1

4 Penos toplote u neustaljenim uslovima jednodimenzionalni

problemi

Neustaljeni prenos toplote u vezi je s neustaljenim temperaturnim poljima. Diferencijalna jednaina

neustaljenog polja za opti treodimenzionalni problem ve je ranije formulisana i, podsea se, ima oblik

2 2 2

2 2 2a

x y z

= + + , (u Dekart-ovom sistemu koordinata). (1)

Analiza neustaljenih temperaturnih polja je svakako daleko tea u odnosu na analizu ustaljenih, te e se ovde

problem ograniiti na jednodimenzionalna polja, tako da e vaiti parcijalna diferencijalna jednaina

2

2a

x

=

. (2)

Svrha razmatranja svih problema bie da se objasni fiziko znaenje veliina koje se moraju, prema

Pravilniku, proveriti za izvesne graevinske elementa. To su, pre svega (prema Pravilniku):

...

, [-]; , [h]. ...

Obe veliine zavise, kako e se videti, od "poremeaja" temperature u odnosu na neki ustaljeni reim, kao i od

veliine (debljine) i svojstava graevinskog elementa. Uobiajeno je da se "poremeaj" temperaturnog polja u

odnosu na ustaljeni reim pripisuju ili temperaturi okruenja, ili temperaturi na nekoj od povrina gra.

elementa, i to u obliku:

( )( ) cose et A t = = + , (31) ( )0 0( ) coss s t A t = = + . (32)

Pri tome su ovde

Ae - tzv. amplituda oscilacija temperature ambijenta oko stalne vrednosti, C,

2 f = pi - ugaona (kruna) frekvencija oscilacija, radijana/sekundi,

f - frekvencija, 1/s (=Hz).

Frekvencija f je, zapravo, obrnuto proporcionalna vremenu (u sekundama) potrebnom da se obavi jedna

potpuno oscilacija (od vrednosti na poetku pa do vrednosti jednake vrednosti na poetku), kae se "puni krug,

ciklus" od 2pi radijana.

4.1 Polu-beskonani vrst sloj sa periodinom temperaturom ambijenta

Razmatra se polubeskonani vrst sloj sa jednodimenzionim temperaturnim poljem (slika 1), ija je leva

strana izloena konvekciji prema ambijentu, a temperatura ambijenta se periodino menja po zakonu (31)

oo(t)

s(t) (x,t)

x

, , c

e

Ae

Ae

Slika 1. levo) bez pruguivanja amplitude, desno) sa priguivanjem amplitude

Diferencijalna jednaina neustaljenog jednodimenzionalnog temperaturnog polja je

2

2, 0 , 0a x t

t x

=

. (4)

Poetni uslov je

2

( , ) , 0 , 0ex t x t = = . (5)

Jedan granini uslov je

( , ) , , 0ex t x t = > (6)

Drugi granicni uslov moze da se zada na razlicite nacine. U konkretnom sluaju, pak, zbog postojanja

konvektivne razmene izmeu ambijenta i povrine koristi se tzv. granini uslov 3. vrste:

( )( , ) 0, 0h x t x tx

= = >

, (7)

pri emu je

( )cos , 0e eA t t = + > . (8) Jednaina (7) prosto znai jednakost specifinog fluksa ostvarenog konvekcijom (h je koeficijent prelaza

toplote konvekcijom, W/m2K) sa specifinim fluksom provoenjem u materijalu na mestu x=0.

Reenje problema (4)-(8) je

( ) ( )1

/2

1 / 22

Bi 1( , ) cos / ,

2Bi 2Bi+2

x l

e ex t A e t x l f x t = + + , (9)

gde je skraeno zapisano

/l a , (10)

2 / / /Bi 2 / 2 2

1 / 1 /

h a h a la

h h

= = = =

, (11)

1arctan

1 Bi

+. (12)

Funkcija ( , ) 0t

f x t u jednaini (9) ima sloenu strukturu, ali ima svojstvo da postaje nula kada je veme

tarajanja veliko (teorijski t ), dakle:

( , ) 0t

f x t , za svako 0x . (13)

kvaziustaljeni periodini reim

Razmatrae se samo kvaziustaljeno periodino temperaturno polje, koje odgovara situaciji da t . Prelazni reimi su iskljueni.

