Theoretische Physik 3, Quantenmechanikeinrichtungen.ph.tum.de/T30a/vorlesungen/SS11/ss11.pdf · In...

Theoretische Physik 3, Quantenmechanik

Harald Friedrich

Technische Universitat Munchen

Sommersemester 2011

0. Einleitung1. Materiewellen

Freies Teilchen, Ort und ImpulsFourier-Transformation, DeltafunktionHeisenbergsche Unscharferelation

2. SchrodingergleichungZeitabhangige und zeitunabhangige (stationare) SchrodingergleichungSchrodingergleichung im ImpulsraumErwartungswerte

3. Algebraische Struktur der QuantenmechanikHilbertraumLineare OperatorenHermitesche OperatorenKommutatorenZeitentwicklung und Ehrenfest-Theorem

4. Drei Raumdimensionen, DrehimpulsEigenwerte und Eigenzustande der DrehimpulsoperatorenOrtsdarstellung der Drehimpulseigenzustande, KugelflachenfunktionenRadiale SchrodingergleichungRadialsymmetrischer harmonischer OszillatorWasserstoffatom

Literatur:

◮ • Quantenphysik (9. Aufl.), S. Gasiorowicz, Oldenbourg,Munchen, 2005

◮ • Quantenmechanik (2. Aufl.), T. Fließbach, Spektrum,Heidelberg, 1995

◮ • Quantenmechanik (5. Aufl.), F. Schwabl, Springer-Verlag,Berlin, 1998.

◮ • Grundkurs Theor. Physik, Bd. 5 Quantenmechanik,W. Nolting, Zimmermann-Neufang, Ulmen, 1992.

◮ • Quantum Physics, F. Scheck, Springer-Verlag, N.Y. 2007.

0. Einleitung

Grenzen der Newtonschen MechanikPhotoeffektBeugung am Doppelspalt

1. Materiewellen

Lichtwellen Materiewellen

monochromatische Welle: ~E ∝ ei(kx−ωt) ψ ∝ ei(kx−ωt)

Intenstitat: |ℜ(~E)|2 |ψ|2

Energie: E = hν = ~ω E = p2

2m = ~2k2

2m = ~ω

Impuls: Ec= ~ω

cmv = p = ~k

Dispersionsrelation: ω = c k = E~

ω = ~k2

2m = E~

Gruppengeschwindigkeit: vg = dωdk

= c vg = dωdk

= ~km

= pm

Fourier-Transformation, Deltafunktion

FT : φ(k) =1√2π

∫ ∞

−∞e−ikx f (x)dx , f (x) =

1√2π

∫ ∞

−∞eikxφ(k)dk .

δ(x) :

∫

I

δ(x)τ(x)dx = τ(0) fur jede”Testfunktion“ τ , wenn 0 ∈ I .

f (x) φ(k)1√2π

eik0x δ(k − k0)

δ(x − x0)1√2π

e−ikx0

(b√π)

−1/2e−x2/(2b2)

(

b√π

)1/2e−b2k2/2

f (x) φ(k)

f ′(x) ik φ(k)

f (n)(x) (ik)n φ(k)

Symmetrie-Eigenschaft der Fourier-Transformation:

f (−x) = [f (x)]∗ ⇐⇒ φ(k) reell

f (x) reell ⇐⇒ φ(−k) = [φ(k)]∗

f (x) reell und f (−x) = f (x) ⇐⇒ φ(k) reell und φ(−k) = φ(k)

Faltungstheorem:

h(x) =

∫ ∞

−∞f (x ′) g(x − x ′)dx ′ ⇐⇒ φh(k) =

√2πφf (k)φg (k)

Heisenbergsche Unscharferelation

Die Zahlen y ∈ (−∞,∞) mogen mit der Wahrscheinlichkeitsdichtew(y) verteilt sein,

∫∞−∞w(y)dy = 1.

Mittelwert: 〈y〉 =

∫ ∞

−∞y w(y)dy

Fluktuation: (∆y)2 = 〈(y − 〈y〉)2〉 = 〈y2〉 − 〈y〉2

=

∫ ∞

−∞y2 w(y)dy − 〈y〉2

Fur ψ(x) =1√2π

∫ ∞

−∞φ(k) eikxdk mit

∫ ∞

−∞|φ(k)|2dk = 1 ist

w(x) = |ψ(x)|2 und w(p) = |φ(p/~)|2/~.

Unscharferelation: ∆x ∆p ≥ ~

2

Grundlagen der Quantenmechanik

◮ Der Zustand eines Systems wird beschrieben durch einekomplexwertige Wellenfunktion ψ, Beispiel: ψ(x , t)

◮ Physikalische Observable werden beschrieben durch lineare

Operatoren im Vektorraum aller moglchen Wellenfuntionen.Beispiele: Ort x : ψ(x) 7→ x ψ(x)

Impuls p : ψ(x) 7→ ~

i

∂ψ

∂x

kinetische Energie T : ψ(x) 7→ − ~2

2m

∂2ψ

∂x2

◮ Mogliche Messwerte einer Observablen sind die Eigenwerte

des zugehorigen Operators.

◮ Ist die Wellenfunktion ψ eine Eigenfunktion des Operators O,Oψ = ωψ, so ergibt die Messung der Observablen mitSicherheit den zugehorigen Eigenwert ω.

DREI GESICHTER DER KLASSISCHEN MECHANIK

T =mv2

2=

p2

2m, ~p = m~v = m~r , V = V (~r)

Masse× Beschleunigung = Kraft

Newton: m~r =d

dt~p = −~∇V (~r)

Lagrange: L(qi , qi ; t) = T − Vd

dt

(

∂L

∂qi

)

=∂L

∂qi

Hamilton: H(qi , pi ; t) = T + Vdpi

dt= − ∂H

∂qi(

dqi

dt=

∂H

∂pi

)

2. Schrodingergleichung

Hamiltonoperator: H = H(p, x) , p =~

i

∂

∂x

(zeitabhangige) Schrodingergleichung: Hψ = i~∂ψ

∂t

Wenn H nicht explizit von der Zeit abhangt, lohnt sich einSeparationsansatz: ψ(x , t) = ψRaum(x)ψZeit(t).

Erfullt ψRaum die zeitunabhangige, die stationare Schrodinger-

gleichung, Hψ = Eψ ,

dann gibt es dazu eine Losung der vollen, zeitabhangigenSchrodingergleichung,

ψ = ψRaume− i

~Et

Ein Beispiel, der harmonische Oszillator:

H = − ~2

2m

d2

dx2+V (x) , V (x) =

mω2

2x2 =

~ω

2

(

x

β

)2

, β =

√

~

mω

Schrodingergleichung:d2ψ

dx2− m2ω2

~2x2ψ(x) = −2m

~2Eψ(x)

mit y =x

β, ε =

E

~ω/2:

d2ψ

dy2−y2ψ(y) = −εψ(y)

Eigenwerte: εn = 2n + 1 , En =

(

n+1

2

)

~ω

Eigenfunktionen (normiert): ψn(x) =(β

√π)−1/2

√2nn!

Hn

(

x

β

)

e−x2/(2β2)

Hn(y) sind die “Hermite-Polynome” (s. Anhang)

Orthonormalitat:

∫ ∞

−∞ψm(x)ψn(x)dx = δm,n

-2 0 2x/β

0

1

2

3

4

E/h

ωEigenfunktionen des harmonischen Oszillators

n=0

n=1

n=2

n=3

ψ(x)

Schrodingergleichung im Impulsraum

Ortsraumwellenfunktion: ψ(x) ,

∫ ∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

Zerlegung in monochromatische Wellen: ψ(x) =1√2π

∫ ∞

−∞eikx ψ(k)dk

Wahrscheinlichkeitsamplitude fur Impuls p = ~k :

φ(p) =1√~ψ(k) =

1√2π~

∫ ∞

−∞e− i

~p xψ(x)dx

Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum: |φ(p)|2 ,∫ ∞

−∞|φ(p)|2dp = 1

Operatoren im Impulsraum:

pφ(p) = pφ(p) , xφ(p) = −~

i

∂φ

∂p, H =

p2

2m+ V (x)

Schrodingergleichung:p2φ

2m+V

(

−~

i

∂

∂p

)

φ = i~∂φ

∂t

Erwartungswerte

Im Orstraum,∫∞−∞ |ψ(x)|2dx = 1,

〈x〉 =∫ ∞

−∞x |ψ(x)|2dx =

∫ ∞

−∞ψ∗(x)xψ(x)dx , 〈x2〉 =

∫ ∞

−∞ψ∗(x)x2ψ(x)dx .

Im Impulsraum,∫∞−∞ |φ(p)|2dp = 1,

〈p〉 =∫ ∞

−∞φ∗(p)pφ(p)dp =

∫ ∞

−∞ψ∗(x)

~

i

∂ψ

∂xdx =

∫ ∞

−∞ψ∗(x)pψ(x)dx

〈p2〉 =

∫ ∞

−∞φ∗(p)p2φ(p)dp =

∫ ∞

−∞ψ∗(x)

(

−~2 ∂

2

∂x2ψ(x)

)

dx

=

∫ ∞

−∞ψ∗(x)

(

p2ψ(x))

dx

〈T 〉 =⟨

(p)2

2m

⟩

=

∫ ∞

−∞ψ∗(x)

(

− ~2

2m

∂2

∂x2ψ(x)

)

dx

〈H〉 = 〈T + V (x)〉 =∫ ∞

−∞ψ∗(x)

([

− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]

ψ(x)

)

dx

allgemein: 〈O〉 =∫ ∞

−∞ψ∗(x)

(

Oψ(x))

dx =

∫ ∞

−∞φ∗(p)

(

Oφ(p))

dp

3. Algebraische Struktur der Quantenmechanik

Hilbertraumξ stehe fur einen (vollstandigen) Satz von Variablen, die einphysikalisches System quantenmechanisch beschreiben.Beispiel: drei wechselwirkende Massenpunkte,ξ ≡ (~r1,~r2,~r3) oder ξ ≡ (~p1, ~p2, ~p3) oder ξ ≡ (~r1, ~p2,~r3), etc.Die Menge der stetigen, fast uberall mindestens zweimaldifferenzierbaren, quadratintegrablen komplexwertigen(Wellen-)Funktionen mit geeigneten Randbedingungen,

H =

{

ψ(ξ) :

∫

|ψ(ξ)|2dξ <∞ , Randbedingungen

}

,

ist ein Vektorraum uber C mit hochstens abzahlbar vielen linearunabhangingen Vektoren.

