Trigonometria
Transcript of Trigonometria
Teorema Fundamental da
Trigonometria
1cossen 22
Demonstração ...
)θ1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ·
Continuação...
)θ1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1
Continuação...
)θ
sen θ
cos θ
1
Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :
1cossen 22
Relações Trigonométricas no
Triângulo Retângulo
)θ
Hipotenusa
Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θ
Tangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo RetânguloEnte Trigonométrico
HI
COsen
HI
CAcos
CO
HI
sen
1seccos
CA
COtg
CA
HI
cos
1sec
CO
CA
tg
1gcot
Na Circunferência Trigonométrica
)θcos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ
Continuação ...
)θ0
·
cotg cotg θ
secante θ
cossec θ
Arcos Notáveis
30150
210 330
45135
225 315
60120
240 300
cos
sen
0
tg
90
180
270
0 /360
arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
rad 06 4 3 2 3
22
seno 02
1
2
2
2
31 0 - 1 0
cosseno 12
3
2
2
2
10 - 1 0 1
tangente
cos
sen 03
31
3- - - 0 - - - 0
Tabela de Entes Trigonométricos ...
Vamos pensar . . .
Que tal fazermos um teste para verificação do que foi
apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que o sen vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
b
hip
.o.csen
2) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que o cos vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
a
hip
.a.ccos
3) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que a tg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
a
b
.a.c
.o.ctg
4) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que a cotg
vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c b
a
.o.c
.a.cgcot
5) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que tg .cotg
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1 1.o.c
.a.c.
.a.c
.o.c
gcot.tg
6) Se a = 3b, podemos
dizer então, que
sen2 + cos2 vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
c) 0
d) 1
e) (c2 + b2) / 9a2
Pelo teorema fundamental da
trigonometria, temos que:
sen2 + cos2 = 1
portanto,
7) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que sec2 - 1
vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 12
2
2
2
cos
1sec
cos
1sec
olog,cos
1sec
22
2
2
2
2
2
2 tg1seccos
sen
cos
cos11
cos
11sec
2
22
2
2
cos
sentg
cos
sentg
olog,cos
sentg
22
22
cos1sen
1cossen
22 tg1sec
8) Em relação ao
ângulo , podemos
dizer que cossec2 - 1
vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 12
2
2
2
sen
1seccos
sen
1seccos
olog,sen
1seccos
22
2
2
2
2
2
2 gcot1seccossen
cos
sen
sen11
sen
11seccos
2
22
2
2
sen
cosgcot
sen
cosgcot
olog,sen
cosgcot
22
22
sen1cos
1cossen
22 gcot1seccos
9) Se sen b/c,
então, calculando o
valor de
chegaremos a:
a) a/c
b) b/c
c) a/b
d) b/a
e) 1
cos
1cos.)cos1(.
sen
cosy
cos
11.)cos1(.gcoty
22
22
cos1sen
1cossen
cos
11.)cos1(.gcoty
)coscos1(cos.sen
1y
1cos.)cos1(.sen
1y
2
)cos1(.sen
1y 2
2sen.sen
1y
c
by
seny
Voltando
a parte teórica
Lei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
Lei dos Cossenos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
Continuação ...
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é
reto, por exemplo, Â= 90°, temos :
90coscb2cba 222
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ...
0cb2cba 222
Temos, portanto ... 222 cbaTeorema de Pitágoras
Gráficos das funções trigonométricas
sen x
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
• •0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90°
• 90°
1
-1
Continuação ...
cos x
y
x•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
0°
540°
720°450° 630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
1
-1
Continuação ...
tg x
y
x• • • • • • • • • 0° 360°
-90° 90°
180°
270° 450°
540°
630°
Continuação ...
y
x
• •
•
•
•
•
•
• • •0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90°
• 90°
1
-1
cossec x
Continuação ...
•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
0°
540°
720°450° 630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
sec x
y
x
1
-1
Continuação ...
cotg x
y
x• • • • • • • • •
0° 360°
90°
180°
270° 450°
540°
630°
720°
TRIGONOMETRIA APLICADA
• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia,
com luz solar, de uma determinada cidade norte americana,
“t” dias após 1º de janeiro.
