Statistik II (Sommersemester 2014) 16. bis 20. JuniProf. Dr. Bernd WilflingFabian Gößling B.Sc.

Tutorium 9Gemeinsame Verteilungen, Grenzwertsätze und t-Verteilung

Aufgabe 1

Die Brenndauer von Glühlampen eines bestimmten Typs sei normalverteilt mit Erwar-tungswert µ = 300 (Stunden) und Varianz σ2 = 1002 (Stunden2). Aus der Produktionder Glühlampen werden zwei Glühlampen (A und B) zufällig ausgewählt. Die Brenn-dauern sind stochastisch unabhängig. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dassvon den beiden Glühlampen

a. die Glühlampe A eine Brenndauer von genau 300 Stunden und die Glühlampe Beine Brenndauer von über 300 Stunden hat,

b. sowohl die eine als auch die andere Glühlampe eine Brenndauer von unter 300Stunden hat,

c. eine beliebige der beiden Glühlampen eine Brenndauer von über 300 Stunden unddie andere eine Brenndauer von unter 300 Stunden hat,

d. die Brenndauer beider Glühlampen zusammen unter 500 Stunden beträgt.

Aufgabe 2

Ein Anleger legt 50% seines Vermögens in Aktien A an und 50% in Aktien B. DieRenditen RA und RB der beiden Aktien für das folgende Jahr sind Zufallsvariablen. IhreErwartungswerte sind

E (RA) = 0.15

E (RB) = 0.13.

Die Volatilität der Rendite wird meist durch die Standardabweichung (oder die Varianz)gemessen; die Standardabweichungen sind√

V ar (RA) = 0.20√V ar (RB) = 0.17.

Die beiden Aktien bewegen sich nicht unabhängig voneinander; ihre Kovarianz beträgtCov (RA, RB) = 0.024.

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a. Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten für RA und RB.b. Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Rendite des Portfo-

lios.c. Kann der Anleger durch eine andere Vermögensaufteilung sein Risiko verringern?

Welche Aufteilung minimiert die Varianz der Portfoliorendite?

Aufgabe 3

In einer Urne sind 20 weiße und 30 schwarze Kugeln:a. Jemand zieht mit Zurücklegen 10 Kugeln aus der Urne. Wie groß ist die Wahr-

scheinlichkeit, dass von den 10 gezogenen Kugeln mindestens 3, aber höchstens 5weiß sind?

b. Jemand zieht mit Zurücklegen 1000 Kugeln aus der Urne. Wie groß ist die Wahr-scheinlichkeit, dass von den 1000 gezogenen Kugeln mindestens 300, aber höchs-tens 500 weiß sind?

Aufgabe 4

Die t-Verteilung eignet sich gut zur Beschreibung von Aktienrenditen, da bei kleinerAnzahl der Freiheitsgrade ν die Dichtefunktion sogenannte fat tails aufweist. Damitsind die Wahrscheinlichkeiten für hohe Verluste (und hohe Gewinne) größer als bei Ver-wendung der (Standard)-Normalverteilung.

a. Skizzieren Sie die Dichtefunktionen der Standardnormalverteilung und der t-Verteilung. Verdeutlichen Sie, wie sich die Form der Dichtefunktion der t-Verteilungmit steigender Anzahl der Freiheitsgrade ändert.

b. Es wird angenommen, dass die Renditen der BASF Aktie t-verteilt mit ν = 4sind. Interpretieren Sie dabei vereinfachend x = 3 als 3% Rendite usw. . Wie breitist das zentrale Intervall, in das 90% der Renditen fallen?

c. Um das Risiko der Aktie abzuschätzen möchten Sie herausfinden, wie groß derVerlust ist, der mit 99% Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. Wie lautetdas entsprechende Quantil?

d. Nehmen Sie an, Sie hätten eine fälschlicherweise ein Standardnormalverteilungals passende Wahrscheinlichkeitsverteilung vorausgesetzt. Wie groß ist dann derFehler im Vergleich zu c)?

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Quantile der t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden

ν\p 0.9 0.95 0.975 0.991 3.0777 6.3138 12.7062 31.82052 1.8856 2.9200 4.3027 6.96463 1.6377 2.3534 3.1824 4.54074 1.5332 2.1318 2.7764 3.74695 1.4759 2.0150 2.5706 3.36496 1.4398 1.9432 2.4469 3.14277 1.4149 1.8946 2.3646 2.99808 1.3968 1.8595 2.3060 2.89659 1.3830 1.8331 2.2622 2.821410 1.3722 1.8125 2.2281 2.763811 1.3634 1.7959 2.2010 2.718112 1.3562 1.7823 2.1788 2.681013 1.3502 1.7709 2.1604 2.650314 1.3450 1.7613 2.1448 2.624515 1.3406 1.7531 2.1314 2.602516 1.3368 1.7459 2.1199 2.583517 1.3334 1.7396 2.1098 2.566918 1.3304 1.7341 2.1009 2.552419 1.3277 1.7291 2.0930 2.539520 1.3253 1.7247 2.0860 2.528021 1.3232 1.7207 2.0796 2.517622 1.3212 1.7171 2.0739 2.508323 1.3195 1.7139 2.0687 2.499924 1.3178 1.7109 2.0639 2.492225 1.3163 1.7081 2.0595 2.485126 1.3150 1.7056 2.0555 2.478627 1.3137 1.7033 2.0518 2.472728 1.3125 1.7011 2.0484 2.467129 1.3114 1.6991 2.0452 2.462030 1.3104 1.6973 2.0423 2.457331 1.3095 1.6955 2.0395 2.452832 1.3086 1.6939 2.0369 2.448733 1.3077 1.6924 2.0345 2.444834 1.3070 1.6909 2.0322 2.441135 1.3062 1.6896 2.0301 2.437736 1.3055 1.6883 2.0281 2.434537 1.3049 1.6871 2.0262 2.431438 1.3042 1.6860 2.0244 2.428639 1.3036 1.6849 2.0227 2.425840 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233

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