Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου

Θέματα

Πανελλαδικών εξετάσεων

Γ΄ Λυκείου με νέα ύλη

Επαναληπτικές ασκήσεις

www.askisopolis.gr

2

[1]

www.askisopolis.gr

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Γ(2015)

Δίνεται η συνάρτηση 2,

1

xef x x

x

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο

τιμών της είναι το διάστημα 0,

Μονάδες 6

Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2

3 2 15

x ef e x

έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα

Μονάδες 8

Γ3. Να αποδείξετε ότι 4

4

2

2

17

ef t dt , για κάθε 0x .

Μονάδες 4

Γ4. Να υπολογίσετε το 21

lnln

e xf x dx

x .

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ (2015)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f για την οποία ισχύουν:

2

f x f xf x e e

για κάθε x

0 0f

Δ1. Να αποδείξετε ότι 2ln 1 ,f x x x x R

Μονάδες 5

Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και

να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f

(Μονάδες 3)

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης f , την ευθεία y x και τις ευθείες 0x και

1x

(Μονάδες 4)

Μονάδες 7

Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:

( ) 1

0lim 1 ln

f x

xe f x

Μονάδες 6

Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

1 3

2 2

0 21 3 2016

03 2

f t dt f t dt

x x

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 2,3

[2]

www.askisopolis.gr

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ (επαναληπτικά 2015)

Δίνεται η συνάρτηση 1( ) lnxf x e x , 0,x .

Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο

τιμών της.

Μονάδες 6

Γ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h g με 2 4g x x , όπου

2 1 2h x f x f x .

Μονάδες 6

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1

12

f f x

έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες

1 2,x x .

Mονάδες 6

Γ4. Αν για τις ρίζες 1 2,x x του ερωτήματος Γ3 ισχύει ότι 1 2x x τότε να αποδείξετε

ότι υπάρχει μοναδικό 1,1x τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο , f να διέρχεται από το σημείο

3

0,2

.

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικά 2015)

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση : 0,f για την οποία ισχύει:

2 1x x f ΄ x xf x για κάθε 0,x .

Δ1. Να αποδείξετε ότι ln

,0 11

1 , 1

xx

f x x

x

.

Μονάδες 6

Δ2. Να αποδείξετε ότι 1

0xf x fx

, για κάθε 0,1 1,x .

Μονάδες 4 Δ3. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.

Μονάδες 5 Δ4 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

Μονάδες 4 Δ5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της f και τις ευθείες 2x , 1x e και τον άξονα x΄x είναι ίσο με

1

2

1ln

1

2 1

e

x

x dxx

.

Μονάδες 5

[3]

www.askisopolis.gr

ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικά 2014)

Δίνεται η συνάρτηση

ln

, 0( )

0 , 0

x

xe xf x

x

Γ1. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

Μονάδες 4

Γ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f

Μονάδες 7

Γ3. i) Να αποδείξετε ότι, για x > 0, ισχύει η ισοδυναμία f(x) = f(4) ⟺ x4 = 4x

(μονάδες 2)

ii) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x4 = 4x, x > 0,έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις

x1 =2 και x2 = 4

(μονάδες 6)

Μονάδες 8

Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(2,4) τέτοιο, ώστε

2 1( )

4f

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ (2014)

Δίνεται η συνάρτηση

1, 0

( )

1

xex

f x x

, αν x = 0

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και, στη συνέχεια, ότι

είναι γνησίως αύξουσα.

Μονάδες 7

Δ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 1f f x έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι

η x = 0.

(μονάδες 7)

β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 από ένα σημείο A(x0, f(x0)) με

x0<0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x), x ≥ x0 με x = x(t), y = y(t), t ≥

0. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t) του

σημείου M είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t), αν

υποτεθεί ότι x΄(t)>0 για κάθε t ≥ 0.

(μονάδες 4)

Μονάδες 11

Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 2

1 2 , 0,g x xf x e x x . Να

αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση

τοπικού μεγίστου.

Μονάδες 7

[4]

www.askisopolis.gr

ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικές 2013)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ ⟶ ℝ για την οποία ισχύουν:

22 ( ) ( ) 3 ( )xf x x f x f x για κάθε x∈ℝ

1

(1)2

f

Γ1. Να αποδείξετε ότι 3

2( ) ,

1

xf x x

x

και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ

Μονάδες 6

Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του

ερωτήματος Γ1.

Μονάδες 4

Γ3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:

2 3 2 25( 1) 8 8( 1)f x f x

Μονάδες 7

Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της f τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες 0x και 1x

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2013)

Δίνεται συνάρτηση f: [0,+∞)⟶ℝ, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη

παράγωγο στο [0,+∞), για την οποία ισχύουν:

2

( ) ( ) 1 ( )f x f x f x για κάθε x > 0 ,

( ) ( ) 0f x f x για κάθε x > 0 ,

f (0) = 0,

2 1

1

11

1lim 01

x

x

f x x ex

x

Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις: ( )

( )( )

f xg x

f x

με x>0 και

3( ) ( )h x f x με x≥0

Δ1. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f ′ στο (0,+∞)

(μονάδες 4)

β. Να αποδείξετε ότι f ΄(0) = 1

(μονάδες 3)

Μονάδες 7

Δ2. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (0, +∞) , να αποδείξετε ότι:

α. ( ) 2g x x για κάθε x∈(0, +∞)

[5]

www.askisopolis.gr

(μονάδες 2)

β. 1

0(2 ) ( ) 1x f x dx

(μονάδες 4)

Μονάδες 6

Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης h, τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 1

Μονάδες 8

Δ4. Να δείξετε ότι f x x .

ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2012 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:A⟶ℝ με A=(0,+∞) για την οποία ισχύουν σχέσεις:

,0f - ,

η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ∞),

11 1

ff e

2 22 1f x

x f x x e (1)

Δ1. Να αποδείξετε ότι 2

2ln , 0

1

xf x x

x

.