( )0

1/

21 / 2

2

( )

Bi 1( , ) cos /

2Bi 2Bi+2

x l

e e

A

A x

x t A e t x l = +

, (14)

ili skraeno, saglasno naznaenim identifikacijama u jednaini (14),

1( , ) ( )cos /

2ex t A x t x l

= . (15) Parcijalni izvod po koordinati x je sada

( , ) ( ) 1 1 1 1cos / ( ) sin /

2 2 2

1 1 1 1 1 1( ) cos / ( ) sin /

2 2 2 2

1 1 1 1( ) cos / sin /

2 2 2

1

x t A xt x l A x t x l

x x l

A x t x l A x t x ll l

A x t x l t x ll

l

=

=

= =

1( )cos / / 4

2A x t x l

+ pi

. ()

tako da toplotni fluks u pravcu x-ose moe, za svako x i svako t, da se odredi prema Fourije-ovom zakonu

3

1/

20

( )

( , ) 1 1( , ) cos / / 4

2

x l

x

A x

x tq x t A e t x l

x l

= = + pi , (16)

ili

1( , ) ( )cos / / 4

2xq x t B x t x l

= + pi , (17)

gde su skraenice

1 1/ /

2 20 0

1 1( ) ( )

x l x l

B x A x A e B el l

= = = , (18)

( )0 0 0 1 / 221 Bi

Bi 2Bi+2e

a aB A c A c A

l l l= = =

+ . (19)

Mada e se analize fizikog znaenja razliitih lanova u reenjima (15) i (17) odnositi na sluajeve sa

proizvoljnim vrednostima svojstava materija, i drugih konstanti, radi ilustracije karaktera reenja odmah se

daju primeri koji se odnose na na sluajeve sa sledeim termofizikim svojstvima:

= 1800 kg/m3 , = 0.76 W/mK, c = 920 J/kgK, ( / 0.76 /1800920a c= = = 4.509371981 x 10-7 m2/s).

Amplituda oscilacija temperature okruenja oko vrednosti e bie

eA = 10 oC .

Razdoblje evolucije poremeaja (pini krug - 2pi radijana) bie 24 h, pa je frekvencija f, Hz, jednaka

1 / 24 1 / 1 /(24 3600) 1 /f h s= = = 1.157407407 x 10-5 1/s = 1.157407407 x 10-5 Hz.

Koeficijent prelaza toplote konvekcijom bie:

h = 25 W/m2K.

Ponavljamo, konkretne vrednosti izabrane su samo radi ilustracije za jedan, konkretan, sluaj. Jasno je da se

umesto uzetih vrednosti moe operisati i sa drugim podacima uz odgovarajuu softversku podrku (za

simulaciju i analizu slinih rezultata).

Temperaturna polja u materijalu ilustrovana su na slici 2, a na slici 3 je prikazan toplotni fluks.

00.2

0.40.6

0.81

0510

1520

t

-10

-5

0

5

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x

10 20 30 40 tx

=(x,t)-e =0

0.1

0.5

1

2

3

-0.1 -0.1

0

x, m

t, h

oC

Slika 2. Temperaturna razlika ( , ) ex t = : levo) prostorni prikaz, desno) izo-linije, ( , ) ex t = =const.

t

x

tx

qx(x,t), W /m2

qx= 0

1

10

30

-1

00x, m

t, h

00.2

0.40.6

0.81

0510

1520

-60-40-20

0204060

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

10 20 30 40

Slika 3. Toplotni fluks xq : (levo) prostorni prikaz, desno) izo-linije, sa xq =const.

