UoP -...

Σημειώσεις Μαθηματικής ΛογικήςΧειμερινό Εξάμηνο 2011-2012Δ. Ζώρος, Ν. ΚαρβέλαςΣύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Περιεχόμενα

1 Εισαγωγή 1

2 Προτασιακή Λογική 32.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Σημασιολογία της Γ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Επάρκεια (Πληρότητα) προτασιακών συνδέσμων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Μονομελή επαρκή σύνολα συνδέσμων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Μη επαρκή σύνολα συνδέσμων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Προτασιακός Λογισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Εγκυρότητα και Πληρότητα του Προτασιακού Λογισμού . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Κατηγορηματική Λογική 153.1 Συντακτικό και σημασιολογία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Κατηγορηματικός Λογισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Εγκυρότητα-Πληρότητα του Κατηγορηματικού Λογισμού . . . . . . . . . . . . . 223.4 Μη-συμβατικά μοντέλα της αριθμητικής Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Μη-συμβατική ανάλυση 274.1 Στοιχεία θεωρίας μοντέλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Η γλώσσα των πραγματικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Μη-συμβατικά μοντέλα των πραγματικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I Λύσεις επιλεγμένων ασκήσεων 37

Βιβλιογραφία 47

i

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ii Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.Γραμμένες από τους Δ. Ζώρο και Ν. Καρβέλα, και

επεξεργασμένες από τον Λ. Κυρούση.Για τυχόντα λάθη παρακαλούμε ενημερώσετέ μας

στο σχετικό topic του μαθήματος.

http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=933&t=10527

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

Η Μαθηματική Λογική με λίγα λόγια είναι η μαθηματική θεώρηση της μαθηματικής προσέγ-γισης. Στην Μαθηματική Λογική εξετάζουμε την μαθηματική γλώσσα, δηλαδή την γλώσσα πουμέχρι τώρα χρησιμοποιούσαμε για να αποδεικνύουμε θεωρήματα, μέσα σε ένα εντελώς αυστηρό(μαθηματικό) πλαίσιο.

Η μαθηματική γλώσσα λοιπόν είναι το αντικείμενο του μαθήματος. Ο πρακτικός στόχος αυτούτου μαθήματος είναι η καλύτερη κατανόηση της μαθηματικής προσέγγισης. Ο μη πρακτικός στόχοςτου (και ο σημαντικότερος) είναι να καταλάβουμε τι σημαίνει μαθηματική απόδειξη και μαθημα-τική αλήθεια, να εξετάσουμε αν αυτά τα δύο ταυτίζονται και τέλος να κατανοήσουμε τι σημαίνειαλγοριθμικότητα των μαθηματικών.

Στο μάθημα θα γίνεται χρήση δύο γλωσσών: της γλώσσας αντικείμενο, δηλαδή της γλώσσαςυπό μελέτη, και της Μεταγλώσσας, δηλαδή της γλώσσας με την οποία θα μιλάμε εμείς για τηνγλώσσα αντικείμενο (π.χ Ελληνικά, Αγγλικά κλπ.). Η διάκριση πρέπει να είναι απολύτως σαφής γιανα μπορέσει κάποιος να παρακολουθήσει το μάθημα.

Σε αυτό το μάθημα πολύ συχνά θα συγχέουμε το όνομα του αντικειμένου με το ίδιο το αντικεί-μενο, π.χ. πολλές φορές θα λέμε ο τύπος φ, θα επικαλούμαστε δηλαδή το όνομα του τύπου, και θαεννοούμε την συντακτική μορφή του τύπου.

Τέλος, όπως έχουμε συνηθίσει στα μαθηματικά να χρησιμοποιούμε μεταβλητές x, y, z , οι οποίεςμπορούν εν δυνάμει να πάρουν οποιαδήποτε τιμή μέσα από ένα σύνολο, σε αυτό το μάθημα θαχρησιμοποιούμε συντακτικές μεταβλητές, δηλαδή μεταβλητές φ, ψ, χ που θα παίρνουν εν δυνάμειοποιαδήποτε μορφή μπορεί να πάρει ένας σωστός συντακτικά τύπος.

1

2 Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.Γραμμένες από τους Δ. Ζώρο και Ν. Καρβέλα, και




Κεφάλαιο 2

Προτασιακή Λογική

Ορισμός 2.0.1. Με Γ0 συμβολίζουμε την γλώσσα του προτασιακού λογισμού η οποία θα περιέχει:

• Μία αριθμήσιμη άπειρη ακολουθία από προτασιακές (λογικές) μεταβλητές p0, p1, . . . .

• Τους λογικούς συνδέσμους ¬ (άρνηση), ∧ (σύζευξη), ∨ (διάζευξη),→ (συνεπαγωγή),↔ (δι-πλή συνεπαγωγή).

• Τις παρενθέσεις (, ).

Παρατήρηση. Στον παραπάνω ορισμό χρησιμοποιήσαμε ορισμένα στοιχεία της μεταγλώσσας, συ-γκεκριμένα τα σύμβολα , και . . ..

2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις

Ορισμός 2.1.1. Έκφραση είναι μία πεπερασμένη ακολουθία από σύμβολα της Γ0 (π.χ. ¬p0(). Θασυμβολίζουμε με E(Γ0) το σύνολο των εκφράσεων.

Ορισμός 2.1.2. Μία έκφραση θα ονομάζεται προτασιακός τύπος αν και μόνον αν:

• είναι προτασιακή μεταβλητή,

• είναι της μορφής (¬φ), (φ∨ψ) (φ∧ψ) (φ→ ψ) (φ↔ ψ) όπου φ και ψ προτασιακοί τύποι1.

Παρατήρηση. Για λόγους ευκολίας γραφής θα κάνουμε την ακόλουθη σύμβαση: το ¬ θα είναιισχυρότερο όλων, τα ∧,∨ θα είναι ισχυρότερα από τα →,↔,τα ∧,∨ θα είναι το ίδιο ισχυρά, καιτέλος τα →,↔ θα είναι το ίδιο ισχυρά. Δηλαδή π.χ. θα γράφουμε ¬p0 ∧ p1 → p3 ∧ p4 αντί για(((¬p0) ∧ p1) → (p3 ∨ p4)).

Ορισμός 2.1.3 (Επαγωγική απόδειξη). Για να δείξουμε ότι μία ιδιότητα ισχύει για κάθε προτασιακότύπο πρέπει να δείξουμε:

1. Βάση επαγωγής: Την αποδεικνύουμε για τις προτασιακές μεταβλητές

2. Δεχόμενοι ότι η ιδιότητα ισχύει για τους προτασιακούς τύπους φ, ψ, την αποδεικνύουμε γιατους (¬φ), (φ ∨ ψ), (φ ∧ ψ), (φ→ ψ), (φ↔ ψ).

1Ας σημειώσουμε ότι οι εκφράσεις φ και ψ του προηγούμενου ορισμού είναι συντακτικές μεταβλητές.

3

2.2. ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ Γ0

2.2 Σημασιολογία της Γ0

Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε το συντακτικό της Γ0, δηλαδή πως συντάσσονται οι προ-τασιακοί τύποι. Σε αυτήν την παράγραφο θα δούμε πως αποκτούν νόημα.

Ορισμός 2.2.1. Αποτίμηση (ή απονομή αληθείας) είναι μια συνάρτηση a : M(Γ0) → {A,Ψ} (ή{0, 1}). Η αποτίμηση μπορεί να επεκταθεί σε μία συνάρτηση a : T (Γ0) → {A,Ψ} αναδρομικάσύμφωνα με τους ακόλουθους πίνακες αληθείας:

a(φ) a(ψ) a(¬φ) a(φ ∧ ψ) a(φ ∨ ψ) a(φ→ ψ) a(φ↔ ψ)

A A Ψ A A A AA Ψ Ψ Ψ A Ψ Ψ

Ψ A A Ψ A A Ψ

Ψ Ψ A Ψ Ψ A A

Παρατήρηση. Στα επόμενα (καταχρηστικά) θα χρησιμοποιούμε πολλές φορές τον συμβολισμό aαντί του a για λόγους ευκολίας γραφής. Ωστόσο πρέπει να είναι σαφές ότι στην πραγματικότητααυτό είναι μία σύμβαση, αφού η συνάρτηση a είναι επέκταση της a.

Ορισμός 2.2.2. Έστω T ⊆ T (Γ0). Θα λέμε ότι:

1. ο προτασιακός τύπος φ είναι ικανοποιήσιμος αν υπάρχει τουλάχιστον μία αποτίμηση a μεa(φ) = A. Σε αυτήν την περίπτωση θα λέμε επίσης ότι η a ικανοποιεί τον φ.

2. η αποτίμηση a ικανοποιεί το T , αν και μόνον αν η a ικανοποιεί κάθε στοιχείο του T .

3. το T είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν υπάρχει μία αποτίμηση που το ικανοποιεί2

4. ο φ είναι ταυτολογία αν και μόνον αν κάθε αποτίμηση ικανοποιεί τον φ.

5. ο φ είναι αντίφαση αν και μόνον αν ο ¬φ είναι ταυτολογία.

6. το T συνεπάγεται ταυτολογικά το φ, και θα γράφουμε T � φ αν και μόνον αν κάθε αποτίμησηπου ικανοποιεί το T ικανοποιεί και το φ.

Παρατήρηση. Στον παραπάνω ορισμό, αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του a(φ) εξαρτάται μόνοναπό τιμή που δίνει η a στις προτασιακές μεταβλητές που εμφανίζονται στον φ.

Παρατήρηση. Εύκολα συμπεραίνουμε ότι ∅ � φ αν και μόνο αν ο φ είναι ταυτολογία3.

Θεώρημα 2.2.1. T � φ⇔ T ∪ {¬φ} δεν είναι ικανοποιήσιμο

Απόδειξη. (⇒) Υποθέτουμε ότι το T ∪ {¬φ} είναι ικανοποιήσιμο. Άρα υπάρχει αποτίμηση a πουικανοποιεί όλους τους τύπους του T ∪ {¬φ}. Άρα υπάρχει a που δίνει την τιμή A σε όλα ταστοιχεία του T και την τιμή Ψ στο φ. Άτοπο.4

2Γιατί είναι λάθος να πούμε ότι το σύνολο T είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν κάθε στοιχείο του T είναι ικανο-ποιήσιμο;

3Θεωρούμε ότι όλες οι αποτιμήσεις ικανοποιούν το κενό σύνολο.4Στην παραπάνω απόδειξη, χρησιμοποιήσαμε την μέθοδο της είς άτοπον απαγωγής για να αποδείξουμε την είς άτοπον

απαγωγή. Κάτι τέτοιο μπορούμε να το κάνουμε, γιατί χρησιμοποιήσαμε την είς άτοπον απαγωγή στη μεταγλώσσα.





ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

(⇐) Υποθέτουμε ότι το T ∪ {¬φ} δεν είναι ικανοποιήσιμο και θα δείξουμε ότι T � φ. Έστω aαποτίμηση που ικανοποιεί τα στοιχεία του T . Αφού το T ∪ {¬φ} δεν είναι ικανοποιήσιμοαναγκαστικά η a θα δώσει τιμή Ψ στο ¬φ, και συνεπώς τιμή Aστο φ, άρα η a θα ικανοποιείκαι το φ.

Παρατήρηση. Έστω T μη ικανοποιήσιμο και φ τυχών προτασιακός τύπος. Τότε T � φ, αφού ημη ικανοποιησιμότητα του T μας λέει ότι δεν υπάρχει αποτίμηση που να ικανοποιεί όλους τουςπροτασιακούς τύπους του T .

Θεώρημα 2.2.2. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ταυτολογίες:

φ ∧ ψ ↔ ψ ∧ φ (Αντιμεταθετικότητα)φ ∨ ψ ↔ ψ ∨ φ

φ ∧ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∧ χ (Προσεταιριστικότητα)φ ∨ (ψ ∨ χ) ↔ (φ ∨ ψ) ∨ χφ ∧ (ψ ∨ χ) ↔ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ) (Επιμεριστικότητα)φ ∨ (ψ ∧ χ) ↔ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ)

¬¬φ↔ φ (Διπλή άρνηση)¬(φ→ ψ) ↔ φ ∧ ¬ψ (Άρνηση συνεπαγωγής)¬(φ ∧ ψ) ↔ ¬φ ∨ ¬ψ (Νόμοι De Morgan)¬(φ ∨ ψ) ↔ ¬φ ∧ ¬ψ

φ ∨ ¬φ (Νόμος απόκλεισης του τρίτου)(φ→ ψ) ↔ (¬ψ → ¬φ) (Νόμος αντιθετοαναστροφής)(φ→ ψ) ↔ ¬φ ∨ ψ (Νόμοι αντικατάστασης)(φ↔ ψ) ↔ (φ→ ψ) ∧ (ψ → φ)

(φ ∨ ψ) ↔ ¬(¬φ ∧ ¬ψ)(φ ∧ ψ) ↔ ¬(¬φ ∨ ¬ψ)

Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση.

Παρατήρηση. Στο παραπάνω Θεώρημα το↔ μπορεί να αντικατασταθεί με το ≡, σύμφωνα με το2. της άσκησης 2.6.5.

2.3 Επάρκεια (Πληρότητα) προτασιακών συνδέσμων

Ορισμός 2.3.1. Ένα σύνολο προτασιακών συνδέσμων C θα λέγεται επαρκές (ή πλήρες), αν κάθεπροτασιακός τύπος είναι ισοδύναμος με έναν προτασιακό τύπο, στον οποίο εμφανίζονται σύνδεσμοιμόνον από το C

Θεώρημα 2.3.1. Το σύνολο {¬,∧,∨} είναι επαρκές.

Τελευταία ενημέρωση 3/3/2012, στις 15:13.Γραμμένες από τους Δ. Ζώρο και Ν. Καρβέλα, καιεπεξεργασμένες από τον Λ. Κυρούση.Για τυχόντα λάθη παρακαλούμε ενημερώσετέ μαςστο σχετικό topic του μαθήματος.

5


2.3. ΕΠΑΡΚΕΙΑ (ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ) ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ

Απόδειξη. Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή: Για τις προτασιακές μεταβλητές το θεώρημα ισχύει(αφού οι προτασιακές μεταβλητές δεν έχουν συνδέσμους). Υποθέτουμε ότι το θεώρημα ισχύει γιατους προτασιακούς τύπους φ και ψ. Έστω φ′, ψ′ δύο προτασιακοί τύποι με συνδέσμους από το υπόεξέταση σύνολο, ώστε φ ≡ φ′ και ψ ≡ ψ′. Τότε έχουμε ότι:

¬φ ≡ ¬φ′

φ ∧ ψ ≡ φ′ ∧ ψ′

φ ∨ ψ ≡ φ′ ∨ ψ′

φ→ ψ ≡ ¬φ′ ∨ ψ′

φ↔ ψ ≡ (φ→ ψ) ∧ (ψ → φ)

2.3.1 Μονομελή επαρκή σύνολα συνδέσμων

Στα όσα έχουμε δει μέχρι τώρα, έχουμε συναντήσει μόνο έναν μονοθέσιο προτασιακό σύνδεσμο,το ¬5. Αποδεικνύεται πως κανένα σύνολο συνδέσμων που αποτελείται μόνο από έναν μονοθέσιοσύνδεσμο δεν είναι επαρκές.

Θα παρουσιάζουμε δύο ακόμη διθέσιους συνδέσμους και στη συνέχεια θα δείξουμε ότι κάθεένας από αυτούς αποτελεί και επαρκές σύνολο προτασιακών συνδέσμων. Οι δύο σύνδεσμοι πουμας απασχολούν είναι οNAND (| ή ↑) και οNOR (↓), των οποίων τους πίνακες αληθείας παρου-σιάζουμε παρακάτω:

a(φ) a(ψ) a(φ|ψ) a(φ ↓ ψ)A A Ψ Ψ

A Ψ A Ψ

Ψ A A Ψ

Ψ Ψ A A

Θεώρημα 2.3.2. Τα σύνολα προτασιακών συνδέσμων {|} και {↓} είναι επαρκή

Απόδειξη. Έχουμε δείξει (Άσκηση 2.6.6) ότι το σύνολο {¬,∨} είναι επαρκές. Αρκεί λοιπόν ναδείξουμε ότι μπορούμε να εκφράσουμε τους δύο αυτούς προτασιακούς συνδέσμους μόνο με τον |.Πράγματι:

¬φ ≡ φ|φφ ∨ ψ ≡ (φ|ψ)|(φ|ψ)

Αντίστοιχα δουλεύουμε και για τον ↓.5Υπάρχουν άλλοι μονοθέσιοι προτασιακοί σύνδεσμοι; Και αν ναι, τότε ποιοι είναι οι πίνακες αληθείας τους; Υπάρχουν

μηδενοθέσιοι προτασιακοί σύνδεσμοι; Και αν ναι, τότε ποιοι είναι;






2.3.2 Μη επαρκή σύνολα συνδέσμων

Για να δείξουμε ότι ένα σύνολο προτασιακών συνδέσμων δεν είναι επαρκές, αρκεί να βρούμε μίαιδιότητα που έχουν οι προτασιακοί τύποι που χρησιμοποιούν στοιχεία μόνον από αυτό το σύνολο,την οποία δεν έχουν όλοι οι προτασιακοί τύποι. Παραδείγματα θα δούμε ευθύς αμέσως.

Πρόταση 2.3.1. Το {∧} δεν είναι επαρκές.

Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι ένας προτασιακός τύπος φ που περιέχει μόνο τον σύνδεσμο ∧ έχει τηνακόλουθη ιδιότητα:

P = Για κάθε αποτίμηση a που δίνει στις μεταβλητή του φ τιμή A ισχύει ότι a(φ) = A.

Θα αποδείξουμε με επαγωγή τον παραπάνω ισχυρισμό. Για την βάση της επαγωγής, θεωρούμε ότιο φ είναι μία προτασιακή μεταβλητή6, και επομένως προφανώς ο φ έχει την P .

