Teil IV

Elektromagnetische Strahlung imVakuum

73

Kapitel 9

Das elektromagnetische Feld imVakuum

9.1 Homogene WellengleichungenIn diesem Kapitel untersuchen wir die Maxwell-Gleichungen

∇ · E = 0; ∇ ·B = 0; ∇× E = −∂B∂t

; ∇×B = ε0µ0∂E∂t. (9.1)

im Vakuum (ρ = 0; j = 0).Entkopplung von magnetischem und elektrischem Feld Im Vakuum lassen sichelektrisches Feld E und magnetische Induktion B vollständig entkoppeln. Wir bilden diezeitliche Ableitung des Induktionsgesetzes ∇× E = −B,

−ε0µ0∂2B∂t2

=(ε0µ0

∂

∂t

)(−∂B∂t

)=

(ε0µ0

∂

∂t

)∇× E

= ∇×(ε0µ0

∂E∂t

)= ∇× (∇×B)︸ ︷︷ ︸

∇(∇·B)−∆B

und daher, zusammen mit ∇ ·B = 0,

∆B = ε0µ0∂2B∂t2

.

Wir erhalten also die homogene Wellengleichung(

∆− 1c2∂2

∂t2

)B = 0; 1

c2 = ε0µ0 , (9.2)

wobei c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ist. Analog verfährt man mit dem E-Feld.D’Alambert Operator Mit der Abkürzung

� = ∆− 1c2∂2

∂t2(9.3)

74

für den d’Alambert-Operator � lassen sich die Maxwell-Gleichung (9.1) im Vakuumäquivalent als

�B = 0; ∇ ·B = 0�E = 0; ∇ · E = 0

(9.4)

darstellen. Für die zugehörigen Potentiale findet man nach Kapitel 7.3

�A = 0; ∇ ·A = 0 (9.5)

Φ = 0 (9.6)

in der Coulomb-Eichung ∇·A = 0. Hierzu braucht man nur in den Bestimmungsgleichun-gen (7.17) und (7.19) für die elektromagnetischen Potentiale für verschwindenden Quellenρ und j zu betrachten.Wellengleichungen Wir haben also Differentialgleichungen vom Typ

�f(r, t) = 0 (9.7)

zu lösen, wobei f für irgendeine Komponente von E,B oder A steht. Die Lösungen fürE,B und A sind dann noch der Nebenbedingung unterworfen, dass die Divergenz ver-schwindet (Transversalitätsbedingung).

9.2 Elektromagnetische Wellen

Ebene Wellen Ein wichtiger Lösungstyp der Wellengleichung (9.7) sind ebene Wellen,welche durch einen Wellenvektor q gekennzeichnet sind,

f = f(q · r∓ ct); |q| = 1 , (9.8)

75

wobei f() eine beliebige Funktion ist, welche mindestens zweifach differenzierbar ist.Nachweis Zum Nachweis, daß (9.8) die Wellengleichung (9.7) erfüllt, verwenden dieAbkürzung

ξ = q · r∓ ct (9.9)und bilden:

∇f = q df

dξ; ∆f = q2 d

2f

dξ2 ; ∓1c

∂f

∂t= df

dξ(9.10)

und somit1c2∂2f

∂t2= d2f

dξ2 . (9.11)

Damit istB = B0 f(r, t) (9.12)

Lösung von (9.2); analog für E und A. Wir diskutieren nun die Eigenschaften der Lösung(9.8).

Ebene Wellen Funktionen vom Typ (9.8) beschreiben Wellen, deren WellenfrontenEbenen sind: Die Punkte r, in denen f(r, t) zu einer festen Zeit t den gleichen Wertannimmt, liegen auf einer Ebene (Hesse’sche Normalform)

q · r = const , (9.13)

welche senkrecht zu q steht. Je nach Wahl des Vorzeichens in (9.8) erhält man Wellen,die in ±q-Richtung laufen.Transversalität elektromagnetischer Wellen Aus∇·B folgt mit B(r, t) = B0f(r, t) =B0f(ξ)

0 = ∇ ·B = B0 · ∇f(ξ) =(B0 · q

) dfdξ

; ξ = q · r± ct , (9.14)

alsoB · q = 0 ; (9.15)

entsprechend für E und A. Das elektrische und das magnetischeFeld einer ebenenen Wellesteht also senkrecht zur der Ausbreitungsrichtung q.