Μονάδες 8

Δ2.Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μέγιστο Σ(x0,f(x0)), x0>0, το

οποίο και να βρείτε. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ∈(β, x0)

με 00 x , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο

σημείο M(ξ,F(ξ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία

ε: x ( 1) y 2012( 1) 0f

Μονάδες 6

Δ3.Αν β<1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση

351 1 1

01 3

f f x x

x x

έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ως προς x, στο διάστημα (1,3)

Μονάδες 5

Δ4. Να αποδείξετε ότι 2 2

1 1ln 2 2 2 ln 2 2 1

e ex xe x x dx x e dx

, για κάθε x>0

[6]

www.askisopolis.gr

ΘΕΜΑ Δ(2012) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)⟶ℝ, η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις σχέσεις:

f(x) ≠ 0

2 12

x f x2x - 2x

e

1

1 ln x lnf x x x f x x f xx

Δ1.Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.

Μονάδες 10

Αν είναι ln , 0xf x e x x x , x>0, τότε:

Δ2.Να υπολογίσετε το όριο: 0

limx

2 1f(x) ημ - f(x)

f(x)

Μονάδες 5

Δ3.Με τη βοήθεια της ανισότητας 1lnx x - , που ισχύει για κάθε x>0, να

αποδείξετε ότι

α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (μονάδες 2).

β) η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).

Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:

3 2 2f x f x f x , για κάθε 0,1x (μονάδες 4).

Μονάδες 6

Δ4.Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός 0,1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει

μοναδικός ξ ∈(β,2β) τέτοιο ώστε:

3 2f f f

Μονάδες 4

ΘΕΜΑ Δ(2011 επαναληπτικές)

Δίνονται η συνάρτηση f : ℝ→ℝ, η οποία είναι 3 φορές παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε:

x 0=

f(x)lim 1 f(0)

x , f΄(0) < f(1) f(0) και f΄΄(x) ≠0 για κάθε x∈ℝ

Δ1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x0=0.

Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ℝ.

Αν επιπλέον g(x)=f(x) x∈ℝ τότε:

Δ3. Να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και να βρείτε το : x 0

ημxlim

xg(x)

Δ4 .Να αποδείξετε ότι 2

02f x dx .

Δ5.Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης g, τον άξονα x΄x και τις ευθείες με εξισώσεις x=0 και x=1 είναι

[7]

www.askisopolis.gr

5

2E e τότε

α) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

0f x dx και

β) να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈ (1, 2) τέτοιο, ώστε

1 2

0 02

02 1

f t dt f t dt

ΘΕΜΑ Δ (2011)

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : ℝ→ℝ, οι οποίες για κάθε x∈ℝ ικανοποιούν τις σχέσεις:

0f x και 0g x

2xef x

g x

2xeg x

f x

02 2 2

00

gt

ff t g t e dt

Δ1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο ℝ και ότι

f x g x για κάθε x∈ℝ.

Μονάδες 9

Δ2. Αν

0

1lim 0x

f xg

x

, να αποδείξετε ότι: , .xf x e x

Μονάδες 4

Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:

0

lnlim

1x

f x

fx

.

Μονάδες 5

Δ4. Αν 2

2

03 2 44f x g x x x f t g t dt να βρείτε τον τύπο της συνεχούς

συνάρτησης g.

Μονάδες 7

[8]

www.askisopolis.gr

ΘΕΜΑ Δ(2010 επαναληπτικές)

Έστω συνάρτηση :f η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο με

0 1f και 0 0f .

Δ.1. Να αποδείξετε ότι 1f x για κάθε x .

Μονάδες 4

Αν επιπλέον δίνεται ότι 22 2 ,f΄ x x x f x x x , τότε:

Δ.2. Να αποδείξετε ότι 2 2 , xf x e x x .

Μονάδες 6

Δ.3. Nα βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2 ln , 0x a x a .

Μονάδες 5

Δ.4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης 4g x f x ,τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες

x=0 και x=1.

Μονάδες 5 Δ.5. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης f ,τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες x=0 και x=1

είναι μικρότερο από το εμβαδόν ορθογωνίου που σχηματίζεται από τους άξονες

την εφαπτομένη της f στο 0 και την ευθεία x=e-1.

Μονάδες 5

[9]

www.askisopolis.gr

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

Λύση

Γ1. 2 1 0 ,fx A

22 2

2 2 22 2 2

1 2 2 1 1

1 1 1

x x x xe x e x e x x e xf x

x x x

( ) 0f x για 1x επομένως η fm στο αφού η f είναι συνεχής στο 1.

Το σύνολο τιμών της f είναι το lim ( ), lim ( ) 0,x x

f A f x f x

αφού 2 2

1lim ( ) lim lim 0 0 0

1 1

xx

x x x

ef x e

x x

και

2 . . . .

lim ( ) lim lim lim1 2 2

x x x

x x D L H x D L H x

e e ef x

x x

.

Γ2. 2 31 1

3 2 3 2

2

21 (2) 1 2

5 1

fx x

x

e ef e x f e x

e x

m

3 3

2(x)

2 1 2

xe e ef

x

Ο αριθμός 3

2

ef A άρα υπάρχει 0x τέτοιο ώστε

3

02

ef x .

Το x0 μοναδικό αφού η f είναι 1-1.

β΄τρόπος

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

3 x 2 eh x f e x 1 , x

5

. Είναι

ΘΕΜΑ Γ(2015)

Δίνεται η συνάρτηση 2,

1

xef x x

x

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο

τιμών της είναι το διάστημα 0,

Μονάδες 6

Γ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2

3 2 15

x ef e x

έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα

Μονάδες 8

Γ3. Να αποδείξετε ότι 4

4

2

2

17

ef t dt , για κάθε 0x .

Μονάδες 4

Γ4. Να υπολογίσετε το 21

lnln

e xf x dx

x .