Για το επαγωγικό βήμα θεωρούμε ότι ο φ έχει την μορφή ψ ∧ χ όπου για τους ψ, χ ισχύει P .Αφού από την επαγωγική υπόθεση ισχύει ότι a(ψ) = A και a(χ) = A, από τον πίνακα αληθείαςτου ∧ προκύπτει ότι a(φ) = A.

Παρατηρούμε ότι ο ¬p δεν έχει την P , άρα το {∧} δεν είναι επαρκές.

Ορισμός 2.3.2. Ορίζουμε τον τριθέσιο προτασιακό σύνδεσμο π(φ, ψ, χ) που ορίζεται ως η πλειο-ψηφία των τιμών των φ, ψ, χ 7.

2.4 Προτασιακός Λογισμός

Ορισμός 2.4.1. Ένα αξιωματικό σύστημα A αποτελείται από

1. ένα σύνολο αξιωμάτων A ⊆ T (Γ0), και

2. ένα σύνολο κανόνων παραγωγής (ή αποδεικτικών κανόνων)K,

όπου κανόνας παραγωγής κ ∈ K είναι μια διμελής σχέση μεταξύ πεπερασμένων συνόλων προτα-σιακών τύπων και προτασιακών τύπων. Αν (B,φ) ∈ κ , τότε λέμε ότι ο φ είναι άμεσο συμπέρασματης εφαρμογής του κ στα στοιχεία του B.

Ορισμός 2.4.2. ΈστωA = 〈A,K〉 ένα αξιωματικό σύστημα,B ⊆ T (Γ0), καιφ προτασιακός τύπος.Θα λέμε ότι ο φ αποδεικνύεται τυπικά από τα στοιχεία του B (σύνολο υποθέσεων) στο A, και θαγράφουμε B `A φ, αν υπάρχει μία πεπερασμένη ακολουθία από προτασιακούς τύπους τ1, . . . , τn,όπου τn = φ, και για κάθε τi ισχύει ένα από τα ακόλουθα:

1. τi ∈ A ∪B, είναι δηλαδή αξίωμα ή υπόθεση, ή

2. το τi είναι άμεσο συμπέρασμα της εφαρμογής κανόνα κ ∈ K σε κάποια τj , όπου j < i.

Ορισμός 2.4.3. Ορίζουμε το αξιωματικό σύστημα A0 με A το ακόλουθο σύνολο8:

ΑΣ1 φ→ (ψ → φ)

6Μηδέν εμφανίσεις του ∧.7Ποιος είναι ο πίνακας αληθείας του π;8Χρησιμοποιούμε μόνον συνδέσμους από το {¬,→}, καθώς όπως έχουμε δείξει είναι επαρκές


7


2.4. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΑΣ2 (φ→ (ψ → χ)) → ((φ→ ψ) → (φ→ χ))

ΑΣ3 (¬φ→ ¬ψ) → ((¬φ→ ψ) → φ)

καιK που περιέχει μόνον έναν κανόνα, τον Modus Ponens (<<τρόπος του ισχυρού>>)9:

φ φ→ ψ

ψ

Παράδειγμα. Θα δείξουμε ότι À0 φ → φ (εννοούμε ότι ∅ À0 φ → φ), δηλαδή θα αποδείξουμεστη μεταγλώσσα ότι υπάρχει τυπική απόδειξη στο A0 του τύπου φ → φ. Αυτό θα το κάνουμεδίνοντας μία τυπική απόδειξη:

1 (φ→ ((φ→ φ) → φ)) → ((φ→ (φ→ φ)) → (φ→ φ)) ΑΣ22 φ→ ((φ→ φ) → φ) ΑΣ13 (φ→ (φ→ φ)) → (φ→ φ) 1,2,MP4 φ→ (φ→ φ) ΑΣ15 φ→ φ 3,4, MP

Θεώρημα 2.4.1 (Απαγωγής). Για προτασιακούς τύπους φ, ψ και σύνολο προτασιακών τύπων Tισχύει ότι10

T ∪ {φ} À0 ψ αν και μόνον αν T À0 φ→ ψ

Απόδειξη. (⇐) Έστω ότι T ` φ → ψ. Θα δείξουμε ότι T ∪ {φ} ` ψ. Από την υπόθεση υπάρχειπεπερασμένη ακολουθία

1 τ0...

k + 1 τk = φ→ ψ

Τα τi, είναι αξιώματα ή στοιχεία του T ή προκύπτουν από εφαρμογή τουMP. Η τυπική απόδειξητου ψ από το T ∪ {φ} είναι η εξής:

1 τ0...

k + 1 τk = φ→ ψk + 2 φ Υπόθεσηk + 3 ψ k + 1, k + 2, MP

9ΟModus Ponens (MP) στη ουσία είναι η εξής πρακτική που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά: αν π.χ. έχουμε δείξειότι αν η f είναι συνεχής τότε και η g είναι συνεχής, και στην συνέχεια της απόδειξης δείξαμε ότι η f είναι συνεχής, τότεέχουμε δείξει ότι και η g είναι συνεχής.

10Σε όσα ακολουθούν το A0 θα παραλείπεται χάριν απλότητας.






(⇒) Υποθέτουμε ότι το T ∪ {φ} ` ψ. Θα δείξουμε ότι T ` φ → ψ. Από υπόθεση11 υπάρχειόπως πριν πεπερασμένη ακολουθία

1 τ0...

k + 1 τk = ψ

στην οποία μπορεί να χρησιμοποιείται ως υπόθεση12 ο φΘα αποδείξουμε ότι T ` φ→ τi για κάθε i = 0, . . . , k με επαγωγή στο μήκος της απόδειξης.Έστω ότι ισχύει το ζητούμενο για i < λ, θα το αποδείξουμε και για το λ13 Θα δείξουμε δηλαδή

ότι T ` φ→ τλ. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

1. Το τλ είναι ΑΣ1, ΑΣ2 ή ΑΣ3. Κάνουμε την τυπική απόδειξη:

1 τλ → (φ→ τλ) ΑΣ12 τλ Αφού το τλ είναι αξίωμα3 φ→ τλ 1,2, MP

2. Το τλ είναι το φ. Είδαμε ότι ` φ→ φ, άρα και T ` φ→ φ

3. τλ ∈ T . Η τυπική απόδειξη είναι όμοια με την περίπτωση 1 μόνο που στο βήμα 2 η δικαιολογίαείναι ότι το τλ είναι υπόθεση

4. Το τλ προκύπτει από εφαρμογή του MP, δηλαδή όπου τi → τλ και τα τi εμφανίζονται προη-γουμένως. Απο την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι T ` φ → τi και T ` φ → (τi → τλ). Ητυπική απόδειξη που πρέπει να κάνουμε, αφήνεται ως άσκηση.

Παρατήρηση. Βάσει των παραπάνω μπορούμε πλέον να ανταλλάσσουμε τo T ` φ → ψ με τοT ∪ {φ} ` ψ και αντίστροφα.

Πόρισμα 1. {φ→ ψ,ψ → χ} ` φ→ χ

Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απαγωγής, αρκεί να δείξουμε ότι {φ → ψ,ψ →χ, φ} ` χ

1 φ→ ψ Υπόθεση2 φ Υπόθεση3 ψ 1,2,MP4 ψ → χ Υπόθεση5 χ 3,4,MP

11Προσοχή: Αυτή η υπόθεση είναι μεταγλωσσική.12Προσοχή: Αυτή η υπόθεση είναι της γλώσσας, δηλαδή στοιχείο του συνόλου των υποθέσεων13Τι έγινε η επαγωγική βάση? Η μορφή της επαγωγής: ((∀i < λ)P (i)) → P (λ) δεν χρειάζεται επαγωγική βάση.

Γιατί?


9


2.5. ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Πόρισμα 2. ` ¬¬φ→ φ

Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απαγωγής, αρκεί να δείξουμε ότι {¬¬φ} ` φ

1 (¬φ→ ¬¬φ) → ((¬φ→ ¬φ) → φ) ΑΣ32 ¬¬φ Υπόθεση3 ¬¬φ→ (¬φ→ ¬¬φ) ΑΣ14 ¬φ→ ¬¬φ 2,3,MP5 (¬φ→ ¬φ) → φ 1,4,MP6 ¬φ→ ¬φ Τυπικό θεώρημα147 φ 5,6,MP

Θεώρημα 2.4.2 (Αντιθετοαναστροφής). T ∪ {φ} ` ¬ψ αν και μόνον αν T ∪ {ψ} ` ¬φ

Απόδειξη. (⇒) Από θεώρημα απαγωγής έχουμε ότι T ` φ→ ¬ψ ισχύει ότι ` (φ→ ¬ψ) → (ψ →¬φ) (βλ. παραπάνω άσκηση). Με μία εφαρμογή του MP, προκύπτει ότι T ` ψ → ¬φ και επομένωςαπό το θεώρημα απαγωγής προκύπτει ότι T ∪ {ψ} ` ¬φ.

(⇐) Αφήνεται ως άσκηση.

Ορισμός 2.4.4. Ένα σύνολο προτασιακών τύπων T λέγεται αντιφατικό αν υπάρχει προτασιακόςτύπος ψ τέτοιος ώστε T ` ψ και T ` ¬ψ. Το T θα λέγεται συνεπές αν δεν είναι αντιφατικό.

Θεώρημα 2.4.3 (Εις άτοπον απαγωγή). Αν T ∪ {φ} αντιφατικό τότε T ` ¬φ. Διαφορετικά διατυ-πωμένο T ∪ {¬φ} αντιφατικό αν και μόνον αν T ` φ

Απόδειξη. (⇒) Υποθέτουμε ότι T ∪{φ} είναι αντιφατικό, επομένως υπάρχει προτασιακός τύπος ψτέτοιος ώστε T∪{φ} ` ψ και T∪{φ} ` ¬ψ. Από το θεώρημα της απαγωγής έχουμε ότι T ` φ→ ψκαι T ` φ → ¬ψ. Χρησιμοποιώντας το τυπικό θεώρημα (φ → ψ) → ((φ → ¬ψ) → ¬φ) καιεφαρμόζοντας δύο φορές το MPπροκύπτει ότι T ` ¬φ.

(⇐) Υποθέτουμε ότι T ` ¬φ. Θα δείξουμε ότι το T ∪ {φ} είναι αντιφατικό. Παρατηρούμε ότιT ∪ {φ} ` ¬φ, αφού από (μεταγλωσσική) υπόθεση T ` ¬φ αλλά και ότι T ∪ {φ} ` φ αφού το φείναι γλωσσική υπόθεση. Άρα το T ∪ {φ} είναι αντιφατικό.

Η άλλη διατύπωση αποδεικνύεται με εφαρμογή αυτής της διατύπωσης και του τυπικού θεωρή-ματος ` ¬¬φ→ φ.

2.5 Εγκυρότητα και Πληρότητα του Προτασιακού Λογισμού

Θεώρημα 2.5.1 (Γενικευμένο θεώρημα Εγκυρότητας-Πληρότητας).

T � φ⇔ T ` φ

Πόρισμα 3 (Θεώρημα Εγκυρότητας-Πληρότητας). Ο προτασιακός τύπος φ είναι ταυτολογία αν καιμόνον αν ο φ είναι τυπικό θεώρημα.

14Πιο τυπικά πρέπει να συμπεριλάβουμε στην τυπική απόδειξη, την απόδειξη της πρότασης ¬φ→ ¬φ.






Παρατήρηση. Εγκυρότητα ενός αποδεικτικού συστήματος έχουμε ό,τι αποδεικνύεται από το σύ-στημα είναι αληθές (δηλαδή η αντίστροφη κατεύθυνση του πορίσματος). Πληρότητα έχουμε ότανόλες οι αλήθειες μπορούν να αποδειχθούν στο σύστημα (δηλαδή η ευθεία κατεύθυνση του πορίσμα-τος).

Απόδειξη. (Εγκυρότητας) Έστω ότι ` φ. Θα δείξουμε ότι o φ είναι ταυτολογία. Από την υπόθεσηέχουμε ότι υπάρχει μία ακολουθία τ0, . . . , τk = φ που είναι τυπική απόδειξη. Θα δείξουμε ότι κάθετi είναι ταυτολογία.

Έστω ότι τi ταυτολογία για κάθε i < λ. Θα δείξουμε ότι το τλ είναι ταυτολογία. Διακρίνουμετις εξής περιπτώσεις για το τλ.

1. Το τλ είναι αξίωμα. Δείχνουμε με αληθοπίνακες ότι όλα τα αξιώματα είναι ταυτολογίες (αφή-νεται ως άσκηση).

2. Το τλ προκύπτει από εφαρμογή του MPστα τi → τλ και τi. Από την επαγωγική υπόθεσηγνωρίζουμε ότι τα τi και τi → τλ είναι ταυτολογίες και συνεπώς κοιτώντας τους πίνακεςαληθείας των τi και τi → τλ συμπεραίνουμε ότι το τλ είναι ταυτολογία (αφήνεται ως άσκηση).

Πριν προχωρήσουμε στην απόδειξη τουΘεωρήματος της Πληρότητας θα πρέπει να αποδείξουμετο ακόλουθο

Λήμμα 2.5.1. Έστω a μία αποτίμηση και φ ένας προτασιακός τύπος. Θα ορίσουμε έναν άλλο προτα-σιακό τύπο φa (και θα διαβάζουμε φ ως προς την a) ως εξής:

φa =

{φ αν a(φ) = A¬φ αν a(φ) = Ψ

Αν οι προτασιακές μεταβλητές που εμφανίζονται στον φ είναι μεταξύ των p0, p1, . . . , pn, τότε

{pa0, pa1, . . . , pan} ` φa

Απόδειξη. Απόδειξη με επαγωγή15 στην πολυπλοκότητα του τύπου φ:

Επαγωγική Βάση: Έστω φ προτασιακή μεταβλητή, δηλαδή φ = pi για κάποια από τις προτασια-κές μεταβλητές p0, p1, . . . , pn. Τότε φ = pi, συνεπώς pi ` φ.

Επαγωγική Βήμα: Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις: φ = ¬χ και φ = χ → ψ, όπου χ και ψ δύοπροτασιακοί τύποι, για τους οποίους ισχύει η επαγωγική υπόθεση16, δηλαδή

{p0, p1, . . . , pn} ` χ

και{p0, p1, . . . , pn} ` ψ

1. φ = ¬χ:15Επειδή σε όλη τη διάρκεια της απόδειξης, έχουμε σταθεροποιήσει την αποτίμηση a (αλλά και για λόγους ευκολίας

γραφής), θα γράφουμε φ αλλά θα εννοούμε φa.16Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι οι προτασιακές μεταβλητές βρίσκονται μεταξύ των p0, . . . , pn.


11


2.5. ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

1.1. Αν a(χ) = A, τότε a(¬χ) = Ψ, οπότε a(φ) = Ψ, συνεπώς φ = ¬¬χ. Από τηνεπαγωγική υπόθεση έχουμε ότι {p0, p1, . . . , pn} ` χ. Όμως χ = χ και ` χ →¬¬χ. Επομένως με μία εφαρμογή του MP προκύπτει το ζητούμενο.

1.2. Αν a(χ) = Ψ αντίστοιχα.2. φ = χ→ ψ:

2.1. Αν a(χ → ψ) = Ψ, τότε (χ→ ψ) = ¬(χ → ψ). Επίσης (βλ. πίνακα αληθείας)a(χ) = A και a(ψ) = Ψ. Δηλαδή χ = χ και ψ = ¬ψ, οπότε χρησιμοποιώντας τηνεπαγωγική υπόθεση, αρκεί να δείξουμε ότι

{χ,¬ψ} ` ¬(χ→ ψ)

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα 2.4.2 προκύπτει το ζητούμενο ως εξής:1 χ Υπόθεση2 ¬ψ Υπόθεση3 χ→ (¬ψ → ¬(χ→ ψ)) Τυπικό θεώρημα4 ¬ψ → ¬(χ→ ψ) 1,3,MP5 ¬(χ→ ψ) 2,4,MP

2.2. Αν a(χ→ ψ) = A, τότε (χ→ ψ) = (χ→ ψ). Αρκεί να εξετάσουμε τις εξής δύοπεριπτώσεις17:2.2.1. a(χ) = Ψ Άρα χ = ¬χ οπότε από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι

{p0, . . . , pn} ` ¬χ και χρησιμοποιώντας το τυπικό θεώρημα ` ¬χ → (χ →ψ) με μία εφαρμογή του MP προκύπτει το ζητούμενο.

2.2.2 a(ψ) = A. Δηλαδή ψ = ψ, οπότε από την επαγωγική υπόθεση προκύπτειότι {p0, . . . , pn} ` ψ) και χρησιμοποιώντας το ΑΣ1 και με μία εφαρμογή τουMP προκύπτει το ζητούμενο.

Απόδειξη. (Πληρότητας) Έστω ότι οι προτασιακές μεταβλητές του φ βρίσκονται ανάμεσα στιςp0, . . . , pn και έστω a, , a′ τέτοιες ώστε a(pn) = A, a′(pn) = Ψ a(pj) = a′(pj), j = 0, . . . n− 1.Από υπόθεση ο φ είναι ταυτολογία, συνεπώς a(φ) = a′(φ) = A. Άρα φa = φ και φa′ = φ. Επίσηςpan = pn και pa

′n = ¬pn. Άρα

{pa0, . . . , pan−1, pn} ` φ

{pa′0 , . . . , pa′n−1,¬pn} ` φ

Από το Θεώρημα της Απαγωγής προκύπτει ότι

{pa0, . . . , pan−1} ` pn → φ

{pa′0 , . . . , pa′n−1} ` ¬pn → φ

Από τον τρόπο επιλογής των a και a′ προκύπτει ότι

{pa0, . . . , pan−1} ` pn → φ

17Σκεφτείτε λίγο γιατί...