76

λ E

Bkk

Orthogonalität von E und B Aus

∇× E = −∂B∂t

(9.16)

folgt für die ebenen Wellenlösungen

E = E0 f(q · r− ct); B = B0 g(q · r− ct) (9.17)

die Beziehung(q × E0

)dfdξ

= cB0dg

dξ, (9.18)

also E ⊥ B mit der Transversalitätsbedingung (9.15). E,B und q bilden also ein ortho-gonales Dreibein.

Elektromagnetische Wellen und das Durchflutungsgesetz Die Existenz von elek-tromagnetischen Wellen (z.B. Lichtwellen, Radiowellen, Mikrowellen, γ-Strahlung etc.)beweist die Richtigkeit des Durchflutungsgesetzes

∇×B = ε0µ0∂E∂t

im Vakuum, welches entscheidend in die Herleitung der Wellengleichungen eingegangenist. Sie stellt die experimentelle Bestätigung für das Maxwell-Ampère-Gesetz (6.22) dar.

Kugelwellen Neben den ebenen Wel-len sind Kugelwellen wichtige Lösungs-typen der Wellengleichung (9.7); sie ha-ben die Form

f(r, t) = g(r − ct)r

, (9.19)

wobei f eine beliebige (mindestens zwei-fach differenzierbare) Funktion ist. DerBeweis verläuft analog zu (9.10) in Ku-gelkoordinaten.

77

Kugelkoordinaten Von den karthesischen Ko-ordinaten x = (x, y, z) geht man via

x = r cosϕ sin θy = r sinϕ sin θz = r cos θ

(9.20)

zu den Kugelkoordinaten (r, ϕ, θ) über, mit demRadius r, den Azimutwinkel ϕ und dem Polar-winkel θ.

3/2 π P(r,φ,θ)

0r

θ

r

1/2 π

π

0

φ

x y

z

Der Laplace Operator hat die Form

∆ = 1r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+ 1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ ∂

∂θ

)+ 1r2 sin2 θ

∂2

∂2ϕ. (9.21)

Kugelwellen Lösung Damit gilt

∂

∂r

(g(r − ct)

r

)= g′

r− g

r2 , r2 ∂

∂r

(g(r − ct)

r

)= rg′ − g

für Kugelwellen der Form (9.19) und somit

∆(g(r − ct)

r

)= 1

r2∂

∂r

(rg′ − g

)= 1

r2

(g′ + g′′ − g′

)= g′′

r.

Also erfüllt f(r, t) = g(r − ct)/r die Wellengleichung (9.7).

9.3 Monochromatische ebene Wellen

Dispersionsrelation Eine spezielle Form der ebenen Welle (z.B. für die elektrischeFeldstärke) sind in Zeit und Raum periodisch harmonische Lösungen der Gestalt

A = A0 exp(i(k · r∓ ωt)) . (9.22)

Dabei istk = k q, |q| = 1 (9.23)

und ω und k hängen über die Dispersionsrelation

ω2 = k2c2 (9.24)

zusammen, wie man durch Einsetzen von (9.22) in die Wellengleichung (9.4) sofort sieht,(9.11). Eine ebene Welle vom Typ (9.22) nennt man monochromatisch (zu deutsch ein-farbig).Komplexe vs. reele Felder E,A und B sind als Messgrößen reelle Vektorfelder. Diekomplexe Schreibweise in Gleichung (9.22) ist verabredungsgemäß so zu verstehen, dass

78

das physikalische Vektorfeld durch den Realteil von (9.22) beschrieben wird. Die komplexeSchreibweise ist oft (z.B. beim Differenzieren) bequemer als die reelle; sie ist problemlos,solange nur lineare Operationen durchgeführt werden.