Μονάδες 7

[10]

www.askisopolis.gr

23 x 2 3 x 2 3 x 2 3xh x f e x 1 e x 1 f e x 1 e x 1 0

για κάθε x 1 και επειδή η h είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα ( 2 )

στο .

Έστω 3 x 2s x e x 1 , x . Είναι

23 2 3 3s x e 1 2e e 1 0 x x xx x x για κάθε x 1 και επειδή

η s είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα ( 2 ) στο .

Είναι 3 x 2

x xlim s x lim e x 1

(από το Γ1) και

2

x 3 x 3 x 3x x DLH x DLH x

x 1 2x 2lim s x lim lim lim 0

e e e

(από το Γ1), άρα

s A 0,

Είναι xx 0

f 0, lim f x , lim f x 1,

Επειδή 2e

1,5 , υπάρχει 1x 0, τέτοιο, ώστε 1

23 x 2

1

ef e x 1

5

και

επειδή η h είναι γνησίως φθίνουσα, το 1x είναι μοναδικό.

Γ3. Για κάθε 2,4t είναι 2 4

2 4 2 45 17

f e et f f t f f t

m

και

επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε

2,4t , έχουμε: 4 4

4 4 4

2 2 2

2( ) ( )

17 17

e ef t dt dt f t dt .

Γ4. ln

2 2 21 1

ln lnln

ln 1

xe ex e x x

f x dx dxx x x

2 2

ln

ln 1

x

x x

1

e

dx

2

21

ln ln 1ln 1 ln 2

1ln 1 2 2

e x exdx

x x

[11]

www.askisopolis.gr

Λύση

Δ1. ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2f x f x f x f xf x e e f x e f x e

( ) ( ) ( ) ( )2 2 ,f x f x f x f xe e x e e x c c .(1) 0

(1) 0x

c

οπότε

( ) ( ) 2 f x f xe e x

( )

f xe

2 2

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 f x f x f x f xe xe e xe

2 2

( ) ( ) 2 2 ( ) 22 1 1 0f x f x f xe xe x x e x x (2).

Η συνάρτηση ( )( ) f xa x e x είναι συνεχής στο και ( ) 0a x οπότε η α

διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επειδή (0) 1 0a η α(x)>0 οπότε

( ) 2 ( ) 2(2) 1 1 f x f xe x x e x x (3).

Είναι 2 2 2 2 21 1 1 1 0 x x x x x x x x (2)

ΘΕΜΑ Δ (2015)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :f για την οποία ισχύουν:

2

f x f xf x e e

για κάθε x

0 0f

Δ1. Να αποδείξετε ότι 2ln 1 ,f x x x x R

Μονάδες 5

Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη

και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f

(Μονάδες 3)

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης f , την ευθεία y x και τις ευθείες 0x και

1x

(Μονάδες 4)

Μονάδες 7

Δ3. Να υπολογίσετε το όριο:

( ) 1

0lim 1 ln

f x

xe f x

Μονάδες 6

Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

1 3

2 2

0 21 3 2016

03 2

f t dt f t dt

x x

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 2,3

Μονάδες 7

[12]

www.askisopolis.gr

Η (3) γίνεται 2ln 1 f x x x

β΄ τρόπος

2

( ) ( )2 1 0 f x f xe xe Θέτω ( ) 0 f xe , τότε 2 2 1 0 x . Είναι

24 4 0 x , άρα

2

1,2 1 x x

Από τη σχέση (1) είναι 2 1 0 x x , και επειδή ( ) 0 f xe , είναι

( ) 2 21 ln 1 f xe x x f x x x .

32 2

2 2

1( )

1 1 1

x xf x

x x x

.

3

2 2

( ) 0 0 0

1

xf x x

x

.

Για κάθε 0x είναι 0 f x , άρα η f είναι κυρτή στο ,0 και για κάθε

0x είναι 0 f x άρα η f είναι κοίλη στο 0, .Παρουσιάζει σημείο

καμπής το 0, (0)f δηλαδή την αρχή των αξόνων.

β) 1

0( ) E x f x dx .Η εφαπτομένη της f στο 0 είναι η y x .

Επειδή η f είναι κοίλη στο [0, ) είναι ( ) ( ) 0.f x x f x x

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

1

21 1 1 1

0 0 0 00

( ) ( ) ( )2

xE x f x dx xdx f x dx x f x dx

1 11

0 20 0

1 1 1( ) ( ) (1)

2 2 1xf x xf x dx f x dx

x

1

2

0

1ln(1 2) 1

2x

1 1ln(1 2) 2 1 2 ln(1 2)

2 2

Δ2. α) 2 2 2

1 1( ) 1

1 1 1

xf x

x x x x x

2 1

x x

2 2

1

1 1

x x

x 0

( )f x +

f x 3 4 Σ.Κ.

[13]

www.askisopolis.gr

β΄ τρόπος:

020

0 0 0 0 0 0

2

11ln

lim 1 ln lim lim lim1 1

1 1

uu f x

f x

DLH DLHx x u u u u

u u

eu ue f xu

e e

0

2 1lim 0

1

u u

x

e e

.

Δ4. Θεωρούμε 2 3

2 2

0 2( ) ( 2) 1 3 ( ) ( 3) 2016 ( )h x x f t dt x f t dt .

Η f συνεχής στο [2,3] σαν πράξεις συνεχών…..

3

2

2(2) 2016 ( ) 0h f t dt αφού

3 3

2 2 2

2 20 0 2016 0f t f t dt f t dt

1

2

0(3) 1 3 ( ) 0h f t dt αφού

1 1

2 2 2 2

0 0(x) , 0,f x x f t t f t dt t dt

1

31 1 1 1

2 2 2 2

0 0 0 00

13 1 1 3 0

3 3

tf t dt f t dt f t dt f t dt

Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον 2,3

τέτοιο ώστε

:( 2)( 3)2

2 2

0 0( ) 0 ( 2) 1 3 ( ) ( 3) 2016 ( ) 0h f t dt f t dt

2 32 2

0 21 3 ( ) 2016 ( )

03 2

f t dt f t dt

.