{pa0, . . . , pan−1} ` ¬pn → φ

Συνεπώς χρησιμοποιώντας το τυπικό θεώρημα

` (φ→ ψ) → ((¬φ→ ψ) → ψ)

αποδεικνύεται ότι{pa0, . . . , pan−1} ` φ

Επαναλαμβάνουμε αυτή την διαδικασία18 έως ότου απαλειφθούν όλες οι προτασιακές μεταβλητέςαπό το σύνολο των υποθέσεων και να προκύψει ότι ` φ.

Το παρακάτω θεώρημα δίνεται χωρίς απόδειξη.

Θεώρημα 2.5.2 (Συμπάγειας). Έστω T σύνολο προτασιακών τύπων. Τότε το T είναι ικανοποιήσιμοαν και μόνον αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του T είναι ικανοποιήσιμο.

Λήμμα 2.5.2. Έστω T σύνολο προτασιακών τύπων. Τότε το T δεν είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνοναν το T είναι αντιφατικό.

Απόδειξη. Υπάρχει στο βοηθητικό σύγγραμμα του μαθήματος.

2.6 Ασκήσεις

Άσκηση 2.6.1. Δείξετε ότι για κάθε προτασιακό τύπο, ο αριθμός των δεξιών παρενθέσεων ισούταιμε τον αριθμό των αριστερών.

Άσκηση 2.6.2. Έστωφ προτασιακός τύποςχ καιnχ = # διθέσιων συνδέσμων τουχ (εδώ το σύμβολο# θα δηλώνει το πλήθος) καιmχ = # προτασιακών μεταβλητών του χ. Δείξετε ότιmχ = nχ + 1

Άσκηση 2.6.3. Δείξετε ότι δεν υπάρχουν προτασιακοί τύποι με αριθμό συμβόλων 2, 3 ή 6 αλλά ότιγια κάθε n > 0, 2, 3, 6 είναι δυνατόν.

Άσκηση 2.6.4. Δείξετε ότι σε κάθε προτασιακό τύπο ο αριθμός των παρενθέσεων του είναι διπλάσιοςτου αριθμού των συνδέσμων του.

Άσκηση 2.6.5. 1. φ→ ψ είναι ταυτολογία αν και μόνον αν φ � ψ

2. φ↔ ψ είναι ταυτολογία αν και μόνον αν φ ≡ ψ

Άσκηση 2.6.6. Τα σύνολα {¬,∧} και {¬,∨} είναι επαρκή.

Άσκηση 2.6.7. Δείξτε ότι το {π} δεν είναι επαρκές.

Άσκηση 2.6.8. Δείξτε ότι το {¬, π} δεν είναι επαρκές.

Άσκηση 2.6.9. Ορίζουμε τον προτασιακό σύνδεσμο ⊕ (ή XOR) της αποκλειστικής διάζευξης, πουέχει πίνακα αληθείας

18Μέσα στη διαδικασία αυτή συμπεριλαμβάνεται και η επιλογή των αποτιμήσεων a και a′.


13


2.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

α(φ) α(ψ) α(φ⊕ ψ)

A A Ψ

A Ψ AΨ A AΨ Ψ Ψ

Δείξτε ότι τα σύνολα συνδέσμων {⊕}, {¬,⊕} δεν είναι επαρκή.

Άσκηση 2.6.10. Δείξτε ότι οι ακόλουθοι προτασιακοί τύποι είναι τυπικά θεωρήματα:

1. φ→ ¬¬φ

2. ¬φ→ (φ→ ψ)

3. (¬ψ → ¬φ) → (φ→ ψ)

4. (φ→ ψ) → (¬ψ → ¬φ)

5. (φ→ ¬ψ) → (ψ → ¬φ)

6. φ→ (¬ψ → ¬(φ→ ψ))

7. (φ→ ψ) → ((¬φ→ ψ) → ψ)

8. (φ→ ψ) → ((φ→ ¬ψ) → ¬φ)

Άσκηση 2.6.11. Έστω T,Σ σύνολα προτασιακών τύπων, με T συμβολίζουμε το σύνολο {φ ∈ T (Γ0) |T ` φ}. Δείξτε ότι

α) T = T

β) T ∪ Σ ⊆ T ∪ Σ

γ) Δείξτε ότι υπάρχουν σύνολα T,Σ τέτοια ώστε ο εγκλεισμός στο β) να είναι αυστηρός.

Άσκηση 2.6.12 (Αρχή του Δυϊσμού). Έστω προτασιακός τύπος φ στον οποίο εμφανίζονται μόνο οισύνδεσμοι ¬,∨,∧, και φ∗ ο προτασιακός τύπος που προκύπτει από τον φ αν αντικαταστήσουμε το ∧με ∨, το ∨ με ∧, και τις προτασιακές μεταβλητές με την άρνησή τους. Δείξτε ότι φ∗ ≡ ¬φ.





Κεφάλαιο 3

Κατηγορηματική Λογική

3.1 Συντακτικό και σημασιολογία

Ορισμός 3.1.1. Μία πρωτοβάθμια γλώσσα Γ1 αποτελείται από

• Μία άπειρη ακολουθία μεταβλητών: v0, v1, . . .

• Τους λογικούς συνδέσμους: ¬,→

• Τις παρενθέσεις: (, )

• Το σύμβολο της ισότητας: ≈

• Τον καθολικό ποσοδείκτη: ∀

• Για κάθε φυσικό n ≥ 0 ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από n-μελή κατηγορηματικά σύμ-βολα (ή σύμβολα ιδιοτήτων): Pni

• Για κάθε φυσικό n ≥ 0 ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από n-θέσια συναρτησιακά σύμβολα:fni

• Ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από σύμβολα σταθερών: ck

Παρατήρηση. Οι λογικοί σύνδεσμοι ∨,∧,↔ καθώς και ο υπαρξιακός ποσοδείκτης ∃ θα εισαχθούναργότερα ως συντομεύσεις των¬,→ και ∀. Επίσης πολλές φορές θα χρησιμοποιούμε καταχρηστικάτο κλασικό σύμβολο της ισότητας = αντί του ≈ χάριν απλότητας.

Παρατήρηση. Συνήθως μία πρωτοβάθμια γλώσσα έχει πεπερασμένο πλήθος κατηγορηματικών καισυναρτησιακών συμβόλων, και πεπερασμένο πλήθος σταθερών.

Ορισμός 3.1.2. Έκφραση είναι μία πεπερασμένη ακολουθία από σύμβολα τηςΓ1. Θα συμβολίζουμεμε E(Γ1) το σύνολο των εκφράσεων.

Ορισμός 3.1.3. Μία έκφραση θα ονομάζεται όρος της Γ1 αν και μόνον αν:

• είναι προτασιακή μεταβλητή,

• είναι σταθερά,

15

3.1. ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΟ ΚΑΙ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑ

• είναι της μορφής ft1, . . . , tn, όπου t1, . . . , tn όροι και f n-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο τηςΓ1.

Το σύνολο των όρων της Γ1 το συμβολίζουμε με O(Γ1).

Παρατήρηση. Θα γράφουμε τον όρο ft1, . . . , tn και ως f(t1, . . . , tn) για να μας θυμίζει το συνήθητρόπο γραφής των συναρτήσεων.

Ορισμός 3.1.4. Μία έκφραση θα ονομάζεται τύπος της Γ1 αν και μόνον αν:

• είναι της μορφής t1 ≈ t2, όπου t1, t2 ∈ O(Γ1),

• είναι της μορφής Rt1, . . . , tn όπου t1, . . . , tn ∈ O(Γ1) και R n-μελές κατηγορηματικό σύμ-βολο της Γ1,

• είναι της μορφής (¬φ), (φ → ψ), (∀xφ) όπου φ, ψ τύποι της Γ1 και x μεταβλητή της Γ1·στην τελευταία περίπτωση λέμε ότι οι εμφανίσεις της μεταβλητής x στον (∀xφ) βρίσκονταιστο πεδίο αναφοράς του καθολικού ποσοδείκτη.

Οι τύποι της μορφής 1 και 2 ονομάζονται ατομικοί τύποι. Το σύνολο των τύπων της Γ1 το συμβο-λίζουμε με T (Γ1).

Παρατήρηση. Θα γράφουμε τον τύπο Rt1, . . . , tn και ως R(t1, . . . , tn), ή ακόμα και ως t1Rt2ή (t1Rt2) για διμελή κατηγορηματικά σύμβολα, για να μας θυμίζει το συνήθη τρόπο γραφής τωνσχέσεων.

Παρατήρηση. Όπως και στην Προτασιακή Λογική οι παρενθέσεις θα παραλείπονται αν δεν υπάρ-χει κίνδυνος παρανόησης.

Παρατήρηση. Οι τύποι (∃xφ), (φ∧ψ), (φ∨ψ) θεωρούνται συντομογραφίες των (¬(∀x(¬φ))), (¬(φ→(¬ψ))), ((¬φ) → ψ), αντίστοιχα και ο (φ↔ ψ) συντομογραφία του ((φ→ ψ) ∧ (ψ → φ)).

Παράδειγμα. Συμβολίζουμε με Γθσ1 την πρωτοβάθμια γλώσσα της θεωρίας συνόλων, που έχει έναδιμελές κατηγορηματικό σύμβολο, το ∈ (με προτιθέμενη ερμηνεία τη σχέση του ανήκειν), δεν έχεισυναρτησιακά σύμβολα, και έχει ένα σύμβολο σταθεράς το ∅ (με προτιθέμενη ερμηνεία το κενόσύνολο)1. Οι εκφράσεις u0, ∅ αποτελούν όρους τηςΓθσ1 , ενώ οι εκφράσεις∈ v0v7 (γράφεται v0 ∈ v7)και ¬(v2 ∈ v3) αποτελούν τύπους της Γθσ1 (ο πρώτος μάλιστα είναι ατομικός).

Η Γλώσσα της Θεωρίας Αριθμών (Γθα1 ) περιλαμβάνει τη σταθερά 0 (σύμβολο μηδέν), το μο-νοθέσιο συναρτησιακό σύμβολο ′ (με προτιθέμενη ερμηνεία την πράξη του επόμενου, +1) , και ταδιθέσια συναρτησιακά σύμβολα ⊕ και �2.

Ορισμός 3.1.5. Μία εμφάνιση μίας μεταβλητής x σε έναν τύπο θα καλείται ελεύθερη, αν δεν βρί-σκεται στο πλαίσιο αναφοράς ενός καθολικού ποσοδείκτη. Μία εμφάνιση μεταβλητής που δεν εί-ναι ελεύθερη θα ονομάζεται δεσμευμένη. Είναι δυνατόν η ίδια μεταβλητή να έχει ελεύθερες καιδεσμευμένες εμφανίσεις στον ίδιο τύπο. Επίσης, επειδή ο υπαρξιακός ποσοδείκτης ορίστηκε ωςσυντομογραφία του καθολικού, δεσμευμένες είναι και οι εμφανίσεις μεταβλητών στο πεδίο ανα-φοράς υπαρξιακού ποσοδείκτη (ως πλαίσιο αναφοράς υπαρξιακού ποσοδείκτη ορίζεται το πλαίσιοαναφοράς του αντίστοιχου καθολικού).

1Πολλοί συγγραφείς δεν συμπεριλαμβάνουν το ∅ στην Γθσ1 .

2Στη συνέχεια πολλές φορές θα χρησιμοποιούμε καταχρηστικά, χάριν απλότητας, τον ίδιο τυπογραφικό χαρακτήραγια ένα σύμβολο (κατηγορηματικό, συναρτησιακό ή σταθεράς) και την ερμηνεία του. Ο αναγνώστης θα πρέπει να είναιπροσεκτικός να διακρίνει τις δύο περιπτώσεις.





ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Παραδείγματα. 1. (∀x1)(∀x2)(∃x3)((x1 + x4 = x3) ∨ (x2 = 1))

Στο παράδειγμα αυτό οι εμφανίσεις των μεταβλητών x1,x2 και x3 είναι δεσμευμένες ενώ η x4είναι ελεύθερη, αφού η x4 δεν εμφανίζεται στο πλαίσιο αναφοράς καθολικού ποσοδείκτη.

2. ((∀x1)(x1 = x1)) ∧ (x2 · x1 = x3)

Στο παράδειγμα αυτό οι εμφανίσεις των μεταβλητών x2x3 είναι ελεύθερες. Ωστόσο η μεταβλητήx1 εμφανίζεται και ελεύθερη και δεσμευμένη. Συγκεκριμένα η εμφάνιση στο

((∀x1)(x1 = x1))

είναι δεσμευμένη ενώ η εμφάνιση στο

(x2 · x1 = x3)

είναι ελεύθερη, αφού δεν κείται στο πλαίσιο αναφοράς καθολικού ποσοδείκτη.

3. Στον ορισμό του ορίου συνάρτησης

limx→c

f(x) = y ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x(0 < |x− c| < δ ⇒ |f(x)− y| < ε)

οι μεταβλητές ε, δ είναι δεσμευμένες.

4. Στο ολοκλήρωμα∫f(x)dx η μεταβλητή x είναι δεσμευμένη.

Ορισμός 3.1.6. Θαονομάζουμε δομή (ή ερμηνεία)A για μία πρωτοβάθμια κατηγορηματική γλώσσαένα σύστημα αποτελούμενο από:

1. A μη κενό σύνολο. Γράφουμε |A| = A (το σύμπαν της δομής).

2. Σχέσεις: PA ⊆ An για κάθε n−μελές κατηγορηματικό σύμβολο P .

3. Συναρτήσεις fA : An → A για κάθε n−θέσιο συναρτησιακό σύμβολο.

4. cA ∈ |A| για κάθε σύμβολο σταθεράς c.

Παράδειγμα.

Για την Γθα1 έχουμε τα εξής σύμβολα ′,⊕,�, 0.

Κύρια (προτιθέμενη) Ερμηνεία:N = 〈N,′ ,+, ·, 0〉

όπου N είναι το σύμπαν, a′ = a + 1, και a + b, a · b, 0 η συνήθης πρόσθεση, ο συνήθηςπολλαπλασιασμός και το μηδέν αντίστοιχα.

Εναλλακτική Ερμηνεία:∗N = 〈Z,′ ,+, ·,−3〉

όπουZ είναι το σύμπαν, a′ = a−2,+ και · είναι οι συνήθεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμόςαντίστοιχα και το μηδέν της ερμηνείας είναι το −3.


17


3.1. ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΟ ΚΑΙ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑ

Ορισμός 3.1.7. Θα ονομάζουμε αποτίμηση κάθε αντιστοίχιση των μεταβλητών στο σύμπαν μίαςερμηνείας

v :M(Γ1) → |A|

Παρατήρηση. Μία αποτίμηση επεκτείνεται σε κάθε όρο με μονοσήμαντο τρόποώστε να ικανοποιείτα εξής:

• v(c) = cA

• v(f t1, . . . , tn) = fA(v(t1), . . . , v(tn))

Παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε την αποτίμηση v με v(u0) = v(u1) = . . . = 1. Τότε στην Nέχουμε ότι v(0′′ ⊕ 0′) = 3 και v(u′0 ⊕ u′1) = 4 ενώ στην ∗N έχουμε ότι v(0′′ ⊕ 0′) = −12 καιv(u′0 ⊕ u′1) = −2.

Ορισμός 3.1.8. Έστω v μία αποτίμηση, x μία μεταβλητή και a ∈ |A|. Θεωρούμε μία νέα αποτίμησηv(x|a)(y) η οποία ορίζεται ως εξής:

v(x|a)(y) ={v(y), y 6= xa, αν y = x

Αν έχουμε μία γλώσσα, μία δομή, μία αποτίμηση και έναν τύπο, τότε ορίζουμε:

Ορισμός 3.1.9 (Αληθείας του Tarski). Θα λέμε ότι η ερμηνεία A ικανοποιεί τον τύπο φ για τηναποτίμηση v και θα συμβολίζουμε A � φ[v], αν:

1. φ είναι ≈ t1t2, όπου t1, t2 ∈ O(Γ1), τότε A � φ[v], αν και μόνον αν v(t1) = v(t2).

2. φ είναι Rt1, . . . , tn, τότε A � φ[v], αν και μόνον αν (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ RA.

3. φ είναι (¬χ), τότε A � φ[v], αν και μόνον αν δεν ισχύει ότι A � χ[v].

4. φ είναι (χ → ψ), τότε A � φ[v], αν και μόνον αν A 2 χ[v] ή A � ψ[v] (ή ισοδύναμα ανA � χ[v] τότε A � ψ[v]).

5. φ είναι (∀xχ), τότε A � φ[v], αν και μόνον αν για κάθε a ∈ A, A � χ[v(x|a)].

Παρατήρηση. Συχνά αντί για (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ RA θα γράφουμε απλά RA(v(t1), . . . , v(tn)).Επίσης, ας επισημάνουμε για μία ακόμα φορά, ότι συχνά θα ταυτίζουμε για λόγους απλότητας συμ-βολισμού τα σύμβολα μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας με τις ερμηνείες τους δηλαδή αντί για fA, RA, cA

συχνά θα γράφουμε απλώς f,R, c.

Παρατήρηση. Ο ορισμός του Tarski επεκτείνεται και στους συνδέσμους που εισάγαμε σαν συντο-μεύσεις με τον φυσιολογικό τρόπο, δηλαδή αν:

6. φ είναι (χ ∧ ψ), τότε A � φ[v], αν και μόνον αν A � χ[v] και A � ψ[v].

7. φ είναι (χ ∨ ψ), τότε A � φ[v], αν και μόνον αν είτε A � χ[v] είτε A � ψ[v].

8. φ είναι (χ↔ ψ), τότε A � φ[v], αν και μόνον αν A � (χ→ ψ)[v] και A � (ψ → χ)[v].

9. φ είναι (∃xχ), τότε A � φ[v], αν και μόνον αν υπάρχει a ∈ A, A � χ[v(x|a)].






Ορισμός 3.1.10. Πρόταση καλείται ένας τύπος που δεν έχει ελεύθερες εμφανίσεις μεταβλητών,όπως π.χ. ο ∀x∀y(x ≈ y → y ≈ x).