4

kvaziustaljeni periodini reim faktor priguivanja amlitude talasa po dubini u materijalu

Prema reenju (15) odnosno (14) za kvaziustaljeni periodini reim

( )0

1/

21 / 2

2

( )

Bi 1( , ) cos /

2Bi 2Bi+2

x l

e e

A

A x

x t A e t x l = +

, (14)

jasno je da je amplituda oscilacija temperature materijala na povrini, A0, manja od amplitude oscilacije

temperature ambijenta, Ae, zavisno od Bi broja:

( )0 1 / 22Bi

/

Bi 2Bi+2eA A =

+, (20)

i takva zavisnost je prikazana na slici 4 (levo).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10 12 14 16 18x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

A0/Ae

Bi x, m

Slika 4. Odnos ammplituda 0 / eA A u funkciji Bi (levo), i Faktor priguenja amplitude u materijalu ( )x

(desno)

Isto tako, amplituda oscilacija u dubini materijala manja je od amlitude na povrini:

1/

20( ) /

x l

A x A e

= . ()

Faktor priguenja amplituda oscilacija je definisan kao reciprona vrednost prethodnog odnosa amplituda:

1/

0 2( )( )

x lAx e

A x = = . (21)

Oigledno je da faktor ( )x raste sa dubinom x, i zavisnost je prikazana na slici 4 (desno).

Perodina dubina prodiranja, ex , definisana je kao dubina kojoj odgovara faktor priguenja oscilacija tano

e=2.718 (osnova prirodnog logaritma). Iz uslova da je

1/

10 2( )( )

ex l

ee

Ax e e

A x = = = , ()

dobija se da je

2 2 /ex l a= = . (22)

kvaziustaljeni periodini reim kanjenje temperaturnih oscilacija u materijalu

Temperature na svim lokacijama materijala osciluju istom frekvencijom kao i temperatura ambijenta, ali su

fazno pomerene: kasne u odnosu na oscilacije temperature ambijenta. Kanjenje oscilacija je najmanje za

oscilacije temperature povrine, i raste sa porastom dubine materijala. Ilustracija ovog kanjenja prikazana je

na Slici 5 (prema jednoj interpretaciji prikaza na slici 2).

5

-1

-0.5

0

0.5

1

5 10 15 20t

-10

-5

0

5

10

5 10 15 20t

e

(x=0.2 m)x=0 m

x=0.2 m

t, h

oC

0-0.2

0.2

0

t, h

(x=0.0 m)

0-0.2

0.2

0

0-0.2= 6.799904 h0.2 = 7.6010398 h0 = 0.801494 h

Slika 5. Fazno pomeranje (kanjenje) temperaturnih polja: levo) funkcija 1

cos arctan2 1 Bi

t xa

+ ,

desno) temperaturne razlike ( ) ( )e e et t = i ( , ) ( , ) ex t x t =

Ako se poe od identiteta

1 1cos / cos / /

2 2t x l t x l

= , (23)

lako mogu da se identifikuje vremena kanjenja oscilacija polja u materijalu u odnosu na oscilacije

temperature ambijenta. Tako, vreme kanjenja nule (maksimuma, minimuma) temperature na povrini (x=0)

u odnosu na nulu (maksimum, minimum) temeprature ambijenta je

0

1/ arctan /

1 Bi = =

+. (24)

a kanjenje nule (maksimuma, minimuma) na nekom mestu 0x> u materijalu u odnosu na nulu (maksimum, ili minimum) temperature ambijenta je

1 1/ / / arctan /

2 1 Bi2x x l x

a

= + = + +

. (25)

Kanjenje pak temperature u materijalu na svakom x u odnosu na temperaturu povrine je manje i iznosi

0

1/ /

22x x l x

a

= = . (26)

kvaziustaljeni periodini reim duina toplotnog talasa u materijalu

Za neki proizvoljni trenutak vremena, raspodela po dubini materijala je po cosinusnom zakonu (slika 6, levo),

sa eksponencijalno opadajuom amplitudom (Slika 6, desno).

