CCP PC 1 2004 Problème II

TRANSFERTS THERMIQUES DANS UN TUBE ECHANGEUR

I Transfert thermique dans un milieu homogène.

I.1 Le flux thermique se fait des zones chaudes vers les zones froides I.2 dSnjd

=Φ

I.3 Isothermes dT = 0 donc 0dTldTdagrld.j =λ−=λ−=

Les isothermes sont donc telles que jdl= 0 => j orthogonal à dl Alors que les lignes de flux sont tangentes à dl

I.4∫∫∫ =

∂∂ρ VdansstockéepuissancedV

t

Tc

StraversàéchangéecepuissandSnj∫∫ =

∫∫∫ = VdansproduitepuissancedVpth

et ∫∫∫∫∫ = dVjdivdSnj

la forme locale de l'équation précédente est donc

thpjdivt

Tc =+

∂∂ρ

.

Avec la loi de Fourier, et div(λgrad)=λ ∆ pour un solide homogène et isotrope

ceci s'écrit : thpTt

Tc =∆λ−

∂∂ρ

I.5c

aρλ= diffusivité thermique . en m2s-1

II Transfert thermique dans un tube

II.1 Régime stationnaire : T indépendant de tSymétrie cylindrique et invariance selon Oz : T ne dépend que de r Pas de terme de source : pth=0 : L'équation de la chaleur se réduit alors à ∆Τ = 0

0dr

)dr

dTr(d

r

10

dr

Td

dr

dT

r

12

2

=<=>=+ => Adr

dTr =

donc r

drAdT

r

A

dr

dT ==>= soit 1

1 r

rlnAT)r(T =−

avec 1

212 r

rlnATT =−

112

121 r

rln

)r/rln(

TTT)r(T

−+=

le flux thermique est LA2)Lr2(r

A)Lr2(

dr

dTdsnj πλ−=πλ−=πλ−==φ ∫∫

)r/rln(

TTL2

12

12 −πλ−=φ

Ce flux est constant car le régime est stationnaire

II.2λπ

=L2

)r/rln(R 12

th s'exprime en KW-1.

II.3

λ−=∆ thp

T soit λ

−==+ th2

2 p

dr

)dr

dTr(d

r

1

dr

Td

dr

dT

r

1

B2

rp

dr

dTrr

p

dr

)dr

dTr(d 2

thth +λ

−==>λ

−=

1

21

2th1

th

r

rlnB)rr(

4

pT)r(T

r

B

2

rp

dr

dT +−λ

=−=>+λ

−=

On détermine B à l'aide deTt(r=r2)=T2

)r/rln(

)r/rln()]rr(

4

p)TT[()rr(

4

pT)r(T

12

121

22

th12

21

2th1 −

λ+−+−

λ+=

Φ n'est plus proportionnel à (T2-T1 ) : la notion de résistance thermique n'a plus de sens

II.4

c

fpfpc R

TT)TT(hLr2jLr2dSnj

−=−π=π=∫∫

avec

cC hLr2

1R

π=

Si hC -> infini Tp-> Tf car j demeure fini

II.5)TaTp(j 44 −σε= s'écrit avec θ−=θ+=−+= mmm TTaetT

2

TaTpTTp

])T

1()T

1[(T))T()T(()TaTp(j 4

m

4

m

4m

4m

4m

44 θ−−θ+σε=θ−−θ+σε=−σε=

)TaTp(T42

TaTp8T]

T8[Tj 3

m3

mm

4m −σε=−σε≈θσε≈ donc 3

mray T4h σε=

A.N hray = 0.59 jr= 167 Wm-2 jc = 200 Wm-2 Les deux termes sont du même ordre . J= jray+jc= (hray+hc)(Tp-Tf-) équivalent aux deux résistances en parallèle

- II.6 Le flux est le même à travers les trois couches : équivalent a trois résistances en série.

Φ=−Φ=−Φ=−

cef

ee2

121

RTT

RTT

RTT

avec

hL)er(2

1R

r

erln

L2

1R

r

rln

L2

1R

2c

2

2

ee

1

21

+π=

+λπ

=

λπ=

ΦR

th

T1

T2

ΙR

V1

V2

II.7

ce1

f1

RRR

TT

c++

−=Φ soit

)er(h

1

r

erln

1

r

rln

1)TT(L2

2c2

2

e1

2

f1

+++

λ+

λ

−π=Φ

la couche d'isolant augmente la résistance de conduction Re mais diminue la résistance de convection Rc

Il y a donc une valeur optimale de e qui correspond à 0de

)Rc(Red =+

Soit en posant x = r2+e h

x0)xh

1xln

e

1(

dx

d e

c

λ==>=+λ 2

c

e rh

e −λ=

III Ebullition de l'eau en convection forcée

III.1 P = R I2 R = Résistance électrique = ξ elec L/π( r22-r1

2)

Pour un tube de longueur unité )rr(

Ip

21

22

2

elecj−π

ξ=

III.2 Pendant dt ,l'eau qui passe de x en x+dx ( soit le volume S qdt) se réchauffe de dT en recevant une quantité de chaleur δQ =pj Sdx pendant dt

dtdxSpSdTqdcQ jeaueau =ρ=δ soit

)rr(

Ip

dx

dTqc

21

22

2

elecjeaueau−π

ξ==ρ

On a négligé le transfert par conduction dans l'eau, beaucoup plus lent que le transfert par convection. A.N xc = 1 m Pour x>xc il y a ébullition

III.3d

)rr(

ILq

21

22

2

eleceau−π

ξ=ρ

d = 6.7 m Il y a un palier de de changement d'état

le tube n'est pas parfaitement isolé : dréel > dthéorique

373

2

1 6.7 x

T