Δ3. 0 ( ) (0) 0f

x f x f [

0 0lim 1 ln ( ) lim 1 ln ( )

f x f x

x xe f x e f x

0

1lim ( ) ln ( ) 1 0 0

( )

f x

x

ef x f x

f x

0

0

. .0 0 0 0 0

1 1lim lim lim 1

( ) 1

f x u uu f x

D L Hx x u u x

e e e

f x u

( )

. .0 0 0 0 0 0

1

lnlim ln ( ) ( ) lim lnu lim lim

1

u f x

D L Hx x u x x x

u uf x f x u

u

2

1

u

0

lim 0x

u .

[14]

www.askisopolis.gr

Λύση

Γ1. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με x 1 1f x e

x

και

x 1

2

1f x e

x

.

Είναι f x 0 f 0, 1 . Παρατηρούμε ότι f 1 0 , οπότε:

για κάθε f

x 1 f x f 1 0 f 1,

1

1 και

για κάθε f

0 x 1 f x f 1 0 f 0,1

1

2 . Η f έχει ελάχιστο το f 1 1 .

Είναι x 1

x 1x x

ln xlim f x lim e 1

e

γιατί

x 1 x 1 x 1x DLH x x

1ln x 1xlim lim lim 0e e xe

και x 1

x 0 x 0lim f x lim e ln x

Στο διάστημα 1 0,1 η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα

1x 0

f f 1 , lim f x 1,

Στο διάστημα 2 1, η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα

2x

f f 1 , lim f x 1,

.

Το σύνολο τιμών της f είναι το 1 2f A f f 1, .

ΘΕΜΑ Γ (επαναληπτικά 2015)

Δίνεται η συνάρτηση x 1f (x) e ln x , x 0, .

Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο

τιμών της.

Μονάδες 6

Γ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h g με 2g x x 4 , όπου

2h x f x 1 f x 2 .

Μονάδες 6

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1

f f x 12

έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες

1 2x , x .

Mονάδες 6

Γ4. Αν για τις ρίζες 1 2x , x του ερωτήματος Γ3 ισχύει ότι 1 2x x τότε να

αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 1x ,1 τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της

γραφικής παράστασης της f στο σημείο , f να διέρχεται από το

σημείο 3

0,2

.

Μονάδες 7

[15]

www.askisopolis.gr

Γ2. g : Πρέπει 2 24 0 4 2 2 2x x x x ή x

h : Θεωρούμε 2 1,x x και 2,x x .

/f a a fx A a x A οπότε

2 1 0

x

x ύ

δηλαδή

f a

/f fx A x A οπότε

22 0 2

x xx

x x

δηλαδή 2,f a .

2,h f a f .

/h g g hx A g x A οπότε

2 2

22

x ή xx

x

δηλαδή 2,h g .

Γ3. Αρχικά πρέπει 1 1

f x 0 f x2 2

Για κάθε f

x 1 f x f 1 1

και για κάθε f

0 x 1 f x f 1 2

, οπότε:

1 1 3

f f x 1 f 1 f x 1 f x2 2 2

Επειδή το 3

2 βρίσκεται στο εσωτερικό του 1, , υπάρχει 1x στο εσωτερικό

του 0,1 και 2x στο εσωτερικό του 1, τέτοια, ώστε 1

3f x

2 και

2

3f x

2 .

Επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη στα αντίστοιχα διαστήματα, τα 1 2x , x

είναι τα μοναδικά στα διαστήματα αυτά.

Γ4. Η εφαπτομένη της fC στο , f έχει εξίσωση

ε: y f f x

Για να διέρχεται από το Μ, πρέπει: 3 3

f f f f 02 2

Έστω 1

3F x xf x f x , x x ,1

2 .

Η F είναι συνεχής στο 1x ,1 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.

1 1 1 1 1 1

3 3F x x f x f x x f x

2 2

3

2 1 1x f x 0 , γιατί 1x 0,1 και

f x 0 για κάθε x 0,1 και F 1 f 1 0 3 3 1

f 1 1 02 2 2

.

Επειδή 1F 1 F x 0 , λόγω του θ.Bolzano, υπάρχει 1x ,1 τέτοιο , ώστε

F 0 3

f f 02

[16]

www.askisopolis.gr

Λύση

Δ1. 2 1x x f x xf x 1 x 1 f x f x

x

x 1 f x ln x x 1 f x ln x c, c (1)

Για x 1 η (1) γίνεται: 0 c , άρα x 1 f x ln x και για 0 x 1 είναι

ln x

f xx 1

.

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, , είναι συνεχής στο x 1 , άρα

0

0

x 1 x 1 DLH x 1

1ln x xf 1 limf x lim lim 1x 1 1

, άρα

ln x,0 x 1

f x x 1

1 , x 1

.

Δ2.

1ln

1 ln x x ln x ln xxxf x f x1 1 xx x 1 x 1

1x x

ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικά 2015)

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει:

2x x f ΄ x xf x 1 για κάθε x 0, .

Δ1. Να αποδείξετε ότι ln x

,0 x 1f x x 1

1 , x 1

.

Μονάδες 6

Δ2. Να αποδείξετε ότι 1

xf x f 0x

, για κάθε x 0,1 1, .

Μονάδες 4 Δ3. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.

Μονάδες 5 Δ4 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

Μονάδες 4 Δ5.Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της f και τις ευθείες 2x , 1x e και τον άξονα x΄x είναι ίσο με

1

2

1ln

1

2 1

e

x

x dxx

.

Μονάδες 5

[17]

www.askisopolis.gr

x ln x x ln x x ln x x ln x

0x 1 1 x x 1 x 1

Δ3. Για κάθε 0 x 1 είναι

2 2

1x 1 ln x

x 1 x ln xxf xx 1 x x 1

Έστω x x 1 x ln x, x 0, . Είναι x 1 ln x x 1

xln x

Για κάθε 0 x 1 είναι x 0 0,1 1 , άρα x 1 0 για κάθε

x 0,1 .