Die Verknupfung

ψ1, ψ2 7→∫

ψ1(ξ)∗ψ2(ξ)dξ

def= 〈ψ1|ψ2〉

definiert ein unitares Skalarprodukt mit den Eigenschaften

Linearitat: 〈ψ1|ψ2 + cψ3〉 = 〈ψ1|ψ2〉+ c〈ψ1|ψ3〉

unitare Symmetrie: 〈ψ2|ψ1〉 = 〈ψ1|ψ2〉∗

Positivitat: 〈ψ|ψ〉 ≥ 0 , 〈ψ|ψ〉 = 0 ⇐⇒ ψ(ξ) ≡ 0

Die Norm ‖ψ‖ eines Elements ψ von H ist: ‖ψ‖ =√

〈ψ|ψ〉,und der Abstand zweier Elemente ψ1, ψ2 ist ‖ψ1 − ψ2‖.H ist vollstandig in dem Sinne, dass eine Cauchy-Folge vonElementen in H einen Limes in H besitzt. Einen Vektorraum Hmit den obigen Eigenschaften nennt man einen Hilbertraum.

Hermitesche Operatoren:Sei O ≡ Om,n die Matrix des linearen Operators O in Bezug aufdie Orthonormalbasis |φ1〉, |φ2〉, . . .. Die hermitesh konjugierte

Matrix O† ist definiert durch:

O† def= (OT)∗ , (O†)m,n

def= (On,m)

∗ .

Sie definiert einen neuen Operator O†, den adjungierten oderhermitesch konjugierten Operator zu O. Offenbar gilt fur dieBasisvektoren |φn〉 — und fur beliebige Vektoren |ψ1〉, |ψ2〉 imHilbertraum,

〈φm|O†|φn〉 = 〈φn|O|φm〉∗ , 〈ψ1|O†|ψ2〉 = 〈ψ2|O|ψ1〉∗

Einige Rechenregeln:

(O†)† = O , (AB)† = B†A† , |u〉 = O|ψ〉 ⇐⇒ 〈u| = 〈ψ|O† .

Ein hermitescher Operator ist definiert durch: O† = O.

Die Aussage, dass ein linearer Operator O hermitesch ist, hangtnicht von der Basiswahl ab und ist gleichbedeutend mit:〈ψ2|O|ψ1〉∗ = 〈ψ1|O|ψ2〉 fur alle |ψ1〉, |ψ2〉 ∈ H.

Physikalische Observable werden durch hermitesche Operatoren imHilbertraum dargestellt. Dazu sind drei Eigenschaften wichtig:

1. Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind stets reell.

Messwerte sind immer reelle Zahlen.

2. Eigenzustande zu verschiedenen Eigenwerten eines

hermiteschen Operators sind orthogonal.

Ein Eigenzustand zu einem Messwert enthalt keineKomponente zu einem anderen Messwert.

3. Die Eigenzustande eines hermiteschenOperators sind eine Basis.

Jeder Zustand kann vollstandig in Komponenten zerlegtwerden, von denen jede einem festen Messwert entspricht.

Ein Eigenwert (eines eines hermiteschen Operators) heißt entartet,wenn es dazu mehr als einen (lin.unabh.) Eigenvektor gibt. ImUnterraum der Eigenzustande zu einem entarteten Eigenwert lasstsich eine Orthonormalbasis konstruieren, z.B. mit demSchmidtschen Verfahren. So hat jeder hermitescher Operator eineOrthnormalbasis von Eigenzustanden.Beispiele fur hermitesche Operatoren:

◮ Ort x : ψ(x) 7→ xψ(x)

◮ Impuls p : ψ(x) 7→ (~/i)∂ψ/∂x

◮ Energie H : ψ(x) 7→ (−~2/2m)∂2ψ/∂x2 + V (x)ψ(x)

◮ Projektionsoperator |φ〉〈φ| : |ψ〉 7→ |φ〉〈φ|ψ〉Vollstandigkeitsrelation fur Orthonormalbasis {|φn〉} :

∑

n

|φn〉〈φn| = 1

Sei |φ1〉, |φ2〉, . . . eine Orthonormalbasis von Eigenzustanden derObservablen (des hermiteschen Operators) O: O|φn〉 = ωn|φn〉. Ein(normierter) Zustand |ψ〉 im Hilbertraum ist eindeutig darstellbarals:

|ψ〉 =∞∑

n=1

cn|φn〉 und 〈ψ|ψ〉 =∞∑

n=1

|cn|2 = 1 .

|cn|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass das durch |ψ〉 beschriebeneSystem sich in dem Eigenzustand |φn〉 der Observablen O befindet.Der Erwartungswert von O im Zustand |ψ〉 ist:

〈O〉 = 〈ψ|O |ψ〉 =∞∑

n=1

|cn|2ωn ,

also der gewichtete Mittelwert der Messwerte (Eigenwerte) ωn.

KommutatorenDie Matrix eines hermiteschen Operators O in der (orthonormalen)Basis seiner Eigenzustande ist diagonal: 〈φm|O|φn〉 = ωnδm,n.Zwei hermitesche Operatoren (Observable) A und B heißengleichzeitig messbar, wenn sie eine gemeinsame Basis vonEigenvektoren haben. In dieser gemeinsamen (orthonormalen)Basis von Eigenvektoren sind beide Matrizen diagonal,〈φm|A|φn〉 = αnδm,n, 〈φm|B|φn〉 = βnδm,n, und folglich ist〈φm|AB|φn〉 = αnβnδm,n = 〈φm|BA|φn〉, d.h. AB = BA.Zwei Observable A und B sind genau dann gleichzeitig messbar(die Matrizen simultan diagonalisierbar) wenn AB = BA, d.h.wenn der Kommutator [A, B] verschwindet.

Kommutator: [A, B]def= AB − BA

Rechenregeln: [B, A] = −[A, B ] , [A, BC ] = B [A, C ] + [A, B ]C

Ort und Impuls: [p, x ] =~

i

Zeitentwicklung und Ehrenfest-Theoremd|ψ〉dt

= − i

~H |ψ〉 , d〈ψ|

dt= +

i

~〈ψ|H .

Fur eine beliebige Observable O gilt (Produktregel fur Diff.)d

dt〈ψ|O |ψ〉 =

d〈ψ|dt

O|ψ〉+ 〈ψ|∂O∂t

|ψ〉 + 〈ψ|O d|ψ〉dt

=i

~〈ψ|HO|ψ〉 + 〈ψ|∂O

∂t|ψ〉 − i

~〈ψ|OH|ψ〉

=i

~〈ψ|[H , O]|ψ〉 + 〈ψ|∂O

∂t|ψ〉 .

Fur eine nicht explizit von der Zeit abhangenden Observable,∂O/∂t = 0, bedeutet [H , O ] = 0 dass der Erwartungswert von O

in einem Zustand, der sich gemaß der zeitabhangigenSchrodingergleichung entwickelt, konstant ist. Eine solcheObservable, ∂O/∂t = 0, [H , O] = 0, ist eine Erhaltungsgroße.

Fur O = p folgt: ddt〈p〉 = −〈 d

dxV (x)〉 (“Ehrenfest-Theorem”)

Algebraische Losung fur den harmonischen Oszillator

H =p2

2m+

mω2

2x2 =

~ω

2

(

β2p2

~2+

x2

β2

)

, β =

√

~

mω

b =1√2

(

x

β+ i

βp

~

)

, b† =1√2

(

x

β− i

βp

~

)

⇒ H = ~ω

(

b†b +1

2

)

.

Kommutatoren: [b, b†] = −[b†, b] = 1 , [H , b] = −~ω b , [H , b†] = ~ω b†

Fur die Eigenzustande |ψn〉 ≡ |n〉 des Hamiltonoperators gilt,

b|n〉 =√n|n − 1〉 , b†|n〉 =

√n+ 1|n + 1〉 , b†b|n〉 = n|n〉

Fur die Energien folgt En = ~ω(n + 1/2). Der Grundzustand istdurch b|0〉 = 0 definiert woraus in Ortsdarstellung folgt:ψ0(x) = (

√πβ)−1/2 exp [−x2/(2β2)].

Die angeregten Zustande folgen gemaß |n〉 = (n!)−1/2(b†)n|0〉, wasin Ortsdarstellung genau wieder die Wellenfunktionen ψn(x) vonKapitel 2 ergibt.

