Bab 2Teori Dasar Gelombang Gravitasi

2.1 Gravitasi terlinearisasi

Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik

ruang waktu, gab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, ηab [13]:

gab = ηab + hab, ‖hab‖ 1, (2.1)

di mana, ηab = metrik diagonal (−1, 1, 1, 1) ‖hab‖ = besaran dari komponen tidak

nol dari hab . Kondisi ‖hab‖ 1 membatasi medan gravitasi sebagai medan

yang lemah, sehingga membatasi sistem koordinat menjadi sistem koordinat

kartesian. hab menggambarkan gelombang gravitasi, tetapi memiliki derajat

kebebasan non-radiatif sehingga yang digunakan hanya suku linear pada hab

saja. Sebagai akibatnya, indeks dinaikkan dan diturunkan dengan menggu-

nakan ηab. Metrik hab bertransformasi sebagai tensor di bawah transformasi

Lorentz, tapi tidak di bawah transformasi koordinat secara umum.

Untuk menjelaskan gravitasi terlinearisasi, semua kuantitas yang diper-

lukan dihitung terlebih dahulu. Komponen Simbol Christoffel diberikan seba-

gai berikut:

Γabc =12ηad(∂chdb + ∂bhdc − ∂dhbc)

=12

(∂chab + ∂bhac − ∂ahbc). (2.2)

Indeks bagian ruang dapat ditulis sebagai ’dinaikkan’ atau ’diturunkan’ tan-

pa mengubah kuantitasnya, sedangkan operasi menaikkan dan menurunkan

indeks pada bagian waktu akan mengubah tanda.

7

2.1. GRAVITASI TERLINEARISASI 8

Tensor Riemann dapat dibangun sebagai berikut:

Rabcd = ∂cΓabd − ∂dΓabc

=12

(∂c∂bhad + ∂d∂ahbc − ∂c∂ahbd − ∂d∂bhac). (2.3)

Persamaan (2.3) dapat digunakan untuk membangun Tensor Ricci:

Rab = Rcacb =12

(∂c∂bhca + ∂c∂ahbc −hab − ∂a∂bh), (2.4)

di mana, haa = h adalah trace dari metrik gangguan hab dan ∂c∂c = ∇2−∂2t =

adalah operator gelombang

Dari persamaan (2.4) dibangun skalar kurvatur:

R = Raa = (∂c∂ahca −h). (2.5)

Kemudian persamaan (2.5) digunakan untuk membangun tensor Einstein:

Gab = Rab −12ηabR

=12

(∂c∂bhca + ∂c∂ahbc −hab − ∂a∂bh

−ηab∂c∂dhcd + ηabhab). (2.6)

Persamaan (2.6) dapat disederhanakan dengan menggunakan gangguan trace

reversed:

hab = hab −12ηabh. (2.7)

Dengan memasukkan persamaan (2.7) ke persamaan (2.6) diperoleh:

Gab =12

(∂c∂bhca + ∂c∂ahbc −hab − ηab∂c∂dhcd). (2.8)

Persamaan (2.8) dapat disederhanakan kembali dengan melakukan transfor-

masi koordinat yang dikenal sebagai transformasi gauge. Transformasi koordi-

nat infinitesimal dapat ditulis sebagai x′a = xa + ξa, di mana ξa(xb) merupakan

medan vektor infinitesimal yang berubah-ubah. Transformasi ini mengubah

metrik melalui,

h′ab = hab − 2∂aξb, (2.9)

sehingga metrik trace reversed menjadi

h′ab = h′ab −12ηabh

′

= h′ab − 2∂<bξa > +ηab∂cξc. (2.10)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 9

Untuk memenuhi radiasi, maka digunakan kondisi Lorentz gauge

∂ah′ab = 0. (2.11)

Jika metrik gangguan tidak berada di bawah Lorentz gauge, maka perlu dicari

metrik h′ab yang baru di mana ∂ah′ab:

∂ah′ab = ∂ahab − ∂a∂bξa −ξb + ∂b∂cξc (2.12)

= ∂ahab −ξb. (2.13)

Metrik gangguan hab dapat dimasukkan ke dalam Lorentz gauge dengan meng-

gunakan transformasi koordinat infinitesimal yang memenuhi

∂ah′ab = ξb. (2.14)

Dengan menemukan solusi dari persamaan gelombang (2.14), gauge Lorentz

dapat dicari.