Για κάθε x 1 είναι x 0 1, 2 , οπότε x 1 0 για κάθε

x 1 . Άρα x 0 για κάθε x 0,1 1, , οπότε

2

xf x 0

x x 1

για κάθε x 0,1 1, και επειδή η f είναι συνεχής

στο x 1 , είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, .

Δ4. 0 0

lnlim lim

1x x

xf x

x

οπότε η ευθεία 0x (o άξονας y΄y) είναι

κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f .

ln 1

lim lim lim 01x x DLH x

xf x

x x

οπότε η ευθεία 0y (o άξονας χ΄χ) είναι

οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .

Δ5. ln 1

2, 1 1 , 2 , ln 2f e

f e f e fe

2

οπότε 0f x στο 2, 1e

και 1 1

2 2

ln( )

1

e e xf x dx dx

x

.

1 1

2 2

1ln ln 1 ln1 1

2 1 2 1

e e

xx xx dx E dx

x x

1 1

2 2

ln 11 ln

2 1 1

e ex xE dx dx E

x x

2 1ln 11

22 2

exE

1 1

0 0 0 02 2

ισχύει.

[18]

www.askisopolis.gr

Λύση

Γ1. Είναι 0 0

ln 1lim lim lnx x

xx

x x

γιατί

0 0lim ln lim lnx x

x x

και

0

1limx x

.

Άρα αν θέσουμε lnx

ux , προκύπτει:

0lim lim 0 0u

x uf x e f

, οπότε η f

είναι συνεχής στο 0 0x .

Γ2. Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων

με:

ln ln

2

ln 1 lnx x

x xx x

f x e ex x

.

ln

ln 0

2

0

1 ln0 0 1 ln 0 ln 1 0

x

x

x xx

e

xf x e x x x e

x

Για κάθε 0,x e είναι 0 0,f x f e 1 και

για κάθε x e είναι 0 ,f x f e 2 .

Είναι

1

lnlim lim 0

1x DLH x

x x

x

, άρα

0lim lim 1u

x uf x e

και

ln 1e

e ef e e e .

χ 0 e

f +

f [ ]

ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικά 2014)

Δίνεται η συνάρτηση

ln x

xe , x 0f (x)

0 , x 0

Γ1. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0

Μονάδες 4

Γ2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f

Μονάδες 7

Γ3. i) Να αποδείξετε ότι, για x > 0, ισχύει η ισοδυναμία f(x) = f(4) ⟺ x4 = 4x

(μονάδες 2)

ii) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x4 = 4x, x > 0,έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις

x1 =2 και x2 = 4

(μονάδες 6)

Μονάδες 8

Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ∈(2,4) τέτοιο, ώστε

2 1f ( )

4

Μονάδες 6

[19]

www.askisopolis.gr

Στο διάστημα 1 0,e η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα

1

1 0 , 0, ef f f e e

Στο διάστημα 2 ,e η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα

1

2 lim , 1, e

xf f x f e e

.

Το σύνολο τιμών της f είναι: 1

1 2 0, ef A f f e

.

Γ3. ln ln 4

4ln ln 4

44

x

xx

f x f e ex

4 44ln ln 4 ln ln 4 4x xx x x x

Γ4. H f είναι συνεχής στο 2,4 , παραγωγίσιμη στο 2,4 και 2 4 2f f

οπότε ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle δηλαδή υπάρχει 1 2,4x

τέτοιο ώστε 1 0f x .

Επίσης ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στο [0,1] οπότε υπάρχει 2 0,1x

τέτοιο ώστε

2

2 12 1

1

f ff x

Εφαρμόζεται το ΘΜΤ για την f στο 2 1,x x οπότε υπάρχει 2 1x ,x

τέτοιο ώστε 1 2

1 2 1 2

2 1f x f xf

x x x x

2 20 1 1 0x x (1) και 12 4x (2).

Με πρόσθεση των (1) και (2) έχουμε

2 1 0

2 1

1 2 1 2

1 1 2 1 2 11 4 1

4 4x x

x x x x

[20]

www.askisopolis.gr

Λύση

Δ1.

0

0

0 0 0. .

1lim ( ) lim lim 1 (0)

xx

x x xD L H

ef x e f

x

.Άρα η f είναι συνεχής στο 0

2

1 1( ) 0

x x xe xe ef x

x x

για 0x και η f συνεχής στο 0 .

Άρα η f1 στο R

(Θεωρώ ( ) 1,x xa x xe e x R

( ) 0 0xa x xe x .Άρα η 1 στο [0, ) και2 στο ( ,0]

Επομένως παρουσιάζει ελάχιστο στο x=0 και (x) (0) 0a

Δ2.α)

0 0

0 0

20 0 0 0 0

110 1 1 1

lim lim lim lim lim2 2 2

x

x x x

x x x DLH x DLH x

ef x f e x e ex

x x x x

οπότε 0 1f

ΘΕΜΑ Δ (2014)

Δίνεται η συνάρτηση

xe 1, x 0

f (x) x

1

, αν x = 0

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο x0 = 0 και, στη συνέχεια, ότι

είναι γνησίως αύξουσα.

Μονάδες 7

Δ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 2f x 1 έχει ακριβώς μία λύση, η

οποία είναι η x = 0.

(μονάδες 7)

β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t=0 από ένα σημείο A(x0,

f(x0)) με x0<0 και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(x), x ≥ x0 με

x = x(t), y = y(t), t ≥ 0. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής

της τετμημένης x(t) του σημείου M είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής

της τεταγμένης του y(t), αν υποτεθεί ότι x΄(t)>0 για κάθε t ≥ 0.