)80t(365
2sen8,212)t(L
Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34
Trigonometria
Algumas Aplicações
Parte Prática
O exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente)
a altura de um prédio, sem a necessidade de subir
ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados,
seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .
hd.tg
d
htg
.a.c
.o.ctg
temos que:
portanto: tg.dh
Conhecendo a distância d que
vale 50 metros e o ângulo
que vale 30°, podemos dizer
então que:
metros8675,28h
95773502691,0.50h
30tg.50h
tg.dh
Exemplo 1
A inclinação de uma rampa
Uma rampa com inclinação constante, (como
a que existe em Brasília) tem 6 metros de
altura na sua parte mais elevada. Um
engenheiro começou a subir, e nota que após
ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está
a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será
que este engenheiro somente com esses dados
e uma calculadora científica conseguiria
determinar o comprimento total dessa rampa e
sua inclinação em relação ao solo?
Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que
representa essa situação.
Observemos:
6 metros16,4 metros
2 metros
Comprimento total da rampa
solo
6 metros
16,4 metros
2 metros
Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Temos em relação
ao ângulo
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
121219512195,04,16
2
hip
.o.csen
Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos
transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco,
cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.
Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o
ângulo , com o auxílio da calculadora que
normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então,
devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de
sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá
ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos
considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!
2,49121219512195,0
6
7sen
6
sen
o.chip
sen
o.chip.o.chip.sen
hip
.o.csen
6 metros2 metros
16,4 metros
hip c.o.
c.a.
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes,
portanto, podemos dizer que é válido para ambos
Como:
Chegamos a conclusão que o
comprimento total da rampa é 49,2 metros
Exemplo 2
Mecânica Geral
ou Trigonometria?
Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência
no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros
assuntos.
Observemos os exemplos a seguir:
Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde
F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de
determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo
que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?
Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F nos eixos das abscissas e das
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F e )y(2F .
Analogamente, encontraremos as projeções de 3F , encontrando os componentes )x(3F e )y(3F .
A resultante relativa ao eixo das abscissas )x(Ré obtida
da seguinte maneira:
)x(31)x(2)x( FFFR
60cos.FFFF.60cosF
F60cos.
hip
a.ccos
45cos.FFFF.45cosF
F45cos.
hip
a.ccos
Como
3)x(3)x(33
3
)x(3
2)x(2)x(22
2
)x(2
N20F5,0.4060cos.FF
N70F70,0.10045cos.FFtotanPor
)x(33)x(3
)x(22)x(2
)x(31)x(2)x( FFFR
N70R
202070R
)x(
)x(
A resultante relativa ao eixo das abscissas )y(Ré obtida
da seguinte maneira:
)y(34)y(2)y( FFFR
60sen.FFFF.60senF
F60sen.
hip
o.csen
45sen.FFFF.45senF
F45sen.
hip
o.csen
Como
3)y(3)y(33
3
)y(3
2)y(2)y(22
2
)y(2
N4,34F86,0.4060sen.FF
N70F70,0.10045sen.FFtotanPor
)y(23)y(3
)y(22)y(2
)y(34)y(2)y( FFFR
N6,25R
4,341070R
)y(
)y(
Colocando )x(R e )y(R , nos eixos das abscissas e das
ordenadas, respectivamente,
Percebemos que a figura formada pelas forças é umtriângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força
Resultante R , )x(R é o cateto adjacente a e )y(R o
cateto oposto a , então, vale o teorema de Pitágoras para
calcularmos o valor de R .
N53,74R
36,5555R
36,5555R
36,6554900R
6,2570R
RRR
cch
2
2
22
2
2
)y(
2
)x(
2
222
Para o cálculo do ângulo , temos:
3657,070
6,25
R
R
.a.c
.o.ctg
)x(
)y(
3657,0tg
Esse é o valor da tangente do ângulo
Para calcularmos o valor do ângulo ,
temos que encontrar o arctg , então:
20
3657,0arctgarctg
Concluímos então que a Resultante N53,74R e forma
um ângulo 20 com o eixo x.
Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos
pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele
conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das
medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele
percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é
escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a
largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele
demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13
Solução:
Resumidamente, temos o
triângulo ao lado que
representa nosso desafio.
)II(y.3h
y.60tghhy.60tgy
h
.a.c
.o.c60tg
)I()y20(.3
3h
)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(
h
.a.c
.o.c30tg
metros10y
y220yy320y.3)y20(
y.3.3)y20(.3y.3)y20(.3
3
y.3h)II()y20(.3
3h)I(
Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como
metros17h
10.7,1h
y.3h
30 metros
17 metros para
subir a árvore
17 metros para
descer da árvore
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar
quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
segundos20eutosmin5touutosmin333,5t
60
segundos320tsegundos320
2,0
64t
V
stst.V
t
sV
v = 0,2 m/s
Obrigado pela
participação de todos!!!
Prof. Luciano
Ribeiro