Transfert de chaleur · · 2014-11-24Transfert de chaleur Chap 3- 3 1 0 L x 2x C TxC k 1 xL S22 C...

Transfert de chaleur Chap 3- 1

Transfert de chaleur

Chapitre 3 : Conduction unidirectionnelle en régime

permanent (Partie 1)

Mur plan sans génération de chaleur (3.1)

qx qx+dx

x

TS2

TS1

xL0Hypothèses

EG=0

(∂T/∂t)=0,

k=constante

T=T(x)

Volume de contrôle

A.Δx


Bilan de chaleur:

0= |qA.- |qA. x+xxxx

x

0=x

|q-|q x+xxxx

A

qx + dx

qx

E in – E out + Eg = E acc

On fait tendre ∆x vers 0, et on obtient:

dx

dTkCqx 1constante

21

1

Cxk

CT

dxk

CdT

0xdq

dx

Il s’agit d’un profil linéaire.

La loi de Fourier

11


xL01( ) 2x

CT x C

k

12 2x L S

Cx L T T L C

k 121 SS TTL

kC

1

12S

SS TxL

TTxT

[1]

TS2

TS1

0 10 x Sx T T

L’expression du profil de température est :

11

Les conditions frontières:

10 2 2

1 2

0x

S

CT C C

k

T C

En électricité, on a la loi d’Ohm : ΔU = R.I

Flux de chaleur qui passe à travers un mur:

Notion de résistance thermique (3.2)

xSS qAk

LTT

21

x

Tq q A k A

x

[2]

∆T = R ther. qx

2 11

S SS

T TT x x T

L

1 2 x S S

kAq T T

L

Par analogie, on définit la résistance thermique R:


[3] Ak

LRCONDUCTION

Pour la conduction en régime permanent dans un mur:

TS2

TS1

TS1 TS2

R= ----Lk.A

xSS qAk

LTT

21

Les températures de surface ne sont pas connueset les conditions frontières sont:

Mur plan avec convection aux surfaces (3.3)

0 1 1 1

2 2 2

1:

2 :

x x S

x x L S

CF q h T T

CF q h T T

1

11

1

hAqTT xS

2

22

1

hAqTT xS

kA

qTT xSS

1 21

x Ax A

On fait apparaître q’’A=qx=Cte,

et on utilise la relation [2]


Ak

L

AhAhqTT

kA

LqTT

hAqTT

hAqTT

x

xSS

xS

xS

2121

21

222

111

11

1

1

11

En additionnant les 3 équations:

On fait apparaître la résistance thermique totale du système.

T R q

TS1h1 , T1

TS2 h2 , T2

R = Ak

L

1

1

hA 2

1

hA + +

[3]

TS1 TS2 T2T1

La résistance thermique associée à la convection :

hARCONVECTION

1


Analogie avec la loi de refroidissement de Newton:

Puisque

Notion de coefficient global de transfert de chaleur (3.5)

q U T

ARU

ther

1

" therxx

TRq

q U TA A

[4]

Résistance de contact (3.6)Le contact entre deux surfaces solides n'est jamais parfait surtout compte tenu des aspérités présentes à la surface des matériaux.

S’il y a un flux de chaleur d'un solide vers l'autre alors il y aura une différence de température entre les surfaces des deux solides.

Donc plus la résistance de contact est importante, plus la variation de température est grande à l’interface.

qX

qX


SANS FLUIDE À L'INTERFACE

AVEC FLUIDE INTERFACIAL

Résistance de contacten 10-4 m2.K/W

Interface d'aluminium( pression de 105 N/m2 )

Résistancede

contact

pression de contact ==>

100 kN/m2 10 000 kN/m2 air 2.75

acier inoxydable 6 - 25 0.7 - 4.0 hélium 1.05

cuivre 1 - 10 0.1 - 0.5 hydrogène 0.720

magnésium 1.5 - 3.5 0.2 - 0.4 huile de silicone 0.525

aluminium 1.5 - 5.0 0.2 - 0.4 glycérine 0.265

Conduction radiale dans un cylindre creux (3.7)

Hypothèses

EG=0(∂T/∂t)=0,k=constanteT=T(r)

CF: TS1 et TS2

Bilan de chaleur

Volume de contrôle2 π r Δr L


Bilan de chaleur

* ATTENTION: à cette étape, ne pas diviser par ‘r’

0=r

|qr-|qr r+rrrr

0= |qrL.2- |qrL.2 r+rrrr

rC=

r

1

kC-=

dr

dTdr

dTkrCrq

dr

rqd

10

rr )()(0)(

0"