(μονάδες 4)

Μονάδες 11

Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 2

g x xf x 1 e x 2 , x 0, . Να

αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία

θέση τοπικού μεγίστου.

Μονάδες 7

[21]

www.askisopolis.gr

1 1

2 1 2 1 2 ( ) 1f

f f x f f x f f x

1 11

( ) (0) 02

f

f x f x

αφού η f κυρτή άρα η f 1 και 1-1

β) Έστω t0 η χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης

του .

Ισχύει :σημείου Μ είναι διπλάσιος το ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης.

0 0 0 0 0

1 1 1( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

2 2 2

1 1( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0

2 2

y t x t f x t x t f x t x t x t

f x t x t x t f x t x t

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το (0,1)

Δ3. ( ) ... 2( )( 2) ( 1) , 0x xg x e e x x e e x . Θεωρώ ( ) ( 1) , 0xx x e e x

Θ.Bolzano 1 ρίζα στο (1,2) μοναδική αφού ( ) 0xx xe ,για κάθε x>0.

(ή Rolle για την g στο [1,2])

Για κάθε 10 x x είναι 1x x 0 και για κάθε 1x x είναι

1x x 0 .

0 1x xe e e e x

Άρα……….

ή άλλος τρόπος

Παρατηρούμε ότι ( ) (1) (2) 0g x g g για κάθε (0, )x οπότε η g έχει ολικό

(άρα και τοπικό) ελάχιστο στα σημεία x1=1 και x2=1.

Από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής για τη συνάρτηση g στο [1,2]

υπάρχει 3 [1,2]x τέτοιο, ώστε να ισχύει 3( ) ( )g x g x για κάθε [1,2]x

Αν ήταν 3 {1, 2}x τότε θα ήταν g(x)=0 για κάθε [1,2]x πράγμα άτοπο. Άρα,

είναι (1,2)x οπότε η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x3.

x 0 1 x1 2 +∞

ex-e - + + +

x-2 - - - +

β(x) - - + +

g΄(x) - + - +

g(x) 2

1 2

1

T.E. T.M. T.E.

[22]

www.askisopolis.gr

Λύση

Γ1. 2 2 22 3 2 3 0xf x x f x f x xf x x f x x f x

2 2 2 31 2 3 1x f x xf x x x f x x

2 31 ,x f x x c c 3

2,

1

x cf x x

x

.

Για 1x είναι 1 1

1 02 2

cf c

, άρα

3

2 1

xf x

x

3 2 2 3 4 2 4 4 2

2 2 2 2 2 2 2

3 ( 1) 2 3 3 2 3( ) 0

1 ( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x x x xf x

x x x x

για

0x

H f συνεχής στο 0.Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R

Γ2. Είναι 3 3

3 3lim lim lim 1x x x

f x x x

x x x x

και

3 3

2lim lim lim

1x x x

x xf x x x

x

3x1

x

x

.

Είναι 3 3

3 3lim lim lim 1x x x

f x x x

x x x x

και

ΘΕΜΑ Γ(επαναληπτικές 2013)

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ ⟶ ℝ για την οποία ισχύουν:

22xf (x) x f (x) 3 f (x) για κάθε x∈ℝ

1

f (1)2

Γ1. Να αποδείξετε ότι 3

2

xf (x) , x

x 1

και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ

Μονάδες 6

Γ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του

ερωτήματος Γ1.

Μονάδες 4

Γ3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:

2 3 2 2f 5(x 1) 8 f 8(x 1)

Μονάδες 7

Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της f τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες 0x και 1x

Μονάδες 8

[23]

www.askisopolis.gr

3 3

2lim lim lim

1x x x

x xf x x x

x

3x1

x

x

.

Άρα η 1y x είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC και στο και στο .

Επειδή η f είναι συνεχής στο δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Επειδή η f έχει πλάγια ασύμπτωτη, δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη.

Γ3. 3 2 3 2

2 2 2 25 1 8 8 1 5 1 8 8 1f

f x f x x x 1

3 2

2 25 1 8 1 8 0x x (1). Θέτουμε 2 1x , οπότε η (1) γίνεται:

3 25 8 8 0 . Με σχήμα Horner βρίσκουμε ότι

3 2 25 8 8 2 5 2 4 , άρα

2 2 4 0

2 22 2 4 0 2 1 2x

2 1 1 1 1x x x

Γ4. Για 0 0x f x οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι

23

1 1 1

2 2 20 0 0

1

1 1 1

x x xx xdx dx x dx

x x x

22 ln 1 1 1 ln 2

02 2 2 2

xx

[24]

www.askisopolis.gr

Λύση

Δ1. α. Θεωρούμε

2 111

1( ) , x 11

xf x x exg x

x

2 11

1 11

xf x g x x x ex

.

2 1

1 1

1lim lim 1 1 1 1

1

f ήx

x xf x g x x x e f

x

ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2013)

Δίνεται συνάρτηση f: [0,+∞)⟶ℝ, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη

παράγωγο στο [0,+∞), για την οποία ισχύουν:

2

f (x)f (x) 1 f (x) για κάθε x > 0 ,

f (x)f (x) 0 για κάθε x > 0 ,

f (0) = 0,

2 1

1

11

1lim 01

x

x

f x x ex

x

Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις: f (x)

g(x)f (x)

με x>0 και

3h(x) f (x) με

x≥0

Δ1. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f ′ στο (0,+∞)

(μονάδες 4)

β. Να αποδείξετε ότι f ΄(0) = 1

(μονάδες 3)

Μονάδες 7

Δ2. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (0, +∞) , να αποδείξετε ότι:

α. g(x) 2 x για κάθε x∈(0, +∞)

(μονάδες 2)

β. 1

0(2 x)f (x)dx 1

(μονάδες 4)

Μονάδες 6

Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα x′x και τις ευθείες x = 0 και x = 1

Μονάδες 8

Δ4. Να δείξετε ότι f x x .

[25]

www.askisopolis.gr

22 2 2 21 1

1 1 1 1 11 1

x x x x xx x

.