Dreidimensionaler harmonischer Oszillator

H =~p2

2m+

mω2

2

(

x2 + y2 + z2)

= Hx + Hy + Hz

Separabilitat von H ermoglicht Losung der zeitunabhangigenSchrodingergleichung mit Produktansatz, denn:

Hx |χ〉 = Ex |χ〉 , Hy |η〉 = Ey |η〉 , Hz |ζ〉 = Ez |ζ〉 =⇒(Hx + Hy + Hz)|χ〉|η〉|ζ〉 = (Ex + Ey + Ez)|χ〉|η〉|ζ〉

Die Eigenzustande des 3-dim. harmonischen Oszillators sind also:

|nx , ny , nz〉 ≡ ψnx (x)ψny (y)ψnz (z)

=(√πβ)−3/2e−r2/(2β2)

√

2nx+ny+nznx !ny !nz !Hnx

(

x

β

)

Hny

(

y

β

)

Hnz

(

z

β

)

,

und die Energieeigenwerte sind:

Enx ,ny ,nz = ~ω

(

nx+ny+nz +3

2

)

= ~ω

(

N+3

2

)

.

Enx ,ny ,nz = ~ω

(

nx+ny+nz +3

2

)

= ~ω

(

N+3

2

)

.

Die Energie hangt nur ab von der

Hauptquantenzahl N = nx + ny + nz .

Die “kartesischen Quantenzahlen” nx , ny , nz durchlaufen allenicht-negativen ganzen Zahlen, 0, 1, 2, . . ., so dass auch fur dieHauptquantenzahl gilt, N = 0, 1, 2, . . ..Fur gegebenes N gibt es 1

2 (N + 1)(N + 2) verschiedeneKombinationen von nx , ny , nz und genauso viele linearunabhangige Eigenzustande von H . Alle angeregten (N > 0)Energieniveaus sind also entartet.

4. Drei Raumdimensionen, Drehimpuls

Ein Teilchen der Masse µ unter Einfluss des Potenzials V (~r):

H =~p2

2µ+V (~r) , ~p =

pxpypz

; [px , x ] = [py , y ] = [pz , z ] =~

i, [px , y ] = 0

Annahme: V = V (r), d.h. V hangt nur ab von r2 = x2 + y2 + z2

und nicht von der Richtung von ~r .

Drehimpuls: ~Ldef= ~r × ~p =

Lx

Ly

Lz

=

y pz − z pyz px − x pzx py − y px

Kommutatoren: [H , Lx ] = [H , Ly ] = [H , Lz ] = 0 , wg. V = V (r)

ABER: [Ly , Lz ] = Ly Lz − Lz Ly = i~Lx

[Lz , Lx ] = Lz Lx − Lx Lz = i~Ly Eselsbrucke: ~L× ~L = i~~L

[Lx , Ly ] = Lx Ly − Ly Lx = i~Lz

Fur ~L2

= L2x+L2y+L2z gilt: [H , ~L2

] = 0, [~L2

, Lx ] = [~L2

, Ly ] = [~L2

, Lz ] = 0 .

~L2

und alle Komponenten von ~L sind Erhaltungsgroßen

[V = V (r)]; ~L2

und eine Komponente — wahle Lz — sindgleichzeitig messbar.

x

y

z

φ

θ r

In Kugelkoordinaten: x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφx = r cos θ

ist die Ortsdarstellung von Lz :

Lz =~

i

∂

∂φ

Eigenfunktionen: ψ(. . . , φ) ∝ exp (imφ)

Eigenwerte: Lzψ = m~ψ , m = 0, ±1, ±2, . . .

Eigenwerte und Eigenzustande von ~L2

und LzDefiniere: L+ = Lx + iLy , L− = Lx − iLy .Vertauschungsrelationen: [L+, Lz ] = −~L+, [L−, Lz ] = +~L−

Sei |ψ〉 ein (simultaner) Eigenzustand von ~L2

und Lz zu den

Eigenwerten λ bzw. m~: ~L2

|ψ〉 = λ|ψ〉, Lz |ψ〉 = m~|ψ〉 =⇒Lz(L+|ψ〉) = (m + 1)~(L+|ψ〉) , Lz(L−|ψ〉) = (m − 1)~(L−|ψ〉) .D.h.: Durch fortgesetztes Anwenden der Operatoren L+ und L−entstehen Eigenzustande von Lz zu den Eigenwerten (m ± 1)~,

(m± 2)~, . . ., die weiterhin Eigenzustande von ~L2

zum Eigenwert λ

sind: |ψ(±N)〉 def= (L±)N |ψ〉 =⇒

~L2

|ψ(±N)〉 = λ|ψ(±N)〉 , Lz |ψ(±N)〉 = (m ± N)~|ψ(±N)〉Da 〈~L

2

− L2z〉 = 〈L2x + L2y 〉 nicht negativ sein kann, gilt fur alle N

〈ψ(±N)|~L2

− L2z |ψ(±N)〉 =(

λ− (m ± N)2~2)

〈ψ(±N)|ψ(±N)〉 ≥ 0 .

Fur 〈ψ(±N)|ψ(±N)〉 6= 0 bedeutet dies λ ≥ (m ± N)2~2, wasnaturlich nicht fur alle N erfullt sein kann. Es muss also einmmax = m + N1 geben, so dass fur |ψmmax

〉 def= (L+)

N1 |ψ〉 gilt:Lz |ψmmax

〉 = mmax~|ψmmax〉 und L+|ψmmax

〉 = 0 ;

ebenso ein mmin = m − N2, so dass fur |ψmmin〉 def= (L−)N2 |ψ〉 :

Lz |ψmmin〉 = mmin~|ψmmin

〉 und L−|ψmmin〉 = 0 .

x

y

z

LLz

m=l

m=−l

Fur den Eigenwert λ von ~L2

folgt aus den

Identitaten ~L2

= L−L+ + ~Lz + L2z ,

~L2

= L+L− − ~Lz + L2z :

~L2

|ψmmax〉 = mmax(mmax + 1)~2|ψmmax

〉 ,~L2

|ψmmin〉 = mmin(mmin − 1)~2|ψmmin

〉 .=⇒ λ = mmax(mmax + 1)~2 = mmin(mmin − 1)~2 .

m2min −mmin = m2

max +mmax =⇒ mmin = ±mmax: mmin = −mmax

mmax ≡ l ist die (Bahn-)Drehimpulsquantenzahl, m die Azimutalquantenzahl

Zusammenfassung:Eigenzustande |l ,m〉 ,

~L2

|l ,m〉= l(l + 1)~2|l ,m〉 , Lz |l ,m〉=m~|l ,m〉 , m = −l ,−l + 1, . . . , lZu jeder Drehimulsquantenzahl l gehoren 2l + 1 Azumutalquantenzahlen m.

Diese Ergebnisse wurden allein aus den Vertauschungsregeln fur dieKomponenten des Drehimpulses — vgl. S. 28 — hergeleitet. Siegelten fur alle Vektoroperatoren, dessen Komponenten diese Ver-tauschungsrelationen erfullen. Der Ausgangspunkt Lz |ψ〉=m~|ψ〉ist keine Einschrankung, wenn man nicht fordert, dass m ganzzahligsei. Allerdings ist 2l + 1 immer eine ganze Zahl und mindestensEins, also muss l ein nich-negatives Vielfaches von 1

2 sein.

Fur den speziellen Fall des Bahndrehimpulses mit Lz =~

i

∂

∂φ

hatten wir gesehen, dass m ganzzahlig sein muss. Die zulassigenBahndrehimpulsqzuantenzahlen sind also l = 0, 1, 2, . . ..

In Ortsdarstellung sind die Bahndrehimpulseigenzustandekomplexwertige Funktionen des Polarwinkels θ und desAzimutalwinkels φ: |l ,m〉 ≡ Yl ,m(θ, φ). Sie heißenKugelflachenfunktionen, auf Englisch: spherical harmonics.Sie waren schon lange vor der Erfindung der Quantenmechanikbekannt, z.B. im Zusammenhang mit der Suche nach“harmonischen Funktionen” H(~r ), welche die Gleichung ∆H = 0erfullen.Der Winkelanteil des Laplace-Operators ∆ ist im wesentlichen dasQuadrat des Bahndrehimpulsoperators:

∆ =∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r−

~L2

~2r2.

Eine Funktion der Form H(~r ) = rαY (θ, φ) ist genau dannharmonisch, wenn ihr Winkelanteil Y die folgende Gleichung erfullt:

~L2

Y (θ, φ) = α(α + 1)~2Y (θ, φ)

Allgemeine Struktur: Yl ,m(θ, φ) = (sin θ)|m|Poll−|m|(cos θ) eimφ

l 0 1 1 2m 0 0 ±1 0

Yl,m1√4π

√

34π cos θ ∓

√

38π sin θ e±iφ

√

516π (3 cos

2 θ − 1)

l 2 2 3m ±1 ±2 0

Yl,m ∓√

158π sin θ cos θ e±iφ

√

1532π sin2 θ e±2iφ

√

716π (5 cos

3 θ − 3 cos θ)

l 3 3 3m ±1 ±2 ±3

Yl,m ∓√

2164π sin θ(5 cos2 θ − 1) e±iφ

√

10532π sin2 θ cos θ e±2iφ ∓

√

3564π sin3 θ e±3iφ

Eine schone Visualisierung der Kugelflachenfunktionen bietet einjava-applet von B.P. Reid, das unter der www-Adressewww.bpreid.com/poas.php aufgerufen werden kann.

Radiale Schrodingergleichung

Fur die Entwicklung ψ(~r ) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

fl ,m(r)Yl ,m(θ, φ) gilt

~L2

ψ(~r ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

l(l + 1)~2fl ,m(r)Yl ,m(θ, φ).

