TEORÍA DE CONTROL

Modelo de EstadoEjercicio Ascensor

Teoría de Control

Ejercicio Ascensor

El diagrama representa esquemáticamente el funcionamiento de un control de velocidad deun ascensor. El mismo es accionado por un motor de corriente continua cuyos parámetrosasociados son :

Tensión de alimentación Va=440 V.Potencia nominal Pn = 12.5 Kw.Velocidad nominal ωn = 1500 rpm.Constante de cupla Kt = 2.5 Nw.m/Amp.Constante de velocidad Kw = 2.38 Volt/(rad/seg).Resistencia de armadura Ra = 1,96 W.Inductancia de dispersión de armadura La = 0,01 Hy.

+

kw

ω

VrI=cte

r

En el eje de salida de la reducción se encuentra colocada la polea de radio r = 0,3 m ymomento de inercia J = 5,4 Nw.m s2 . Sobre esta polea se aloja, sin deslizamiento el cable deizado de la cabina, este cable se considera elástico con una constante K=49000 N/m. .Finalmente en el extremo del cable se ubica la camina del ascensor de masa Ma = 500 Kg. .Se considera despreciable el rozamiento de la cabina sobre las guías.

El eje del motor se encuentra acoplado mecánicamente a una cajareductora cuya relación es N2/N1 = 50, el conjunto formado por el motor yla reducción presenta un rozamiento equivalente B = 1275 Nw.m.s. ubicadoa la salida del mismo.

Se desea encontrar un modelo de estado que lo represente con salidas : ω ( velocidad del motor), Vm (Velocidad de la cabina) y X ( estiramiento del cable).

Teoría de Control

Ejercicio Ascensor

Se desea encontrar un modelo de estado para el sistema planteado. Existen distintasformas de llegar al modelo de estado, en este caso en particular se va a optar por hallar lasecuaciones de estado a partir del diagrama en bloques.

PARTE ELÉCTRICA

El diagrama de la parte eléctrica, tiene en cuenta al amplificador de potencia quealimenta el motor, la impedancia eléctrica propia del motor y la realimentación de la FEMinducida debido al movimiento del eje. Además, se considera el par en el eje del motorgenerado a partir de la corriente de armadura.

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Ejercicio Ascensor

PARTE MECÁNICA

22

1M

NT TN

= 12

2

NN

ω ω=

( )2 2RT T sJ Bω− = +

RT F r= ⋅

( )1 2F K x x K x= − = ⋅

2 2F M a M s V= ⋅ = ⋅ ⋅

La parte mecánica de rotación esta compuesta por lareducción a engranajes, la polea de inercia J y elrozamiento B.

Sobre la polea aparece un torque resistente debidoal cable y la cabina

La velocidad angular de la polea se puede determinaa partir de la siguiente ecuación:

La fuerza lineal ejercida sobre la polea es:

Esta misma fuera se aplica a la masa de la cabina:

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Ejercicio Ascensor

PARTE MECÁNICA

Se puede construir un circuito eléctrico equivalente de la carga mecánica.

DIAGRAMA EN BLOQUES

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Ejercicio Ascensor

VARIABLES DE ESTADO

ELECCIÓN DE LAS VARIABLES DE ESTADO

En el diagrama en bloques se pueden definir variables de estado a las señales que seencuentran a la salida de un bloque integrador

Cada uno de los bloques representa una función de transferencia, por lo tanto se suponencondiciones iniciales nulas para las variables representadas.En consecuencia, se va a asumir que:

{ } ( )dxx x s X sdt

= → = ⋅ L

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Ejercicio Ascensor

VARIABLES DE ESTADO

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ss sR W Ws s s s sA A A R

AV K KRa AI I I VsLa Ra La La La

ω ω−= → = − − +

+

Se elijen como variables de estado . La entrada del modelo es .2, , y AI V xω RV

2 ( ) ( ) 212 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

s

s sT ATs s s s sA

N K I K r xNN N K NB K rI x

N sJ B N J J N Jω ω ω

− = → = − − +

1 ( ) ( )22 1( ) ( ) ( ) ( )2

2

s s s

s s s s

Nr VN NX X r V

s N

ωω

− = → = −

( )( ) ( ) ( )2 2

s M M

ss s s

a a

K X KV V Xs

= → =

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Ejercicio Ascensor

VARIABLES DE ESTADO

Pasando las ecuaciones transformadas al dominio temporal, considerando condicionesiniciales nulas:

( ) ( ) ( ) ( )W

t t t tA A RKRa AI I V

La La Laω= − − +

2

2 2( ) ( ) ( ) ( )

1 1

Tt t t tAN K NB K rI xN J J N J

ω ω

= − −

1( ) ( ) ( )22

t t tNx r VN

ω

= −

( ) ( )2

Mt t

a

KV x=

Se plantean como salidas : la velocidad de la cabina , La velocidad angular y elestiramiento del cable .