Θεώρημα 3.1.1. Έστω τύπος φ, ερμηνεία A, και αποτιμήσεις v1, v2 στη A που συμφωνούν στις ελεύ-θερες μεταβλητές του φ, τότε A � φ[v1] ανν A � φ[v2].

Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. (Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή, και θα πρέπει πρώτα να απο-δειχθεί, πάλι με επαγωγή, το ακόλουθο λήμμα: αν v1, v2 είναι αποτιμήσεις που συμφωνούν στιςμεταβλητές του όρου t, τότε v1(t) = v2(t)).

Παρατήρηση. Έστω πρόταση φ και ερμηνεία A. Τότε το αν ισχύει ότι A � φ[v] δεν εξαρτάται απότη συγκεκριμένη αποτίμηση v, γιατί είτε για όλες τις αποτιμήσεις v θα ισχύει ότι A � φ[v], είτε γιακαμία. Συνήθως γράφουμε στην περίπτωση αυτή A � φ, και καλούμε τη A μοντέλο της φ.

Παράδειγμα. N � ∃x1∀x2(x2 ⊕ x1 ≈ x2).Αρκεί να δείξουμε ότιN � ¬∀x1(¬∀x2(x2 ⊕ x1 ≈ x2)), δηλαδή ότιN 2 ∀x1(¬∀x2(x2 ⊕ x1 ≈

x2)). Από τον ορισμό του Tarski, πρέπει να δείξουμε ότι δεν ισχύει για κάθε n ∈ N ότιN � ¬∀x2(x2⊕x1 ≈ x2)[x1|n], δηλαδή ότι υπάρχει n ∈ N τέτοιο ώστεN � ∀x2(x2⊕x1 ≈ x2)[x1|n]. Άρα πρέπει ναδείξουμε ότι υπάρχει n ∈ N τέτοιο ώστε για κάθεm ∈ N να ισχύειN � (x2⊕x1 ≈ x2)[x1|n, x2|m],δηλαδή από τον ορισμό του Tarski ότι υπάρχει n ∈ N τέτοιο ώστε για κάθεm ∈ N να ισχύειm+n =m. Παρατηρούμε ότι υπάρχει τέτοιο n, το 0 ∈ N, άρα όντωςN � ∃x1∀x2(x2 ⊕ x1 ≈ x2).

Παρατήρηση. Έστω x μεταβλητή, t όρος, και φ τύπος της Γ1. Συμβολίζουμε με φxt τον τύπο πουπροκύπτει από τον φ, με αντικατάσταση όλων των ελεύθερων εμφανίσεων της x από τον όρο t. Π.χ.αν φ = (∀xR(x, y) ∧ S(x)) τότε φxc = (∀xR(x, y) ∧ S(c)).

Ορισμός 3.1.11. Η μεταβλητή x καλείται αντικαταστάσιμη από τον όρο t στον τύπο φ, αν με τηναντικατάσταση των ελεύθερων εμφανίσεων της x από τον t στον φ, δεν δεσμεύονται μεταβλητέςτου t. Π.χ. στον τύπο (∀xR(x, y) ∧ S(x)) η x είναι αντικαταστάσιμη από την σταθερά c, η ακόμακαι από την μεταβλητή y, όμως στον τύπο (∀xR(x, y))∧(∃yS(x, y)) η x δεν είναι αντικαταστάσιμηαπό την y.

Ορισμός 3.1.12. Έστω T ∪{φ} σύνολο τύπων. Θα λέμε ότι το T έχει σαν λογική συνέπεια τον φ (ήαλλιώς το T συνεπάγεται ταυτολογικά το φ), και θα γράφουμε T � φ, αν για οποιαδήποτε ερμηνείαA και αποτίμηση v,

(A � ψ[v], για κάθε ψ ∈ T ) ⇒ (A � φ[v]).

Παραδείγματα. 1. ∀x1Q(x1) � Q(x2)

Έστω ερμηνεία A, και αποτίμηση v τέτοιες ώστε A � ∀x1Q(x1)[v]. Από τον ορισμό του Tarskiπροκύπτει ότι για κάθε a ∈ A έχουμε A � Q(x1)[v(x1|a)], αυτό ισχύει ανν για κάθε a ∈ Aέχουμε QA(a), συνεπώς θα ισχύει και QA(v(x2)), άρα A � Q(x2)[v].

2. Q(x1) 2 ∀x1Q(x1)

Έστω ερμηνεία A με σύμπαν A = {0, 1}, και ερμηνεία του κατηγορηματικού συμβόλου Q τηνQA = {0}, και έστω αποτίμηση v με v(x1) = 0. Παρατηρούμε ότι A � Q(x1)[v] καθώςQA(v(x1)) δηλαδή QA(0), αλλά δεν ισχύει ότι A � ∀x1Q(x1)[v] γιατί θα έπρεπε για κάθεa ∈ {0, 1} να ίσχυε A � Q(x1)[v(x1|a)], δηλαδή για κάθε a ∈ {0, 1} να ίσχυε QA(a), όμωςδεν ισχύει QA(1).


19


3.2. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3.2 Κατηγορηματικός Λογισμός

Ορισμός 3.2.1. Ένα Αξιωματικό Σύστημα για μία πρωτοβάθμια γλώσσαA1 = 〈A1,K1〉 αποτελεί-ται από ένα σύνολο αξιωμάτων A1, και ένα σύνολο κανόνων K1. Το A1 χωρίζεται σε δύο σύνολαA1 = Λ1∪M1, όπουΛ1 είναι το σύνολο των λογικών αξιωμάτων, που είναι το ίδιο για κάθε γλώσσα,καιM1 το σύνολο των μη λογικών αξιωμάτων που διαφέρει για κάθε γλώσσα.

Ορισμός 3.2.2. Γενίκευση ενός τύπου φ καλείτε οποιοσδήποτε τύπος της μορφής ∀x1 · · · ∀xnφ, γιαn ≥ 0.

Το αξιωματικό σύστημαA1 για την κατηγορηματική λογική που θα χρησιμοποιήσουμε, έχει ωςλογικά αξιώματα όλες τις γενικεύσεις των ακόλουθων αξιωματικών σχημάτων:

ΑΣ1 Οι τύποι που προκύπτουν από ταυτολογίες της Προτασιακής Λογικής3, αντικαθιστώντας τιςπροτασιακές μεταβλητές με τύπους, όπως π.χ. στην Γθα1 ο τύπος x1 ≈ x2 → x1 ≈ x2.

ΑΣ2 ∀xφ→ φxt , με την προϋπόθεση4 ότι η μεταβλητή x είναι αντικαταστάσιμη από τον όρο t στονφ.

ΑΣ3 ∀x(φ→ ψ) → (∀xφ→ ∀xψ)5

ΑΣ4 φ→ ∀xφ, με την προϋπόθεση ότι η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στον φ.

ΑΣ5 x ≈ x

ΑΣ6 x ≈ y → (φ→ φ∗), όπου φ ατομικός τύπος, και φ∗ ο ατομικός τύπος που προκύπτει από τονφ αντικαθιστώντας μερικές (ή και όλες) τις εμφανίσεις της x από την y.

Στα ακόλουθα παραδείγματα παρουσιάζονται τα μη λογικά αξιώματα για την Γθα1 , και την Γθσ1 ,που είναι ευρύτερα αποδεκτά.

Παράδειγμα. Τα (μη λογικά) αξιώματα του Peano για την Γθα1 είναι τα ακόλουθα6:

P1 ∀x1(x1′ 6= 0)

P2 ∀x1∀x2(x1′ = x2′ → x1 = x2)

P3 ∀x1(x1 ⊕ 0 = x1)

P4 ∀x1∀x2(x1 ⊕ x2′ = (x1 ⊕ x2)′)

P5 ∀x1(x1 � 0 = 0)

P6 ∀x1∀x2(x1 ⊕ x2′ = x1 � x2 ⊕ x2)

P7 ∀x1 · · · ∀xn(φ(x1, . . . , xn, 0)∧∀x0(φ(x1, . . . , xn, x0) → φ(x1, . . . , xn, x0′)) → ∀x0φ(x1, . . . , xn, x0))3Αντί για το ΑΣ1, θα μπορούσαμε να προσθέσουμε στοA1 τα τρία αξιωματικά σχήματα του Προτασιακού Λογισμού.

Γιατί;4Χωρίς την υπόθεση της αντικαταστασιμότητας, ο τύπος ∀x∃y(x 6= y) → (∃y(x 6= y))xy θα ήταν αξίωμα, που

ασφαλώς δεν είναι «λογικό».5Θα ήταν «λογικό» αξιωματικό σχήμα το ∃x(φ→ ψ) → (∃xφ→ ∃xψ);6Ποια είναι η προτιθέμενη ερμηνεία τους;






Παράδειγμα. Τα αξιώματα των Zermelo-Fraenkel για την Γθσ1 είναι τα ακόλουθα:

ZF1 ∀x1∀x2(x1 = x2 ↔ ∀x3(x3 ∈ x1 ↔ x3 ∈ x2)) (Αξίωμα Έκτασης)

ZF2 ∃x1∀x2(x2 /∈ x1) (Αξίωμα του Κενού Συνόλου)

ZF3 ∃x1∃x2∃x3∀x4(x4 ∈ x1 ↔ x4 = x2 ∨ x4 = x3) (Αξίωμα του Δισυνόλου)7

ZF4 ∀z1 · · · ∀zn∀x1∃x2∀x3(x3 ∈ x2 ↔ x3 ∈ x1 ∧ φ(x3, z1, . . . , zn)) (Αξίωμα Διαχωρισμού)

ZF5 ∀x1∃x2∀x3(x3 ∈ x2 ↔ ∀x4(x4 ∈ x3 → x4 ∈ x1)) (Αξίωμα του Δυναμοσυνόλου)

ZF6 ∀x1∃x2∀x3(x3 ∈ x2 ↔ ∃x4(x4 ∈ x1 → x3 ∈ x4)) (Αξίωμα της Ένωσης)

ZF7 ∃x1(∅ ∈ x1 ∧ ∀x3(x3 ∈ x1 → ∃x4(x3 ∈ x4 ∧ x4 ∈ x1)) (Αξίωμα Απείρου)Στα αξιώματα αυτά αργότερα προστέθηκε το Αξίωμα Επιλογής8:ZF8 ∀x1∃f(η f είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού x1 ∧ ∀x3(x3 ∈ x1 ∧ x3 6= ∅ → f(x3) ∈ x3))

(Αξίωμα Επιλογής9)Ορισμός 3.2.3. Η έννοια του «αποδεικνύεται τυπικά από ένα σύνολο υποθέσεων» ορίζεται όπωςκαι στον Προτασιακό Λογισμό, μόνο που όταν θα γράφουμε B `A1 φ, θα εννοούμε ότι to φ απο-δεικνύεται τυπικά από τοB σε οποιοδήποτε πρωτοβάθμιο αξιωματικό σύστημα (δηλαδή για όλα ταM1).

Τα ακόλουθα τρία «Μεταθεωρήματα» είναι ίδια με αυτά του Προτασιακού Λογισμού, γι' αυτόκαι οι αποδείξεις τους παραλείπονται.

Θεώρημα 3.2.1 (Απαγωγής). Για τύπους φ, ψ και σύνολο τύπων T ισχύει ότι

T ∪ {φ} ` ψ ανν T ` φ→ ψ

Θεώρημα 3.2.2 (Αντιθετοαναστροφής). T ∪ {φ} ` ¬ψ ανν T ∪ {ψ} ` ¬φΘεώρημα 3.2.3 (Απαγωγής σε άτοπο). Αν T ∪ {φ} αντιφατικό τότε T ` ¬φ.Θεώρημα 3.2.4 (Γενίκευσης). Αν T ` φ και η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στο T τότε T ` ∀xφ.

Απόδειξη. Έστω φ1, . . . , φn = φ απόδειξη του φ από το T . Θα δείξουμε με επαγωγή ότι T ` ∀xφi,για i = 1, . . . , n.

Υποθέτουμε ότι T ` ∀xφk για κάθε k < i, και θα δείξουμε ότι T ` ∀xφi. Διακρίνουμε τις εξήςπεριπτώσεις:

1. φi λογικό αξίωμα: Τότε το ζητούμενο ισχύει γιατί το ∀xφi είναι γενίκευση αξιωματικού σχή-ματος.

2. φi ∈ T : Τότε το ζητούμενο προκύπτει από την τυπική απόδειξη:

1 φi → ∀xφi ΑΣ4102 φi Υπόθεση3 ∀xφi 1,2 MP

7Το Αξίωμα του Κενού Συνόλου και το Αξίωμα του Δισυνόλου συνήθως ομαδοποιούνται σε ένα αξίωμα.8Το Αξίωμα Επιλογής παρουσιάζεται με ένα πιο άτυπο τρόπο, καθώς για να γραφτεί τυπικά πρέπει να «ορισθούν» οι

έννοιες του διατεταγμένου ζεύγους, του καρτεσιανού γινομένου και της συνάρτησης από τύπους της Γθσ1 .

9Στην πραγματικότητα αυτή είναι μια ισοδύναμη μορφή του Αξιώματος Επιλογής, που δηλώνει ότι κάθε σύνολοεπιδέχεται συνάρτηση επιλογής.

10Παρατηρήστε ότι η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στον φi, αφού η x δεν εμφανίζεται ελεύθερη στο T .


21


3.3. ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑ-ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

3. φi προκύπτει από εφαρμογή του MP: Επομένως υπάρχει τύπος φk με k < i, τέτοιος ώστεT ` φk και T ` φk → φi. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι T ` ∀xφk και T `∀x(φk → φi). Το ζητούμενο προκύπτει από την ακόλουθη τυπική απόδειξη:

1 ∀x(φk → φi) → (∀xφk → ∀xφi) ΑΣ32 ∀x(φk → φi) Επαγωγική υπόθεση3 ∀xφk → ∀xφi 1,2 MP4 ∀xφk Επαγωγική υπόθεση5 ∀xφi 3,4 MP

Τα ακόλουθα «μεταθωρήματα» δίνονται χωρίς απόδειξη.

Θεώρημα 3.2.5 (Εισαγωγής τυχαίας σταθεράς). Αν T ` φyc τότε T ` ∀yφ, με την προϋπόθεση ότι ησταθερά c δεν εμφανίζεται ούτε στο T , ούτε στον φ.

Θεώρημα 3.2.6 (Σταθεροποίησης του υπαρξιακού ποσοδείκτη). Αν T ∪{φyc} ` ψ τότε T ∪{∃yφ} `ψ, με την προϋπόθεση ότι η σταθερά c δεν εμφανίζεται ούτε στο T , ούτε στον φ, ούτε στον ψ.

3.3 Εγκυρότητα-Πληρότητα του Κατηγορηματικού Λογισμού

Θεώρημα 3.3.1 (Εγκυρότητας-Πληρότητας). Έστω T σύνολο τύπων και φ τύπος. Ισχύει ότι

T ` φ⇔ T � φ

Παρατήρηση. Η κατεύθυνση⇒ του θεωρήματος λέγεται εγκυρότητα του αξιωματικού συστήμα-τος, και η αντίθετη κατεύθυνση λέγεται πληρότητα.

Απόδειξη. (Εγκυρότητας) Με επαγωγή στο μήκος της απόδειξης:Έστω φ1, . . . , φn = φ απόδειξη του φ από το T . Θα αποδείξουμε ότι T � φi, για κάθε i. Έστω

ότι για κάθε j < i ισχύει ότι T � φj . Θα δείξουμε ότι T � φi. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

1. φi λογικό αξίωμα. Ισχύει ελέγχοντας ότι όλα τα λογικά αξιώματα είναι λογικά αληθή.

2. φi ∈ T , τότε προφανώς T � φi

3. Υπάρχουν προηγουμένως στην απόδειξη φj , φj → φi και το φi προκύπτει από εφαρμογή τουMP . Από την επαγωγική απόδειξη προκύπτει ότι T � φj και T � φj → φi, και από τονορισμό του Tarski προκύπτει ότι T � φi.

Απόδειξη. (Πληρότητας) Το T � φ είναι ισοδύναμο με το ότι το σύνολο T ∪ {¬φ} είναι μη ικανο-ποιήσιμο. Το T ` φ είναι ισοδύναμο με το ότι το T ∪ {¬φ} είναι αντιφατικό. Επομένως αρκεί ναδείξουμε ότι αν ένα σύνολο τύπων T είναι μη ικανοποιήσιμο τότε το T είναι αντιφατικό, και βάσειτου θεωρήματος της αντιθετοαντιστροφής στην μεταγλώσσα, αρκεί να δείξουμε ότι αν το T είναισυνεπές, τότε το T είναι ικανοποιήσιμο.






Θα σκιαγραφήσουμε την απόδειξη που έδωσε ο Leon Henkin το 1949, και όχι αυτή που έδωσεο Kurt Gödel το 1929.

Έστω λοιπόν ότι το T είναι ένα συνεπές σύνολο τύπων. Παρατηρούμε ότι μια δομή A και μίααποτίμηση v χωρίζουν το σύνολο όλων των τύπων σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα:

T (Γ1) = {φ | A � φ[v]} ∪ {φ | A 6� φ[v]}

όπου το δεύτερο σύνολο περιέχει τις αρνήσεις των προτάσεων του πρώτου συνόλου. Έχοντας αυτόκατά νου, θα ορίσουμε μία δομή A και μία αποτίμηση v από το T , ορίζοντας ένα σύνολο Σ, τοοποίο:

• θα περιέχει ως υποσύνολο το T , ούτως ώστε η A και η v να ικανοποιούν το T ,

• θα είναι συνεπές, γιατί αλλιώς δεν θα μπορέσουμε να εκμαιεύσουμε δομή και αποτίμηση απόαυτό,

• για κάθε τύπο, ο ίδιος ή άρνησή του θα ανήκει στο Σ,

• τα στοιχεία του θα αποτελούν τους τύπους που θα ικανοποιούνται από την A και την v.