In die Schrodingergleichung (T + V )ψ = Eψ [mitradialsymmetrischen Potenzial V (r)] eingesetzt ergibt, wegen

T =~p2

2µ= − ~

2

2µ∆ = − ~

2

2µ

(

∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

)

+~L2

2µr2:

∑

l ,m

[

− ~2

2µ

(

∂2fl ,m∂r2

+2

r

∂fl ,m∂r

)

+

(

l(l + 1)~2

2µr2+ V (r)

)

fl ,m

]

Yl ,m

= E∑

l ,m

fl ,mYl ,m

Die Entwicklung nach Yl ,m ist eindeutig, also gilt fur alle l ,m:

− ~2

2µ

(

d2fl ,m

dr2+

2

r

dfl ,m

dr

)

+

(

l(l + 1)~2

2µr2+ V (r)

)

fl ,m = E fl ,m

Dies ist die radiale Schrodingergleichung (RSG) fur die radialanteilefl ,m(r) der Wellenfunktion ψ(~r). Sie hangt ab von der Drehimpuls-quantenzahl l , nicht aber von der Azimutalquntenzahl m. Eineetwas einfachere Form der RSG erhalt man mit dem Ansatz

ψ(~r ) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

ϕl ,m(r)

rYl ,m(θ, φ) , d.h. fl ,m(r) =

ϕl ,m(r)

r,

namlich: − ~2

2µ

d2ϕl

dr2+

(

l(l + 1)~2

2µr2+ V (r)

)

ϕl (r) = E ϕl(r)

Dies ist dieselbe Form wie die eindimensionaleSchrodingergleichung fur ein Teilchen der Masse µ in demeffektiven Potenzial:

Veff(r) =l(l + 1)~2

2µr2+ V (r).

Randbedingung fur r → 0: Mit dem Ansatz ϕl(r) = c rα sind diefuhrenden Terme in der RSG, −cα(α− 1)rα−2+ c l(l +1)rα−2 = 0

=⇒ α = l + 1 oder α = −l . Regulare Losung: ϕl (r)r→0∝ r l+1 .

Skalarprodukte : ψ1(~r) =ϕ1(r)

rYl1,m1

(θ, φ), ψ2(~r ) =ϕ2(r)

rYl2,m2

(θ, φ)

=⇒ 〈ψ1|ψ2〉 =

∫ ∞

0ϕ1(r)

∗ϕ2(r)dr

∫ 2π

0dϕ

∫ 1

−1d cos θ Yl1,m1

(θ, φ)∗ Yl2,m2(θ, φ)

= δl1,l2δm1,m2

∫ ∞

0ϕ1(r)

∗ϕ2(r)dr

Die quadratintegrablen Radialwellenfunktionen ϕl (r) zu gegebenerDrehimpulsquantenzahl l — mit der entsprechenden

Randbedingung ϕl (r)r→0∝ r l+1 — bilden fur sich ein Hilbertraum,

wie fur ein Teilchen im eindimensionalen Potenzial: Veff(r) furr > 0 und +∞ fur r < 0.

Der Term l(l + 1)~2/(2µr2) wird Zentrifugalpotenzial genannt.Dieser repulsiver Beitrag behindert eine Annaherung des Teilchensan den Ursprung r = 0; das entspricht der Tatsache, dass z.B. einklassisches freies Teilchen mit Energie E > 0 und DrehimpulsL > 0 dem Ursprung nie naher kommen kann als rmin = L/

√2µE .

V(r)

r r r

V (r) V (r)eff eff

kleingroß

l=0l

l

0 0 0

Jede Losung ϕl (r) der RSG definiert 2l + 1 linear unabhangigeEigenzustande ψl ,m(~r) = Yl ,m(θ, φ)ϕl (r)/r des Hamiltonoperators.

Der radialsymmetrische harmonische Oszillator

H =~p2

2µ+µω2

2r2 =

~p2

2µ+µω2

2

(

x2 + y2 + z2)

Energieeigenwerte und Eigenfunktionen (in kartesischenKoordinaten) wurden bereits berechnet (Seiten 27, 28). Zugegebenem l besitzt die radiale Schrodingergleichung (normierte)Losungen, ϕn,l (r), n = 0, 1, 2, . . . mit der expliziten Form

ϕn,l =2

(√πβ)

12

[

2n+l n!

(2n+2l+1)!!

]

12

x l+1 Ll+ 1

2n

(

x2)

e−x2/2, x =

r

β, β =

√

~

µω.

Dabei sind Lαn — die verallgemeinerten Laguerre-Polynome —Polynome vom Grad n im Argument r2/β2.Die zugehorigen Energieeigenwerte sind:

En,l =

(

2n + l +3

2

)

~ω =

(

N +3

2

)

~ω , N = 2n + l .

Zu jeder Hauptquantenzahl N gibt es Eigenzustande mit Dreh-impulsquantenzahlen 0 ≤ l = N, N − 2, N − 4 . . .; alle habenParitat (−1)N . Die Anzahl linear unabhangiger Eigenzustande ist:

∑

l=N,N−2,...

(2l+1) =1

2(N+1)(N+2) , vgl. Kap. 3, 3D Oszillator)

Explizite Ausdrucke fur (√πβ)

12ϕn,l (x):

l n = 0 n = 1 n = 2

0 2x e−x2/2

√

8

3x

(

3

2− x2

)

e−x2/2

√

8

15x

(

15

4− 5x2 + x4

)

e−x2/2

1

√

8

3x2e−x2/2 4 x2√

15

(

5

2− x2

)

e−x2/2 4 x2√105

(

35

4− 7x2 + x4

)

e−x2/2

24√15

x3e−x2/2

√

32

105x3(

7

2− x2

)

e−x2/2

√

32

945x3(

63

4−9x2+x4

)

e−x2/2

3

√

32

105x4e−x2/2 8 x4√

945

(

9

2− x2

)

e−x2/2 8 x4√10395

(

99

4−11x2+x4

)

e−x2/2

Das Wasserstoffatom: V (r) = −e2

r

RSG bei negativer Energie E = −~2κ2/(2µ) < 0:

d2ϕl

dr2−(

l(l + 1)

r2+

2

ar− κ2

)

ϕl (r) = 0 , a =~2

µe2= Bohr-Radius

ϕlr→0∝ r l+1 −→ . . . −→ Ansatz: ϕl ∝ r l+1

e−κnr Polnrad(r)

wobei Polnrad ein Polynom vom Grade nrad ist; nrad = 0, 1, 2, . . .ist die Radialquantenzahl. Losungen mit endlichem nrad gibt eswenn κn = 1/(na), n = 1, 2, 3, . . ., und dann istnrad = n− l − 1. Die diskreten Energieeigenwerte sind also,

En = − ~2

2µ(na)2= − µe4

2~2n2= −R

n2, R =

µe4

2~2= Rydberg-Energie

nrad = n− l − 1 ≥ 0 =⇒ l ≤ n − 1; zu jeder Hauptquantenzahl ntreten alle Drehimpulsquantenzahlen l = 0, 1, . . . , n − 1 auf.

ϕn,l (r) =1

n

[

(n − l − 1)!

a (n + l)!

] 12(

2r

na

)l+1

L2l+1n−l−1

(

2r

na

)

e−r/(na)

[Lαnrad sind wieder die verallgemeinerten Laguerre-Polynome]

l n = l + 1 n = l + 2 n = l + 3 [xn = 2r/(na)]

0x1√ae−

12 x1

x2

2√2a

(2− x2) e− 1

2 x2x3

6√3a

(

6− 6x3 + x23)

e−12 x3

1x22

2√6a

e− 1

2 x2x23

6√6a

(4− x3) e− 1

2 x3x24

16√15a

(

20− 10x4 + x24)

e− 1

2 x4

2x33

6√30a

e−12 x3

x34

48√5a

(6− x4) e− 1

2 x4x35

60√70a

(

42− 14x5 + x25)

e−12 x5

3x44

48√35a

e−12 x4

x45

120√70a

(8− x5) e− 1

2 x5x46

864√35a

(

72− 18x6 + x26)

e−12 x6

n=1, l=0

n=2, l=0,1

n=3, l=0,1,2

0

V(r)=−e²/r

r

E/Ryd

−1

E = −Rn2, n = 1, 2, 3, . . .

l = 0, 1, . . . , n− 1

m = −l , −l + 1, . . . , l

Entartung:n−1∑

l=0

(2l + 1) = n2

Merke: Die radiale Schrodingergleichung mit Coulomb-Potentialbesitzt zwar unendlich viele Eigenzustande, n = l + 1, l + 2, . . .;diese bilden aber noch keine Basis im Raum aller moglichen(quadratintegrablen) Radialwellenfunktionen.

Das kann man so verstehen,dass die radiale Schrodingerglei-chung bei kleinen und moderatenAbstanden (einige Bohrsche Ra-dien) fur hohe n kaum noch vonn abhangt, so dass die Losungenbis auf Normierung alle gleich wer-den: 0 10 20 30 40 50

r/a

-2

-1

0

1

2

φ n,l=

0(r)

[ren

orm

aliz

ed]

n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7n = 8n = 9n = ∞

Um eine Basis fur alle Ra-dialwellenfunktionen zu bekom-men, muss man die Kontinuums-

zustande mitnehmen. Um mit Di-rac zu sprechen [

”Quantum Me-

chanics“, 4th edition, 1967, §10],bilden die Wellenfunktionen, diewir nun benutzen:

”a more general

space than a Hilbert space“. 0 50 100r / a

-0.05

0

0.05

ERyd

n=4

n=5

n=6

n=7

n=oo

radi

al w

ave

func

tions

V = − C/r

5. Spin

Zahlreiche Experimente belegen, dass das Elektron in zwei innerenZustanden existieren kann, nennen wir sie |+〉 und |−〉. Im vondiesen zwei Zustanden aufgespannten zweidimensionalen Hilbert-raum gibt es einen linearen Operator σz , der sie als Eigenzustandehat: σz |+〉 = +1|+〉 , σz |−〉 = −1|−〉. Der allgemeine lineareOperator im zweidimensionalen Hilbertraum lasst sich (eindeutig)als Linearkombination von vier Hermiteschen Operatoren darstel-len, die in der Basis {|+〉, |−〉} folgenden Matrizen entsprechen:

1 =

(

1 00 1

)

, σx =

(

0 11 0

)

, σy =

(

0 −i

i 0

)

, σz =

(

1 00 −1

)

.