2 2

1 1lim 1 0 lim 1x x

x x

οπότε από κριτήριο παρεμβολής

2

1

1lim 1 0

1xx

x

1 1

1 1lim lim

1 1x x

f x f f x

x x

1

1

1 1lim 1 0 1 1

1 1

x

x

eg x x

x x

1 1

1 1 1 1 11 1

x x x x xx x

.

1 1

lim 1 0 lim 1x x

x x

οπότε από κριτήριο παρεμβολής

1

1lim 1 0

1xx

x

και

01 0

1

1 1

1lim lim 1

1

xx

x DLH x

ee

x

Επειδή f x f x 0 οι συναρτήσεις f,f δεν μηδενίζονται και επειδή είναι

συνεχείς διατηρούν σταθερό πρόσημο. Επειδή 1 1 0 0f f x για

κάθε 0x και 1 2017 0 0f f x .

είναι 0f x για κάθε 0x .

β. Επειδή f x 0 από την (1) έχουμε ( ) 1 ( ) ( )f x f x f x

H f ΄ είναι συνεχής στο 0

x 0 ,άρα

(0) 0

0(0) lim 1 (x) (x) 1 (0) (0) 1

f

xf f f f f

.

Δ2.α. Είναι

2

2 2

1f x f x f xg x

f x f x

και

2

11 1

1g

f . Επειδή

11 1

1

fg

f

, η εφαπτομένη της f

C στο 0

x 1 είναι

1 1 2y x y x .

Επειδή η g είναι κυρτή, βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της, εκτός από

το σημείο επαφής, άρα 2g x x για κάθε 0x .

β. Είναι

2 2 2

f xg x x x f x x f x

f x

και επειδή η ισότητα

ισχύει μόνο για 1x και οι συναρτήσεις , 2f x x f x είναι συνεχείς στο

0,1 , ισχύει ότι:

1 1 1

0 0 02 2 1 0 1f x dx x f x dx x f x dx f f

[26]

www.askisopolis.gr

Δ3. Επειδή η h είναι συνεχής στο 0,1 και 3

h x f x 0 , το ζητούμενο εμβαδό

είναι:

31 1 2

0 0E f x dx f x f x dx

1 12

00

2f x f x f x f x f x dx

13

212 2

0

0

1 1 0 0 2 1 23

f xE f f f f f x f x dx

3 3

1 0 1 11 2 1 2 1

3 3

f f .

Δ4.

2f x 0

2 f (x) 1f (x)f (x) 1 f (x) (1) f (x)

f x

άρα η f είναι 3 φορές

παραγωγίσιμη.

Με παραγώγιση της (1) έχουμε

(3) (3)f x f (x) f x f (x) 2f (x)f (x) f x f (x) f (x)f (x)

(3)

(3)

2

f x f (x) f (x)f (x)f x f (x) f (x)f (x) 0 0

f x

f x f x0 c,c

f x f x

(2).

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0x

f f f f f

.

1 12 0

1

x fc c

f

.

Άρα 0f x .

01 2

1 11 1 1 , .f xx

f x f x f x x f x x c c

Για 1x : 1 1 11 1 1 1 0f c c c .

Επομένως .f x x

[27]

www.askisopolis.gr

Λύση

Δ.1. 2 2

1 1 1 11 1 1

2 2

f x f xe f x f x e

x x

1 1 1 1,

2 2

f x f xe x e x c c

x x

(1).

Η αρχική σχέση για x 1 γίνεται: 1 12 1 2 2 1 1

f ff e f e .

Όμως  f ( ,0] - , άρα 1 11 0 1 0 1 1 0

f ff e e f , άρα

1 0f .

Τότε η σχέση (1) γίνεται 1 11 1 0

2

fe c c

. Τότε

ΘΕΜΑ Δ (επαναληπτικές 2012 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:A⟶ℝ με A=(0,+∞) για την οποία ισχύουν σχέσεις:

,0f - ,

η παράγωγος της f είναι συνεχής στο (0,+ ∞),

11 1

ff e

2 22 1f x

x f x x e (1)

Δ1. Να αποδείξετε ότι 2

2ln , 0

1

xf x x

x

.

Μονάδες 8

Δ2.Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει μέγιστο Σ(x0,f(x0)), x0>0,

το οποίο και να βρείτε. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό

ξ ∈(β, x0) με 00 x , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης

της f στο σημείο M(ξ,F(ξ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία

ε: x ( 1) y 2012( 1) 0f

Μονάδες 6

Δ3.Αν β<1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση

351 1 1

01 3

f f x x

x x

έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ως προς x, στο διάστημα (1,3)

Μονάδες 5

Δ4. Να αποδείξετε ότι :

2 2

1 1ln 2 2 2 ln 2 2 1

e ex xe x x dx x e dx

, για κάθε x>0

[28]

www.askisopolis.gr

2 21 1 1 1

ln2 2 2

f x f x x xe x e f x

x x x

1

2 21 1ln ln

2 2

x xf x f x

x x

2

2ln

1

xf x

x

, 0x .

Δ.2.Είναι 2

2

2ln ln 2 ln 1

1

xf x x x

x

και

2 2

1 12 2

2 1 1

x xxf x

x x x x

.

Για κάθε 0,1x είναι 0f x , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,1 .

Για κάθε 1x είναι 0f x , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1, .

Επομένως η f έχει μέγιστο το 1,0 .

Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει ,1 με β>0 τέτοιο, ώστε

1

ff

.

Από το θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει ξ 1 , β τέτοιο, ώστε

1

1 1

f f ff

.

2 2 2

2 22 2 22 2

2 1 41 2 1 1 2 2

1 1 1

x xx xf x

x x x xx x

.

Για 0

2 2 21 1 1 0 2 2 0x

x x x x

οπότε 0f x στο 0,1 δηλαδή

f 2 στο 0,1 και 1-1.