Zeitliche Mittelwerte Häufig ist man an zeitlich gemittelten Größen interessiert, wiez.B. die im Mittel auftreffenden Energgie elektromagnetischer Strahlung. Für eine Funk-tion z(t) definiert man den zeitlichen Mittelwert z als

z = limT→∞

12T

∫ T

−Tz(t)dt . (9.25)

Bei der Berechnung physikalischer Größen wie etwa der Energiestromdichte treten Pro-dukte von Vektorfeldern auf. Zeitliche Mittelwerte . . . solcher Produkte kann man inkomplexer Schreibweise wie folgt berechnen: Für zwei Vektorfelder

a(r, t) = a0(r) exp(−iωt); b(r, t) = b0(r) exp(−iωt) (9.26)

gilt für den zeitlichen Mittelwert des Produktes

(Rea) · (Reb) = 12Re(a · b

∗) , (9.27)

denn in

(Rea) · (Reb) = 14(a0 exp(−iωt) + a∗0 exp(iωt)

) (b0 exp(−iωt) + b∗0 exp(iωt)

)

verschwinden die gemischten Terme mit den Zeitfaktoren exp(±2iωt) nach Zeitmittelungund es bleibt

(Rea) · (Reb) = 14(a · b∗ + a∗ · b) = 1

2Re(a · b∗) . (9.28)

Terminologie Monochromatische ebene Wellen sind so wichtig, daß es für alle Größenfeste Begriffe gibt.

Wellenvektor kWellenzahl k k = |k|

Kreisfrequenz ω ω = c k

Frequenz ν ν = ω/(2π)Wellenlänge λ λ = (2π)/k

Schwingungsdauer T T = (2π)/ω

Anhand von (9.22) sieht man, dass die Schwingungsdauer T die zeitliche Periodizität derWelle bei festgehaltenem Ort r beschreibt,

exp(iω(t+ T )) = exp(iωt+ 2πi) = exp(iωt); (9.29)

79

analog gibt die Wellenlänge λ die räumliche Periodizität an:

exp(ik(z + λ)) = exp(ikz + 2πi) = exp(ikz) (9.30)

für eine Welle in z-Richtung zu fester Zeit t.

Phasengeschwindigkeit Die Größe

φ = k · r− ωt (9.31)

nennt man die Phase der Welle. Unter der Phasengeschwindigkeit vph versteht man dieGeschwindigkeit, mit der sich ein Wellenpunkt mit vorgegebener fester Phase bewegt. Umvph zu bestimmen, betrachten wir wieder eine ebene Welle in z-Richtung und bilden dastotale Differential von φ(z, t):

dφ = kdz − ωdt. (9.32)

Für φ = const. folgt dann:vph = dz

dt= ω

k= c; (9.33)

die Phasengeschwindigkeit ist also gleich der Lichtgeschwindigkeit c.

Beziehung zwischen E und B Feld Ausgehende von der Definition (9.22) für dasVektorpotential findet man für monochromatische ebene Wellen die Felder, siehe (7.1)und (7.3):

B = ∇×A; E = −∂A∂t− ∇Φ . (9.34)

Im Vakuum verschwindet das skalare Potential, Φ→ 0, für die Coulomb Eichung ∇·A =0. Die Coulomb Eichung ist für A0 · k = 0 erfüllt, siehe (9.22). Damit erhalten wir

B = i(k×A); E = iωA . (9.35)

Mit ω = ck finden wir die einprägsame Beziehung

B = i(

k× Eiω

)= 1

c

kk× E = 1

cn× E , (9.36)

wobei n = k/k die Ausbreitungsrichtung ist.

Energiedichte Der zeitliche Mittelwert der Energiedichte (reelle Darstellung) ist:

ωF = 12T

∫ T

−TωF dt , (9.37)

wobei die Energiedichte ωF (mit µ0ε0 = 1/c2) durch

ωF = ε02 E

2 + 12µ0

B2 = ε02(E2 + c2B2

)(9.38)

80

gegeben ist. Mit A · k = 0 finden wir:

ωF = ε04 Re(ω

2A ·A∗ + c2k2A ·A∗) = ε02 ω

2|A0|2 = ε02 |E0|2 , (9.39)

wobei der extra Faktor 1/2 durch die zeitliche Mittelung, siehe (9.27) zustande kommt.

