov-Zufallsfeld, falls für jedes v aus einer Menge von Orten v gilt

Es läßt sich zeigen:

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vsssv

ivvvv

xwm

mNxxxx

~

1}{ ),(~|~|

mit

),0(~ Nx

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Intrinsische GMRF

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Zusammenfassung

Zufallsvektoren mit Kovarianzstruktur Nachbarschaftsstrukturen Markovfelder Bedingte Unabhängigkeit Gauss-Markovzufallsfelder

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