-1

-0.5

0

0.5

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

-1

-0.5

0

0.5

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

t=0 h

x, m

oC

= 0.70589 m

x, mt=0 h

amplituda oscilacije A(x)

= 0.70589 m

Slika 6. U vezi duine toplotnog talasa: levo) funkcija 1

cos /2

t x l

, desno) temperaturna razlika ( , ) ( , ) ex t x t = (= 0.70589 m)

Duina toplotnog talasa je rastojanje izmeu taaka koje se nalaze u istoj fazi, tj. razlikuju se fazno za 2pi. Tako, iz uslova

6

1 1cos / cos ( ) /

2 2t x l t x l

= + , (27)

za svako

1/ ( 1)

2t x l k = pi , (28)

mora da vai

( )1 / ( 1) 22

t x l k + = pi pi , k=1,2,... (29)

gde je duina toplotnog talasa po dubini materijala. Kombinovanjem (28) i (29) dobija se duina talasa

2 2 8 8 /l l a = pi = pi = pi . (30)

Duina toplotnog talasa nije, oigledno, zavisna od vremena. Duina talasa raste sa:

porastom a (porastom , i/ili opadanjem kapacitivnosti c materijala), i/ili opadanjem krune frekvencije (odnosno frekvencije f).

Izmeu duine toplotng talasa i tzv. dubine prodiranja (22) vai relacija

12 ...

2ex l= = =

pi. (31)

kvaziustaljeni periodini reim brzina prostiranja toplotnog talasa oscilacija u materijalu

Brzina prostiranja temperaturnog talasa, u, definisana je kao kolinik duine toplotnog talasa i trajanja P jedne kompletne promene (evolucije 2pi radijana) to iznosi 1/f. Dakle,

.... 8 2 2 21/

pi= = = = pi = = pi =

a au f f f a a

P f f . (32)

Bolje razumevanja znaenja brzine prostiranja talasa trebalo bi da se razjasni analizom prikaza na slici 8. Na

primer, ako bi se taka A na talasu smatrala materijalnom takom, tada bi se ona nakon izvesnog vremena

nala u poziciji B, a nakon razdoblja P u taki C u sistemu (x,t). Tangens ugla nagiba linije po kojoj se taka A

"kree" u sistemu (x,t) je zapravo brzina prostiranja talasa. Konkretna ilustracija odnosi se na P=24 h, i ostale

konstante asocirane sa prikazom na slici 2.

0 5 10 15 20 25 30 35

1

-1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 -10

0 5 10 15 20 25 30 35t

00.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

x=0.4 mx=0.6 m

0 5 10 15 20 25 30 35

1

-1

-8-6-4-202468

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t= 8.4013 h

t= 0 h

, oC

, oC

(x,t) = (x,t) - e , oC

P

A

B

C C

A

B

Slika 7. U vezi tumaenja znaenja brzine prostiranja talasa u materijalu (brzina prostiranja talasa je

u=0.029412178 m/h =2.9412178 cm/h)

7

Prema relaciji (32) se vidi da je kvadrat brzine prostiranja talasa direktno proporcionalan temperaturnoj

difuzivnosti a i frekvenciji oscilacija f.

Za podatke koje odgovraju slikama, brzina prostiranja talasa je jednaka

/ ...= = =u P 0.029412178 m/h =2.9412178 cm/h.

za radoble oscilacije 24 h ( = pi/12, 1/h), brzina prostiranja talasa u je okvirno jednaka: 0.80 cm/h - zid laboratorijske kalorimetarske posude,

2.86 cm/h - zid kalorimetrijske posude od mramora,

11.3 cm/h - polubeskonani sloj mirnog vazduhana oko 20oC.