Energiestromdichte Entsprechend zur Zeit-gemittelten Energiedichte (9.39) gilt (mitn = k/|k| für die Zeit-gemittelte Energiestromdichte S, siehe (8.13),

S = (E×B)/µ0 = ω

2µ0|A0|2 k = ωk

2µ0

|E0|2ω2 = k

2µ0

|E0|2ck

= ε0c

2 |E0|2 n , (9.40)

wobei wir µ0ε0 = 1/c2 verwendet haben. Vergleicht man (9.39) mit (9.40), so findet man

|S| = c ωF ; (9.41)

die Energie des elektromagnetischen Feldes wird also mit der Lichtgeschwindigkeit c trans-portiert.

Impulsdichte Die Impulsdichte ~πF lässt sich direkt über die Beziehung (8.28) aus demPoynting-Vektor S herleiten.

~πF = 1c2 S = ε0

2c |E0|2 n, c∣∣∣~πF

∣∣∣ = ωF . (9.42)

Die Beziehung rechter Hand ist mit der relativistischen Energie-Impuls Beziehung

E =√m2oc

4 + p2c2, (E = cp)m0=0

für Ruhemasse-lose Teilchen (Photonen) konsistent.

Ebene Wellen als Approximationen Streng genommen ist eine ebene Welle senk-recht zur Ausbreitungsrichtung unendlich ausgedehnt; jede praktisch realisierbare Welleist dagegen begrenzt. Die ebene Welle ist jedoch eine sinnvolle Approximation, wenn dieAusdehnung der realen Welle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung groß ist im Vergleich zuirgendwelchen Hindernissen (z.B. Spalte), durch die sie gestört werden kann.

9.4 Polarisation

Orthogonales Dreibein Wegen der Transversalität und der Orthogonalität von E undB können wir eine monochromatische ebene Welle der Form (9.22) durch

E = e1E0 exp(i(k · r− ωt)); B = e2B0 exp(i(k · r− ωt)) (9.43)

beschreiben. Da nach (9.36) bilden k, E und B mit B = n×E/c ein orthogonales Dreibein,also gilt

ei · ej = δij; ei · k = 0 . (9.44)

81

Eine solche Welle nennt man linear polarisiert. Eine zu (9.43) gleichberechtigte, linearunabhängige ebene Welle zu gleichem Wellenvektor k erhält man, indem man E in e2-Richtung und B in e1-Richtung wählt.Allgemeine Polarisation Der allgemeine Polarisationszustand einer monochromati-schen ebenen Welle ergibt sich nach dem Superpositionsprinzip, z.B. für das elektrischeFeld,

E = (e1E1 + e2E2) exp(i(k · r− ωt)); El = |El| exp(iφl) , (9.45)

mit El (l = 1,2) als beliebigen komplexen Zahlen. Gleichung (9.45) beschreibt alle mögli-chen Polarisationszustände, welche wir nun diskutieren.

λ E

Bkk

Lineare Polarisation Die elektromagnetische Welle ist linear polarisiert wenn in (9.45)

φ1 = φ2 (9.46)

der Fall ist. Richtung und Betrag von E sind dann durch

θ = arctan(E2

E1

); E =

√E2

1 + E22 (9.47)

gegeben.

Zirkuläre Polarisation Gibt es eine Phasendifferenz von ±π/2 in (9.45),

E1 = E2; φ1 − φ2 = ±π2 , (9.48)

dann wird das elektrische Feld zu

E = E0(e1 ± ie2) exp(i(k · r− ωt)) . (9.49)

82

In reeller Darstellung

Ex = E0 cos(kz − ωt); Ey = ∓E0 sin(kz − ωt) , (9.50)

wenn k in z-Richtung zeigt. Der Drehsinn ist durch die Wahl des Vorzeichens in (9.49)festgelegt; man erhält links- bzw. rechts-zirkulare Polarisation.

Elliptische Polarisation Für allgemeine Koeffizienten

E1 6= E2; φ1 − φ2 6= 0 (9.51)

haben wir elliptische Polarisation. Das elektrische Feld E beschreibt dann für festes z eineEllipsenbahn, deren Lage relativ zu e1 durch φ1 − φ2 und deren Hauptachsenverhältnisdurch E1/E2 bestimmt wird.