Dengan memasukkan persamaan (2.11) ke persamaan (2.8), diperoleh:

Gab = −12hab. (2.15)

Dengan demikian, dalam gauge Lorentz, tensor Einstein tereduksi menjadi op-

erator gelombang yang bekerja pada metrik gangguan trace reversed (sampai

dengan faktor −12 ). Persamaan Einstein yang terlinearisasi dengan demikian

adalah

hab = −16πTab. (2.16)

2.2 Perambatan Gelombang Gravitasi

Dalam ruang vakum (Tab = 0),persamaan Einstein yang terlinearisasi (2.16)

tereduksi menjadi [18]:

hab = 0. (2.17)

Solusi persamaan di atas diberikan sebagai berikut:

hab = Aab exp(ikaxa) (2.18)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 10

yang jika diturunkan akan memberikan hasil sebagai berikut:

∂chab = kchab. (2.19)

Persamaan (2.17) akan mengambil bentuk yang sederhana jika diajukan kon-

disi gauge

∂ahab = 0, (2.20)

dari persamaan (2.19) dan (2.20) diperoleh

Aabka = 0. (2.21)

Hal ini berarti bahwa Aab harus tegak lurus terhadap ~k. Dengan menggunakan

kebebasan gauge lainnya, maka amplitudo gelombang gravitasi dapat dibatasi

lebih jauh dengan mengganti gauge tanpa mengubah kelas Lorentz dengan

menggunakan vector yang dapat menyelesaikan

∂c∂cξa = 0, (2.22)

yang solusinya adalah

ξa = Ba exp(ikcxc), (2.23)

dimana Ba adalah konstanta dan kc adalah null vector. ξ ini memberikan pe-

rubahan pada hab menjadi

h′ab = hab − 2∂<aξb> (2.24)

dan

h′ab = hab − 2∂<aξb> + ηab∂cξc. (2.25)

Dengan mensubtitusi persamaan (2.23) ke persamaan (2.25) lalu menghilangkan

semua faktor eksponensial yang sama diperoleh

A′ab = Aab − iBakb − iBbka + iηabBckc, (2.26)

dan Ba dapat dipilih sedemikian untuk membatasi A′ab :

Aaa = 0, (2.27)

dan

AabUb = 0, (2.28)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 11

di mana ~U merupakan kecepatan-4 tertentu, vektor unit timelike konstan yang

hendak kita pilih. Persamaan (2.21), (2.27), dan (2.28) disebut sebagai kondisi

gauge transverse traceless.

Pada latar belakang transformasi Lorentz, di mana vektor ~U merupakan ba-

sis vektor U b = δb0, maka persamaan (2.28) mengimplikasikan bahwa Aa0 = 0

untuk semua a . Dalam kerangka ini, dimisalkan gelombang merambat dalam

arah z, ~k → (ω, 0, 0, ω). Maka persamaan (2.21), (2.28) mengimplikasikan bah-

wa Aax = 0 untuk semua a. Kedua implikasi ini menunjukkan bahwa hanya

komponen Axx, Ayy, dan Axy = Ayx yang tidak nol. Dari persamaan (2.27),

maka didapat bahwa dalam bentuk matriks, kerangka ini dapat dituliskan se-

bagai berikut:

Aab =

0 0 0 0

0 Axx Axy 0

0 Axy −Axx 0

0 0 0 0

. (2.29)

Efek dari gelombang gravitasi adalah dapat mengubah jarak proper antara dua

buah partikel.