Η δομή A θα έχει σαν σύμπαν το σύνολο O(Γ1), δηλαδή στοιχεία του θα είναι οι όροι τηςγλώσσας, επομένως θα έχουμε την ερμηνεία:

1. PA(t1, . . . , tn) ανν P (t1, . . . , tn) ∈ Σ

2. fA(t1, . . . , tn) = f(t1, . . . , tn)

3. cA = c

και η αποτίμηση v θα είναι η αποτίμηση με v(x) = x.Παρατηρούμε πρώτα ότι από τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί το Σ, προκύπτει ότι αν

T ` ∃yφ, τότε A � ∃yφ[v]. Τότε όμως από τον τρόπο που ορίσαμε την την A θα πρέπει κάπωςνα εξασφαλίσουμε ότι αν T ` ∃yφ, τότε θα υπάρχει στοιχείο στο σύμπαν της A, δηλαδή όρος tτης γλώσσας, τέτοιος ώστε A � φ[v(y|t)] ή ισοδύναμα φyt ∈ Σ. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζε-ται εισάγοντας στην γλώσσα ένα άπειρο πλήθος καινούριων σταθερών cH0 , cH1 , . . ., τις λεγόμενες«μάρτυρες του Henkin», οι οποίες θα μας διασφαλίσουν, ότι αν ο τύπος ∃yφ έχει εισαχθεί στο Σ,τότε και ο τύπος φy

cHθα έχει εισαχθεί στο Σ, για κάποιον μάρτυρα cH , συνεπώς τον ρόλο του όρου

t στο φyt ∈ Σ θα παίξει ο μάρτυρας cH .Θα απαιτήσουμε λοιπόν από το Σ να περιέχει όλους τους τύπους της μορφής ∃yφ→ φy

cH, όπου

φ τύπος, y μεταβλητή και cH μάρτυρας. Συνεπώς θα επεκτείνουμε την γλώσσα μας στην Γ∗1 που

εκτός από τις σταθερές της Γ1 θα περιέχει τους μάρτυρες Henkin.Στην απόδειξη προκύπτει ακόμα ένα τεχνικό θέμα με το σύμβολο της ισότητας ≈, το οποίο

λύνεται χρησιμοποιώντας ένα καινούριο κατηγορηματικό σύμβολο E με ερμηνεία: EA(t1, t2) αννt1 ≈ t2 ∈ Σ, και το οποίο θα εξασφαλίσει ότι το ≈ ερμηνεύεται σαν ταυτότητα στην δομή A.Συνεπώς θα δουλέψουμε στην γλώσσα Γ∗E

1 που περιέχει και το E.


23


3.4. ΜΗ-ΣΥΜΒΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ PEANO

Για να ολοκληρώσουμε τις ιδέες της απόδειξης θα δείξουμε πώς ορίζεται το Σ. Ο ορισμός τουθα είναι αναδρομικός. Έστω φ0, φ1, . . . μία απαρίθμηση των τύπων της Γ∗E

1 . Ορίζουμε:

Σ0 = T

Σn+1 =

{Σn ∪ {φn} , αν Σn ∪ {¬φn} αντιφατικόΣn ∪ {¬φn} , αλλιώς

Σ =∪n∈N

Σn

Όταν τελικά καταφέρουμε να κατασκευάσουμε την δομή A και την αποτίμηση v θα χρειαστείνα τις περιορίσουμε στην αρχική μας γλώσσα, δηλαδή στην Γ1, και έτσι η απόδειξη θα έχει ολο-κληρωθεί.

Το ακόλουθο Θεώρημα δίνεται χωρίς απόδειξη.

Θεώρημα 3.3.2 (Συμπάγειας). Έστω T άπειρο σύνολο τύπων. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο τουT είναι ικανοποιήσιμο, τότε το T είναι ικανοποιήσιμο.

3.4 Μη-συμβατικά μοντέλα της αριθμητικής Peano

Θα δώσουμε τώρα μία εφαρμογή του θεωρήματος της Συμπάγειας. Θα αποδείξουμε την ύπαρξημη-συμβατικών ( non-standard) μοντέλων της αριθμητικής Peano. Πρώτα θα ξεκινήσουμε δίνονταςμερικές συντομογραφίες.

Θεωρούμε τη γλώσσα Γθα1 της θεωρίας αριθμών, με το αξιωματικό σύστημα Peano. Συμβολί-ζουμε με n τον όρο που αντιστοιχεί στο «ψηφίο» του αριθμού n ∈ N, δηλαδή

n = 0

n−φορές︷︸︸︷′′ · · · ′.

Επίσης Θα γράφουμε για χάριν απλότητας x2 > x1 αντί για ∃y((x1 ⊕ y ≈ x2) ∧ (y 6≈ 0)).Ορίζουμε το σύνολο των τύπων της Γθα1

Σ = PEANO ∪ {x > n | n ∈ N}

όπου PEANO είναι το σύνολο των αξιωμάτων του Peano. Θα δείξουμε χρησιμοποιώντας το θεώ-ρημα της συμπάγειας ότι το Σ είναι ικανοποιήσιμο. Προς τούτο αρκεί να δείξουμε ότι κάθε πεπε-ρασμένο υποσύνολό του είναι ικανοποιήσιμο:

Έστω Σπ ένα τυχαίο πεπερασμένο υποσύνολο του Σ. Τότε υπάρχει φυσικός αριθμός m έτσιώστε το Σπ ⊂ PEANO ∪ {x > 0, . . . , x > m}. Το Σπ είναι ικανοποιήσιμο από την standardδομή N, καθώς N � PEANO (άσκηση) και αν v είναι η αποτίμηση με v(x) = m + 1 ∈ N, τότεN � x > 0[v], . . . ,N � x > m[v].

Έστω ότι η ερμηνεία ∗N = 〈∗N, ∗0, ∗+, ∗′, ∗·〉 και η αποτίμηση v με v(x) = M ∈ ∗N ικα-

νοποιούν το Σ. Αφού όλα τα στοιχεία του Σ ικανοποιούνται από την ∗N και την v θα ισχύει ότιM∗>∗n για κάθε n ∈ N

11, δηλαδή στο ∗N θα υπάρχει ένα «άπειρο» στοιχείο. Επίσης η ∗N ικανο-

ποιεί τα αξιώματα του Peano, συνεπώς ισχύει οτιδήποτε αποδεικνύεται από τα αξιώματα του Peano,δηλαδή ότι ισχύει στους φυσικούς αριθμούς.

11Με ∗> και ∗n συμβολίζουμε τις ερμηνείες στην ∗N, των συντομεύσεων που ορίσαμε παραπάνω.







Άσκηση 3.5.1. Δείξτε ότι A � (φ ∨ ψ)[v] ανν A � φ[v] είτε A � ψ[v].

Άσκηση 3.5.2. Βρείτε τον τύπο της Γθσ1 με προτιθέμενη ερμηνεία την ακόλουθη: Κάθε σύνολο είναι

στοιχείο ενός συνόλου.

Άσκηση 3.5.3. Βρείτε τον τύπο της Γθα1 με προτιθέμενη ερμηνεία την ακόλουθη: Υπάρχει φυσικός

αριθμός που δεν είναι επόμενος κανενός.

Άσκηση 3.5.4. Εξετάστε αν στην Γθσ1 με την μη προτιθέμενη (non-standard) ερμηνεία

∗Nσ = 〈N, 0, <〉

δηλαδή με σύμπαν τους φυσικούς αριθμούς, ερμηνεία της σταθεράς ∅ το μηδέν των φυσικών, καιερμηνεία του ∈ την σχέση του γνήσια μικρότερου στους φυσικούς, ικανοποιούνται οι τύποι

1. x1 ∈ x2 ∨ x1 ∈ x3

2. ∃x4(x4 /∈ x1 ∧ x4 /∈ x3)

για την αποτίμηση v με v(x1) = 2, v(x2) = 4, v(x3) = 7.

Άσκηση 3.5.5. Έστω τύπος φ. Δείξετε ότι ∀zφyz ` ∀yφ, αν y αντικαταστάσιμη από τη z στον φ.

Άσκηση 3.5.6. Έστω πρωτοβάθμια γλώσσα με μόνο ένα n−θέσιο συναρτησιακό σύμβολο f . Ναδείξετε ότι ` ∀x1 · · · ∀xn∃y(f(x1, . . . , xn) ≈ y).

Άσκηση 3.5.7. Αποδείξετε τις ιδιότητες της ισότητας (δηλαδή δείξετε την αυτοπάθεια, την συμμετρι-κότητα και την μεταβατικότητα).

Άσκηση 3.5.8. Δείξτε ότι το T είναι αντιφατικό αν και μόνο αν T ` ψ για κάθε τύπο ψ.

Άσκηση 3.5.9. Αποδείξτε το Θεώρημα Συμπάγειας.

Άσκηση 3.5.10. Κατασκευάστε προτάσεις φn και ψn της Γ1 με τις ιδιότητες:

(i) Κάθε μοντέλο της φn έχει τουλάχιστον n στοιχεία στο σύμπαν του.

(ii) Κάθε μοντέλο της ψn έχει ακριβώς n στοιχεία στο σύμπαν του.

Άσκηση 3.5.11. Έστω Π σύνολο προτάσεων της Γ1. Αν για κάθε n ∈ N υπάρχει m ∈ N, m > n,τέτοιο ώστε το Π να έχει ένα μοντέλο μεm στοιχεία, τότε το Π έχει ένα άπειρο μοντέλο.

Άσκηση 3.5.12. Δεν υπάρχει σύνολο προτάσεωνΠ, τέτοιο ώστε μία δομή να είναι μοντέλο τουΠ αννείναι πεπερασμένη.


25


Κεφάλαιο 4

Μη-συμβατική ανάλυση

Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε μη-συμβατικό μοντέλο για τους πραγματικούς που θαπεριέχει εκτός από άπειρους αριθμούς (όπως το μη συμβατικό μοντέλο της αριθμητικής που είδαμεστην προηγούμενη παράγραφο), και ένα σύνολο από αριθμούς, για κάθε πραγματικό αριθμό r, που θαβρίσκονται «απείρως κοντά» στον r. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους αριθμούς, που θα τους ονομά-σουμε «απειροστά», θα ορίσουμε την έννοια του ορίου και πολλές άλλες έννοιες από την πραγματικήανάλυση.

Θα ξεκινήσουμε δίνοντας κάποια στοιχεία από την θεωρία μοντέλων.

4.1 Στοιχεία θεωρίας μοντέλων

Ορισμός 4.1.1. ΈστωA,B δύο ερμηνείες μιας πρωτοβάθμιας γλώσσας. Μια απεικόνιση h : |A| →|B| καλείται μορφισμός (ή ομομορφισμός) αν διατηρεί τα κατηγορήματα, της συναρτήσεις και τιςσταθερές, δηλαδή:

1. Για κάθε n-μελές κατηγορηματικό σύμβολο R της γλώσσας, και για κάθε a1, . . . , an ∈ |A|ισχύει RA(a1, . . . , an) ανν ισχύει RB(h(a1), . . . , h(an)).

2. Για κάθε n-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο f της γλώσσας, και για κάθε a1, . . . , an ∈ |A|ισχύει h(fA(a1, . . . , an)) = fB(h(a1), . . . , h(an)).

3. Για κάθε σύμβολο σταθεράς c ισχύει h(cA) = cB.

Αν επιπλέον η h είναι 1-1 θα ονομάζεται μονομορφισμός (ή ισομορφισμός εντός), και αν είναι 1-1και επί θα ονομάζεται ισομορφισμός (ή ισομορφισμός επί).

Θεώρημα 4.1.1. Έστω ομομορφισμός h : |A| → |B|, v αποτίμηση στην A και t όρος της γλώσσας.Τότε η h ◦ v είναι μια αποτίμηση1 στηνB. Δείξτε ότι:

(α) h(v(t)) = h ◦ v(t)

(β) Αν ο φ είναι ατομικός τύπος που δεν περιέχει το σύμβολο ≈, τότε A � φ[v] αννB � φ[h ◦ v].

(γ) Αν η h είναι 1-1, τότε A � t1 ≈ t2[v] αννB � t1 ≈ t2[h ◦ v].1Γιατί;

27

4.1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ

(δ) Αν ο φ είναι τύπος χωρίς ποσοδείκτες και η h είναι 1-1, τότε A � φ[v] αννB � φ[h ◦ v].

(ε) Αν η h είναι 1-1 και επί, τότε A � φ[v] αννB � φ[h ◦ v].

Απόδειξη.(α) Με επαγωγή στον όρο t:Για τη βάση της επαγωγής, έστω t = x όπου x μεταβλητή, τότε

h(v(x)) = (h ◦ v)(x) = h ◦ v(x)

Έστω t = c, όπου c σταθερά. Τότε

h(v(c)) = h(cA) = cB = h ◦ v(c)

Για το επαγωγικό βήμα, έστω ότι t = f(t1, . . . , tn) όπου για τα ti ισχύει η υπόθεση. Τότε:

h(v(f(t1, . . . , tn))) = h(fA(v(t1), . . . , v(tn)))

= fB(h(v(t1)), . . . , h(v(tn)))

Ε.Υ= fB(h ◦ v(t1), . . . , h ◦ v(tn))= h ◦ v(f(t1, . . . , tn))

(β) Έστω ότιφ = R(t1, . . . , tn). ΤότεA � R(t1, . . . , tn)[v] ανν (ορισμός Tarski )RA(v(t1) . . . , v(tn)),αννRB(h(v(t1)), . . . , h(v(tn))), από το ερώτημα (α) αυτό ισχύει αννRB(h ◦ v(t1), . . . , h ◦ v(tn)),δηλαδή ανν (ορισμός Tarski )B � φ[h ◦ v].(γ) A � t1 ≈ t2[v] ανν (ορισμός Tarski ) v(t1) = v(t2) Αφού η h είναι 1-1 ισχύει ότι h(v(t1)) =h(v(t2)). Από το (α) προκύπτει ότι h ◦ v(t1) = h ◦ v(t2) , που ισχύει ανν (ορισμός Tarski ) B �t1 ≈ t2[h ◦ v].(δ) Με επαγωγή στον τύπο φ:Για τη βάση της επαγωγής αν φ είναι ατομικός τύπος, τότε έχουμε το αποτέλεσμα από τα ερωτήματα(β) και (γ).

Για το επαγωγικό βήμα, έστω φ = χ→ ψ, όπου για τους χ, ψ ισχύει η πρόταση. ΤότεA � χ→ψ[v] ανν (ορ. Tarski )A � χ[v] ⇒ A � ψ[v] ανν (Επαγωγική υπόθεση)B � χ[h◦v] ⇒ B � ψ[h◦v]ανν (ορισμός Tarski )B � χ→ ψ[h ◦ v].

Η περίπτωση φ = ¬χ αφήνεται ως άσκηση.(ε) Με επαγωγή στον φ:Η μόνη περίπτωση που πρέπει να συμπληρωθεί στην απόδειξη του (δ) είναι φ = ∀ψ. Τότε A �∀xψ[v] ανν (ορισμός Tarski ) για κάθε a ∈ |A| ισχύει ότι A � ψ[v(x|a)], ανν (Επαγωγική υπόθεση)για κάθε a ∈ |A| ισχύει ότιB � ψ[(h◦v)(x|h(a))] 2, και αφού η h είναι επί, το τελευταίο ισχύει αννγια κάθε b ∈ |B| ισχύει ότιB � ψ[(h◦v)(x|b)], δηλαδή ανν (ορισμός Tarski )B � ∀xψ[h◦v].

Ορισμός 4.1.2. Θεωρία μιας ερμηνείας A καλούμε το σύνολο

ThA = {φ | φ πρόταση και A � φ}.

Ορισμός 4.1.3. Μία ερμηνεία A είναι στοιχειωδώς ισοδύναμη (elementary equivalent) με μία ερ-μηνείαB (συμβολισμός A ≡ B) ανν ThA = ThB.

2Σκεφτείτε γιατί η αποτίμηση h ◦ (v(x|a)) είναι ίση με την (h ◦ v)(x|h(a)).





ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΗ-ΣΥΜΒΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

4.2 Η γλώσσα των πραγματικών αριθμών

Θα ορίσουμε την πρωτοβάθμια γλώσσα Γπα1 των πραγματικών αριθμών, και ταυτόχρονα θα ορί-σουμε την κύρια ( standard ) ερμηνεία R για την γλώσσα αυτή. Η Γπα1 περιέχει:

• ένα n-μελές κατηγορηματικό σύμβολο PR για κάθε n-μελή σχέση R ⊆ Rn, το οποίο στην

κύρια ερμηνεία θα ερμηνεύεται ως PRR = R,

• ένα n-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο fF για κάθε συνάρτηση F : Rn → R, με ερμηνείαfRF = F ,

• ένα σύμβολο σταθεράς cr για κάθε r ∈ R, με ερμηνεία cRr = r.

Μένει να πούμε ποιο θα είναι το σύμπαν της R, το οποίο δεν θα είναι άλλο από το σύνολο R τωνπραγματικών αριθμών.

4.3 Μη-συμβατικά μοντέλα των πραγματικών αριθμών

Θεωρούμε το σύνολο:Σ = ThR ∪ {crP<x0 | r ∈ R}

και παρατηρούμε ότι κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του είναι ικανοποιήσιμο3 π.χ. από την R, συ-νεπώς από το Θεώρημα Συμπάγειας ολόκληρο το Σ θα είναι ικανοποιήσιμο.

Ορισμός 4.3.1. Κάθε δομή που ικανοποιεί το Σ καλείται μη-συμβατική (non-standard) δομή τωνπραγματικών αριθμών.

Πρόταση 4.3.1. Η συνάρτηση h : |R| → |A|, με h(r) = cAr , όπου η A είναι μία non-standard δομήτων πραγματικών αριθμών, είναι μονομορφισμός (ισομορφισμός εντός της A).