"

21Lnr)( CCrT [5]

11 22

E in – E out + Eg = E acc

On divise par 2 πΔr L, on fait tendre Δr vers 0 et on obtient:

Loi de Fourrier

Pour trouver les constantes d’intégrations, on écrit les conditions frontières:

2

1 2

S

S S

T(r) -T

T -T

T+

rrr

r

)T-T(=T(r) S2

2

1

2S2S1

Ln

Ln

* Une astuce *

Faire tout simplement ce calcul

* Une astuce *

Faire tout simplement ce calcul

[6]

11 22

1 11 1 2CF1 : r r Ln rST T C C

2 22 1 2CF2 : r r Ln rST T C C

)C+r C(-)C+r C(

)C+r C(-)C+r C(=

T-T

T-T(r)

221211

22121

S2S1

S2

LnLn

LnLn

1 2( ) LnrT r C C

Plutôt que de calculer chaque constante, on peut directement trouver l’expression du profil de température en calculant:


En utilisant la loi de Fourier, on détermine le flux de chaleur au travers du cylindre:

Lk2rr

=R 1

2

COND.CYL

Ln[7]

On obtient donc la résistance thermique associée à la conduction:

2 2r r

T q rL q Constante rL k

r

Ln

2Ln

S1 S2 2r

1

2

r( - )T T r q rL k

r rr

Ln

Ln

2S1 S2 S2

1

2

r

r T(r)= ( - ) +T T Trr

Ln 12 2

Ln Ln

S1 S2 S1 S2

1 1

2 2

r( - ) ( - )T T T TrL k rL kr rr rr r

2

1

2

1

Ln2

2Ln

S1 S2S1 S2r r

r( - )T T rq L k ( - ) qT T

r L kr

Cas avec convection sur les surfaces du cylindre creux

)T-T(h=|q"

)T-T(h=|q"

2S22r=rr

S111r=rr

2

1

2π r1L x x 2π r1L

x 2π r2L2π r2L x

1 11 1

2 22 2

2

1

1

2 r

1

2 r

Ln

2

S r

S r

S1 S2 r

T T qL h

T T qL h

rr( - ) qT T

L k

"0 2 ( )r r rmais rq C rL q Constante q pour tout r

+

+


comme

alors, on identifie les 3 résistances thermiques:

]hLr2

1+

hLr2

1+

Lk2

r

r

[q=)T-T(2211

1

2

r21

Ln

hLr2

1q=)T-T(

hLr2

1 q=)T-T(

Lk2r

r

q=)T-T(

22r2S2

11rS11

1

2

rS2S1

Ln1

2

2

3

31

Conduction

Convection

Convection11

R q =T Therr

Épaisseur critique d’isolation (3.8)

rI

rT

Supposons que la température à la surface du tuyau soit TT, que le coefficient d'échange à la surface de

l'isolant soit h et que la température de l'air environnant soit TE.

TT

TE

Milieu environnant

Isolant thermique

coefficient d'échange

‘h’

Surface du tuyau

Comment varient les pertes de chaleur avec l’épaisseur de l’isolant?


Ln

2

I

Tcond

rr

RL k

En utilisant le concept des résistances thermiques, on trouve aisément que les pertes thermiques, qr, pour une longueur L de tuyau sont:

1

2convI

Rr L h

21 1

Ln Ln1

2 2

T E T Er

I I

T I T

I

T T L T Tq

r r

r r h k rr L h L k

/totale cond conv r totaleR R R q T R

Comment varient les pertes de chaleur avec l’épaisseur de l’isolant ?étude du signe de la dérivée dqr / drI

121 11 1 LnLn

2

T E

II

I TI TrT E

I I I

L T Trr

r h k rr h k rqL T T

r r r

2

1 1Ln

1 1Ln

12

I

I T

I

I TrT E

rI I

r h k r

rr h k rq

L T Tr r

2 21 1

Ln

1 1 12

I

I T

rT E

rI I I

r h k r

qL T T

r r h k r

21 1

Ln

1 1 1 1 1 12

I

I T

T Er

I I Ir h k r

L T T terme positifr r h k r h k


Le signe de la dérivée est donc le même que celui du terme:

1 1r

I I

qterme positif

r r h k

Si D > 0 => rI < (k/h) alors les pertes augmentent si rI augmente.(2 effets : conduction + convection)

1 1

I

Dr h k

Si D < 0 => rI > (k/h)les pertes diminuent si rI augmente.

** On appelle rayon critique la valeur rc = k/h

On a choisi:TT = 50 ºC; rT = 5 x10-3 m; k = 0.35 w ; h = 10 w .