83

Kapitel 10

Wellenpakete im Vakuum

10.1 Informationsübertragung durch elektromagne-tische Wellen

Ein wichtiger Anwendungsbereich elektromagnetischer Strahlung ist die Informationsüber-tragung. Monochromatische ebene Wellen sind dazu ungeeignet, da sie keine Informationaußer ihrer Periode, oder der Frequenz, vermitteln können.

Amplitudenmodulation Man kann monochromatische ebene Wellen jedoch modulie-ren und so Information übertragen. Im einfachsten Fall bildet man eine Überlagerung aus2 monochromatischen Wellen,

f(t) = f0 cos(ω1t) + f0 cos(ω2t) = f0[

cos(ω1t) + f0 cos(ω2t)]. (10.1)

Mitωm = (ω1 − ω2)/2ω0 = (ω1 + ω2)/2

ω1 = ω0 + ωmω2 = ω0 − ωm

und cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β kann (10.1) alternativ auch als amplituden-modulierte Schwingung dargestellt werden:

f(t) = 2f0 cos(ωmt) cos(ω0t) , (10.2)

Wenn ω1 ≈ ω2 gewählt wird, dann ist (10.2) eine fast harmonische Schwingung der Trä-gerfrequenz ω0 deren Amplitude sich mit der Modulationsfrequenz ωm ändert. Manerhält das Bild einer Schwebung.

84

Kompliziertere Schwingungsformen und damit mehr Möglichkeiten zur Informationsüber-tragung ergeben sich durch Überlagerung mehrerer Schwingungen verschiedener Frequen-zen.

GruppengeschwindigkeitWir betrachten nun die Überlagerung zweier orts- und zeitabhängiger ebener Wellen miteiner allg. Dispersionsrelation ω = ω(k),

f(x, t) = f0 cos(k1x− ω(k1) t) + f0 cos(k2x− ω(k2) t) . (10.3)

Analog zu (10.2) benutzen wir die Darstellung

f(x, t) = 2f0 cos(kmx− ωmt) cos(k0t− ω0t) , (10.4)

mitωm = ω(k1)− ω(k2)

2 ; ω0 = ω(k1) + ω(k2)2

undkm = k1 − k2

2 ; k0 = k1 + k2

2 .

Für k1 ≈ k2 bewegt sich das Maximum kmx − ωmt = 0 der Einhüllenden mit der Grup-pengeschwindigkeit vg fort,

vg ≡x

t= ωm

km= ω(k1)− ω(k2)

k1 − k2≈ ∂ω(k)

∂k

∣∣∣k=k0

. (10.5)

Die Gruppengeschwindigkeit ist somit auch die Geschwindigkeit der Informationsübertra-gung.

Im Vakuum fällt für Licht die Gruppengeschwindigkeit vg = ω′(k) mit der Phasenge-schwindigkeit vph = ω/k, siehe (9.33), zusammen, dank der linearen Dispersionsrelationω(k) = ck. Wenn sich Licht in Materie ausbreitet gilt i.Allg. vg < c = vph.

85

10.2 Fourier-Reihen und Fourier-IntegraleDie Überlagerung elektromagnetischer Wellen läßt sich systematisch mit dem jeweiligenFourierspektrum beschreiben. Wir wiederholen daher hier die grundlegenden Begriffenund betrachten eine periodische Funktion,

f(t); f(t) = f(t+ T ) . (10.6)

Alternativ können wir jede Funktion auf dem Intervall t ∈ [0, T ] periodisch forsetzen, sodaß (10.6) erfüllt ist.Fourier-Reihen Jede periodische Funktion läßt sich nun in eine Fourier-Reihe

f(t) =∞∑

n=−∞fn exp(−iωnt) ωn = nω ω = 2π

T. (10.7)

entwickeln.

• Man nennt ω = 2π/T die Grundfrequenz. Es gilt f(t) = f(t+ T ), da

exp(−iωn(t+ T )) = exp(−iωnt) exp(−i(2nπ/T )T ) = exp(−iωnt)

für jeden Koeffizienten.