Απόδειξη. Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είναι ομομορφισμός, δηλαδή διατηρεί τις σχέσεις, τις συ-ναρτήσεις, και τις σταθερές:

• Διατήρηση σχέσεων (για απλότητα θα το δείξουμε για διμελείς σχέσεις): Αρκεί να δείξουμεότι αν ισχύει R(r, s), τότε ισχύει PA

R (h(r), h(s)), όπου R ⊆ R2. Έστω ότι ισχύει R(r, s)

ενώ δεν ισχύει PAR (h(r), h(s)). Τότε (ορισμός Tarski ) A � ¬PR(cr, cs) επομένως και R �

¬PR(cr, cs), άρα δεν ισχύει ότι PRR (cRr , c

Rs ), δηλαδή δεν ισχύει R(r, s). Άτοπο.

• Διατήρηση των συναρτήσεων (για απλότητα θα το δείξουμε για διθέσια συνάρτηση): ΈστωF : R2 → R. Πρέπει να δείξουμε ότι h(fRF (r, s)) = fAF (h(r), h(s)).

Παρατηρούμε ότι R � fF (cr, cs) ≈ cF (r,s), επομένως A � fF (cr, cs) ≈ cF (r,s), δηλαδήfAF (c

Ar , c

As ) = cAF (r,s), όμως c

Ar = h(r) και cAs = h(s), άρα fAF (h(r), h(s)) = cAF (r,s).

Από την άλλη μεριά, παρατηρούμε ότι h(fRF (r, s)) = h(F (r, s)) = cAF (r,s).

• Η διατήρηση των σταθερών αφήνεται ως άσκηση.3Γιατί ;


29


4.3. ΜΗ-ΣΥΜΒΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είναι 1-1:Έστω h(r) = h(s), για r, s ∈ R. Τότε cAr = cAs , άρα A � cr ≈ cs. Επομένως ισχύει ότι και

R � cr ≈ cs, καθώς αν δεν ίσχυε τότε από τον ορισμό του Tarski θα είχαμε ότι R � ¬(cr ≈ cs),επομένως A � ¬(cs ≈ cs), πράγμα άτοπο. Συνεπώς cRr = cRs , δηλαδή r = s.

Παρατήρηση. Θα συμβολίζουμε με ∗R τις non-standard δομές στις οποίες η ερμηνεία των στα-θερών είναι c∗Rr = r ∈ R (επομένως R ⊂ |∗R|) . Επίσης, θα συμβολίζουμε τις ερμηνείες τωνσυμβόλων και του σύμπαντος της ∗R ως εξής

∗R = 〈∗R, ∗R, ∗F, r〉

κατά αντιστοιχία με την standard δομή R = 〈R, R, F, r〉. Παρατηρήστε ότι R ≡ ∗R (Άσκηση).Παρατηρήστε ότι R ⊂ ∗

R, δηλαδή υπάρχουν στο ∗R επιπλέον αριθμοί που στην συνέχεια θα

χωριστούν στους άπειρους αριθμούς4 και στα απειροστά.Επίσης, η ∗R έχει τις συνηθισμένες πράξεις ∗+, ∗·, και σχέσεις, όπως η ∗<, των πραγματικών

αριθμών, και ισχύουν γι αυτές οι ιδιότητες που ίσχυαν για τις αντίστοιχες πράξεις και σχέσεις στηνR (στο παράδειγμα που ακολουθεί θα δούμε μερικές από αυτές) .

Παράδειγμα. 1. Θα αποδείξουμε την αντιμεταθετικότητα της ∗+:Στην Γπα

1 η αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης εκφράζεται με την πρόταση: ∀x∀y(f+(x, y) ≈f+(y, x)). Αφού R � ∀x∀y(f+(x, y) ≈ f+(y, x)), έπεται ότι ∗R � ∀x∀y(f+(x, y) ≈f+(y, x)), δηλαδή (ορισμός Tarski ) για κάθε a, b ∈ ∗

R ισχύει ότι a∗+b = b∗+a (από εδώκαι στο εξής τα στοιχεία του ∗

R θα τα αποκαλούμε μη-συμβατικούς πραγματικούς).

2. Θα αποδείξουμε την ύπαρξη της τετραγωνικής ρίζας: Στην Γπα1 η ύπαρξη τετραγωνικής ρίζας

εκφράζεται με την πρόταση: ∀x∃y(xP≥c0 → f·(y, y) ≈ x). Όπως πριν προκύπτει ότι ∗R �∀x∃y(xP≥c0 → f·(y, y) ≈ x), συνεπώς (ορισμός Tarski) για κάθε μη αρνητικό μη-συμβατικόπραγματικό a υπάρχει μη-συμβατικός πραγματικός b τέτοιος ώστε b∗·b = a.

Όπως επισημάναμε και προηγουμένως, οι μη-συμβατικοί πραγματικοί αποτελούνται από τουςγνωστούς μας πραγματικούς αριθμούς και μερικούς επιπλέον «εξωτικούς» αριθμούς. Οι ύπαρξηαυτών των «εξωτικών» αριθμών αλλάζει δραματικά το τοπίο, καθώς βασικά αξιώματα των πραγ-ματικών όπως π.χ. το αξίωμα της πληρότητας5, παύουν να ισχύουν:

Παρατήρηση. Υπάρχει μη-κενό, άνω φραγμένο σύνολο μη-συμβατικών πραγματικών που δενέχει ελάχιστο άνω φράγμα. Θεωρήστε για παράδειγμα το R ⊂ ∗

R. Αποδείξαμε38 ότι υπάρχει μη-συμβατικός πραγματικόςM τέτοιος ώστε r∗<M για κάθε r ∈ R. Συνεπώς θα ισχύει r ∗+ n ∗<M ,όπου n ∈ N, για κάθε r ∈ R, οπότε r ∗<M ∗− n, όπου n ∈ N, για κάθε r ∈ R. Επομένως όλοι οιμη-συμβατικοί πραγματικοίM ∗− n, n ∈ N αποτελούν άνω φράγμα του R.

Παρατήρηση (Γενική αρχή). Οποιαδήποτε ιδιότητα των συμβατικών πραγματικών αριθμών μπο-ρεί να εκφραστεί με πρόταση της Γπα1 , μεταφέρεται και στους μη-συμβατικούς πραγματικούς, καθώς

4Για παράδειγμα θεωρήστε την ∗R και την αποτίμηση v με v(x0) = M , που ικανοποιεί το Σ, τότε από τον ορισμότου Tarski: ∗R � crP<x0[v] για κάθε r ∈ R, δηλαδή r∗<M για κάθε r ∈ R.

5Αξίωμα πληρότητας πραγματικών αριθμών:

Κάθε μη-κενό, άνω φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών έχει ελάχιστο άνω φράγμα (supremum).






∗R � ThR. Συνεπώς, σε όσα ακολουθούν, μπορούμε να επικαλούμαστε αυτές τις ιδιότητες χωρίςπεραιτέρω εξήγηση.

Γιατί όμως το Αξίωμα πληρότητας πραγματικών αριθμών δεν ισχύει στους μη-συμβατικούςπραγματικούς; Η απάντηση είναι απλή: δεν μπορεί να εκφραστεί στην πρωτοβάθμια γλώσσα Γπα1 .Για να το εκφράσουμε με πρόταση θα πρέπει να κάνουμε ποσόδειξη πάνω σε σύνολα, δηλαδή ναχρησιμοποιήσουμε δευτεροβάθμια λογική.

Παρατήρηση. Για λόγους απλότητας, δεν θα προσθέτουμε το ∗ στα κατηγορηματικά και συναρ-τησιακά σύμβολα όταν αναφερόμαστε στην ερμηνεία των συμβόλων αυτών στην ∗R, δηλαδή θαγράφουμε +, ·, < αντί για ∗+, ∗·, ∗<.

Ορισμός 4.3.2. Ορίζουμε το σύνολο των πεπερασμένων μη-συμβατικών αριθμών:

F = {x ∈ ∗R | Υπάρχει y ∈ R τέτοιο ώστε |x| < y}

και το σύνολο των απειροστών (infinitesimals):

I = {x ∈ ∗R | Για κάθε θετικό y ∈ R ισχύει ότι |x| < y}

Τα στοιχεία του I θα τα συμβολίζουμε με ε ή με dx.

Παρατήρηση. Το μόνο συμβατικό απειροστό είναι το μηδέν6.

Ορισμός 4.3.3. Έστω x, y ∈ ∗R, θα λέμε οι το x είναι απείρως κοντά στο y (συμβολισμός x ' y)

ανν x− y ∈ I. Θα λέμε ότι το x ∈ ∗R είναι άπειρο αν x /∈ F (θετικό αν x > 0, αρνητικό αλλιώς).

Παρατήρηση. Μετά από του παραπάνω ορισμούς η εικόνα του ∗R διαμορφώνεται ως εξής:

��

F

Rr

{x ∈ ∗R | x ' r} {x ∈ ∗

R \ F | x > r,∀r ∈ R}{x ∈ ∗R \ F | x < r,∀r ∈ R}

Σχήμα 4.1: Η Εικόνα των μη-συμβατικών πραγματικών.

Δηλαδή αριστερά από την ευθεία των πραγματικών υπάρχει το σύνολο των αρνητικά άπειρωναριθμών, δεξιά της το σύνολο των θετικά άπειρων αριθμών, και κάτω από κάθε αριθμό υπάρχει ένα«σακούλι» που περιέχει τους αριθμούς που βρίσκονται απείρως κοντά του.

Θεώρημα 4.3.1. Αν x, y ∈ F τότε x+ y, x · y, x− y ∈ F .6Υπάρχουν και μη μηδενικά απειροστά, για παράδειγμα το 1

M, όπουM άπειρος μη-συμβατικός πραγματικός είναι

απειροστό (γιατί;).


31



Απόδειξη. Αφού x, y ∈ F υπάρχουν a, b ∈ R τέτοια ώστε |x| < a και |y| < b. Επομένως |x+ y| <a+ b (γιατί;), και επειδή a+ b ∈ R, έπεται ότι x+ y ∈ F .

Οι υπόλοιπες περιπτώσεις αφήνονται ως άσκηση.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι το F με τις πράξεις +, · αποτελεί δακτύλιο.

Θεώρημα 4.3.2. Το I ⊆ F αποτελεί ιδεώδες του δακτυλίου 〈F ,+, ·〉.

Απόδειξη. Για να δείξουμε ότι το I είναι ιδεώδες πρέπει να δείξουμε ότι :

1. Για κάθε a, b ∈ I, ισχύει ότι a − b ∈ I. Πράγματι, αφού a, b ∈ I, έπεται ότι |a| < r2 και

|b| < r2 , για κάθε θετικό r ∈ R, επομένως |a − b| < |a| + |b| < r

2 + r2 = r, για κάθε θετικό

r ∈ R.

2. Για κάθε a ∈ I και c ∈ F , ισχύει ότι ac ∈ I. Πράγματι, αφού c ∈ F υπάρχει d ∈ R έτσιώστε |c| < d, από την άλλη μεριά a ∈ I επομένως |a| < r

d , για κάθε θετικό r ∈ R, επομένως|ac| < r

dd = r, για κάθε θετικό r ∈ R.

Παρατηρήστε ότι η σχέση ' που ορίσαμε προηγουμένως αποτελεί σχέση ισοδυναμίας.

Ορισμός 4.3.4. Ορίζουμε τον δακτύλιο πηλίκο F/ ' = {r + I | r ∈ F}, όπου r + I = {x ∈ F |x ' r}. Το ιδεώδες I είναι το μηδενικό στοιχείο του δακτυλίου αυτού.

Παρατήρηση. Ο ορισμός του ιδεώδους σε ένα δακτύλιο συλλαμβάνει τη διαισθητική έννοια ενόςυποσυνόλου του δακτυλίου τα στοιχεία του οποίου μπορεί να θεωρηθούν ως «μηδενικά», και επομέ-νως οδηγούν σε μία νέα «ισότητα» (στην περίπτωση μας την') μέσω της απαιτήσεως δύο στοιχείατου δακτυλίου να θεωρούνται «ίσα» (στην περίπτωσή μας απείρως κοντά ) αν διαφέρουν κατά ένα«μηδενικό» (στην περίπτωση μας ένα απειροστό).

Θεώρημα 4.3.3. Έστω x, y ∈ ∗R, με x 6' y, και έστω ότι τουλάχιστον ένα από αυτά είναι πεπερα-

σμένο. Τότε υπάρχει z ∈ R γνησίως μεταξύ των x, y.

Απόδειξη. Υποθέτουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι x < y, και ότι x ∈ F . Επειδή x 6' yέπεται ότι y − x /∈ I, επομένως υπάρχει q ∈ R τέτοιο ώστε:

0 < q < y − x

Επίσης υπάρχει b ∈ R τέτοιο ώστε x < b, επομένως το σύνολοM = {m ∈ N | mq > x} ⊆ N,λόγω της Αρχιμήδειας ιδιότητας των πραγματικών αριθμών7, είναι μη κενό. Έστωm0 το ελάχιστοστοιχείο του. Έπεται τώρα ότι:

(m0 − 1)q ≤ x

m0q − q ≤ x

m0q ≤ x+ q

m0q < x+ y − x

m0q < y

Συνεπώς x < m0q < y.7Έστω q, b ∈ R με q > 0, τότε υπάρχειm ∈ N τέτοιο ώστεmq > b.






Θεώρημα 4.3.4. Για κάθε x ∈ F υπάρχουν μονοσήμαντα ορισμένα st(x) ∈ R και ε ∈ I, έτσι ώστε:

x = st(x) + ε

Απόδειξη. Για την ύπαρξη: Θεωρούμε το σύνολο A = {y ∈ R | y < x} ⊆ R. Επειδή x ∈ F έπεταιότι υπάρχει b ∈ R τέτοιο ώστε |x| < b ⇒ −b < x < b, συνεπώς το A είναι άνω φραγμένο στο R,και μη κενό, άρα έχει supremum.

Έστω st(x) = sup(A), θα δείξουμε ότι x− st(x) ∈ I. Έστω (προς άτοπο) ότι x− st(x) /∈ I,από το Θεώρημα 4.3.3 προκύπτει ότι υπάρχει z ∈ R έτσι ώστε st(x) < z < x, συνεπώς το st(x)δεν μπορεί να είναι το supremum του A.

Επομένως, x− st(x) = ε⇒ x = st(x) + ε , για κάποιο ε ∈ I.Για την μοναδικότητα: Έστω ότι υπάρχουν y, y′ ∈ R και ε, ε′ ∈ I, τέτοια ώστε:

x = y + ε

x = y′ + ε′

Τότε y + ε = y′ + ε′ ⇒ y − y′ = ε− ε′, όμως y − y′ ∈ R ενώ ε− ε′ ∈ I. Αυτό μπορεί να συμβείμόνο όταν ε− ε′ = 0 ⇒ ε = ε′, και κατ' επέκταση y = y′.

Ορισμός 4.3.5. Έστω συνάρτηση F : R→ R, και a, b ∈ R. Θα γράφουμε

limx→a

F (x) = b

ανν ∗F (a+ dx) ' b, για κάθε dx ∈ I \ {0}.

Παρατήρηση. Στην παραπάνω ορισμό είναι απαραίτητο να περάσουμε στην «επέκταση»8 της Fστο ∗

R, καθώς ενδεχομένως a+ dx /∈ R όταν dx ∈ I.Στην συνέχεια θα δείξουμε ότι αυτός ο ορισμός είναι ισοδύναμος με τον κλασικό ορισμό του

ορίου συνάρτησης συμβατικών πραγματικών9.

Απόδειξη. (Ισοδυναμία των ορισμών) Έστω ότι ισχύει ο κλασικός ορισμός. Τότε ∀ε > 0, ∃δ > 0,R � ∀xφεδ, όπου φεδ η πρόταση 0 < |x − a| < δ → |F (x) − b| < ε, συνεπώς θα ισχύει ότι∗R � ∀xφεδ.

Για τους αριθμούς a + dx ∈ ∗R, όπου dx ∈ I \ {0}, προφανώς ισχύει 0 < |a + dx − a| < δ,

άρα |F (a+ dx)− b| < ε, και αυτό για κάθε ε > 0, συνεπώς F (a+ dx)− b ∈ I.Έστω τώρα ότι ∗F (a+ dx) ' b, για κάθε dx ∈ I \ {0}. Tότε δοσμένου ενός ε > 0 διαλέγουμε

θετικό δ ∈ I \ {0}, οπότε θα έχουμε ότι για κάθε x ∈ ∗R με 0 < |x − a| < δ, άρα και για κάθε

x = a+ dx με dx ∈ I \ {0}, ισχύει ότι F (x) ' b, δηλαδή F (x)− b ∈ I, συνεπώς |F (x)− b| < ε.Άρα από τον ορισμό του Tarski ισχύει ότι ∗R � ∀xφεδ. Συνεπώς (γιατί;) R � ∀xφεδ.

Ορισμός 4.3.6. Έστω συνάρτηση F : R→ R, και a ∈ R. Η F είναι συνεχής στο a ανν

limx→a

F (x) = F (a)

8Δηλαδή στην ερμηνεία του F στην ∗R.9(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x− a| < δ ⇒ |F (x)− b| < ε)


33



Ορισμός 4.3.7. Έστω συνάρτηση F : R → R. Αν για κάθε dx ∈ I \ {0}, οι αριθμοί dFdx είναιπεπερασμένοι, και βρίσκονται απείρως κοντά μεταξύ τους, όπου dF = ∗F (x+dx)−F (x), ορίζουμε

F ′(x) = st(dFdx

)Παρατήρηση. Στην μη συμβατική ανάλυση το dF

dx δεν είναι απλά συμβολισμός, είναι η διαίρεση10δύο μη-συμβατικών πραγματικών. Αυτό συλλαμβάνει την ιδέα της διαφόρισης που είχαν στον μυαλότους οι Newton και Leibniz, και θα μας διευκολύνει στους υπολογισμούς των παραγώγων.