Die drei Matrizen σi heißen Paulische Spin-Matrizen und erfullenfolgende Beziehungen: σ2x = σ2y = σ2z = 1 und

σx σy = −σy σx = iσz , σy σz = −σz σy = iσx , σz σx = −σx σz = iσy .

Definieren wir den Spin-Vektor als ~S = 12~~σ, so erfullen seine Kom-

ponenten die Vertauschungsrelationen eines Drehimpulses (S. 28):

[

Sx , Sy

]

= i~Sz

[

Sy , Sz

]

= i~Sx

[

Sz , Sx

]

= i~Sy .

Die Zustandsvektoren im zweidimensionalen Spin-Raum konnenwir also charakteriesieren als Eigenzustande |s,ms〉 von~S2

= S2x + S2

y + S2z = 3

(

12~)2

1 = 34~

21 und Sz mit den jeweiligenEigenwerten s(s + 1)~2 und ms~ wobei ms = −s, . . . s. Hierbei istaber s(s + 1) immer 3

4 , also s = 12 , und ms kann nur die Werte −1

2und +1

2 annehmen.Die Wellenfunktion (in Ortsdarstellung) fur ein Elektron hat dieForm eines zweikomponentigen Spinors:

ψ(~r ,ms) = ψ+(~r)|+〉+ ψ−(~r )|−〉 ≡(

ψ+(~r)ψ−(~r)

)

.

Das Skalarprodukt zweier Spinoren ψ(1) und ψ(2) ist

〈ψ(1)|ψ(2)〉 =∑

ms

∫

ψ(1)(~r ,ms)∗ψ(2)(~r ,ms)d

3r .

Fur 〈ψ|ψ〉 = 1 ist |ψ(~r ,ms)|2 die Wahrscheinlichkeitsdichte dafur,das Elektron am Ort ~r im Spin-Zustand ms zu finden.

DiracgleichungDie Schrodingergleichung ist gegenuber Lorentz-Transformationennicht invariant, weil sie Ortsableitungen in zweiter und die Zeit-ableitung nur in erster Ordnung enthalt. Als Ausweg schlug Diracfur ein freies Elektron mit der Ruhemasse m0 einen Hamiltonope-rator vor, der in den Komponenten des Impulses ~p ≡ (~/i)~∇ linearist, H = c ~α·~p + βm0c

2.

Damit H2 die relativistische Energie- Impuls-Beziehung erfullt,E 2 = ~p2 +m2

0c4, mussen die drei Komponenten von ~α und der

Koeffizient β die Vertauschungsrelationen,

αiαk + αkαi = 2δi ,k , αiβ + βαi = 0 , β2 = 1 ,

erfullen. Es konnen also keine gewohnlichen Zahlen sein; die ein-fachsten Großen, welche diese Beziehungen erfullen konnen, sind4×4 Matrizen, z.B. in der sog. “Standarddarstellung”:

αx =

(

0 σxσx 0

)

, αy =

(

0 σyσy 0

)

, αz =

(

0 σzσz 0

)

, β =

(

1 00 −1

)

.

σi sind die Pauli-Matrizen; in β heißt “1” die 2×2 Einheitsmatrix.

Diracgleichung :(

c ~α·~p + βm0c2)

ψ = i~∂ψ

∂t, ψ ≡

ψ1(~r , t)ψ2(~r , t)ψ3(~r , t)ψ4(~r , t)

.

Abseparation der Zeitabhangigkeit: ψ = ψ(~r ) e−(i/~)Et −→

stationare Diracgleichung :(

c ~α·~p + βm0c2)

ψ1(~r )ψ2(~r )ψ3(~r )ψ4(~r )

= E

ψ1(~r )ψ2(~r )ψ3(~r )ψ4(~r )

.

Zur Vereinfachung der Schreibarbeit teilen wir den vier-

komponentigen Spinor ψ in zwei zweikomponentige Spinoren auf:

ψ =

(

ψA

ψB

)

, ψA =

(

ψ1

ψ2

)

, ψB =

(

ψ3

ψ4

)

.

Die Diracgleichung erscheint so als zwei gekoppelte Gleichungen,

~σ ·~p ψB =1

c(E −m0c

2)ψA , ~σ ·~p ψA =1

c(E +m0c

2)ψB .

Im Ruhesystem des Elektrons, ~pψA = 0, ~pψB = 0, gibt es zweiLosungen zu positiver Energie E=m0c

2, namlich ψA =(

10

)

oder(

01

)

and ψB = 0, und zwei zu negativer Energie E = −m0c2,

namlich ψB =(

10

)

oder(

01

)

and ψA = 0. Die Losungen zu positiverEnergie werden als die zwei inneren Zustande des (ruhenden)Elektrons interpretiert: ms = ±1

2 . Die Zustande negativer Energiestellen wir uns alle besetzt vor (“Dirac-See”), so dass sie fur dasElektron wegen des Pauli-Prinzips (s. unten) nicht besetzt werdenkonnen. Ein unbesetzter Zustand (Loch) im Dirac-See erscheintwie ein Antiteilchen (Positron). Ein Elektron kann es unter Abgabeder Energie 2m0c

2 besetzen und “verschwindet”.

Fur ein Elektron im statischen (!) Potenzial V (r) ist der Hamilton-operator H = c ~α·~p + βm0c

2 + V (~r), und die Diracgleichung ist:

~σ·~p ψB =1

c(E −V −m0c

2)ψA , ~σ·~p ψA =1

c(E −V +m0c

2)ψB .

In den Losungen zu positiver Energie ist nun ψB nicht exakt Nullaber klein (kleine Komponenten). Auflosung der zweiten Gleichungnach ψB und Einsetzen in die erste gibt eine Gleichung fur diegroßen Komponenten ψA:

~σ ·~p c2

m0c2 + E − V~σ ·~p ψA = (E − V −m0c

2)ψA .

Mit der Abkurzung ε = E −m0c2 fur die Energie relativ zu m0c

2:

1

2m0~σ ·~p

[

1 +ε− V

2m0c2

]−1

~σ ·~p ψA = (ε− V )ψA .

Naherung fur den “schwach relativistischen Fall” ε, |V | ≪ m0c2:

[

1

2m0(~σ ·~p)(~σ ·~p)− (~σ ·~p) ε− V

4m20c

2(~σ ·~p) + V (~r)

]

ψA = εψA .

Identitaten und Naherungen : (~σ·~p)(~σ·~p) = ~p2,

ε− V

4m20c

2≈ ~p

2

8m30c

2

~

i(~σ·~∇V )(~σ·~p) = ~

i(~∇V ·~p)+ ~(~∇V ·~p) = ~

i

1

r

dV

dr(~r ·~p)+ 2

r

dV

dr~S ·~L

Relativistische Korrekturen : H = Hnr + Hke + HLS + HD ,

Hke = − ~p2~p2

8m30c

2, HLS =

1

2m20c

2

1

r

dV

dr~L · ~S ,

HD =1

8m20c

2

(

~

i

1

r

dV

dr~r ·~p − ~

i~p ·~r 1

r

dV

dr

)

=~2

8m20c

2∆V .

Fur das H-Atom, V (r) = −e2/r :

HLS =e2

2m20

1

r3~L · ~S =

~µL · ~µSr3

, ~µL =e

2m0c~L , ~µS =

e

m0c~S ,

”Darwin-Term“: HD =

π~2e2

2m20c

2δ(~r ) .

Ununterscheidbare TeilchenDie Wellenfunktion fur N ununterscheidbare Teilchen (z.B. Elek-tronen) hat die Form ψ(x1, . . . xN), wobei Ortsvariable ~ri und Spin-variable msi des i -ten Elektrons zu einem Symbol xi zusammenge-fasst sind. Die Ununterscheidbarkeit druckt sich darin aus, dass derHamiltonoperator mit allen Permutationen P der Einteilchen-Indi-

zes kommutiert: [H , P ] = 0 , Pψ(x1, . . . xN)def= ψ(xP(1), . . . xP(N)).

Unter allen Moglichkeiten fur das Verhalten der Wellenfunktionenununterscheidbarer Teilchen bei Permutationen treten in der Naturnur zwei auf, total-symmetrisch: P |ψ〉 = |ψ〉 fur alle P ,

total-antisymmetrisch: P |ψ〉 = (−1)P |ψ〉.Dabei ist (−1)P = 1 fur gerade Permutationen, d.h. fur solche, diein eine gerade Anzahl von Vertauschungen zweier Zahlen zerlegtwerden konnen; (−1)P = −1 fur ungerade Permutationen, das sindsolche, deren Zerlegung in Vertauschungen zweier Zahlen eineungerade Anzahl von Vertauschungen umfasst.Ununterscheidbare Teilchen mit total-symmetrischen Wellenfunk-tionen heißen Bosonen, solche mit total-antisymmetrischenWellenfunktionen heißen Fermionen; Elektronen sind Fermionen.