• Die Fourier-Reihe (10.7) konvergiert gleichmäßig (und damit auch punktweise),wenn f(t) periodisch mit der Periode T und stückweise glatt (beliebig oft diffe-renzierbar) ist.

• Die (schwächere) Forderung der Konvergenz im quadratischen Mittel ist erfüllt fürperiodische, in [0, T ] stetige Funktionen f(t).

• Die ebenen Wellen exp(iωnt)/√T bilden ein vollständiges orthonormales Funktio-

nensystem auf dem Intervall [0, T ], siehe weiter unten. Die Fourier-Reihe (10.7) istdamit nichts anderes als eine Entwicklung nach den Basisfunktionen exp(−iωnt)/

√T .

Skalarprodukt Für zwei Funktionen f(t) und g(t) auf [−T/2, T/2] können wir dasSkalarprodukt

(f, g) ≡∫ T/2

−T/2f ∗(t)g(t) dt (10.8)

definieren, als direkte Verallgemeinerung des üblichen Skalarproduktes ∑j x∗jyj zweier

komplexer Vektoren x = (x1, x2, . . .) und y = (y1, y2, . . .). Insbesondere sind die Basis-funktionen

en(t) = exp(−iωnt)√T

, ωn = 2πnT

(10.9)

im Intervall [−T/2, T/2] orthonormiert bezüglich des des Skalarproduktes (10.8). Wie fürjedes Skalarprodukt gilt, dass (f, f) ≥ 0. Es ist positiv definit.

86

Orthogonalitätsrelationen Um die Orthogonalitätsrelation

(em, en) = 1T

∫ T/2

−T/2exp(iω(m− n)t) dt = δmn (10.10)

zu beweisen, brauchen wir nur die Fälle m = n und m 6= n zu unterscheiden,

1T

∫ T/2

−T/2exp(iω(m− n)t) dt = 1

T

∫ T/2

−T/2dt = 1 (m = n) ,

und

1T

∫ T/2

−T/2exp(iω(m− n)t) dt = 1

T

1iωn(m− n) exp(iω(m− n)t)

∣∣∣t=T/2

t=−T/2dt

= 1iωnT (m− n)

[exp

(i2πT

(m− n)T2

)− exp

(−i2π

T(m− n)T2

)]

= 2iiωnT (m− n) sin

(π(m− n)

)= 0

für m 6= n.Funktionenräume Die Menge aller (komplex-wertigen) Funktionen f(t) auf dem Inter-vall [−T/2, T/2] bildet einen (komplexen) Funktionenraum F .

• F ist linear abgeschlossen, da mit g, f ∈ F auch jede Linearkombianation c1f(t) +c2g(t) in F ist, mit c1, c2 ∈ Z.

• F ist normiert, da mit der bilinearen Abbildung (f, g), dem Skalarprodukt, eineNorm auf F definiert ist.

Fourier-Koeffizienten Die Fourier-Koeffizienten fn in (10.7) sind durch

fn = 1T

∫ T

0f(t) exp(iωnt) dt = 1

T

∫ T/2

−T/2f(t) exp(iωnt) dt (10.11)

gegeben, wobei wir die Periodizität von f(t) verwendet haben. Für den Beweis verwendenwir die Orthogonalitätsrelation (10.10) und finden

1√T

(em, f) = 1T

∫ T/2

−T/2exp(iωmt)f(t) dt

= 1T

∑

n

fn

∫ T/2

−T/2exp(iωmt) exp(−iωnt) dt

=∑

n

fn (em, en)︸ ︷︷ ︸δm,n

= fm .

Die Fourier-Reihe ist schlussendlich nichts anderes als die Entwicklung nach einer speziel-len Menge vollständiger Basis-Funktionen. In anderen Zusammenhängen ist es günstiger

87

andere Basis-Funktionen zu verwenden, wie z.B. Legendre Funktionen oder die Kugelflä-chenfunktionen.

