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254 Unidad 16 – Distribuciones continuas. Distribución normal. PÁGINA 349 SOLUCIONES 1. Las áreas quedan: 1,5·0,75 a) Área 0,5625 unidades cuadradas. 2 0,5 1 b) Área ·2 1,5 unidades cuadradas. 2 2·0,5 c) Área 1·0,5 1 unidades cuadradas. 2 = = + = = = + =

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    Unidad 16 Distribuciones continuas. Distribucin normal. PGINA 349

    SOLUCIONES

    1. Las reas quedan:

    1,50,75a)rea 0,5625 unidades cuadradas.2

    0,5 1b)rea 2 1,5 unidades cuadradas.2

    20,5c)rea 10,5 1 unidades cuadradas.2

    = =

    += =

    = + =

  • 255

    2. Sabemos que: 3= 9,825; 14,76.=

    En hay 405 personas, es decir, el 67,5%. ( , ) (25,065;54,585) + =

    En hay 572 personas, es decir, el 95,3%. ( 2 , 2 ) (10,305;69,345) + =

    En ( 3 , 3 ) ( 4,455;84,105) + = hay 600 personas, es decir, el 100%.

    3. La representacin y el rea quedan:

    El rea rayada queda: 1,50,75 0,5625unidades= cuadradas.

    2

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    PGINA 363

    SOLUCIONES

    1. Como cada da asciende 30 m y resbala 20 m, en realidad asciende 10 m. Luego al cabo de 27 das ha ascendido 270 m, y ya el da 28 asciende a la superficie, pues asciende 30m 270 30 300m. + = El caracol tarda 28 das en salir.

    2. La solucin queda:

    3. La solucin queda:

    2

    2

    os al cuadrado 1 1 1 1= + + +

    2 2

    Llamamos 1 1 1 y elevam

    1 1 1 1 1 1 0

    1 5 1 n ureo.2 2

    x x

    x x x x x

    x x

    = + + + +

    = + + + + = + =

    + = = = =

    5

    Simplemente cambiando tresmonedas, las sealadas con los

    invierte. nmeros 1- 2- 3, el tringulo se

  • 257

    4. Comenzando el problema desde el final.

    Ave 8 le da 1 1 2.+ =

    Ave 7 (tiene 6) le da le quedan 2. 3 1 4+ =

    Ave 6 (tiene 14) le da 7 1 8+ = le quedan 6.

    Ave 5 (tiene 30) le da le quedan 14. 15 1 16+ =

    Ave 4 (tiene 62) le da le quedan 30. 31 1 32+ =

    Ave 3 (tiene 126) le da le quedan 62. 63 1 64+ =

    Ave 2 (tiene 254) le da 127 1 128+ = le quedan 126.

    Ave 1 (tiene 510) le da le quedan 254. 255 1 256+ = Al principio tena 510 gramos de maz.

    5. os han de 7 kg. Las pesas que necesitam ser de: 1, 3, 9 y 2As: 1 kg = 1 2 kg = 3 1 3 kg = 3 4 kg = 3 + 1 5 kg 1 = 9 3 6 kg = 9 3 7 kg 1 = 9 3 + 8 kg = 9 1 9 kg 9 = 10 kg = 9 + 1 Y as suces amiv ente. La suma de os n er l m os significa que las pesas se colocan en el mismo plato de la balanza, y la diferencia, que se colocan en platos diferentes.

  • PGINA 366

    258

  • SOLUCIONES

    1. En cada caso queda:

    a) y adems el rea del recinto rayado vale 1, por tanto es funcin de densidad. f x x x( )

    259

    b) y adems el rea del recinto rayado vale g x x x( ) 40,5 12

    = , por tanto es funcin de

    densidad.

    2. La grfica y los clculos quedan:

    f xa a

    f x a

    ( )ha de ser 0, por tanto a 0.6 1Como rea rayada 1 12 3

    1Por lo tanto ( )es una funcin de densidad si .3

    >

    = = =

    =

    i

    i

    P x P x

    P x P x

    1 3 1 3( 3) 3 ( 1) 34 4 4 4

    1 1( 2,5) 0 (2 3) 14 4

    = = = =

    = =

    = =

    P x P x

    P x P x

    11 18( 3) ( 1) 12 16

    1( 2,5) 0 (2 3)16

    = = =

    = = =

  • 3. La solucin es:

    a) La grfica 1 se corresponde con la distribucin (7;1,5)N .