Aus einem nicht notwendig total-antisymmetrischen Eigenzustand|ψ〉 von H erhalt man durch Anwendung des

Antisymmetrisierungsoperators A : |ψA〉 = A|ψ〉 def=∑

P

(−1)P P |ψ〉einen total-antisymmetrischen Zustand |ψA〉, der — wenn er nicht

Null ist — Eigenzustand von H zum gegebenen Eigenwert bleibt.

Pauli-PrinzipAntisymmetrisierung einer Produktwellenfunktion:

AN∏

i=1

ψi (xi ) =∑

P

(−1)PN∏

i=1

ψi(xP(i)) ≡ “ det ”

ψ1(x1) · · · ψ1(xN)...

......

ψN(x1) · · · ψN(xN)

.

Wegen der formalen Ahnlichkeit zu der Determinanten einer N×N-Matrix nennt man solche Wellenfunktionen Slaterdeterminanten.Eine Slaterdeterminante hangt ab von dem (N-dimensionalen)Hilbertraum, den die N Einteilchenwellenfunktionenψ1(x), ψ2(x), . . . , ψN(x) aufspannen. Sie verschwindet identisch,wenn diese Einteilchenwellenfunktionen linear abhangig sind.Wenn man N Einteilchenzustande mit den Quantenzahlenni , li ,mi ,msi , i = 1, . . .N mit jeweils einem Elektron besetzt, soverschwindet die (antisymmetrische) N-Elektronen-Wellenfunktion,wenn alle Quantenzahlen in zwei Einteilchenzustanden gleich sind.Jeder Einteilchenzustand kann hochstens mit einem Fermionbesetzt sein.

Zur approximativen Losung der Schrodingergleichung fur ein(neutrales, N = Z ) Atom ersetze man die potenzielle Energiedurch ein effektives Einteilchenpotenzial,

H ≈N∑

i=1

~p2

i

2µ+ Veff(ri ) , Veff(r)

r→∞∼ −e2

r, Veff(r)

r→0∼ −Ze2

r.

Dies lasst eine Losung durch Slaterdeterminanten zu. Die Verstar-kung der Anziehung bei kleinen Abstanden behebt die l -Entartungder Coulomb-Eigenfunktionen; sie wirkt am starksten in l = 0 (s-)Zustanden, und nimmt fur l = 1 (p), l = 2 (d), l = 3 (f ) mitzuneh- mendem l ab. Die 2(2l+1)-fache Entartung inAzimutalquantenzahl m und Spin ms bleibt. DieEinteilchenzustande n, l im Potenzial Veff sind in Reihenfolgezunehmender Einteilchenenergie: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d , 4p, 5s,4d , 4f , 5p, etc. Die Annahme, in dem Grund- zustand einesN-Elektronen-Atoms seien die energetisch tiefsten N

Einteilchenzustande mit jeweils einem Elektron besetzt, erklartqualitativ die Ordnung im Periodischen System der Elemente.

Addition von Drehimpulsen, Spin-Bahn-Kopplung

In einem System mit zwei kommutierenden Drehimpulsen, ~J1, ~J2,

[J1x , J1y ] = i~J1z , etc., [J2x , J2y ] = i~J2z , etc., [J1x , J2x ] = [J1x , J2y ]

= 0, etc., ist die Summe ~J = ~J1 + ~J2 ebenfalls ein Drehimpuls,

[Jx , Jy ] = i~Jz , etc. ~J2

und Jz kommutieren mit ~J2

1 und ~J2

2, aber

J1z , J2z kommutieren nicht mit ~J2

= ~J2

1 +~J2

2 + 2~J1 · ~J2.Zu gegebenen Quantenzahlen j1 und j2 der Einzeldrehimpulse,

~J2

1|j1,m1〉 = j1(j1 + 1)~2|j1,m1〉, ~J2

2|j2,m2〉 = j2(j2 + 1)~2|j2,m2〉,bilden die ungekoppelten Produktzustande

|j1,m1; j2,m2〉 def= |j1,m1〉|j2,m2〉, mi = −ji , . . . ji , i = 1, 2, einen

(2j1 + 1)(2j2 + 1)-dimensionalen Hilbertraum.Frage: “Welche Eigenzustande |j ,m; j1, j2〉 von ~J

2

und Jz konnenwir als Linearkombinationen aus den ungekoppelten Produkt-zustanden (zu gegebenen Werten von j1 und j2) bilden?”Antwort: genau 2j + 1 Eigenzustande, m = −j , . . . j , zu denfolgenden Werten von j : j = |j1 − j2|, |j1 − j2|+ 1, . . . j1 + j2. Dieentsprechende Entwicklung,

j1∑

Anwendung auf Spin-Bahn-Kopplung

Wenn ~J1 = ~L den Bahndrehimpuls und ~J2 = ~S den Spin eines

Elektrons darstellt, dann ist ~J = ~L+ ~S sein Gesamtdrehimpuls. Zugegebenen Werten von l (≡ j1) und s (≡ j2) gibt es, da s = 1

2 , nurzwei mogliche Werte von j , namlich: j = l + 1

2 und (falls l > 0)j = l − 1

2 . Die Entspre- chenden Eigenzustande |j ,m; l , 12〉 ≡ Yj ,m,l

sind im wesentlichen zweikomponentige Spinoren ausKugelflachenfunktionen und werden verallgemeinerte

Kugelflachenfunktionen genannt:

Yj ,m,l =1√2j

(

√j +mYl ,m− 1

2(θ, φ)

√j −mYl ,m+ 1

2(θ, φ)

)

, j = l +1

2,

Yj ,m,l =1√

2j + 2

(−√j + 1−mYl ,m− 1

2(θ, φ)

√j + 1 +mYl ,m+ 1

2(θ, φ)

)

, j = l − 1

2.

Diese Darstellung enthalt bereits die entsprechenden CG-Koeffi-zienten, z.B. fur j = l + 1

2 : 〈l ,m − 12 ;

12 ,+

12 |j ,m〉 = √

2j +m/√2j .

Wenn der Hamiltonoperator eine Spin-Bahn-Kopplung enthalt,

H = − ~2

2µ∆ + V (r) + VLS (r) ~L·~S ,

dann kommutiert er nicht mehr mit den Komponenten von ~L und

~S , aber mit denen von ~J = ~L+ ~S , denn ~L·~S = 12

(

~J2

− ~L2

− ~S2)

.

Zur Separation der Schrodingergleichung in Radial- und Drehim-pulsanteile geht man daher von Eigenzustanden des Gesamt-

drehimpulses aus, ψ(~r ,ms) =φj ,l(r)

rYj ,m,l . Da ~L·~S Yj ,m,l

=~2

2

[

j(j + 1)− l(l + 1)− 3

4

]

Yj ,m,l =~2

2

{

lYj ,m,l , j = l + 12 ,

−(l+1)Yj ,m,l , j= l − 12 ,

ist die RSG mit F (j , l) = l oder −(l+1) fur j = l ± 12 :

(

− ~2

2µ

d2

dr2+

l(l + 1)~2

2µr2+ V (r) +

~2

2F (j , l)VLS (r)

)

φj ,l(r) = Eφj ,l(r) .

Zwei Teilchen mit Spin 1/2Die Wellenfunktion ist eine Linearkombination von Produkten derForm ψ(~r1,~r2)χ(ms1 ,ms2). Fur die Spin-Wellenfunktion χ gibt esvier linear unabhangige Moglichkeiten, z.B. | ↑↑〉, welche nur furms1 = +1

2 , ms2 = +12 von Null verschieden (z.B. 1) ist, | ↑↓〉,

welche nur fur ms1 = +12 , ms2 = −1

2 von Null verschieden ist, | ↓↑〉und | ↓↓〉. Der Gesamtspin ~S = ~S1 + ~S2 hat, wie die einzelnen

Spins ~S1 und ~S2, die Eigenschaften eines Drehimpulses;entsprechende Linearkombinationen |S ,MS〉 der vier χ’s sindEigenzustande von ~S

2

und SZ : ~S2

|S ,MS〉 = S(S + 1)~2|S ,MS〉,Sz |S ,MS 〉 = MS~|S ,MS〉. Die Zustande des Tripletts zu S = 1,|1, 1〉 = | ↑↑〉, |1, 0〉 = 1√

2(| ↑↓〉+ | ↓↑〉) und |1,−1〉 = | ↓↓〉, sind

bzgl. symmetrisch, wahrend der Singulett-Zustand zu S = 0,|0, 0〉 = 1√

2(| ↑↓〉 − | ↓↑〉) antisymmetrisch ist. Fur ununter-

scheidbare Fermionen muss die Gesamtwellenfunktion bei Teilchen-austausch antisymmetrisch sein, also muss der zugehorige Ortsfak-tor ψ(~r1,~r2) die jeweils entgegengesetzte Symmetrie haben.

6. Naherungsmethoden

VariationsprinzipDer Erwartungswert des Hermiteschen Operators H ,

E [ψ] = 〈H〉 = 〈ψ|H |ψ〉〈ψ|ψ〉 ,

definiert eine Abbildung des Hilbertraums H der Zustandsvektorenin R.Als Variation δE von E [ψ] definiert man die (infinitesimale)Anderung des Erwartungswertes, die durch eine (infinitesimale)Anderung des Zustandsvektors hervorgerufen wird,

δE = E [ψ+δψ]−E [ψ] =〈δψ|H − E [ψ]|ψ〉 + 〈ψ|H − E [ψ]|δψ〉

〈ψ|ψ〉 + 〈δψ|ψ〉 + 〈ψ|δψ〉 +O(δ2) .

