Ubungen zur Theoretischen Physik: Komplexe Quantensysteme WS 2014/15

Prof. Dr. T. Feldmann, S. Krankl, D. Rosenthal

Blatt 10 — Ausgabe: Di, 16.12.2014 — Abgabe: Di, 06.01.2015

Aufgabe 29: Dirac-Feldoperatoren

Das quantisierte Dirac-Feld wird beschrieben durch die Feldoperatoren

ψ(x) =

∫d3p

(2π)3

1√2E

∑s

(b(~p, s) u(~p, s) e−ip·x + d †(~p, s) v(~p, s) e ip·x

)(1)

ψ(x) =

∫d3p

(2π)3

1√2E

∑s

(b†(~p, s) u(~p, s) e ip·x + d(~p, s) v(~p, s) e−ip·x

), (2)

mit E = p0 =√

(~p)2 +m2. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind dabei

wie folgt normiert:

{b(~p, s), b†(~q, r)} = {d(~p, s), d †(~q, r)} = (2π)3 δ(3)(~p − ~q) δrs . (3)

Drucken Sie den Hamilton-Operator fur ein Vielteilchensystem aus freien Dirac-Fermionen

durch die Feldoperatoren aus.

(a) Losen Sie hierzu zunachst die Gleichungen (1)-(2) nach den Auf- und Absteige-

operatoren auf, indem Sie die Orthogonalitatsrelationen der Spinorkoeffizienten

u(~p, s) und v(~p, s) ausnutzen:

u†(~p, r)u(~p, s) = v †(~p, r)v(~p, s) = 2E δrs ,

u†(~p, r)v(−~p, s) = v †(−~p, r)u(~p, s) = 0

(b) Setzen Sie das Ergebnis aus (a) in die Definition des Hamiltonoperators ein,

H =

∫d3p

(2π)3E∑s

(b†(~p, s)b(~p, s) + d †(~p, s)d(~p, s)

)=

∫d3p

(2π)3E∑s

(b†(~p, s)b(~p, s)− d(~p, s)d †(~p, s) + const.

), (4)

wobei die unendliche Konstante im Sinne der Normalordnung zu vernachlassigen

ist.

(c) Verifizieren Sie, dass sich das Ergebnis fur H aus (b) wie die Zeitkomponente

eines 4er-Vektors transformiert.

Weihnachtsratsel (um die Ecke gedacht) [copyright: Th. Feldmann]

1.

2. 10

B 4. 3. A 7

20 6. 7. 8.

5. 1 9. 4 11.

11 10. 15

O13. 12. 13 14. 17

H15. 17. 19. E

16. 2 18.

NE 21. 20. 3 19

22.

6 24. Z23. 14

A 25. 18 9

26. 8 16

27. 5 A12

28. U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

waagerecht senkrecht

3. Mit dem Potential kommt man nicht weit.

5. Figurbewusste Ladungsverteilungen reden haufig

uber ihren . . .

10. Nicht nur bei der Streuung ein dehnbarer Begriff.

12. Schmerzhaft auf Boxers Lippe, clever in der Streu-

theorie.

16. Spielt ohne -ing- bei den Peanuts Klavier, in der

QM die 1.Geige.

18. Klein aber oho.

20. Steg? Brucke? Viadukt? ??

22. Physiker, die noch etwas grun hinter den Ohren

sind, haben wohl noch nichts von dieser Funktion

gehort.

23. Bei Maschinenbauern gelagert, bei Physikern ge-

wellt.

25. Wenn Siegener Studierende nicht elitar sind, dann

sind sie wenigstens . . .

26. Trostlich, daß es auch in Bond-Filmen vorkommt.

27. Gibt’s mit Wigner auch in schmal.

28. Mutter aller Vielteilchenzustande.

1. Arktis, Antarktis - Gibt’s da noch mehr?

2. Wer wird denn gleich mit Atomen auf Scheunen

schießen?

4. Erhebt Alleinstellung zum Prinzip.

6. Mit Vorsilben macht dies Wort Ununsinn.

7. Ein unscharfes Bild? - Hat bestimmt mit ihm zu

tun.

8. Verandert sich bei stationaren Zustanden doch.

9. Kommt mit Gordon groß raus.

11. Wenn man den Dreh raus hat, erklart sich die Sta-

tistik.

13. Welcher Storenfried ist hier an der Reihe?

14. Der Sonnenkonig herrschte absolut nicht so; Pho-

tonen sind es.

15. Eingesperrt in eine Box bleibt dieses ganz diskret.

17. Gabe es einen Geldoperator, konnte man den in Eu-

ro angeben.

19. Hat eigentlich nichts mit Wintereinbruch in der City

zu tun.

21. Schweigen ist silber, golden ist die . . . (sagt Enrico)

24. Hier schließt sich der Kreis (Theorem).

[a,o,u = 1 Buchstabe]