Fourier-Integrale Wir betrachten nun Funktionen f(t) welche nicht periodisch sind.Formell können wir dazu in der Dastellung (10.7) für die Fourier-Reihe, zusammen mit(10.11) für die Koeffizienten, die Periodie T divergieren lassen.

Für den Grenzübergang T →∞ betrachten wir mit ∆ω = 2π/T den Abstand benach-barter Frequenzen ωn,

f(t) =∑

n

∆ω∆ω fn exp(−iωnt) =

∞∑

n=−∞f(ωn) exp(−iωnt) ∆ω (10.12)

mitf(ωn) = lim

T→∞

(fn∆ω

)= lim

T→∞

(T

2πfn). (10.13)

Also kann man (10.12) als Riemann-Summe des Fourier-Integrals

f(t) =∫ ∞

−∞f(ω) exp(−iωt) dω (10.14)

auffassen. Für die Umkehrung von (10.14) zeigt der Vergleich von (10.11) und (10.13):

f(ω) = 12π

∫ ∞

−∞f(t) exp(iωt) dt . (10.15)

f(ω) heißt die Fourier-Transformierte zu f(t). Sie existiert und (10.14) konvergiert imquadratischen Mittel für alle quadratintegrablen Funktionen f(t), für die

∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt < ∞; (10.16)

f(ω) dann auch quadratintegrabel ist.

t

f(t)

−T/2 −T/2

f( )ω~

ω

Rechteckimpuls - Unschärferelation Wir berechnen nun die Fourier-Transformiertefür den Rechteckimpuls

f(t) = 1 für − T

2 ≤ t ≤ T

2 ; f(t) = 0 sonst . (10.17)

88

Dann wird

f(ω) = 12π

∫ T/2

−T/2exp(iωt) dt = 1

πω

exp(iωt)2i

∣∣∣T/2

−T/2= sin(ωT/2)

πω. (10.18)

Die Breite ∆ω von f(ω) schätzt man aus obiger Figur ab zu:

∆ω ≈ 2πT

oder ∆ω∆t ≈ 2π. (10.19)

Je schmaler (breiter) das Signal f(t) werden soll, desto breiter (schmaller) ist das Fre-quenzspektrum, das man benötigt.

Die Unschärferelation (10.19) ist nicht an das Beispiel (10.17) gebunden, sondern istein charakteristisches Merkmal der Fourier-Transformation.

Die Unschärferelation (10.19) wird sich in der Quantenmechnik (mit einem Faktor ~verziert) als ein Spezialfall der Heisenberg’schen Unschärferelation wiederfinden.

Amplitude

Strecke

Orts-Raum

Amplitude

Raumfrequenz

Frequenz-Raum

Fourier

Transformation

Bemerkung Jede andere Variable kann eine Fourier-Transformation verwendet werden,z.B. Funktionen f(x) des Ortes.

Oft wird die Fourier-Transformation in der symmetrischen Form

f(t) = 1√2π

∫ ∞

−∞f(ω) exp(−iωt) dω (10.20)

mitf(ω) = 1√

2π

∫ ∞

−∞f(t) exp(iωt) dt (10.21)

benutzt. Die Koeffizienten f(ω) sind entsprechend zu reskalieren.

10.3 δ-Distribution

Distributionen Die Fourier-Transformation (10.14), (10.15) führt auf das folgende ma-thematische Problem: Setzt man (10.15) in (10.14) ein, so muss (nach Vertauschung derIntegrationsreihenfolge)

f(t) = 12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(t′) exp(−iω(t− t′)) dω dt′ =

∫ ∞

−∞f(t′)δ(t− t′) dt′ (10.22)

mitδ(t− t′) = 1

2π

∫ ∞

−∞exp(−iω(t− t′)) dω (10.23)

89

für beliebige quadratintegrable Funktionen f(t) gelten. Die hier eingeführte Größe δ(t−t′)ist offensichtlich keine gewöhnliche Funktion, sondern eine Distribution, welche streng ge-nommen nicht für sich alleine stehen darf, sondern nur in Verbindung mit der Integrationin (10.22) erklärt ist. Mathematisch gesehen entspricht die Deltafunktion δ(t) der Abbil-dung

f(t) → f(0) .