Kvaziustaljeni periodini reim toplotni fluks i razmena toplote za

poluperiod oscilacija

Toplotni fluks u materijalu dat je izrazom (17) uz definicione relacije (18) i (19). Fluks ima amplitudu koja

opada po dubini materijala, i fazno se bre menja u odnosu na promenu temperature materijala za pi/4. Prema podacima sa slika 2. i 3., upravo spomenuto je ilustrovano je na slici 9. Vremensko kanjenje faze

temperature u odnosu na fazu toplotnog fluksa je

/ 4q = pi . (33)

x=0 m

x=0.2 m

-60

-40

-20

0

20

40

60

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-60

-40

-20

0

20

40

60

5 10 15 20 25 30 t, h

x, m

t = 0

t = 10

oscilacije temperatureoscilacije fluksa qx, W/m

2Kamplituda fluksa

q - = 3.0 hq - = 3.0 h

Slika 8. Promena toplotnog fluksa ( , )xq x t : levo) vreme kanjenja lokalnog temperaturnog polja u odnosu na

lokalni fluks, desno) promena fluksa po dubini materijala

Ukupno "razmenjena" toplota po jedinici povrine u ravni x=0, tokom razdoblja 2 1 0t t > je:

( )2

1

0,

t

t

q q t dt = . (34) Saglasno izrazu (17), bie (0, )xq t jednako

( )0(0, ) cos / 4xq t B t= + pi , (35) pa je, prema (34):

( ) ( )2 2

1 1

00, cos / 4

t t

t t

q q t dt B t dt = = + pi . (36) Razdoblje 2 1 0t t > neka, sada, odgovara razdoblju dovoenja toplote preko ela sloja (vidi sliku 8, levo), tj.

vremenu integracije za koje vai

( )cos / 4 0t + pi , (37) to implicira nejednainu

3 / 4 52 2

tpi pi + pi , (38)

odakle se ustanovljava poetak i kraj integracije u (36):

8

1 25 / , 9 /4 4

t tpi pi

= + = + , ( 2 11 1 1 11/2 2 2 4

t t t P f f = = = = ). (39)

Konano, razmenjena toplota po jedinici povrine za tzv. "poluperiod evolucije" poremeaja bie, prema (36) i

(3):

( )9 /

4

0 0

5 /4

2cos / 4q B t dt B

pi +

pi +

= + pi = , gde je 0 0 01 aB A c Al l= = , (40)

odnosno

2

0 0 0 0

2 1 1 12 2 2

a l

aq B A c A c A cl

c l l

= = = =

. (41)

Izraz (41), ima zanimljivo fiziko tumenje. Naime, desna strana u (41) moe da se zapie kao:

( )

0

0 02 1 (2 )

V

m

c A l l c A

=

. (42)

Desna strana u (42) moe da se iskae na sledei nain:

to je promena unutranje energije vrstog materijala mase m, u zapremini V=1 m2

x l m, od stanja sa (homogenom svuda jednakom) temperaturom 0e A = do stanja sa temperaturom jednakom 0e A = (dakle, zagrevanje sa porastom temperatue od 02A = ).

Saglasno tome, q" je, dakle, toplota koju bi dobio sloj zida jedinine povrine, i debljine /l a= , pri

ravnomernom zagrevanju tog sloja za temperaturnu razliku 0 = 2A0. Prema tome, /l a= karakterie uslovnu debljinu ravnomernog progrevanja homogenog polubeskonanog tela u stacionarnom periodinom

reimu.

Sa praktinog stanovita prethodno reeno znai sledee: razmatranje toplotne akumulativnosti

ovde polubeskonanog sloja ekvivalenta je razmatranju akumulativnosti uslovnog sloja konane

debljine l, tokom razdobla P/2 u opsegu temperature 02A = .

Uslovna debljina sloja /l a= (negde poznata pod nazivom "koeficijent apsorbovanja toplote" od strane zida

homogene temperature i debljine l ) je, okvirno, oko 11% duine temperaturnog talasa . Naime iz (30),

8 8a

l = pi = pi

, lako se dobija i

/ 8 0.11253954 0.11l = pi = . (43)

Na primer, za period oscilacije 24 h ( = pi/12, 1/h), uslovna debljina l (koeficijent apsorbovanja) je jednaka: 0.039 m - zid laboratorijske kalorimetarske posude,

0.137 m - zid kalorimetrijske posude od mramora,

0.543 m - polubeskonano gasoviti sloj na oko 20oC.

