HistóricoEquações de Lorenz

Conclusão

UM SISTEMA CAÓTICO

Cristina Teruko Ota

Junho, 2013

Cristina Teruko Ota UM SISTEMA CAÓTICO

HistóricoEquações de Lorenz

Conclusão

Conteúdo

1 Histórico

2 Equações de LorenzTolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

3 Conclusão

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Conclusão

1 Edward Lorenz (1963)2 Teoria do caos

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Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

y’ = f (y) =

σ(y2 − y1)ρy1 − y2 − y1y3

y1y2 − by3

em que σ é o número de Prandtl e ρ é o número de Rayleigh,com σ, ρ,b > 0.

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Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

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Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Função ode23

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

Neste caso: 3871 passos, 12562 avaliações da função e1.957266 s.

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Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Utilizando a função ode45

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

Neste caso: 1425 passos, 10069 avaliações de função e1.836942 s.

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Utilizando tolerância de erro relativo de 10−6

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Utilizando tolerância de erro relativo de 10−7

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Utilizando tolerância de erro absoluto de 10−7

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Utilizando tolerância de erro relativo de 10−6

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Utilizando tolerância de erro relativo de 10−7

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Utilizando tolerância de erro absoluto de 10−7

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 e ponto inicial y(0) = (0,1,0)T .

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Pontos iniciais distintos

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 .

Pontos iniciais: y01 = (0,1,0)T , y02 = (1e − 5,1,0)T

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Pontos iniciais distintos

com ρ = 28, σ = 10 e b = 83 .

Pontos iniciais: y01 = (0,1,0)T , y02 = (1e − 5,1,0)T

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Valores de ρ distintos

com ρ = 9, σ = 10 e b = 83 .

Pontos iniciais: y01 = (0,1,0)T , y02 = (1e − 5,1,0)T

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Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Valores de ρ distintos

com ρ = 14, σ = 10 e b = 83 .

Pontos iniciais: y01 = (0,1,0)T , y02 = (1e − 5,1,0)T

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Valores de ρ distintos

com ρ = 14, σ = 10 e b = 83 .

Pontos iniciais: y01 = (0,1,0)T , y02 = (1e − 5,1,0)T

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Conclusão

Tolerância de erroPonto inicialParâmetro ρ

Valores de ρ distintos

com ρ = 23, σ = 10 e b = 83 .

Pontos iniciais: y01 = (0,1,0)T , y02 = (1e − 5,1,0)T

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1 Teoria do caos2 Instabilidade dos resultados3 Imprevisibilidade a longo prazo de sistemas

determinísticos e dinâmicos não-lineares

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Bibliografia I

E. Ott.Chaos in Dynamical Systems. 2 Edition.Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

U. Ascher & L. Petzold.Computer Methods for Ordinary Differential Equations andDifferential-Algebraic Equations.Siam, Philadelphia, 1999.

S. H. Strogatz.Nonlinear Dynamics and Chaos.Addison-Wesley Publishing Company, Boston, 1994.

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