    La grfica 2 se corresponde con la distribucin (5;1,5)N . La grfica 3 se corresponde con la distribucin (5;3,5)N . b) Las plantas ms altas corresponden a la distribucin . En las otras distribuciones, la (7;1,5)N

    media de las alturas coincide, y en estn ms agrupadas, respecto a la media, que (5;1,5)Nen . (5;3,5)N

    4. Manejando la tabla de la distribucin normal, hallamos cada caso:

    P Z P ZP Z P ZP Z P Z P ZP Z P Z P Z

    a) 0,9265b) 1 ( 0,25) 1 0,5987 0,4013c) ( 1,45) 1 ( 1,45) 1 0,9265 0,0735d) (0,35 1,5) ( 1,5) ( 0,35) 0,933 0,6368 0,2964e) ( 1,35 0,25) ( 0,25) ( 1,35) ( 0,25)

    < = = = = =

    = = =

    = = [ ]

    [ ]

    P ZP Z P Z

    Z P Z P Z P ZP Z P Z

    1 ( 1,35) 0,5102f) ( 0,84) ( 0,84) 0,7995

    ( 1,45 0,15) (0,15 1,45) ( 1,45) ( 0,15) 0,36692,25) ( 2) 1 ( 2,25) 0,965

    =

    = = = = =

    = =

    P Z( 1,45)( 0,25)

    = =

    P Z2

    Pg) P Z P Z P Zh) ( 2,25 2) ( 2) ( =

    5. En las tablas vemos que:

    P Z K P Z K KP Z K P Z K KP Z K P Z K P Z K K

    a) ( ) 1 ( ) 1 0,1075 0,8925 1,24.b) ( ) 0,7967 1 ( ) 0,83.c) (0 ) 0,4236 ( ) ( 0) 0,4236 1,43.

    = = = = = = = = = =

    6. Tipificamos la variable X, convirtindola en N(0,1) y, posteriormente, consultamos la tabla:

    xP X P Z P Z

    xP X P Z P Z P Z

    xP X P Z P Z

    xP X P P Z

    5 6 5a) ( 6) ( 0,5) 0,69152 2

    5 4,5 5b) ( 4,5) ( 0,25) ( 0,25) 0,59872 2

    5 7,2 5c) ( 7,2) ( 1,1) 0,86432 2

    3 5 5 6 5d) (3 6) ( 1 0,5) 0,53282 2 2

    = = = =

    = = = = =

    = = = =

    = = =

    7. Tipificamos la variable y consultamos la tabla.

    a) 6,76 ) 5,1 c) 1,66k b k= = k =

    260

  • PGINA 367

    261

  • SOLUCIONES

    8. La solucin queda:

    xP X P P Z P Z

    xP X P P Z P Z

    xP X P P Z P Z P Z

    9 8 9 1 1a) ( 8) 0,62933 3 3 3

    9 5 9 4 4b) ( 5) 1 9082 0,09183 3 3 3

    11 9 9 13 9 2 4 4 2c) (11 13) 0,13 3 3 3 3 3 3

    = = = =

    = = = = =

    = = = =

    628

    9. La solucin es:

    ( ) ( )P t P Z P Z P Z

    t tP X t P Z t

    13 17 21 17a) (13 21) 1,33 1,33 2 1,33 1 0,81643 3

    17 17b) ( ) 0,95 0,95 1,645 21,935 22minutos.3 3

    = = = =

    = = = =

    10. La solucin es:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    P X P Z P Z P Z

    P X P Z P Z P Z P Z

    t tP X t P Z t

    28 30a) ( 28) 0,4 1 0,4 0,33465

    25 30 35 30b) (25 35) 1 1 2 1 0 0,68265 5

    Esdecir,el 68,26%.

    30 30c) ( ) 0,80 0,80 0,84 34,2minutos.5 5

    < = < =

  • 12. La solucin queda:

    P 1 9 9(salga 0 una sola vez) 3 0,24310 10 10

    = = a)

    ( )B 100;0,1b) Es una distribucin binomial y la aproximaremos con una distribucin normal de la forma N(10;3) .

    ( ) ( )P X P Z P Z P Z13 10( 13) 1 1 1 0,15873 > = = = =

    13. La solucin queda: De los parmetros de la distribucin obtenemos: n p p8 0,8= = = .

    100,80,2 1,26= = La desviacin tpica:

    P a(ningunacar ) 1 0,893 0,107.= =

    ( )nn n log0,1070,2 0,107 1,40 log0,2 = = =

    Hay que lanzarla al menos dos veces.