Θεώρημα 4.3.5 (Κανόνας της αλυσίδας). Έστω F,G : R → R και x ∈ R. Αν υπάρχουν οι G′(x)και F ′(G(x)) τότε υπάρχει η (F ◦G)′, και

(F ◦G)′(x) = F ′(G(x))G′(x)

Απόδειξη. Για dx ∈ I \ {0}, έχουμε:

(F ◦G)(x+ dx)− (F ◦G)(x)dx

=F (G(x+ dx))− F (G(x))

dx

Έστω ότι G(x+dx)−G(x)dx = G′(x)+dy, όπου dy ∈ I, οπότεG(x+dx)−G(x) = dx(G′(x)+dy) ∈

I. Έστω dG = G(x + dx) − G(x) (λόγω της συνέχειας της G στο x, dG ∈ I). Διακρίνουμε δύοπεριπτώσεις:

- Αν dG 6= 0 τότε:

F (G(x+ dx))− F (G(x))

G(x+ dx)−G(x)· G(x+ dx)−G(x)

dx=

=F (G(x) + dG)− F (G(x))

dG· (G′(x) + dy)

' F (G(x) + dG)− F (G(x))

dG·G′(x)

' F ′(G(x)) ·G′(x)

- Αν dG = 0, προκύπτει ότι G′(x) ' 0. Επίσης προκύπτει ότι (F ◦ G)′(x) = 0, καθώς F (G(x +dx)) − F (G(x)) = F (G(x)) − F (G(x)) = 0. Επομένως και σε αυτήν την περίπτωση(F◦G)(x+dx)−(F◦G)(x)

dx ' F ′(G(x)) ·G′(x).

Συνεπώς, υπάρχει η παράγωγος (F ◦G)′, και είναι ίση με (F ◦G)′(x) = F ′(G(x)) ·G′(x).

Παρατήρηση. Το N και τα διαστήματα πραγματικών αριθμών I , ως υποσύνολα του R αποτελούνμονομελή κατηγορηματικά σύμβολα της Γπα1 , επομένως «επεκτείνονται» και στο ∗

R.

Ορισμός 4.3.8. Θα καλούμε τους αριθμούς n ∈ ∗N μη-συμβατικούς πραγματικούς φυσικούς αριθ-

μούς. Είναι όλοι, πλην του 0, θετικοί (γιατί;).

Ορισμός 4.3.9. Ακολουθία μη-συμβατικών πραγματικών αριθμών (συμβολισμός {an}n∈∗N) είναι

μια συνάρτηση a : ∗N → ∗

R. Το a(n) είναι ο n-οστός όρος της ακολουθίας και συμβολίζεται μεan.

10Η επέκταση της διαίρεσης στο ∗R.






Παρατήρηση. Κάθε ακολουθία a : N→ R συμβατικών πραγματικών αριθμών επεκτείνεται (αφούαποτελεί συναρτησιακό σύμβολο της Γπα1 ) σε μία ακολουθία μη-συμβατικών πραγματικών, τηνοποία συχνά (και καταχρηστικά) συμβολίζουμε με το ίδιο σύμβολο με την αρχική.

Ορισμός 4.3.10. Μια ακολουθία μη-συμβατικών θα συγκλίνει σε έναν αριθμό r ∈ R ανν για κάθεάπειρο μη-συμβατικό φυσικό αριθμόN το aN είναι πεπερασμένο, και απείρως κοντά στον r, δηλαδήr = st(aN ).

Ορισμός 4.3.11. Έστω συνάρτηση F : I → R, όπου I διάστημα. Η F είναι ομοιόμορφα συνεχήςανν για κάθε x, y ∈ ∗I , αν x ' y τότε ∗F (x) ' ∗F (y).

Πρόταση 4.3.2. Έστω συνάρτηση F : I → R, όπου I ⊆ R διάστημα. Αν η ∗F είναι συνεχής στο ∗I ,τότε η F είναι ομοιόμορφα συνεχής στο I .

Απόδειξη. Άσκηση.

Παρατήρηση. Από την παραπάνω πρόταση προκύπτει το εξής παράδοξο: γνωρίζουμε ότι ηF (x) =1x είναι συνεχής στο R

+ , αλλά όχι ομοιόμορφα συνεχής (με τον κλασσικό ορισμό της ομοιόμορφηςσυνέχειας). Επομένως η ∗F δεν είναι συνεχής στο ∗

R+, κατά τον παραπάνω ορισμό. Το παράδοξο

αυτό δείχνει ότι ο ορισμός της συνέχειας που δώσαμε δεν εκφράζεται στην πρωτοβάθμια γλώσσα,έστω και εάν στο R είναι ισοδύναμος με τον κλασσικό ορισμό της συνέχειας (ο οποίος, προφανώς,εκφράζεται στην πρωτοβάθμια γλώσσα).


Άσκηση 4.4.1. Δείξτε ότι ο 1dx είναι άπειρος αριθμός, για οποιοδήποτε μη-μηδενικό απειροστό dx.

Άσκηση 4.4.2. Ορίζουμε το σύνολο τον θετικών άπειρων αριθμών:

ΘA = {x ∈ ∗R | ∀y ∈ R(x > y)}

i. Είναι το ΘA άνω φραγμένο, και αν ναι, έχει supremum;

ii. Είναι το ΘA κάτω φραγμένο, και να ναι, έχει infimum;

Άσκηση 4.4.3. Να δείξετε ότι αν η F : R → R είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο a ∈ R, τότε είναικαι συνεχής.

Άσκηση 4.4.4. Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης F (x) = x2, για κάθε x ∈ R.

Ορισμός 4.4.1. Έστω η συνάρτηση F : R → R, με F (x) =∑∞

k=0xk

k! . Την συνάρτηση F τηνκαλούμε εκθετική συνάρτηση, και την συμβολίζουμε με ex.

Άσκηση 4.4.5. Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης F (x) = ex, για κάθε x ∈ R.

Άσκηση 4.4.6. Δείξτε ότι το όριο της ακολουθίας a(n) = 1n είναι το 0.

Άσκηση 4.4.7. Έστω A ⊆ R ένα τυχόν σύνολο πραγματικών αριθμών. Είναι το A κατ' ανάγκηφραγμένο στο ∗

R; Είναι το ∗A κατ' ανάγκη φραγμένο στο ∗R;


35



Ορισμός 4.4.2. Έστω ακολουθία μη-συμβατικών πραγματικών {an}. Τους όρους aN όπουN /∈ N

τους ονομάζουμε επεκτεταμένους όρους της ακολουθίας.

Ορισμός 4.4.3. Μια ακολουθία μη-συμβατικών πραγματικών {an} είναι φραγμένη ανν υπάρχειm ∈ N τέτοιο ώστε an ∈ [−m,m], για κάθε n ∈ N.

Άσκηση 4.4.8. Έστω {an} μία ακολουθία μη-συμβατικών πραγματικών αριθμών. Δείξτε ότι η {an}είναι φραγμένη αν και μόνον αν οι επεκτεταμένοι όροι της είναι πεπερασμένοι .

Ορισμός 4.4.4. Μια ακολουθία μη-συμβατικών πραγματικών {an} καλείται αύξουσα αν ai ≥ ajόταν i ≥ j, και φθίνουσα αν ai ≤ aj όταν i ≥ j, όπου i, j ∈ ∗

N. Και στις δύο περιπτώσεις η {an}καλείται μονότονη.

Άσκηση 4.4.9. Έστω {an} μία ακολουθία μη-συμβατικών πραγματικών αριθμών. Δείξτε ότι όταν η{an} είναι φραγμένη και μονότονη συγκλίνει.





Παράρτημα I

Λύσεις επιλεγμένων ασκήσεων

Κεφάλαιο 2

Άσκηση 2.6.1:

Απόδειξη με επαγωγή:

1. Ισχύει για τις προτασιακές μεταβλητές (το πλήθος των δεξιών παρενθέσεων ισούται με εκείνοτων αριστερών και είναι μηδέν)

2. Έστω ότι η υπόθεση ισχύει για δύο προτασιακούς τύπους φ και ψ. Ας ορίσουμε δύο συναρτήσειςα και δ από τους προτασιακούς τύπους στους φυσικούς αριθμούς, οι οποίες δοθέντος προτασια-κού τύπου, μας επιστρέφουν το πλήθος των δεξιών και αριστερών παρενθέσεων του αντίστοιχα.Τότε παρατηρούμε ότι

α(¬φ) = α(φ) + 1

καιδ(¬φ) = δ(φ) + 1

Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι

α(φ) = δ(φ)

που σημαίνει ότια(¬φ) = δ(¬φ)

Επίσης, παρατηρούμε ότια(φ ∨ ψ) = α(φ) + α(ψ) + 1

καιδ(φ ∨ ψ) = δ(φ) + δ(ψ) + 1

Άρα, πάλι από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι

α(φ ∨ ψ) = δ(φ ∨ ψ)

Αντίστοιχα αποδεικνύουμε και για τις υπόλοιπες περιπτώσεις.

37

Παρατήρηση. Συνήθως στο επαγωγικό βήμα θα αποδεικνύουμε την πρόταση για τον ¬, και γιαένα διθέσιο λογικό σύνδεσμο, όπως κάναμε στην παραπάνω άσκηση.

Άσκηση 2.6.2:

Απόδειξη με επαγωγή. Η επαγωγική βάση ισχύει διότι στην περίπτωση των προτασιακών μεταβλη-τών έχουμε ότι για την τυχαία προτασιακή μεταβλητή p0 ισχύει ότιmp0 = 1 και np0 = 0.Έστω τώρα ότι η υπόθεσή μας ισχύει για τους προτασιακούς τύπους φ και ψ, δηλαδήmφ = nφ+1καιmψ = nψ + 1

Για την περίπτωση (¬φ) το συμπέρασμα ισχύει αφού δεν προσθέσαμε κάποιον διθέσιο σύνδε-σμο ούτε προσθέσαμε κάποια προτασιακή μεταβλητή.

Εξετάζουμε την περίπτωση (φ ∧ ψ):

mφ∧ψ = mφ +mψ

= nφ + 1 + nψ + 1

= nφ∧ψ + 1

Αντίστοιχα και για τις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Άσκηση 2.6.3:

Δείχνουμε πρώτα ότι δεν μπορεί να υπάρχει προτασιακός τύπος με 2 σύμβολα: Έστω φ προτασια-κός τύπος με 2 σύμβολα. Ο φ δεν μπορεί να είναι προτασιακή μεταβλητή (αφού οι προτασιακέςμεταβλητές έχουν ένα μόνο σύμβολο). Ο φ δεν μπορεί να είναι της μορφής (¬χ) αφού σε αυτή τηνπερίπτωση θα αποτελούνταν από 4 σύμβολα. Αντίστοιχα για τις περιπτώσεις (χ ∧ ψ) κλπ.

Ακολούθως δείχνουμε ότι δεν μπορεί να υπάρχει προτασιακός τύπος με 3 σύμβολα: Έστω φπροτασιακός τύπος με 3 σύμβολα. Ο φ δεν μπορεί να είναι προτασιακή μεταβλητή (1 σύμβολο), δενμπορεί να είναι της μορφής (¬χ) (4 σύμβολα) ή της μορφής (χ ∧ ψ) (5 σύμβολα).

Δείχνουμε ότι δεν μπορεί να υπάρχει προτασιακός τύπος με 6 σύμβολα: Για τη διευκόλυνσήμας ας θεωρήσουμε μία συνάρτηση σ, η οποία με είσοδο έναν προτασιακό τύπο, μας επιστρέφει τοπλήθος των συμβόλων του. Έστω τώρα ένας προτασιακός τύποςφ με έξι σύμβολα. Οφ δεν μπορεί ναείναι προτασιακή μεταβλητή, γιατί τότε θα είχε ένα μόνο σύμβολο. Αν ήταν της μορφής (¬φ), τότεθα έπρεπε σ(χ) = 3, το οποίο όμως έχει αποκλειστεί απο την εξέταση που έχουμε κάνει παραπάνω.Έστω τέλος ότι είναι της μορφής (χ ∧ ψ). Τότε θα έπρεπε να ισχύει ότι σ(χ) + σ(ψ) = 3, δηλαδήότι σ(χ) = 1 και σ(ψ) = 2 ή ότι σ(χ) = 2 και σ(ψ) = 1, περιπτώσεις που έχουν ήδη αποκλειστείαπό την εξέταση που έχουμε κάνει παραπάνω. Ομοίως και για τις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Τέλος δείχνουμε ότι για κάθε n > 0 και n 6= 2, 3, 6 υπάρχουν προτασιακοί τύποι με αριθμόσυμβόλων ίσο με n:

• Για n = 1 έχουμε τον τύπο p0

• Για n = 4 έχουμε τον τύπο (¬p0)

• Για n = 5 έχουμε τον τύπο (p0 ∧ p1)





ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I. ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

• Για n ≥ 7 δείχνουμε με επαγωγή1 ότι υπάρχει τύπος φ με σ(φ) = n:

Για την επαγωγική βάση, εύκολα μπορούμε να βρούμε τύπο φ με σ(φ) = 7, 8, 9. Η επαγωγικήυπόθεση είναι ότι η πρόταση ισχύει για κάθε 7 ≤ k < n, και πρέπει να αποδείξουμε ότι ηπρόταση ισχύει και για n, δηλαδή ότι υπάρχει τύπος φ με σ(φ) = n. Από την επαγωγικήυπόθεση υπάρχει τύπος χ με σ(χ) = n − 3, επομένως αν θεωρήσουμε για τύπο φ τον τύπο(¬χ), παρατηρούμε ότι σ(φ) = n.

Άσκηση 2.6.5:

1. Απλή συνέπεια των ορισμών.

2. Απλή συνέπεια των ορισμών και του 1.

Άσκηση 2.6.7:

Θεωρούμε την ιδιότητα P από την πρόταση 2.3.1, και το αποδεικνύουμε όπως και σε αυτήν.

Άσκηση 2.6.8:

Παρατηρούμε ότι ένας προτασιακός τύπος φ που περιέχει μόνο συνδέσμους από το {¬, π} έχει τηνακόλουθη ιδιότητα:

P = Για κάθε αποτιμήσεις a, a′ τέτοιες ώστε για κάθε μεταβλητή p που εμφανίζεται στονφ ισχύει a(p) 6= a′(p), έχουμε a(φ) 6= a′(φ).

Αποδεικνύουμε τον παραπάνω ισχυρισμό με επαγωγή (Άσκηση).Παρατηρούμε ότι για τον προτασιακό τύπο p0 ∨ p1 και για τις αποτιμήσεις a, a′ με

a(p0) = A, a(p1) = Ψ

a′(p0) = Ψ, a′(p1) = A

ισχύει ότι a(p0 ∨ p1) = a′(p0 ∨ p1) = A, άρα το {¬, π} δεν είναι επαρκές.

Άσκηση 2.6.11:

α) Θα δείξουμε πρώτα ότι T ⊆ T (επομένως και T ⊆ T ). Έστω φ ∈ T , παρατηρούμε ότι T ` φ,επομένως φ ∈ T , άρα T ⊆ T .

Για τον εγκλεισμό T ⊆ T , έστω φ ∈ T , δηλαδή υπάρχει μία τυπική απόδειξη του φ, έστωφ1, . . . , φn = φ, με υποθέσεις από το σύνολο T . Γνωρίζουμε ότι αν ένα φi ∈ T θα έχει μίατυπική απόδειξη, έστω φi1 , . . . , φim , με υποθέσεις από το T . Αντκαθιστώντας στην τυπικήαπόδειξη του φ τα φi ∈ T με την ακολουθία φi1 , . . . , φim , έχουμε μια τυπική απόδειξη του φμε υποθέσεις από το T . Συνεπώς φ ∈ T .

1Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε πλήρη επαγωγή στους φυσικούς αριθμούς.


39


β) Έστω φ ∈ T∪Σ, και έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι φ ∈ T , δηλαδή T ` φ. Παρατηρούμεότι και T ∪ Σ ` φ, άρα φ ∈ T ∪ Σ.

γ) Έστω T = {p0} και Σ = {p1}. Παρατηρούμε ότι p0 ∧ p1 ∈ T ∪ Σ (Άσκηση), αλλά όπως θαδείξουμε παρακάτω p0 ∧ p1 /∈ T ∪ Σ:

• Έστω ότι p0 ∧ p1 ∈ T , δηλαδή T ` p0 ∧ p1. Από το Θεώρημα Εγκυρότητας και Πληρό-τητας προκύπτει ότι T � p0 ∧ p1, δηλαδή για κάθε αποτίμηση a τέτοια ώστε a(p0) = Aισχύει ότι a(p0 ∧ p1) = A, όμως για την αποτίμηση με a(p0) = A και a(p1) = Ψ ισχύειότι a(p0 ∧ p1) = Ψ. Άτοπο.

• Έστω ότι p0 ∧ p1 ∈ Σ. Αντίστοιχα.


Θα εφαρμόσουμε επαγωγή. Για την επαγωγική βάση υποθέτουμε ότι φ = p, όπου p προτασιακήμεταβλητή. Τότε φ∗ = ¬p και ¬φ = ¬¬p. Προφανώς ισχύει ότι ¬¬p ≡ p.

Έστω ότι φ = χ∧ψ, όπου για τους τύπους χ, ψ ισχύει η επαγωγική υπόθεση, δηλαδή χ∗ ≡ ¬χκαι ψ∗ ≡ ¬ψ. Τότε φ∗ = χ∗ ∨ ψ∗ ≡ ¬χ ∨ ¬ψ ≡ ¬(χ ∧ ψ) = ¬φ, όπου η τελευταία σχέση ≡αποδεικνύεται με την χρήση πινάκων αληθείας (Άσκηση).

Οι περιπτώσεις φ = ¬χ, και φ = χ ∨ ψ αφήνονται ως άσκηση.