TE = 20 ºC; L = 1 m; m.ºC m2.ºC

qr= 2πL (TE - TT) .

1 + 1 ln rI

rIh k rT

11

Perte qr(W)

Rayon de l’isolant (m)

rc= k/h = 0.035 m

0

5

10

15

20

25

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08


Conduction radiale dans une sphère creuse (3.9)

* Sphère creuse avec températures des surfaces intérieure et extérieure TS1 et TS2 .

Hypothèses Volume de contrôleEG=0(T/t)=0k=constante 4 π r2ΔrT=T(r)

Bilan de chaleur0=

r

|qr-|qr 0= |q.r4- |q.r4 r+r

2rrr

2

r+rr2

rr2


On fait tendre Δr vers 0 et on obtient donc:2

r 21r

d( )qr- = 0 = Constante =q Crdr

2 2( ) ( ) 1

1 1 1 1

r r2

drC CdT = - T T C C Ck k r rr

, 1 S1 1 21

1CF1 : r = T = = +C Cr T

r

C+r

1C=T=T r=r:CF2 2

21S22 ,


1: 2r

T TFourier q k k Cr

r r

Système de 2 équations à 2 inconnues


1 1

'1 1

2 2S2 2

S1 S22 2

1 2

1 1(C + ) - (C + )C C

T(r) - rT r=1 1-T T (C + ) - (C + )C Cr r

Plutôt que de calculer chaque constante, on peut trouver directement l’expression du profil de température en calculant:

T+

r

1-

r

1r

1-

r

1

)T-T(=T(r) S2

21

2S2S1

11

2

1 2

S

S S

T(r)-T

T -T

S2 2

S1 S2

1 2

1 1-

T(r) - rT r=1 1-T T -r r

Exercice: Démontrer que la résistance thermique associée à la sphère creuse est:

[8]

r

1-

r

11=R

21Ther

4

ther r

S1 S2

T R q

T -T T

2

14r rq r q

r

Tq k

r

2

S1 S2 S2

1 2

1 1-

r rT(r)= ( - ) +T T T1 1-

r r

Démarche


Conduction avec génération de chaleur (3.10)Mur plan (3.10.2)Reprenez l'exemple 3.1 en supposant qu'il y a en plus dans le mur une génération de chaleur q'''(W/m3) et obtenez l'expression du profil de température:

T + x L

)T-T(+x) L+x(-

2k

q=T(x) S1

S1S22[9]

11

Cylindre plein (3.10.2)Dans une résistance électrique cylindrique de rayon r0, de longueur L, il y a une génération de chaleur, q'''(W/m3), par effet Joule. À la surface de la résistance, il y a transfert par convection avec l'air environnant et le coefficient est h.

HypothèsesEG≠0, (T/t)=0, k=constante, T=T(r)

Volume de contrôle 2π rΔrL

Bilan de chaleur

0=q L rr2+ |qrL.2- |qrL.2 r+rrrr

0=qr+r

|qr-|qr r+rrrr

L

r

0IN OUT G ACC

IN OUT G

E E E E

E E E



On fait tendre Δr vers 0 et on obtient donc:

"2

1rrrq = q +C2

r

1

kC-

2k

q-r=

dr

dT 1CLnr

kC-

k

qrrT 1

22

4)(

finie est T(0) encoreou 0=dr

dT symétriepar 0=r :CF1

,000 r=rr=r

dTCF2 : r = - k = h( - )|r T T

dr


"rd(rq )

= rqdr

dT

= r (-k )dr

De CF1:T(0) finie ce qui implique que C1=0

22( )

4

qT r r C

k

De CF2 : 0 ,0 0r=r r=r r

Tr = r = h = -kq" |T T

r

0

0

2

220

2 0

4

4 2r

r

rq C

kr T qh q C -k k r|T

k r r

2 20 0

0 2 2 02 4 2 4

r rq qr h q C C r q TT

k h k

CLnrk

C-k

qrrT 1

22

4)(


Le profil de température est donc

T+2h

rq+])

r

r(-[1

4krq

=T(r) 02

0

20

qLr=qvolume. 20

[10]

Ein= 011

Le calcul des pertes thermiques totales vers l'extérieur peut se faire de deux manières:

1) Le flux de chaleur qui sort à la surface s'écrit

0

0

20 0 02 2 2

2r r r rr r

T qr L r L k r L r r L qq q

r

2) Le bilan macroscopique sur le cylindre en entier s’écrit:

0IN OUT GE E E G OUTE E

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