    14. Llamamos k a la nota mnima a partir de la cual se conseguir el sobresaliente. Debe cumplirse:

    x k kP X k P k5,5 5,5 5,5( ) 0,9 0,9 1,282 7,4231,5 1,5 1,5 = = = =

    De igual forma, para la calificacin de notable:

    x k kP X k P k5,5 5,5 5,5( ) 0,7 0,7 0,525 6,28751,5 1,5 1,5 = = = =

    ( )1360, 6B15. Es una distribucin binomial y la aproximaremos con una distribucin normal. 1 1360 60 y 360 7,076 6

    = = = = . 56

    Quedara:

    La probabilidad es:

    ( ) ( )' 60 55,5 60( 55) ( ' 55,5) 0,64 1 0,64 0,26117,07 7,07

    XP X P X P P Z P Z = = = = =

    263

  • PGINA 368

    264

  • SOLUCIONES

    16. Es una distribucin binomial y la aproximaremos con una distribucin normal. ( )50;0,9B500,9 45 y 500,90,1 1,12= = = = . Quedara:

    La probabilidad pedida con la correccin de Yates es:

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    39,5 45 40,5 45( 40) (39,5 ' 40,5) 2,59 2,122,12 2,12

    1 2,12 2,59 2,59 2,12 0,122

    P X P X P Z P Z

    P Z P Z P Z

    = = = = =

    = = =

    ( )100;0,5B17. Es una distribucin binomial y la aproximaremos con una distribucin normal. 1000,5 50 y 1000,50,5 5= = = = . Quedara:

    La probabilidad pedida con la correccin de Yates es:

    ( )

    ( ) ( )

    45,5 50 ' 50 55,5 50(45 55) (44,5 ' 55,5) 1,1 1,15 5 5

    1,1 1 1,1 0,7286

    XP X P X P P Z

    P Z P Z

    = = = =

    = =

    18. Es una distribucin binomial y la aproximaremos con una distribucin normal ( )100;0,25B.La probabilidad pedida es: (25;4,33)N

    ( ) ( )19,5 25( 20) ( ' 19,5) 1,27 1,27 0,89804,33

    P X P X P Z P Z P Z = = = = =

    19. Es una binomial que podemos aproximarla a una normal . ( )B 3000;0,52 N(1 560;27,4)La probabilidad pedida queda:

    ( )( ) ( )

    P X P X P Z

    P Z P Z

    (1 450 1 600) (1 449,5 ' 1 600,5) 4 1,48

    1,48 4 0,9306

    = = =

    = =

    20. Es una binomial que podemos aproximarla a una normal . ( )B 80;0,5 N(40;4,47)La probabilidad pedida queda: P X P Z( 45) ( 1,12) 1 0,8686 0,1314 = = =

    21. Es una distribucin normal N(192;12)

    La probabilidad pedida queda: P X P Z P Z P Z( 186) ( 0,5) ( 0,5) 1 ( 0,5) 0,3085 = = = =

    265

  • 22. Es una distribucin normal N(170;3)

    ( ) ( ) ( )P X P Z P Z P Z(155 165) 5 5 1,67 0,0475,es decir 48 batas. = = 1,67 =

    ( ) ( )P X P Z P Z(165 175) 1,67 1,67 2 0 1,67

    266

    2(0,9525 0,5) 0,905,es decir 105 bat= = as.

    = =

    ( ) ( ) ( )P X P Z P Z P Z(175 185) 1,67 5 5 1,67 0,0475,es decir 48 batas. = = =

    23. La solucin queda:

    a) Es una binomial B 15; . 3

    Los parmetros quedan: 1 15 1,67 y 5 1,05.3 3

    = = = = 23

    ( ) ( )P X P X P X( 2) 1 1 0 ( 1) 0,539 = = = = P X 2 < =La probabilidad es:

    B 1288;3

    b) Es una binomial que aproximamos a una normal N(96;8)

    ( ) ( )P X P X P Z P Z( 90) 90,5 0,69 ( 0,69) 0,7549.> = = = = La probabilidad es:

    24. La solucin queda:

    ( )B 10;0,4 Es una binomial .

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    P X P X P X P X10 9 1 8 2

    ( 2) ( 0) (