Wenn |ψ〉 Eigenzustand von H ist, dann ist der zugehorigeEigenwert gleich dem Erwartungswert E [ψ] und die Variationverschwindet. Verschwindet umgekehrt die Variation δE fur alle

Zustandsanderungen |δψ〉, dann muss 〈δψ|H − E [ψ]|ψ〉+〈ψ|H − E [ψ]|δψ〉 fur alle |δψ〉 verschwinden, insbesondere fur jedes|δψ〉 auch fur i|δψ〉.

Daraus folgt, dass auch 〈δψ|H − E [ψ]|ψ〉 − 〈ψ|H − E [ψ]|δψ〉 furalle |δψ〉 verschwinden muss, d.h., 〈δψ|H − E [ψ]|ψ〉 und〈ψ|H − E [ψ]|δψ〉 mussen, jedes fur sich, verschwinden. Das heißtz.B., dass (H − E [ψ])|ψ〉 auf alle |δψ〉 orthogonal ist, und, da dieseden Hilbertraum aufspannen, gilt (H − E [ψ])|ψ〉 = 0 bzw.H |ψ〉 = E [ψ]|ψ〉, d.h. |ψ〉 ist Eigenzustand von H zum EigenwertE [ψ]. δE [ψ] = 0 ⇐⇒ H |ψ〉 = E [ψ]|ψ〉 .Naherungsweise kann man E [ψ] fur eine begrenzte Menge vonModellzustanden berechnen und stationare Stellen von E [ψ] alsapproximative Eigenzustande von H interpretieren. Fur dieGrundzustandsenergie E1 gilt E1 ≤ E [ψ] fur alle |ψ〉, so dass dieSuche nach einem Modellzustand, der ein Minimum von E [ψ]darstellt, immer sinnvoll ist. Dieses Verfahren wird “RitzschesVariationsprinzip” genannt. Wenn die Modellzustande einengegenuber linerarer Superposition abgeschlossenen Unterraum Mvon H bilden, dann ist die Projektion h von H auf den UnterraumM — definiert durch ihre Matrixelemente 〈ψ1|h|ψ2〉 = 〈ψ1|H |ψ2〉fur alle |ψ1〉, |ψ2〉 ∈ M — ein Hermitescher Operator in M, unddie stationaren Stellen von E [ψ] sind Eigenzustande von h.

Eine solche Diagonalisierung des Hamiltonoperators in einem

Unterraum liefert approximative Eigenzustande |ψi 〉, welche (beientsprechender Normierung und gegebenenfallsOrthogonalisierung) die folgenden Gleichungen efullen,

〈ψi |ψj 〉 = δi ,j , 〈ψi |H |ψj 〉 = εiδi ,j , alle |ψi 〉, |ψj〉 ∈ M. (diag)

Zur Einschatzung der Gute der approximativen Eigenwerte εi hilftdas Hylleraas-Undheim-Theorem:Seien E1 ≤ E2 ≤ E3 . . . die exakten Eigenwerte des Hermiteschenoperators H im Hilbertraum H, und ε1 ≤ ε2 ≤ ε3 . . .approximative Eigenwerte aus einer Diagonalisierung in einemUnterraum, siehe (diag), dann gilt:

E1 ≤ ε1, E2 ≤ ε2, E3 ≤ ε3, . . . ,

d.h. dann ist auch der approximative Eigenwert fur den n-tenangeregten Zustand eine obere Schranke fur den entsprechendenexakten Eigenwert.Dies ist z.B. nicht erfullt fur approximative Eigenwerte, die manaus δ[E ] = 0 in einer Menge von Modellzustanden berechnet, wenndie Modellzustande nicht einen Unterraum von H bilden.

7. Symmetrien und Invarianzen

Eine lineare Transformation U aller Vektoren im Hilbertraum heißtunitar wenn gilt: U†U = UU† = 1. Unitare Transformationenerhalten das Skalarprodunkt:

|φi 〉 = U|ψi 〉 =⇒ 〈φ1|φ2〉 = 〈ψ1|U†U|ψ2〉 = 〈ψ1|ψ2〉 .

Ein hermitescher Operator A erzeugt eine Gruppe unitarerTransformationen, U(a) = exp [iaA], a reell.

Zeitverschiebung:Sei H zeitunabhangig, {|ψn〉} eine (orthonormale) Basis vonEigenzustanden, H |ψn〉 = En|ψn〉. Ein Zustand |ψ(t = 0)〉 lasstsich entwickeln als |ψ(t = 0)〉 =∑n cn|ψn〉 und seineZeitentwicklung ist gegeben durch |ψ(t)〉 =∑

n

cne− i

~Ent |ψn〉 = e

− i

~Ht∑

n

cn|ψn〉 = e− i

~Ht |ψ(0)〉 = U(t)|ψ(0)〉,

U(t) = e− i

~Ht def

= Zeitentwicklungsoperator, U†(t) = U−1(t) = e+ i

~Ht .

Die Zeitentwicklung des Matrixelements eines Operators O,

〈ψ1(t)|O|ψ2(t)〉 = 〈ψ1(0)|U†(t)OU(t)|ψ2(0)〉 ,

kann man auffassen als Matrixelement des (allg. zeitunabhangigen)Operators O in den zeitabhangigen Zustanden |ψi (t)〉(Schrodinger-Bild), oder als Matrixelement des zeitabhangigenOperators

OH(t)def= U†(t)OU(t)

in den zeitunabhangigen Zustanden |ψi (0)〉 (Heisenberg-Bild).Die Schrodingergleichung is invariant gegenber der unitarenTransformation U wenn U†HU = H ⇔ [H , U] = 0.

Translation:

e− i

~pxaψ(x) =

∞∑

k=0

(

− i~pxa)k

k!ψ(x) =

∞∑

k=0

(−a)k

k!

(

∂

∂x

)k

ψ(x) = ψ(x−a),

e− i

~~p·~aψ(~r ) =

∞∑

k=0

(

− i~~p ·~a

)k

k!ψ(x) =

∞∑

k=0

(

−~a · ~∇)k

k!ψ(x) = ψ(~r−~a) .

Der Hermitesche Operator O = px bzw. ~O = ~p erzeugt die

unitaren Transformationen U = e− i

~aO bzw. e−

i

~~a· ~O , welche

Translationen um a bzw. ~a darstellen.

Drehung:

e− i

~Lzαψ(r , θ, ϕ) =

∞∑

k=0

(−α)kk!

(

∂

∂ϕ

)k

ψ(r , θ, ϕ) = ψ(r , θ, ϕ−α) .

Lz erzeugt Rotationen um die z-Achse.

In drei Raumdimensionen erzeugen die Komponenten desDrehimpulsoperators beliebige Rotationen im Raum; so beschreibt

R(α, β, γ) = e− i

~αLz e

− i

~βLy e

− i

~γLz eine Rotation des Systems

durch die Euler-Winkel α, β, γ. Die Gruppe aller solcher Rotatio-nen, die Drehgruppe SO(3), ist, im Gegensatz zu den Translationenoder den Rotationen um nur eine Achse, nicht-abelsch.Die 2l + 1 Eigenzustande Ylm(θ, φ) zur Drehimpulsquantenzahl lgehen bei Rotationen in Linearkombinationen von sich selbst uber:

R(α, β, γ)Ylm(θ, φ) =∑

m′

D lm′m(α, β, γ)Ylm′(θ, φ) .

Die Drehmatrizen D lm′m(α, β, γ) = 〈Ylm′ |R(α, β, γ)|Ylm〉 sind

(2l + 1)× (2l + 1) Matrizen D l(α, β, γ), welche die gleichenMultiplikationseigenschaften haben wie die Rotationen selbst,

R(α2, β2, γ2)R(α1, β1, γ1) = R(α, β, γ) ⇐⇒D l(α2, β2, γ2)D

l(α1, β1, γ1) = D l(α, β, γ) .

Die Gruppe der (2l+1)×(2l+1) Matrizen D l(α, β, γ) ist homo-morph zu SO(3). Sie ist eine (2l + 1)-dimensionale Darstellung vonSO(3).

Darstellungen einer Symmetriegruppe:

Sei G = {T (a1, a2, . . .)} eine Gruppe von Symmetrietransformatio-nen T (a1, a2, . . .), die mit dem Hamiltonoperator vertauschen.Seien |ψ1〉, |ψ2〉, . . . alle Eigenzustande von H zu einem gegebenen(entarteten) Eigenwert E , H |ψi 〉 = E |ψi 〉 . Dann sind alleZustande T (a1, a2, . . .)|ψj 〉 Linearkombinationen der |ψi 〉, und dieGruppe der Matrizen M(a1, a2, . . .), definiert durch

Mij(a1, a2, . . .) = 〈ψi |T (a1, a2, . . .)|ψj〉 ,ist eine Darstellung der Gruppe G. Die Dimensionalitat derDarstellung entspricht dem Entartungsgrad des Eigenwerts E .Die Darstellung heißt reduzibel, wenn es unter den Basiszustanden

|ψ1〉, |ψ2〉, . . ., welche die Matrixelemente Mij definieren, eine

echte Teilmenge gibt, die bei allen Transformationen T (a1, a2, . . .)nur in LK’n untereinander ubergefuhrt werden.

So ist die vierdimensionale Darstellung der Drehgruppe, die alsBasiszustande die Eigenzustande |ψn=2,l ,m〉 des Wasserstoffatomszur Hauptquantenzahl n = 2 hat, reduzibel, weil bei allenRotationen der 2s-Zustand unverandert bleibt und die p-Zustandenur untereinander vermischt werden,

R(α, β, γ)|ψn=2,l=0,m=0〉 = |ψn=2,l=0,m=0〉 ,R(α, β, γ)|ψn=2,l=1,m〉 =

∑

m′

D l=1m′m(α, β, γ)|ψn=2,l=1,m′ 〉 .

