Faculdade de Ciências

Departamento de Matemática e Informática

10 Mini-Teste de Topologia. Correcção.

Duração: 45 minutos 15.04.2015

Todos os exercícios são para resolução detalhada, e todas as respostas têm que ser justi�cadas!

1. Em R consideremos a topologia padrão τp e a topologia τ = {∅} ∪ {U ∈ P(R) : ]2, 5[⊆ U}.

a) (2 valores) Demonstre que a topologia τ não é metrizável.

b) (2 valores) Compare as topologias τ e τp na recta R.

Resolução: a) Usemos o método de redução ao absurdo. Suponhamos que topologia τ égerada pela métrica ρ. Pelo axioma (M1) da métrica ε = ρ(3, 4) > 0. Consideremos a bolaaberta V = Bε(3). Pela construção, 3 ∈ V e 4 ̸∈ V . De outro lado, sabe-se que V ∈ τ ,e pela de�nição de τ temos ]2, 5[⊆ V , tal que 4 ∈ V . Da contradição obtida temos que atopologia τ não é metrizável.

b) É claro que ]0, 1[∈ τp mas ]0, 1[̸∈ τ . Reciprocamente, [1, 7] ∈ τ mas [1, 7] ̸∈ τp. Então, astopologias τ é τp não são comparáveis.

2. Consideremos em R o sistema de conjuntos E = { ]r,∞[ : r ∈ Q }.

a) (4 valores) Veri�que se E é uma base de uma topologia em R.b) (4 valores) Ache a topologia gerada pelo sistema de conjuntos E .

Resolução: a) Sim. Veri�quemos as condições (B1)∗ e (B2)∗ do Critério 3.

É claro que X = ∪{U : U ∈ E}, então se cumpre a condição (B1)∗.

Veri�quemos (B2)∗. Sejam U1, U2 ∈ E . Para alguns números racionais ri têm lugar Ui =]ri,∞[ (i = 1, 2). É claro que é valida uma das igualdades: U1 ∩ U2 = U1 ou U1 ∩ U2 = U2.Então U1∩U2 é representável na forma de união dos elementos de E (união de um elemento).Portanto, é válida a condição (B2)∗.

b) Pela propriedade de base, E é base da topologia τ = τ(E) gerada por E . Segundo de�niçãoda base, τ é constituída de todas as uniões dos elementos de E .Observamos que ∅ é união vazia dos elementos de E e R é união de todos os elementos de E .Outras uniões dos elementos de E são os conjuntos da forma ]a,∞[. De outro lado, ∀a ∈ R]a,∞[= ∪

r∈Q, r>a]r,∞[, então ]a,∞[∈ τ . Temos, �nalmente, τ = {∅,R} ∪ {]a,∞[ : a ∈ R}.

3. (4 valores) Ache o interior do conjunto A = [1, 2] ∪ {5} no espaço X = [0, 2] ∪ {5} dotadoda topologia induzida pela topologia padrão em R.

Resolução: O conjunto U =]1, 2] ∪ {5} é representável na forma A = V ∩ X onde V =]1, 2+ δ[∪]5− δ, 5+ δ[ com δ ∈]0, 1[, sendo que V é aberto em R. Pela de�nição, U é abertoem X. Daqui e de U ⊆ A implica U ⊆ IntA.

∀ε > 0 temos ]1−ε, 1+ε[∩X ̸⊆ A, então 1 ̸∈ IntA, e, respectivamente, IntA ⊆ A\{1} = U .

Portanto, IntA = U =]1, 2] ∪ {5}.

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4. (4 valores) Sejam X = {a, b}, τX = {∅, {b}, X}, Y = {1, 2, 3}, τY = {∅, {2}, Y }, e seja T oproduto topológico de (X, τX) por (Y, τY ). Ache o fecho do conjunto M = {(a, 3)} em T .

Resolução: É cómodo fazer esboço de T na forma de 2×3-matriz! Vamos usar as designaçõescurtas dos elementos de T , escrevendo tn em vez de (t, n). A base canónica B de τT é

B = {∅, {b} × {2}, {b} × Y,X × {2}, X × Y } = {∅, {b2}, {b1, b2, b3}, {a2, b2}, T}.

A topologia τT é constituída de todas as uniões dos elementos de B, i.e.

τT = {∅, {b2}, {b1, b2, b3}, {a2, b2}, {b1, b2, b3, a2}, T}.

Então, a família de conjunto fechados em T é

FT = {T, T \ {b2}, {a1, a2, a3}, {a1, b1, a3, b3}, {a1, a3}, ∅}.

M é mínimo conjunto do sistema FT que contémM , i.e., contem o elemento a3. Tal conjuntoé {a1, a3}. Portanto, M = {(a, 1), (a, 3)}.

Prof. Doutor Yury Nepómnyashchikh

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