Pada ruang waktu datar, cahaya akan mengikuti lintasan garis lurus. Namun,

pada ruang-waktu lengkung, lintasan lurus yang dilalui oleh cahaya akan men-

galami deviasi dari koordinat pada ruang-waktu datar.

Sebagai contoh, misalkan terdapat 2 buah massa yang berdekatan. Massa yang

pertama terletak pada (0, 0, 0) dan massa yang kedua terletak pada (ε, 0, 0).

Dengan menggunakan persamaan deviasi geodesik,

d2

dτ2ξa = RacdbU

cUdξb (2.30)

dimana vektor ξb menghubungkan kedua partikel dan ~U = d~xdτ adalah vektor

kecepatan-4 dari kedua partikel, di mana ~U → (1, 0, 0, 0) dan pada awalnya,~ξ → (0, ε, 0, 0). Maka persamaan (2.30) tereduksi menjadi orde pertama hab:

d2

dτ2ξa = ∂2

t ξa = εRa00x = −εRa0x0. (2.31)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 12

Dengan menggunakan persamaan (2.3) untuk menunjukkan, dalam gauge TT :

Rx0x0 = Rx0x0 = −12∂

20h

xxtt ,

Ry0x0 = Ry0x0 = −12∂

20h

xytt ,

Ry0y0 = Ry0y0 = −12∂

20h

yytt , = −Rx0x0

(2.32)

dengan komponen independen lainnya menghilang. Hal ini berarti kedua par-

tikel memiliki vektor pemisahan dalam arah x:

∂2t ξx =

12ε∂2t h

TTxx , ∂2

t ξy =

12ε∂2t h

TTxy , (2.33)

dan dalam arah y:

∂2t ξy = 1

2ε∂2t h

TTyy = −1

2ε∂2t h

TTxx ,

∂2t ξx = 1

2ε∂2t h

TTxy . (2.34)

Persamaan (2.34a) dan (2.34b) akan membantu dalam menjelaskan polarisasi

gelombang gravitasi.

Gambar 2.1 (a) Lingkaran partikel sebelum gelombang merambat melewati lingkaran terse-

but dalam arah sumbu z. (b) distorsi yang dihasilkan oleh gelombang dengan

polarisasi ’+’. (c) Seperti (b) tapi dengan polarisasi ’x’

Karakteristik dari gelombang gravitasi akan lebih jelas terlihat dengan tidak

hanya mempertimbangkan dua buah partikel saja, melainkan sejumlah par-

tikel yang tersusun dalam bentuk lingkaran pada bidang x − y pada z = 0

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 13

dengan sebuah massa lainnya pada bagian pusat. Misalkan lingkaran partikel

tersebut pada awalnya diam (lihat Gambar 2.1a).

Lalu gelombang gravitasi dengan hTTxx 6= 0, hTTxy = 0 melewati lingkaran partikel

ini, maka lingkaran partikel akan terdistorsi (jarak proper relatif terhadap

massa pada pusat) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.1b, awalnya ma-

suk, lalu keluar, dimana gelombang berosilasi dan hxx berubah tanda. Jika

partikel memiliki hTTxx 6= 0 tetapi hTTxx = hTTyy = 0, maka lingkaran partikel

tersebut akan berdistorsi seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1c. Kare-

na hTTxx dan hTTxy tidak saling bergantung, maka Gambar 2.1b dan 2.1c meru-

pakan gambaran dari dua buah polarisasi yang berbeda. Polarisasi gelombang

memiliki pola seperti yang digambarkan pada Gambar 2.1 karena gravitasi

direpresentasikan oleh tensor simetrik rank-2 hcd.

2.3 Pembangkitan Gelombang Gravitasi

Persamaan medan lemah Einstein adalah

hab = −16πTab. (2.35)

Beberapa asumsi yang diambil untuk memecahkan masalah ini adalah:

1. Komponen riil yang bergantung waktu berosilasi secara sinusoidal den-

gan frekuensi Ω sebagai berikut:

Tab = Sab(xi) exp(−iωt). (2.36)

Daerah dimana Sab 6= 0 lebih kecil dibandingkan dengan panjang gelom-

bang dari gelombang gravitasi dengan frekuensi 2π/Ω.