2Vx

ω

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Ejercicio Ascensor

VARIABLES DE ESTADORepresentando las variables en forma vectorial resulta:

2( )( ) 2 2

( )( ) 1 1

( )( )1

( )( ) 22 2

0 0

0000 0 10

0 0 0M

W

tt T AA

tt

tt

tt

a

KRaLa La

AN K NB K r IILaN J J N J

xx Nr VV NK

A

ωω

− −

− − = ⋅ + −

( )tRV

B

⋅

( )( )2

( )( ) ( )

( )( )

( )2

0 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0

tAt

tt tR

tt

t

IV

Vx

xV

DC

ωω

= ⋅ + ⋅

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Ejercicio Ascensor

VARIABLES DE ESTADOReemplazando las constantes por su valor numérico queda:

( )( )

5( )( )

( )( )( )

( )( ) 22

196 238 0 0 10001157.4 236.11 1.361 10 0 0

0 0.006 0 1 00 0 98 0 0

tt AA

tttR

tt

tt

II

Vxx

VVA B

ωω− −

− − × = ⋅ + ⋅ −

( )( )2

( )( )

( )( )

( )2

0 0 0 10 1 0 00 0 1 0

tAt

tt

tt

t

IV

xx

VC

ωω

= ⋅

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Ejercicio Ascensor

VARIABLES DE ESTADO

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

Para determinar si el sistema es controlable se debe calcular la matriz controlabilidad:

2 2 1 | | | ...| | n nU B AB A B A B A B− − = Si el rango de esta matriz es igual al número de variables de estado el sistema resultacontrolable.En este caso como el modelo tiene una sola entrada resulta una matriz cuadrada por lotanto para que resulte de rango completo se debe cumplir que .( )det 0U ≠

8 11

6 8 11

6

5

1000 196000 2.37 10 1.655 100 1.157 10 5.001 10 1.572 100 0 6944.44 3.001 100 0 0 6.806 10

U

− − × × × − × − × = − ×

×

[ ] 18det 5.47 10 U = ×

El sistema es CONTROLABLE desde la entrada VR

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Ejercicio Ascensor

=

−1

2

...nCA

CACAC

V

Para determinar si el sistema es observable se debe calcular la matriz observabilidad:

Si el rango de esta matriz es igual al número de variables de estado el sistema resultacontrolable.

En este caso el modelo tiene tres salidas por lo tanto resulta una matriz no cuadradaentonces se debe analizar el rango aplicando el método de Gauss-Jordan (Matriz triangularo diagonal).

Otro método puede ser encontrar el determinante de mayor orden no nulo.

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Ejercicio Ascensor

5

3

5 5 7 5

4

8 8 10 7

0 0 0 10 1 0 00 0 1 00 0 98 0

1157.4 236.11 1.361 10 00 6 10 0 10 0.588 0 98

5.0013 10 2.2053 10 3.2137 10 1.361 106.9444 1.41667 914.66667 0

680.556 138.833 8.9637 10 01.5722 10 1.7129 10 3.003 10 3.2137 10

V−

− − ×× −

=−

− × − × × ×− −− − ×

× × × − ×53000.77 1323.7750 1.9282 10 914.667

− − ×

Se puede armar un determinante no nulo con las filas resaltadas

El sistema es OBSERVABLE desde el conjunto de salidas.

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Ejercicio Ascensor

Se puede analizar la observabilidad individual para cada una de las salidas.Para la salida , velocidad de la cabina, la ecuación de salida tiene la siguiente forma:

2V

[ ]

( )

( )( )2

( )

( )2

0 0 0 1

tA

tt

t

t

I

Vx

C V

ω = ⋅

La matriz observabilidad para esta salida es:

5

0 0 0 10 0 98 0

0 0.588 0 98

680.556 138,833 8.963733 10 4 0

V

= − − − ×

[ ] 4det 3.921633 10 V = ×

El sistema es OBSERVABLE desde la SALIDA V2., por lo tanto cualquier conjunto desalidas que incluya a esta, dará como resultado un sistema observable.