As condições de operação de uma bomba dependem das
variáveis g (aceleração da gravidade), H (variação da alturamanométrica do fluido), N (velocidade de rotação do rotor), D
(diâmetro do rotor), Q (caudal volúmico), ρ (massa volúmica dofluido) e µ (viscosidade dinâmica do fluido). Deduza os gruposadimensionais que governam a operação da bomba.
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Problema
Análise Teórica Via Experimental
Análise Dimensional
O que é a análise dimensional?
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Análise dimensional Método de abordar problemas
Interesse:
- Compactar Variáveis
- Fazer uma primeira análise do problema
- Criar leis que permitam relacionar um modelo laboratorial a um protótipo
Pressuposto Fundamental:
Princípio da Homogeneidade Dimensional
Qualquer expressão que represente um dado fenómeno físico terá deser dimensionalmente homogénea.
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Técnicas de adimensionalização:
-Método do produto de potências.
-Teorema de Buckingham
- Adimensionalização de equações
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Uma bomba é um dispositivo mecânico que transfere energiamecânica para um fluido. No fluido, essa energia pode manifestar-senum aumento da sua energia potencial, sob a forma de pressão, ou napromoção de um movimento, aumentando portanto a sua energiacinética (de notar que se a temperatura, a pressão e a secção nãovariar, a velocidade não vai variar). Assim, as grandezas que sãoimportantes na análise de uma bomba, serão o caudal mássico que aatravessa, a diferença de pressão entre a entrada e a saída eirreversibilidades provocadas por perdas viscosas e mecânicas.
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O primeiro passo na resolução do problema é agrupar asvariáveis g e H no produto gH, que representa a energia fornecida porunidade de massa do fluido numa bomba.
( , , , , )gH f N D Q
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VariávelDimensões
Fundamentais
gH
N
D
Q
ρ
µ
2 2L T
1T
L
3 1L T
3M L
1 1M L T
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6 variáveis >> 3 dimensões fundamentais, M, L e T.
Encontrar três variáveis que satisfaçam as seguintes condições:
No seu conjunto, deverão envolver a totalidade das dimensõesfundamentais em jogo;
Não poderão ser combinadas de modo a formar, entre si, umproduto adimensional .
( , , )N D
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( , )1 2 3
F
Assim vem:
( , , , )11gH N DF ( , , , )22
Q N DF ( , , , )33N DF
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
(a)
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Grupo 1:
1a b cgH N D
0 0 0 2 2 3 1a b c
M L T L T M L T L
0 0
2 3 0 2
2 0 2
a a
a c c
b b
2 201 1 2 2
gHgH N D
N D
M
L
T
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Grupo 2:
M
L
T
2a b cQ N D
0 0 0 3 1 3 1a b c
M L T L T M L T L
0 0
3 3 0 3
1 0 1
a a
a c c
b b
1 302 2 3
QQ N D
N D
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Grupo 3:
M
L
T
13
a b cN D
10 0 0 1 1 3 1
a b cM L T M L T M L T L
221
3 3N D
N D
1 0 1
1 3 0 2
1 0 1
a a
a c c
b b
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Voltando agora a (a) vem:
2,
2 2 3
gH Q N DF
N D N D
Que é a relação adimensional pretendida.
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A análise dimensional é uma ferramenta poderosa na área das ciências.
-Vantagens:
- Capacidade de compactar e simplificar sistemas complexos a analisar.
-Através do seu método permite-nos também estabelecer regras a respeitar para que seja possível representar um protótipo através de um modelo laboratorial equivalente.
- A relação adimensional obtida depende da escolha das variáveis seleccionadas como base. No entanto, o uso do teorema permite observar que pode ser modificada de outro modo que mantém intacta a sua informação.
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-Desvantagens:
-A relação adimensional final depende apenas das variáveis consideradas na formulação inicial e a análise dimensional não possui capacidade de fazer intervir uma variável se a mesma não estiver presente nessa fase.
-Sem as equações representativas, os parâmetros adimensionais obtidos não possuem qualquer significado físico.
- Pese embora indique uma relação funcional entre as variáveis, esta deverá ser clarificada com recurso à análise teórica ou experimental.
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