TP2 15-04-2008 Problema_1

Carlos Diogo Silva

Rui Francisco Soares

Mecânica dos Fluidos II

Coimbra, 15 de Abril de 2008

As condições de operação de uma bomba dependem das

variáveis g (aceleração da gravidade), H (variação da alturamanométrica do fluido), N (velocidade de rotação do rotor), D

(diâmetro do rotor), Q (caudal volúmico), ρ (massa volúmica dofluido) e µ (viscosidade dinâmica do fluido). Deduza os gruposadimensionais que governam a operação da bomba.

Mecânica dos Fluidos II Coimbra, 15 de Abril de 2008 2


Problema

Análise Teórica Via Experimental

Análise Dimensional

O que é a análise dimensional?


Análise dimensional Método de abordar problemas

Interesse:

- Compactar Variáveis

- Fazer uma primeira análise do problema

- Criar leis que permitam relacionar um modelo laboratorial a um protótipo

Pressuposto Fundamental:

Princípio da Homogeneidade Dimensional

Qualquer expressão que represente um dado fenómeno físico terá deser dimensionalmente homogénea.


Técnicas de adimensionalização:

-Método do produto de potências.

-Teorema de Buckingham

- Adimensionalização de equações


Uma bomba é um dispositivo mecânico que transfere energiamecânica para um fluido. No fluido, essa energia pode manifestar-senum aumento da sua energia potencial, sob a forma de pressão, ou napromoção de um movimento, aumentando portanto a sua energiacinética (de notar que se a temperatura, a pressão e a secção nãovariar, a velocidade não vai variar). Assim, as grandezas que sãoimportantes na análise de uma bomba, serão o caudal mássico que aatravessa, a diferença de pressão entre a entrada e a saída eirreversibilidades provocadas por perdas viscosas e mecânicas.


O primeiro passo na resolução do problema é agrupar asvariáveis g e H no produto gH, que representa a energia fornecida porunidade de massa do fluido numa bomba.

( , , , , )gH f N D Q


VariávelDimensões

Fundamentais

gH

N

D

Q

ρ

µ

2 2L T

1T

L

3 1L T

3M L

1 1M L T


6 variáveis >> 3 dimensões fundamentais, M, L e T.

Encontrar três variáveis que satisfaçam as seguintes condições:

No seu conjunto, deverão envolver a totalidade das dimensõesfundamentais em jogo;

Não poderão ser combinadas de modo a formar, entre si, umproduto adimensional .

( , , )N D


( , )1 2 3

F

Assim vem:

( , , , )11gH N DF ( , , , )22

Q N DF ( , , , )33N DF

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

(a)


Grupo 1:

1a b cgH N D

0 0 0 2 2 3 1a b c

M L T L T M L T L

0 0

2 3 0 2

2 0 2

a a

a c c

b b

2 201 1 2 2

gHgH N D

N D

M

L

T


Grupo 2:

M

L

T

2a b cQ N D

0 0 0 3 1 3 1a b c

M L T L T M L T L

0 0

3 3 0 3

1 0 1

a a

a c c

b b

1 302 2 3

QQ N D

N D


Grupo 3:

M

L

T

13

a b cN D

10 0 0 1 1 3 1

a b cM L T M L T M L T L

221

3 3N D

N D

1 0 1

1 3 0 2

1 0 1

a a

a c c

b b


Voltando agora a (a) vem:

2,

2 2 3

gH Q N DF

N D N D

Que é a relação adimensional pretendida.


A análise dimensional é uma ferramenta poderosa na área das ciências.

-Vantagens:

- Capacidade de compactar e simplificar sistemas complexos a analisar.

-Através do seu método permite-nos também estabelecer regras a respeitar para que seja possível representar um protótipo através de um modelo laboratorial equivalente.

- A relação adimensional obtida depende da escolha das variáveis seleccionadas como base. No entanto, o uso do teorema permite observar que pode ser modificada de outro modo que mantém intacta a sua informação.


-Desvantagens:

-A relação adimensional final depende apenas das variáveis consideradas na formulação inicial e a análise dimensional não possui capacidade de fazer intervir uma variável se a mesma não estiver presente nessa fase.

-Sem as equações representativas, os parâmetros adimensionais obtidos não possuem qualquer significado físico.

- Pese embora indique uma relação funcional entre as variáveis, esta deverá ser clarificada com recurso à análise teórica ou experimental.

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