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6/Maio/2015 – Aula 17
6/Maio/2015 – Aula 18
Equação de Schrödinger.Aplicações:
1º – partícula numa caixa de potencial2º – partícula num poço de potencial
finito
Conclusão da aula anterior3º – oscilador harmónico simples4º – barreira de potencial, probabilidade de
transmissão.
2
-h
2
2m
d2Ψ x( )dx2
+U pot x( )Ψ x( ) = Etotal Ψ x( )
Substituindo na equação das ondas obtém-se a Equação de Schrödinger na sua forma mais simples, independente do tempo, para uma partícula com movimento ao longo de x :
Equação de Schrödinger
d2Ψ x( )dx2
= -2m
h2
E-U( )Ψ
Equação de Schrödinger (cont.)
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Aplicações da equação de Schrödinger1º – partícula numa caixa de potencial
A equação de Schrödinger permite explicar os sistemas atómico e nuclear, onde os métodos clássicos falham.
Equação de Schrödinger para uma partícula numa caixa:
d2Ψ x( )dx2
= -2m
h2
E-U( )Ψ
A energia potencial nas paredes da caixa é nula e as paredes são infinitas.
U (x) = 0 para 0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ L
U (x) = ∞∞∞∞ para x ≤≤≤≤ 0 e x ≥≥≥≥ L
Aula anterior
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Agora é necessário resolver a equação de Schrödinger para determinar a função de onda ψψψψ que representa a partícula na caixa.
A solução da equação de Schrödinger que satisfaz estas condições é do tipo
Como as paredes são infinitas, ψψψψ vai ser nula fora da caixa. Nestecaso, as duas condições fronteira são :
ψψψψ (x) = 0 para x = 0 e x = L
( ) ( )x Asen k xΨ =
1º – partícula numa caixa de potencial (cont.)
Aula anterior
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1º – partícula numa caixa, verificação da solução
1ª condição fronteira : ψψψψ (x) = 0 para x = 0
� É verificada (sen 0 = 0)
2ª condição fronteira : ψψψψ (x) = 0 para x = L
� É verificada se k L for um múltiplo de ππππ, ou seja, se k L = n ππππ , com n inteiro
k L =2mE
hL = nπ
Como se definiu , tem-se, a
partir desta condição
k =2mE
h
En
erg
ia
A energia mínima é > 0
Aula anterior
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1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
k L =2mE
hL = nπ( ) ( )x Asen k xΨ =
Ψ x( ) = A sennπ x
L
Para determinar A, vai ser necessário usar a condição de normalização:
2dx 1ψ
∞
−∞
=∫
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(finalmente…)
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
( )2 n x
x senL L
πψ
=
Aula anterior
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Consideremos uma partícula cuja energia potencial é nula na região 0 < x < L (poço) e igual a U (valor finito) fora dessa região.
Para determinar as características desta partícula é necessário resolver a equação de Schrödinger:
No caso da partícula numa caixa de lados infinitos, a função de onda era nula nas paredes. Mas, neste caso, como as paredes representam um potencial finito, a função de onda já não vai ser nula .
2º – partícula num poço de potencial finito
d2Ψ x( )dx2
= -2m
h2
E-U( )Ψ
Aula anterior
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2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
Portanto, as soluções nas regiões I e III são:
Matemática
A solução geral desta equação é do tipo ψψψψ = A eCx + B e -Cx , em que A e B são constantes.
Física
Na região I ( x < 0 ), B e-Cx aumenta exponencialmente com x < 0; esta situação não tem significado físico ⇒⇒⇒⇒ B = 0 .
Na região III ( x > L ), A eCx aumenta exponencialmente com x > L;esta situação não tem significado físico ⇒⇒⇒⇒ A = 0 .
Ψ
Ψ
=
=
C x
-C x
Ae
B e
Ι
ΙIΙ
Aula anterior
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A solução geral desta equação é do tipo ψψψψ I I = F sen (kx) + G cos (kx), em que F e G são constantes.
As funções de onda na região II são sinusoidais.
2
2
dD
dx
ΨΨ=
Região II
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
U < E
em que D é uma constante negativa
Aula anterior
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Funções de onda Densidades de probabilidade
Fora da caixa: funções de onda exponenciais ψψψψ I = A eCx , ψψψψ III = B e-Cx
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
No interior: funções de onda sinusoidais ψψψψ II = F sen (kx) + G cos (kx)
Aula anterior
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As constantes A , B , F e G podem ser determinadas a partir das condições nas fronteiras :
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
continuidade das funções de onda nas fronteiras
As funções de onda têm que ser iguais (e as suas derivadas também) nas zonas de transição.
Ψ ΨΨ Ψ
Ψ ΨΨ Ψ
= =
=
=
= =
x 0 : e
x
d d
d x d x
d d
d d:
xL e
x
Ι ΙI
Ι ΙI
ΙI ΙII
ΙI ΙII
Aula anterior
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3º – oscilador harmónico simples
Considere uma partícula sujeita a uma força de restituição linear dada por F = - k x .
x é o deslocamento relativamente à posição de equilíbrio (x = 0) e k é uma constante.
Quando a partícula é deslocada da sua posição de equilíbrio e libertada, começa a oscilar em torno de x = 0 com um movimento harmónico (movimento semelhante ao dos átomos numa rede cristalina).
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Classicamente, a energia potencial U do sistema é igual a
2 2 21 1U k x m x
2 2ω= =
com a frequência angular de vibração ωωωω dada pork
mω =
A energia total E do sistema é a soma das energias cinética e potencial:
21E E U k A
total cinética 2= + =
em que A é a amplitude do movimento.