Regularisierung Ein Integral wie (10.23) ist nur dann definiert, wenn es vorher re-gularisiert wurde. Man das entweder direkt über die Integrationsgrenzen machen, siehe(10.28), oder durch eine exponentielle Dämpfung:

∫ ∞

−∞eiωte−ε|ω| dω =

∫ 0

−∞eiωteεω dω +

∫ ∞

0eiωte−εω dω = 1

it+ ε− 1it− ε .

Somit istlimε→0

12π

∫ ∞

−∞eiωte−ε|ω| dω = lim

ε→0

1π

ε

t2 + ε2= δ(t) , (10.24)

da das Integral über die Lorentz Funktion∫dt ε/(t2 + ε2) = π ergibt.

x

x

Darstellungen der Delta-Funktion Die δ-Distribution (als deren Definition wir imfolgenden (10.22) betrachten wollen), kann durch jede Folge stetiger Funktionen δn, fürdie

limn→∞

∫ ∞

−∞f(t′)δn(t− t′) dt′ = f(t) (10.25)

gilt, dargestellt werden. Beispiele:• Rechteck

δn(t) = n für |t| < 12n ; δn(t) = 0 sonst. (10.26)

• Gauß-Funktion („Glockenkurve“)

δn(t) = n exp(−πt2n2). (10.27)

• Die Darstellung

δn(t) = 1π

sin(nt)t

= 12π

∫ n

−nexp(iωt) dω (10.28)

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führt direckt auf die Schreibweise (10.23).

Vorsicht: Die Gleichungen (10.25) - (10.28) sind so zu verstehen, dass die t′-Integrationvor der Limes-Bildung n→∞ auszuführen ist!

Rechenregeln für die Delta-Funktion Wie man sich leicht selber überzeugen kanngelten die Beziehungen

1.) δ(t) = δ(−t),2.) δ(at) = δ(t)/|a| und3.) δ(t2 − a2) =

[δ(t+ a) + δ(t− a)

]/ (2|a|); a 6= 0 .

10.4 Fourier-Transformation der Maxwell Gleichun-gen

Als eine Anwendung betrachten wir mit

B(x, t) =∫d3q dω B(q, ω) e−i(ωt−q·x) (10.29)

die Fourierentwicklung des magnetischen Feldes sowohl nach der Frequenz ω und demImpuls q. Analog verfahren wir mit dem elektrische Feld E(x, t), die Ladungsdichte ρ(x, t)und der Stromdichte j(x, t).

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Fouriertransformation des Induktionsgesetz Die Fourierdarstellung (10.29) könnenauf die Maxwell Gleichungen anwenden. Für das Faraday’schen Induktionsgesetz (6.23)erhalten wir

∇× E = −∂B∂t

∇×∫d3q dω E(q, ω) e−i(ωt−q·x) = − ∂

∂t

∫d3q dω B(q, ω) e−i(ωt−q·x)

∫d3q dω e−i(ωt−q·x)

[iq × E(q, ω)

]=

∫d3q dω e−i(ωt−q·x)

[iωB(q, ω)

].

Diese Gleichung wird durch

q × E(q, ω) = ωB(q, ω) (10.30)

erfüllt, was wir schon bei der Diskussion ebener Wellen mit (9.36) erhalten haben.Maxwell Gleichungen im Fourierraum Analog zu zum Faraday’schen Induktionsge-setz können wir alle vier Maxwell Gleichen transformieren und erhalten

q · B(q, ω) = 0, q × E(q, ω) − ωB(q, ω) = 0 (10.31)

für die homogenen Gleichungen (6.23) und (6.24), sowie

q · E(q, ω) = ρ(q, ω)iε0

, q × B(q, ω) + ε0µ0ωE(q, ω) = µ0

ij(q, ω) (10.32)

für die inhomogenen Gleichungen (6.25) und (6.26). Hierbei ist zu beachten, dass ρ(q, ω)und j(q, ω) durch die Kontinuitätsgleichung

ρ(x, t) +∇ · j(x, t) = 0, ωρ(q, ω) = q · j(q, ω) (10.33)

verknüpft sind.

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