Dadurch bestehen alle 4× 4-Matrizen aus einem (trivialen)1× 1-Block und einem 3× 3-Block, und diese Blocke definierenjeweils eine (triviale) eindimensionale und eine dreidimensionaleDarstellung von SO(3).Die (2l + 1)-dimensionale Darstellung von SO(3) durch dieDrehmatrizen D l=1

m′m ist dagegen irreduzibel, weil es unter den2l + 1 Basiszustanden keine solche echte Teilmenge gibt.Irreduzible Darstellungen von Gruppen von Symmetrietransforma-tionen, die mit H kommutieren, sind fur das Verstandnis desSpektrums von H von Bedeutung. Eine k-dimensionale irreduzibleDarstellung deutet auf einen k-fach entarteten Eigenwert von H .

8. Außere Felder

Elektrisches Feld, Stark-EffektWenn ein N-Elektron-Atom, beschrieben durch den Hamilton-operator HA, sich in einem außeren homogenen elektrischen Feld

F~ez befindet, dann ist der volle Hamiltonoperator fur das System

H = HA + e F

N∑

i=1

zi .

Allgemein sind die Eigenzustande |ψ(0)n 〉 von HA auch

Eigenzustande des Paritatsoperators Π [definiert durchΠψ(. . . , ~ri , . . .) = ψ(. . . , −~ri , . . .)], so dass dieEnergieverschiebungen der ersten Ordnung Storungstheorie,

〈ψ(0)n |e F

∑Ni=1 zi |ψ

(0)n 〉, verschwinden, weil uber eine insgesamt

antisymmetrische Funktion aller Ortskoordinaten integriert wird. Inzweiter Ordnung sind die Korrekturen zu den ungestortenEnergieeigenwerten von HA,

∆E(2)n = e2F 2

∑

E(0)m 6=E

(0)n

|〈ψ(0)m |∑N

i=1 zi |ψ(0)n 〉|2

E(0)n − E

(0)m

.

Diese Energieverschiebungen sind Ausdruck des quadratischenStark-Effekts. Sie hangen mit der statischen Dipolpolarisierbarkeit

αd = 2e2∑

E(0)m 6=E

(0)n

|〈ψ(0)m |∑N

i=1 zi |ψ(0)n 〉|2

E(0)m − E

(0)n

,

des Atoms zusammen, namlich uber ∆E(2)n = −F 2αd/2.

Diese Ergebnisse sind nur gultig fur (ungestorte) Eigenzustande

|ψ(0)n 〉, fur die es keine nichtverschwindende Matrixelemente

〈ψ(0)m |∑N

i=1 zi |ψ(0)n 〉 mit anderen (ungestorten) Eigenzustanden

|ψ(0)m 〉 zu demselben (ungestorten) Energieeigenwert E

(0)n gibt.

Ansonsten ist der “Storoperator” eF∑N

i=1 zi im Unterraum der

entarteten ungestorten Eigenzustande zu E(0)n zu diagonalisieren,

und die sich dabei ergebenden Eigenwerte sind die Energiekorrek-turen in erster Ordnung. Da sie linear von der Feldstarke F

abhangen, spricht man vom linearen Stark-Effekt.Beispiel: angeregte Zustande des Wasserstoffatoms.

Magnetfeld, Zeeman-EffektEin außeres Magnetfeld ~B = ~∇× ~A wird im Hamiltonoperatordadurch berucksichtigt, dass die kinetische Energie durch denkinetischen Impuls ~p + e

c~A(~r ) ausgedruckt wird (~p ist nach wie vor

der kanonische Impuls),

H =N∑

i=1

(

~pi +ec~A)2

2me+ V (. . .~ri . . .) = HA +

e

2mec~L · ~B + O(B2) ,

~L =

N∑

i=1

~Li .

Der zweite Term beschreibt die Energie eines magnetischen Dipols

mit magnetischem Moment −~L e/(2mec) in dem Magnetfeld. Derentsprechende Beitrag der Elektronenspins tragt zusatzlich einenFaktor 2 (folgt aus Diracgleichung), so dass

H = HA−~µM·~B+O(B2) , ~µM = − e

2mec

(

~L+ 2~S)

; ~S =N∑

i=1

~S i .

Betrachte homogenes Magnetfeld ~B = B~ez . Wenn die ungestortenZustande Eigenzustande | . . .ML, . . .MS〉 von Lz und Sz (mit denEigenwerten ML~ bzw. MS~) sind, dann verschieben sich dieEnergien um

∆En = µBB(ML + 2MS) , µB =e~

2mec. (PB)

µB ist das Bohrsche Magneton. Die Formel (PB) ist nur gultig,wenn die dadurch beschriebenen Energieverschiebungen groß sindgegenuber einer eventuellen Spin-Bahn-Aufspaltung derungestorten Energieeigenzustande. Diese sind allgemein

Eigenzustande | . . . J,MJ〉 von ~J2

und Jz zu den Eigenwerten

J(J + 1)~2 bzw. Mj~ (~J = ~L+ ~S ist der Gesamtdrehimpuls) unddie Energieverschiebungen in erster Ordnung Storungstheorie sind

∆E(1)n = µBBgMJ , g = 1 +

J(J + 1) + S(S + 1)− L(L+ 1)

2J(J + 1).

(AZ)

Der Lande-Faktor g ruhrt daher, dass die Storung den Vektor-

operator ~L+ 2~S = ~J + ~S enthalt und nicht einfach ~J . Die Formel(AZ) (anomler Zeeman-Effekt) beschreibt die Energieverschiebun-gen gut, solange sie klein gegenuber der Spin-Bahn-Aufspaltungsind, d.h. µBB sollte kleiner sein als die Energiedifferenzen der(ungestorten) Energieeigenzustande zu verschiedenen Werten derGesamtdrehimpulsquantenzahl J. Bei großeren Magnetfeldstarkenist der Einfluss der Spin-Bahn- Kopplung vernachlassigbar, und dieEnergieverschiebungen werden genauer durch (PB) (Paschen-Back-Effekt) beschrieben. Fur ungestorte Eigenzustande mit S = 0 istg = 1 und die Energieverschiebungen sind exakt durch

∆En = µBBML (NZ)

gegeben (normaler Zeeman-Effekt).

Es folgt ein kleiner Anhang uber spezielle Funktionen

Anhang uber spezielle Funktionen

Hermite-Polynome

Differentialgleichung:d2Hn

dy2−2y

dHn

dy+2nHn(y) = 0

expliziter Ausdruck: Hn(y) =∑

0≤ν≤n/2

(−1)νn!

ν!(n − 2ν)!(2y)n−2ν

Orthogonalitat:

∫ ∞

−∞Hm(y)Hn(y) e

−y2dy = 2nn!

√π δm,n

Rekursion: Hn+1(y) = 2yHn(y)−2nHn−1(y) , n ≥ 1

Ableitung:dHn

dy= 2nHn−1(y) , n ≥ 1

explizite Beispiele: H0(y) = 1 , H1(y) = 2y , H2(y) = 4y2 − 2 ,

H3(y)=8y3−12y , H4(y)=16y4−48y2+12, H5(y)=32y5−160y3+120y

Legendre-Polynome, KugelflachenfunktionenDas lte Legendre-Polynom Pl(x) ist ein Polynom vom Grade l in x ,

Pl(x) =1

2l l !

dl

dx l(x2 − 1)l , l = 0, 1, . . . .

Es hat l Nullstellen im Intervall −1 < x < 1; Pl(−x) = (−1)lPl(x).The assozierten Legendre-Funktionen Pl ,m(x) , |x | ≤ 1 , sindProdukte von (1− x2)m/2 mit Polynomen vom Grad l −m

(m = 0, . . . , l) : Pl ,m(x) = (1− x2)m/2 dm

dxmPl(x) .

Die Kugelflachenfunktionen Yl ,m(θ, φ) fur m ≥ 0,

Yl ,m(θ, φ) = (−1)m[

(2l + 1)

4π

(l −m)!

(l +m)!

]1/2

Pl ,m(cos θ) eimφ

= (−1)m[

(2l + 1)

4π

(l −m)!

(l +m)!

]1/2

sinm θdm

d(cos θ)mPl (cos θ) e

imφ .

Die Yl ,m mit m < 0 erhalt man uber die BeziehungYl ,−m(θ, φ) = (−1)m (Yl ,m(θ, φ))

∗.

Laguerre-PolynomeDie verallgemeinerten Laguerre-Polynome Lαν (x) , ν = 0, 1, . . .sind Polynome vom Grade ν in x ,

Lαν (x) =ex

ν!xαdν

dxν

(

e−x xν+α

)

=

ν∑

µ=0

(−1)µ(

ν + α

ν − µ

)

xµ

µ!;

sie haben ν Nullstellen im Bereich 0 < x <∞. Die gewohnlichen

Laguerre-Polynome Lν(x) entsprechen dem Spezialfall α=0.Allgemein ist α eine reelle Zahl großer als −1. Der Binomial-koeffizient ist fur nichtganzzahlige Argumente wie folgt definiert:

(

z

y

)

=Γ(z + 1)

Γ(y + 1) Γ(z − y + 1),

Dabei ist Γ is the Gammafunktion, Γ(z + 1)def=∫∞0 tz e−t dt.

E N D E

Theoretische Physik 3, Quantenmechanikeinrichtungen.ph.tum.de/T30a/vorlesungen/SS11/ss11.pdf · In...

Documents

Transcript of Theoretische Physik 3, Quantenmechanikeinrichtungen.ph.tum.de/T30a/vorlesungen/SS11/ss11.pdf · In...