Επομένως το ξ είναι μοναδικό.

Δ.3.

351 1 10

1 3

f f x x

x x

351 3 1 1 1 0f f x x x x

Έστω 351 3 1 1 1 , 1,3g x f f x x x x x .

Είναι 1 2 1g f f

Είναι

1

f ff f f

1 1 0f f f f , άρα 1 0g .

και 3 128 1 0g , αφού 1 . Δηλαδή 1 3 0g g και επειδή η g είναι

συνεχής στο 1,3 , λόγω του θεωρήματος Bolzano, εξίσωση g x 0

351 3 1 1 1 0f f x x x x

351 1 10

1 3

f f x x

x x

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο

1,3 .

[29]

www.askisopolis.gr

Δ.4. 2 2ln 2 2 2 ln 2 2 1x xe x x x e

2

2

1 02 2

2 0( 7 0)2 2 2 2 2 1

xex x

x xe x x x e

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2ln ln

1 2 2 1 2 2

x x

x x

e x e x

e x x e x x

2 2

2 12ln ln

1 11

x

x

xe

xe

[1, ]

1 1 1 0f e

x x xf e f x e x e x 2

ισχύει.

( Θεωρούμε 1xg x e x .

1 0xg x e για x>0 οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα και

0 0 0 1 0g

xx g x g e x 1

για x>0)

οπότε 2 2

1 1ln 2 2 ln 2 2 1

e ex xe x x dx x e dx

ΘΕΜΑ Δ(2012) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+∞)⟶ℝ, η οποία για κάθε x>0 ικανοποιεί τις σχέσεις:

f(x) ≠ 0

2 12

x f x2x - 2x

e

1

1 ln x lnf x x x f x x f xx

Δ1.Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.

Μονάδες 10

Αν είναι ln , 0xf x e x x x , x>0, τότε:

Δ2.Να υπολογίσετε το όριο: 0

limx

2 1f(x) ημ - f(x)

f(x)

Μονάδες 5

Δ3.Με τη βοήθεια της ανισότητας 1lnx x - , που ισχύει για κάθε x>0, να

αποδείξετε ότι

α) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (μονάδες 2).

β) η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).

Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:

3 2 2f x f x f x , για κάθε 0,1x (μονάδες 4).

Μονάδες 6

Δ4.Δίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός 0,1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει

μοναδικός ξ ∈(β,2β) τέτοιο ώστε:

3 2f f f

Μονάδες 4

[30]

www.askisopolis.gr

Λύση

Δ1. Έστω 2 12

h x x f x2x - 2x

e .

Είναι

2 21 1 0 0 12 2

x f x x f x h x h x h2x - 2x 2x - 2x

e e

Η συνάρτηση h παρουσιάζει ελάχιστο για 1x .

Επειδή η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο 0, σαν πράξεις

παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 2 2 4( ) 2 1 ( )

xh x xf x x f x

e

και το

1x είναι εσωτερικό του πεδίου ορισμού της h, λόγω του θεωρήματος Fermat,

είναι 2 1

1 0 2 1 0 1h f fe e

.

Επειδή η f είναι συνεχής στο 0, και f (x) 0 , η f διατηρεί πρόσημο στο

0, . Επειδή επιπλέον 1

1 0fe

, είναι 0f x για κάθε 0,x .

Η σχέση 1

1 ln x lnf x x x f x x f xx

γίνεται

2:1

1 ln lnf x

f x x x f x x x f xx

2

11 ln

ln ln lnf x x x f x

x x x x x xx

f x f x f x f x

,

οπότε:

ln,xx x

c e cf x

.

Για x=1: 11

11

c e c

e

και

lnlnx xx x

e f x e x xf x

Δ2. Έστω 1

f x , 0 με

0 0 0 0

1 1lim lim lim lim 0

ln ln

x

xx x x x

e

f x e x x x x

γιατί

0

lim 1x

xe

και

0lim lnx

x x

. Τότε

2

20 0

1 1 1lim limx

f x f xf x

[31]

www.askisopolis.gr

0

0

20 0 2

lim limDLH

0 0

1 1 1lim lim 0

2 2

Δ3. α) 1 1

( ) ln 1 ln 1 0, 0x x xf x e x x e e x x xx x

,

γιατί ln 1 ln 1 0x x x x και

10

x για κάθε 0x .Άρα η f είναι

γνησίως αύξουσα στο 0, .

β) 2

1 1 1( ) ln 1 1x xf x e x x e

x x x

2

2 2 2

0

0 0

2 1 1 1ln 1 1 0 0 1 1 1 1 0xe x x x x

x x x x

Άρα η συνάρτηση f είναι κοίλη στο (0,1).

Από το θεώρημα μέσης τιμής για την f, υπάρχει 1 , 2x x και 2 2 ,3x x

τέτοια, ώστε:

1

2 2

2

f x f x F x F xf

x x x

και

2

3 2 3 2

3 2

f x f x f x f xf

x x x

.

Επειδή η f είναι κoίλη στο (0,1), η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε επειδή

1 2 , ισχύει ότι:

0

1 2

2 3 2

xf x f x f x f xf f

x x

2 3 2f x f x f x f x f x f 3x 2f 2x .

Δ4. Έστω

( ) 2 ( ) (3 ) ( ), ,2G x f x f f x . Είναι

( ) ( ) (3 ) 0G f f γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,

Επειδή

0 3 3f

f f 1

.

Είναι (2 ) 2 (2 ) (3 ) ( ) 0G f f f γιατί x 3x 2 2xf f f για

κάθε 0,1x .

Δηλαδή ( ) (2 ) 0G G και επειδή η G είναι συνεχής στο ,2 , λόγω του

θεωρήματος Bolzano

υπάρχει ,2 τέτοιο ώστε: 0G 3 2f f f . Είναι

2 0G x f x είναι G γνησίως αύξουσα στο ,2 ,οπότε το

ξ είναι μοναδικό.