Παρατήρηση. Αν στην παραπάνω άσκηση προσθέταμε στους συνδέσμους που εμφανίζονται στονφ και τον→, τότε η άσκηση θα ήταν λάθος, γιατί π.χ. για τον τύποφ = p0 → p1 μεφ∗ = ¬p0 → ¬p1και ¬φ = ¬(p0 → p1), παρατηρούμε ότι για την αποτίμηση a με a(p0) = a(p1) = A ισχύει ότιa(¬p0 → ¬p1) = A ενώ a(¬(p0 → p1)) = Ψ, συνεπώς φ∗ 6≡ ¬φ.

Κεφάλαιο 3

Άσκηση 3.5.1:

A � (φ ∨ ψ)[v] ανν A � (¬φ→ ψ)[v] ανν A � ¬φ[v] ⇒ A � ψ[v] ανν A 2 φ[v] ⇒ A � ψ[v] ανν2A � φ[v] είτε A � ψ[v].

Άσκηση 3.5.2:

∀x∃y(x ∈ y).

Άσκηση 3.5.3:

∃x∀y(x 6= y′).

Άσκηση 3.5.4:2Σε αυτήν την ισοδυναμία χρησιμοποιούμε ότι το «Α είτε Β» στην μεταγλώσσα είναι ισοδύναμο με το «όχι Α έπεται

Β».






1. ∗Nσ � (x1 ∈ x2 ∨ x1 ∈ x3)[v] ανν (ορισμός του Tarski) ∗Nσ � (x1 ∈ x2)[v] είτε ∗Nσ �(x1 ∈ x3)[v], ανν v(x1) < v(x2) είτε v(x1) < v(x3), ανν 2 < 4 είτε 2 < 7, που ισχύει στουςφυσικούς.

2. ∗Nσ � ∃x4(x4 /∈ x1 ∧ x4 /∈ x3)[v] ανν (ορισμός του Tarski) υπάρχει n ∈ N ώστε να ισχύει∗Nσ � (x4 /∈ x1 ∧ x4 /∈ x3)[v(x4|n)], ανν υπάρχει n ∈ N ώστε να ισχύει v(x4|n)(x4) 6<v(x4|n)(x1) και v(x4|n)(x4) 6< v(x4|n)(x3), ανν υπάρχει n ∈ N ώστε να ισχύει n 6< 2 καιn 6< 7, που ισχύει π.χ. για n = 8 ∈ N.

Άσκηση 3.5.5:

Από το θεώρημα γενίκευσης3 αρκεί να δείξουμε ότι ∀zφyz ` φ. Κατασκευάζουμε την τυπική από-δειξη:

1 ∀zφyz → (φyz)zy ΑΣ242 ∀zφyz Υπόθεση3 (φyz)zy 1,2 MP

Παρατηρούμε ότι (φyz)zy = φ (γιατί;), άρα η παραπάνω απόδειξη αποτελεί τυπική απόδειξη του φαπό το {∀zφyz}.

Άσκηση 3.5.6:

Αρκεί (βάσει του θεωρήματος της γενίκευσης5) να δείξουμε ότι ` ∃y(f(x1, . . . , xn) ≈ y), δηλαδήότι ` ¬∀y(f(x1, . . . , xn) 6≈ y). Από το θεώρημα της απαγωγής σε άτοπο, αρκεί να δείξουμε ότι το{∀y(f(x1, . . . , xn) 6≈ y)} είναι αντιφατικό. Για να αποδείξουμε ότι το σύνολο αυτό είναι αντιφα-τικό, παρατηρούμε ότι ∀y(f(x1, . . . , xn) 6≈ y) ` f(x1, . . . , xn) 6≈ f(x1, . . . , xn) (λόγω του ΑΣ2).Επομένως είναι πράγματι αντιφατικό λόγω του ΑΣ5 (Άσκηση).

Άσκηση 3.5.7:

1. Πρέπει να δείξουμε ότι ` ∀x(x ≈ x). Αυτό ισχύει γιατί ο τύπος ∀x(x ≈ x) είναι γενίκευσητου ΑΣ5

2. Πρέπει να δείξουμε ότι ` ∀x1∀x2(x1 ≈ x2 ↔ x2 ≈ x1). Από το θεώρημα της γενίκευσηςαρκεί να δείξουμε ότι ` x1 ≈ x2 ↔ x2 ≈ x1. Από τον ορισμό του συνδέσμου↔ προκύπτειεύκολα ότι αρκεί να δείξουμε ` x1 ≈ x2 → x2 ≈ x1 και ` x2 ≈ x1 → x1 ≈ x2. Λόγωτης συμμετρικότητας θα δείξουμε μόνο ότι ` x1 ≈ x2 → x2 ≈ x1. Από το θεώρημα τηςαπαγωγής αρκεί να δείξουμε ότι x1 ≈ x2 ` x2 ≈ x1. Κατασκευάζουμε την τυπική απόδειξη:

1. x1 ≈ x2 Υπόθεση2. x1 ≈ x2 → (x1 ≈ x1 → x2 ≈ x1) ΑΣ63. x1 ≈ x1 → x2 ≈ x1 1,2,MP4. x1 ≈ x1 ΑΣ55. x2 ≈ x1 3,4,MP

3Μπορούμε να το εφαρμόσουμε γιατί όλες οι ελεύθερες εμφανίσεις της y στον ∀zφyz έχουν αντικατασταθεί από την

z.4Δεν υπάρχει περίπτωση να προκύψει δέσμευση της y, αφού στον φy

z το z αντικαθιστά όλες τις ελεύθερες εμφανίσειςτης y.

5Ικανοποιούνται οι υποθέσεις του;


41


3. (Άσκηση)

Άσκηση 3.5.8:

(⇒) Έστω ότι T ` φ και T ` ¬φ, άρα T ` φ ∧ ¬φ (γιατί;). Από το ΑΣ1, λόγω του ότι τοp1 ∧¬p1 → p2 είναι ταυτολογία της Προτασιακής Λογικής, προκύπτει ότι T ` φ∧¬φ→ ψόπου ψ οποιοσδήποτε τύπος. Με μία εφαρμογή του MP προκύπτει το ζητούμενο.

(⇐) Προφανές.

Άσκηση 3.5.9:

Έστω T άπειρο σύνολο τύπων, και έστω (προς άτοπο) ότι κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναιικανοποιήσιμο αλλά αυτά δεν είναι. Τότε θα ισχύει:

T � ∃x∃y(x ≈ y ∧ ¬x ≈ y)

Από το Θεώρημα Πληρότητας θα ισχύει ότι:

T ` ∃x∃y(x ≈ y ∧ ¬x ≈ y)

Συνεπώς θα υπάρχει πεπερασμένο υποσύνολο T ′ ⊆ T έτσι ώστε:

T ′ ` ∃x∃y(x ≈ y ∧ ¬x ≈ y)

Από το Θεώρημα Εγκυρότητας θα ισχύει ότι:

T ′ � ∃x∃y(x ≈ y ∧ ¬x ≈ y)

Όμως από την υπόθεση το T ′ είναι ικανοποιήσιμο, δηλαδή υπάρχει δομήA και αποτίμηση u στηνAπου το ικανοποιεί. Για την A θα ισχύει επίσης ότι A � ∃x∃y(x ≈ y ∧ ¬x ≈ y), άτοπο (από ορισμόTarski). Άρα το T είναι ικανοποιήσιμο


• Θα το αποδείξουμε για n = 3 (η γενίκευση είναι προφανής):

φ3 = ∃x1∃x2∃x3(x1 6≈ x2 ∧ x2 6≈ x3 ∧ x1 6≈ x3)

• Θα το δείξουμε για n = 3:

ψ3 = φ3 ∧ (∃x1∃x2∃x3∀x4(x4 ≈ x1 ∨ x4 ≈ x2 ∨ x4 ≈ x3))

Παρατήρηση. Η πρόταση ∃x1∃x2∃x3∀x4(x4 ≈ x1 ∨ x4 ≈ x2 ∨ x4 ≈ x3) έχει την ιδιότητα ότικάθε μοντέλο της έχει το πολύ 3 στοιχεία.







Θεωρούμε το σύνολο Π∗ = Π ∪ {φn | n ≥ 1} όπου φn η πρόταση της άσκησης 3.5.10. ΈστωΣ ⊆ Π∗ πεπερασμένο υποσύνολο, τότε Σ ⊆ Π ∪ {φn | n ≤ n0}. Από την υπόθεση υπάρχειμοντέλο του Π μεm > n0 στοιχεία, έστω το Am. Αφού το Am έχει τουλάχιστον n0 στοιχεία ισχύειότι Am |= φn, για κάθε n ≤ n0. Συνεπώς το Am είναι μοντέλο του Σ.

Δείξαμε ότι κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του Π∗ έχει μοντέλο, άρα από το θεώρημα της Συ-μπάγειας το Π∗ έχει μοντέλο, έστω το A.

ΤοA προφανώς είναι μοντέλο τουΠ, και αφούA |= φn, για κάθε n ≥ 1 θα έχει άπειρα στοιχεία.


Έστω (προς άτοπο) ότι το Π έχει την ιδιότητα της εκφώνησης, δηλαδή για κάθε δομή A

A |= Π ανν η A είναι πεπερασμένη

Επομένως αν η Am είναι πεπερασμένη δομή με m στοιχεία, τότε Am |= Π. Συνεπώς το Π έχειπεπερασμένα μοντέλα με m > n στοιχεία για κάθε n ∈ N. Από την άσκηση 3.5.11 προκύπτει ότιτο Π έχει άπειρο μοντέλο. Άτοπο

Κεφάλαιο 4

Άσκηση 4.4.1:

Έστω (προς άτοπο) ότι ο 1dx είναι πεπερασμένος, άρα υπάρχει r ∈ R τέτοιος ώστε | 1

dx | < r, συνεπώς|dx| > 1

r . Άτοπο.

Άσκηση 4.4.2:

i. Δεν είναι άνω φραγμένο, διότι αν υπήρχε M ∈ ∗R τέτοιο ώστε x < M για κάθε x ∈ ΘA, θα

είχαμε ότιM + 1 ∈ ΘA (γιατί;), και άραM + 1 < M .

ii. Είναι κάτω φραγμένο, καθώς π.χ. κάθε r ∈ R είναι κάτω φράγμα του. Όμως δεν έχει infimum,καθώς αν το r ∈ ∗

R ήταν το μέγιστο κάτω φράγμα του, τότε:

• αν r ∈ R, τότε και το r + 1 θα ήταν κάτω φράγμα του,• αν r ∈ F \ R, τότε και το st(r) + 1 θα ήταν κάτω φράγμα του,• αν r /∈ F , τότε ο r θα είναι αρνητικά άπειρος αριθμός (γιατί;), και άρα π.χ. και το 135θα ήταν επίσης κάτω φράγμα του.

Άσκηση 4.4.3:

Πρέπει να δείξουμε ότι F (a+dx)−F (a) ∈ I για κάθε dx ∈ I\{0}. Αφού η F είναι παραγωγίσιμηστο a, γνωρίζουμε ότι:

F (a+ dx)− F (a)

dx− F ′(a) ∈ I


43


Δηλαδή υπάρχει dy ∈ I έτσι ώστε:

F (a+ dx)− F (a)

dx− F ′(a) = dy

F (a+ dx)− F (a)

dx= dy + F ′(a)

F (a+ dx)− F (a) = dx(dy + F ′(a))

Όμως dx(dy + F ′(a)) ∈ I, άρα F (a+ dx)− F (a) ∈ I.

Άσκηση 4.4.4:

Από τον ορισμό της παραγώγου προκύπτει ότι για κάθε dx ∈ I \ {0}:

F ′(x) = st((x+ dx)2 − x2

dx

)Παρατηρούμε ότι:

(x+ dx)2 − x2

dx=x2 + 2xdx+ dx2 − x2

dx=

2xdx+ dx2

dx= 2x+ dx

Επομένως F ′(x) = st(2x+ dx) = 2x.

Άσκηση 4.4.5:

Από τον ορισμό της παραγώγου προκύπτει ότι για κάθε dx ∈ I \ {0}:

F ′(x) = st(ex+dx − ex

dx

)Διακρίνουμε περιπτώσεις:

• Αν x = 0 τότε:

F ′(0) = st(edx − 1

dx

)Παρατηρούμε ότι:

edx − 1

dx=

∑∞k=0

dxk

k! − 1

dx=

∑∞k=1

dxk

k!

dx=

∞∑k=1

dxk−1

k!

= 1 +

∞∑k=2

dxk−1

k!= 1 + dx

∞∑k=2

dxk−2

k!

Συνεπώς F ′(0) = st(1 + dx∑∞

k=2dxk−2

k! ) = 1 (παρατηρήστε ότι∑∞

k=2dxk−2

k! ∈ F).

• Αν x 6= 0 τότε:

ex+dx − edx

dx= ex

(edx − 1)

dx= ex(1 + dx

∞∑k=2

dxk−2

k!)

= ex + exdx

∞∑k=2

dxk−2

k!

Συνεπώς F ′(x) = st(ex + exdx∑∞

k=2dxk−2

k! ) = ex.






Άσκηση 4.4.6:

Έστω N ∈ ∗N άπειρος αριθμός. Παρατηρούμε ότι aN = 1

N ∈ I, καθώς N > 1r για κάθε θετικό

r ∈ R, άρα | 1N | = 1N < r για κάθε θετικό r ∈ R, συνεπώς st(aN ) = 0.

Άσκηση 4.4.7:

Το A σαν υποσύνολο του ∗R είναι φραγμένο από κάθε άπειρο μη-συμβατικό αριθμό. Αν όμως το A

δεν είναι φραγμένο στο R, τότε:

R |= ∀x∃y(PA(y) ∧ xP<y)

Όμως ∗R |= ThR, άρα:∗R |= ∀x∃y(PA(y) ∧ xP<y)

δηλαδή από τον ορισμό του Tarski, για κάθε r ∈ ∗R υπάρχει a ∈ ∗

R, τέτοιο ώστε a ∈ ∗A και r < a,δηλαδή το ∗A δεν είναι φραγμένο.

Άσκηση 4.4.8:

(⇒) Έστω ότι η {an} είναι φραγμένη, οπότε υπάρχει m ∈ N τέτοιο ώστε an ∈ [−m,m] για κάθεn ∈ N. Από τον ορισμό του Tarski ισχύει ότι:

R |= ∀x(PN(x) → −cmP≤fa(x) ∧ fa(x)P≤cm)

Όμως θα ισχύει επίσης ότι:

∗R |= ∀x(PN(x) → −cmP≤fa(x) ∧ fa(x)P≤cm)

δηλαδή από τον ορισμό του Tarski an ∈ ∗[ − m,m] (στην επέκταση δηλαδή του διαστήματος[−m,m] στο ∗

R) για κάθε n ∈ ∗N, συνεπώς για κάθε N 6∈ N ισχύει ότι |aN | ≤ m, δηλαδή οι

επεκτεταμένοι όροι της ακολουθίας είναι πεπερασμένοι.(⇐) Έστω ότι οι επεκτεταμένοι όροι της ακολουθίας είναι πεπερασμένοι. Τότε για κάθε άπειροM ∈ ∗

N θα ισχύει ότι aN ∈ [−M,M ], όπου aN επεκτεταμένος όρος. Επίσης θα ισχύει ότι an ∈[−M,M ] για κάθε n ∈ N, καθώς an ∈ R για κάθε n ∈ N. Συνεπώς θα ισχύει ότι

∗R |= ∃x∀y(PN(x) ∧ (PN(y) → −xP≤fa(y) ∧ fa(y)P≤x))

Όμως θα ισχύει επίσης ότι:

R |= ∃x∀y(PN(x) ∧ (PN(y) → −xP≤fa(y) ∧ fa(y)P≤x))

δηλαδή από τον ορισμό του Tarski θα υπάρχει m ∈ N, τέτοιο ώστε για κάθε n ∈ N, an ∈[−m,m], οπότε η {an} είναι φραγμένη.

Άσκηση 4.4.9:


45


Έστω {an} φραγμένη και χωρίς βλάβη της γενικότητας αύξουσα ακολουθία. Αφού είναι φραγμένη,τότε κάθε επεκτεταμένος όρος aN , N 6∈ N άπειρος φυσικός είναι πεπερασμένος. Ορίζουμε L =st(aN ). Αφού η {an} είναι αύξουσα ισχύει ότι

an ≤ aN ' L, για κάθε n ∈ N

Συνεπώς τοL είναι άνωφράγμα του συνόλου {an|n ∈ N}. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι το supremum,καθώς τότε αφού το standard μέρος κάθε aN για άπειρο N είναι το supremum αυτού του συνόλου,όλοι οι όροι θα είναι απείρως κοντά, και συνεπώς η ακολουθία θα συγκλίνει στο L.Έστω r ∈ R άνω φράγμα αυτού του συνόλου. Τότε θα ισχύει ότι

R |= ∀x(PN(x) → fa(x)P≤Cr)

Όμως θα ισχύει επίσης ότι:∗R |= ∀x(PN(x) → fa(x)P≤Cr)

δηλαδή από τον ορισμό του Tarski θα είναι άνω φράγμα και των επεκτεταμένων όρων, δηλαδήL ' aN ≤ r, οπότε L ≤ r. Συνεπώς το L είναι το supremum αυτού του συνόλου. Αν η {an} είναιφθίνουσα, τότε η απόδειξη είναι αντίστοιχη.





Βιβλιογραφία

[1] Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic. Academic Press, 2nd Edition,2001.

[2] Κ. Ι. Δημητρακόπουλος, Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. 1999.

[3] Κ. Ι. Δημητρακόπουλος, Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. ΕΑΠ, 2000.

Ευχαριστούμε πολύ τους χρήστες του Forum: ab3l, gchatzi, Greatape, kostas31, ntinos για την βοήθεια τους στηνδιόρθωση των λαθών που διέφυγαν την προσοχή μας.

47

http://mpla.math.uoa.gr/~cdimitr/files/teaching/sim_mathlogic.pdf

http://mpla.math.uoa.gr/~cdimitr/files/teaching/vivlio_EAP.pdf

UoP -...

Documents

Transcript of UoP -...