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
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3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Classicamente, todos os valores de energia E são permitidos
Quanticamente, é necessário resolver a eq. de Schrödinger com U = ½ ωωωω 2x 2m para determinar os níveis de energia permitidos :
d2Ψ x( )dx2
= -2m
h2
E-U( )Ψ
d2Ψ x( )dx2
= -2m
h2
E-1
2mω2 x2
Ψ
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Uma das soluções da eq. de Schrödinger para este caso é do tipo
C =mω
2hE0 =
hω
2
Esta solução particular corresponde ao estado de menor energia do sistema (estado fundamental - ground state ).
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
ψψψψ = B e – C x2
Os estados de maior energia (excitados) podem ser obtidos a partir do estado fundamental:
com n = 1 , 2 , …E
n= n +
1
2
h ω
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A diferença de energia entre estados consecutivos é igual a
Se a partícula estiver num certo estado e passar para o estado de energia imediatamente abaixo, vai perder um quantum de energia– exactamente a quantidade de energia de um fotão.
Diagrama de níveis de energia. Os níveis estão igualmente espaçados (com separação hhhhωωωω ) e o estado fundamental tem energia E0 = hhhhωωωω /2
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
En- E
n-1= h ω =h ν
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Curvas a azul
Probabilidades clássicascorrespondentes às mesmas energias.
Classicamente, a partícula está mais tempo nas amplitudes extremas (maior probabilidade).
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Curvas a vermelho
Densidades de probabilidade para os estados com n = 0, 1 e 2.
Do ponto de vista quântico, em certas regiões sobre o eixo x , a probabilidadede encontrar a partícula é nula.
1919
En
erg
ia
4º – barreira de potencial
Se uma partícula estiver num poço de potencial com paredes finitas, as suas funções de onda penetram as paredes.
Consideremos agora o caso de uma partícula que incide numa barreira de potencial suficientemente fina.
A resolução da equação de Schrödinger permite obter as funções de onda desta partícula.
2020
En
erg
ia
4º – barreira de potencial (cont.)
A resolução da eq. de Schrödinger aplicada às regiões I, II e III, com as condições fronteira para cada região (as funções de onda têm de ser contínuas nas separações), conduz às seguintes soluções:
Regiões I e III ( E > U = 0 )
Funções de onda sinusoidais.
Região II ( E < U )
Funções de onda exponenciais (decrescentes) .
Como a probabilidade de se encontrar a partícula numa dada regiãoé proporcional a |ψψψψ |2 , então existe uma probabilidade finita, nãonula, de se encontrar a partícula na região III .
2121
En
erg
ia
4º – barreira de potencial (cont.)
Isto significa que a partícula tem uma probabilidade finita de penetrar a barreira, ainda que a energia da barreira seja superior à da própria partícula.
Qual será a energia da partícula após ter penetrado a barreira?
- O quadrado da função de onda indica a probabilidade de a partícula atravessar a barreira, não a sua energia.
- O comprimento de onda da função de onda é que indica o momento e, portanto, a energia da partícula.
2222
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão
Nas condições deste problema, a energia é a mesma antes e depoisde atravessar a barreira.
A probabilidade de a partícula passar através da parede pode sercalculada a partir da função de onda ψψψψ que, por sua vez, vai sercalculada através da equação de Schrödinger.
Essa probabilidade pode ser descrita em termos de um coeficiente de transmissão (T ) e de um coeficiente de reflexão (R ):
O coeficiente de transmissãomede a probabilidade de a partícula penetrar a barreira.
|ψψψψ |2 para a região II
2323
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão (cont.)
O coeficiente de reflexão é igual à probabilidade da partícula ser reflectida pela barreira.
Dado que a partícula só pode ser transmitida ou reflectida
Uma solução (aproximada) da equação de Schrödinger (quando a barreira for suficientemente alta ou larga) é dada por:
, com eα =2m U - E( )
h
( )
( )
2
1 2
2
1 2
k - kR
k k=
+
T R 1+ =
T = e−2α L
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Um electrão com uma energia de 2 eV encontra uma barreira de potencial com uma amplitude de 5 eV. Determine a probabilidade do electrão atravessar a barreira se a largura desta for igual a
a) 1,0 nm (aproximadamente 10 diâmetros atómicos)b) 0,5 nm (aproximadamente 5 diâmetros atómicos)
A probabilidade do electrão atravessar a barreira (por efeito de túnel) é dada por
α =2m U - E( )
h
-19U - E 5 - 2 3 eV 4,8 .10 J= = =
-31 -19
9 -1
-34
2 9,11.10 kg 4,8.10 J8,9.10 m
1,05.10 Jsα
× ×= =
Neste caso:
2 LT e
α−=
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Um electrão com uma energia de 2 eV encontra uma barreira de potencial com uma amplitude de 5 eV. Determine a probabilidade do electrão atravessar a barreira se a largura desta for igual a:
a) 1,0 nm (aproximadamente 10 diâmetros atómicos).b) 0,5 nm (aproximadamente 5 diâmetros atómicos).
Diminuindo a largura da barreira para metade, a proba-bilidade do electrão a atravessar aumenta ≈≈≈≈ 10 4 vezes.
9 -9-2 L -2 8,9.10 1.10 -8
T e e 1,86.10α × ×= = =a) L = 1,0 nm
9 -9-2 L -2 8,9.10 0,5.10 -4
T e e 1,36.10α × ×= = =b) L = 0,5 nm