Dalje, uslovna debljina l sloja, saglasno sa (43) i (22) iznosi oko 70% dubine prodiranja:

/ / 2 0.707106e el a x x= = = . (44)

Konano, koeficijent priguivanja amplitude temperaturnog polja, , za uslovnu dubinu, x=l, iznosi

1

0 2( )( )

Al e

A x = = = 2.028114982 ~ 2. (45)

9

4.2 Polubeskonani vrst sloj sa periodinom temperaturom ela

Matematika formalizacija problema donekle odgovara problemu u taki 4.2. Kao i ranije mogu da se napiu

jednaina, poetni i jedan granini uslov ovako:

2

2, 0 , 0a x t

t x

=

, (4)

( , ) , 0 , 0ex t x t = = , (5)

( , ) , , 0ex t x t = > . (6)

Drugi granini uslov sada, meutim, ima drugaiji oblik:

( )0( , ) ( ) coss ex t t A t = = + , 0, 0x t= . (46) Kvaziustaljeno periodino reenje problema (4)-(6) i (46) glasi

( )/ 20( , ) cos / 2x aex t A e t x a = + , (471) ili preko ve definisanih skraenica

1/

20

1( , ) cos /

2

x l

ex t A e t x l = . (472)

Analiza reenja dovodi do tri vana saznanja: Prvo, temperature na svim lokacijama osciluju sa istom

frekvenciju kao i toplotni poremeaj na povrini. Drugo, amplituda oscilacije opada eksponencijalno sa x. Ovo

ini reenje primenljivim i kod ravnog zida konane debljine. Tree, amplituda oscilacija opada eksponecijalno

sa kvadratnim korenom od frekvencije . Tako, visoko-frekventni poremeaji gue se jae neko oni sa manjim frekvencijama (to objanjava zato dnevne oscilacije temperature na povrini npr. zemple ne prodiru tako

duboko kao godinje i stogodinje oscilacije temperature na povrini).

Varijacije toplotnog fluksa na povrini slede neposredno iz (47) i Furije-ovog zakona:

( )0(0, )(0, ) / cos / 4tq t A a tx

= = + pi

, (48)

i to pokazuje da faza oscilacije (0, )q t je ispred faze oscilacije (0, )t sa / 4pi radijana.

Komentar i paralela

Zanimljivo je da se zapazi da su upravo prikazana reenja samo jedan specijalni sluaj reenja razmatranih u

taki 4.1 (kada je ukljueno i prisustvo konvekcije). Podsea se ona glase

( )1

/2

1 / 22

Bi 1( , ) cos /

2Bi 2Bi+2

x l

e ex t A e t x l = + , (9)

( ) ( )1 / 221 Bi

(0, ) cos / 4

Bi 2Bi+2x eq t A t

l= + pi

+,

/Bi 2

1 /

l

h

= , ( )arctan 1 /1 Bi = + , (16)

Ako je re o vrlo intenzivnoj konvktivnoj razmeni, tj. kada h , dobija se da je

Bi , 0 ,

i reenja (9) i (16) postaju ...

1/

2 1( , ) cos /2

x l

e ex t A e t x l = , ()

( )1(0, ) cos / 4x eq t A tl

= + pi . ()

Ova reenja postaju jednaka reenjima (472) i (48) ako se smatra da je e 0A A= .

10

Vidi se da prisustvo faktora Bi u (9) i (16) pokazuje da konvekcija pojaava efekat priguivanja poremeaja, uz

istovremeno poveanje fazne razlike za vrednost ( )arctan 1 /1 Bi = + .

4.3 Polubeskonani vrst sloj sa periodinom promenom fluksa na

povrini sloja

Matematika formalizacija problema donekle odgovara problemu u taki 4.2. Kao i ranije mogu da se napiu

jednaina, poetni i jedan granini uslov ovako:

2

2, 0 , 0a x t

t x

=

, (4)

( , ) , 0 , 0ex t x t = = , (5)

( , ) , , 0ex t x t = > . (6)

U ovom sluaju, pak, drugi granini uslov se propisuje kao:

( )0( , )( , ) ( ) cosx x tq x t q t q tx

= = =

, 0, 0x t= > . (49)

