V avg = Δd/Δt a avg = Δv/Δt Δd = v i Δt +.5aΔt 2 v f = v i + aΔt v f 2 = v i 2 + 2aΔd.
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Zufallsfelder
Def. Zufallsfeld: Sei V eine endliche Menge (von Orten). Für jedes v V existiere eine (endliche) Menge X(v) von Zuständen x(v). Der Raum der Konfigurationen x = {x(v):v V} ist das Produkt X = Πv X(v). Ein strikt positives Wahrscheinlichkeits-maß Π auf X heißt dann Zufallsfeld.
Zufallsfelder 2
Unter Zufallsfeld versteht man auch den Zufallsvektor X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (X,Π).
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsfeldern wird i.d.R. Über die bedingte Verteilung definiert
Seite 2
)|()|( \\ vvvvvVvVvv xXxXPxXxXP
Beispiel: Gibbs-Feld
Sei X(v) = {-1,1} für alle v ∈ V. Dann hat das Gibbs-Feld der Ising-Energie die Form
Dabei bedeutet s~v, dass s und v “Nachbarn” sind
Seite 3
vs
vs
z vsvs
xx
zz
x~
~
exp
exp
1)(
Nachbarn
Def. Nachbarschaftssystem: Eine Menge von Orten ∂ = {∂{v}: v ∈V} ist ein Nachbarschaftssystem, wenn gilt:
Alle s ∈ ∂{v} heißen Nachbarn von v. Eine Teilmenge C von V heißt Clique, falls alle Elemente von C untereinander Nachbarn sind.
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}{}{
}{
svvs
vv
Beispiele für Nachbarschaftssysteme
Seite 5
Markovfelder
Def. Markovfeld: Ein Zufallsfeld Π ist ein Markovfeld bezüglich des Nachbarschaftssystems ∂, falls für alle x X gilt∈
Für endliche Räume X ist jedes Zufallsfeld auch ein Markovfeld. Interessant sind Markovfelder mit kleinen Nachbarschaften.
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}){,|(),|( vsxxvsxx svsv
Bedingte Unabhängigkeit
Def. Bedingte Unabhängigkeit: Seien X, Y und Z Zufallsvariablen mit endlichem Zufallsraum. Dann sind X und Y bedingt unabhängig bezüglich Y, falls für alle x, y, z gilt:
Satz 3.1: Π ist genau dann ein Markovfeld, wenn Xv und XV\{∂{v}Uv} bedingt unabhängig gegeben X∂{v} sind.
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)|()|()|,( zZyYPzZxXPzZyYxXP
Brooks Lemma
Clique
Hammersley-Clifford
Meist nur Cliquen aus 2 Elementen
Auto-logistisches Modell
Gauss-Markov-Zufallsfelder
Gehen wir von einem eindimensionalen autoregressiven Prozess aus:
Dann gilt für alle t = 2,...,T
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i.i.d. )1,0(~1
N
xx
t
ttt
1111 |~)1,(~,,| ttttt xxxNxxx
GMRF 2
Falls x1 ~ N(0,1/(1-ϕ2)), gilt
mit
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),0(~ Nx
10000
1
01
001
2
2
1
Q
GMRF 3
Erweitern wir obiges auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen:
Def. Gauss-Markov-Zufallsfeld: Ein Zufallsfeld Π heißt Gauss-Markov-Zufallsfeld, falls für jedes v aus einer Menge von Orten v gilt
Es läßt sich zeigen:
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vsssv
ivvvv
xwm
mNxxxx
~
1}{ ),(~|~|
mit
),0(~ Nx
Intrinsische GMRF
Seite 15
Zusammenfassung
Zufallsvektoren mit Kovarianzstruktur Nachbarschaftsstrukturen Markovfelder Bedingte Unabhängigkeit Gauss-Markovzufallsfelder
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