Kvaziustaljeno periodino reenje problema (4)-(6) i (49) ima oblik

( )/ 20( , ) cos / 2 / 4x ae q ax t e t x a = + pi , (50) a toplotni fluks na mestu x=0 je vee propisan (vidi jdn. 49):

( )0( ) cosq t q t = . (51) Zapaziti da fazni ugao raste sa porastom x sa najmanjim faznim uglom od pi/4 na povrini (x=0). Praktina situacija kada jedn. (50) postaje korisna u problemima graevinske fizike jeste kod predvianja ustaljene

varijacije temperature povrine, indukovane varijacijom fluksa dozraivanja (ili odzraivanja) toplote ka

povrini u uslovima intenzivne ali promenljive osunanosti ravni x=0.

4.4 Ravan vrst sloj konane debljine, sa periodinom temperaturom na

povrini sloja

Na slici 6 je ilustovan jednodimenzionalni ravan zid debljine d sa izolovanom povri na x=0 i povri na x=d sa

periodinom promenom temperature u obliku

( )0( ) coss et A t = + , (52) gde je e poetna temperatura zida, a uslovi izolacije na x=0 (ili simetrije u odnosu na ravan x=0) su:

( , ) 0xq x t = . (53)

s(t)

(x,t)

x

, , c

d

izolacija

eA0

A0

Slika 9. levo) bez pruguivanja amplitude, desno) sa priguivanjem amplitude

Diferencijalna jednaina temperaturnog polja je

11

2

2, 0 , 0a x d t

t x

=

. (54)

Poetni uslov je

( , ) , 0 , 0ex t x d t = = . (55)

Granini uslov na levoj povrini zida je

( , )0

x t

x

=

, 0, 0x t= > (dobija se iz uslova (47):

(0, )0 (0, )x

tq t

x

= =

), (56)

na desnoj povrini je

( , ) ( ), , 0sx t t x d t = = > , (57)

a ( )s t je dato formulom (52).

Kvaziustaljeno periodino temperaturno polje u materijalu za konkretne uslove je:

0 1 2( , ) , cos ,2 2

e

x xx t A d t d

d a d a

= + + ; (58)

Ovde je 1 funkcija guenja amplitude, ije su brojane vrednosti date u tablici 4.1, a funkcija kanjenja oscilacija, 2 , je

2 arctana d b c

a b c d

= , (59)

gde su

cos cosh2 2

a d da a

= , cos cosh2 2b x xa a = , (60)

sin sinh2 2

c d da a

= , sin sinh2 2d x xa a = . (61)

Tablica 4.1 Vrednosti funkcije 1 priguenja amplitude, u funkciji /x d i / 2ad = /x d = 0 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000

0.0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.5 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.98 0.99 1.00

1.0 0.77 0.77 0.77 0.78 0.79 0.81 0.85 0.91 1.00

1.5 0.47 0.47 0.47 0.48 0.52 0.58 0.68 0.83 1.00

2.0 0.27 0.27 0.28 0.30 0.36 0.45 0.58 0.77 1.00

4.0 0.04 0.04 0.05 0.08 0.13 0.22 0.37 0.64 1.00

8.0 0.00 0.00 0.01 0.01 0.02 0.05 0.14 0.36 1.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Funkcija guenja amplitude oscilacija 1 nema, naalost, oblik koji moe da se zapie preko elementarnih funkcija, te je detaljnija analiza oteana i ovde se izostavlja.

12

Izvodi iz Pravilnika u vezi toplotne akumulativnosti ...

3.2

( , ) SRPS U.J5.530, :

, [-]; , [h].

, 3.2.1 3.2.2.

3.2.1 ., min [-] min [-] 25 , 15 10

3.2.2 , min [h] min [h] 14 , 10 8 7 , 6

> 45, [h]. > 35, [h].

( )

[-] ( ) 100 kg/m2. 100 kg/m2, 0,35 W/(m

2K).

( ) , , ( : 0 - 45 315 - 360), . , j ( ), , , 7.10.

SRPS EN ISO 13786.

, .