2. Sumber bergerak lambat. Kecepatan khas di dalam daerah sumber harus

lebih kecil dari 1. Hal ini dipenuhi oleh semua sumber gravitasi kecuali

sumber yang sangat kuat.

Solusi untuk hab dari bentuk

hab = Bab(xi) exp(−iΩt) (2.37)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 14

didapatkan dengan mensubtitusi persamaan (2.37) ke persamaan (2.35):

(∇2 + Ω2)Bab = −16πTab. (2.38)

Untuk daerah di luar sumber diperlukan solusi dari persamaan (2.38) yang

menunjukkan radiasi gelombang ke luar dan yang mendominasi di daerah ger-

ak lambat. Didefinisikan r sebagai komponen radial koordinat polar dengan

titik asalnya terletak di dalam sumber. Solusi dari persamaan (2.38) adalah:

Bab =Aabr

exp(iΩr) +Zabr

exp(−iΩr) (2.39)

Suku Zab menyatakan gelombang yang merambat ke arah titik asal r = 0,

sementara suku Aab menyatakan gelombang yang merambat ke luar dari sum-

ber. Karena solusi yang dicari adalah gelombang yang diemisikan ke luar oleh

sumber, maka Zab = 0.

Pendekatan yang dilakukan untuk menentukan di dalam sumber adalah bah-

wa sumber bernilai tidak nol hanya di dalam bola dengan radius: ε 2π/Ω.

Integrasi komponen waktu dari ruas kiri persamaan (2.38) sepanjang bagian

dalam bola adalah ∫Ω2Babd3x ≤ Ω2|Bab|max4πε3/3. (2.40)

Dengan menggunakan teorema Gauss, maka integrasi komponen ruang dari

suku bagian kiri persamaan (2.38) adalah∫∇2Babd3x =

∮~n · ~∇BabdS, (2.41)

namun karena integral permukaan berada di luar sumber, dimana diberikan

oleh persamaan (2.39), yang simetris secara sferis:∮~n · ~∇BabdS = 4πε2(

d

drBab)r=ε ≈ −4πAab, (2.42)

dimana integral dari ruas kanan persamaan (2.38) didefinisikan sebagai:

Jab =∫Sabd3x. (2.43)

Dengan membatasi hasil-hasil di atas dalam limit ε→ 0, maka diperoleh

Aab = 4Jab (2.44)

hab = 4Jab exp(iω(r − t)/r) (2.45)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 15

Persamaaan (2.44) dan (2.45) merupakan pernyataan untuk gelombang grav-

itasi yang dibangkitkan oleh sumber, dimana suku dengan orde r−2 dan suku

r−1 dengan orde yang lebih tinggi dari orde εΩ diabaikan.

Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan memanfaatkan kenyataan

bahwa habmerupakan komponen dari tensor tunggal. Dari persamaan (2.43)

didapatkan

Jab exp(−iΩt) =∫Tabd3x, (2.46)

dengan konsekuensi:

−iΩJab exp(−iΩt) =∫∂tTatd3x. (2.47)

Dari hukum kekekalan untuk T ab ,

∂aTab = 0, (2.48)

disimpulkan bahwa

∂tTat = −∂kT ak. (2.49)

Sehingga

−iΩJat exp(−iΩt) =∫∂kTakd3x =

∮T aknkdS, (2.50)

dimana Teorema Gauss kembali digunakan. Hal ini berarti bahwa T ab = 0 pada

permukaan yang melingkupi volume ini, sehingga ruas kanan dari persamaan

(2.50) menghilang.

Jika Ω 6= 0, maka

Jab = 0, hab = 0. (2.51)

Pernyataan Jij juga dapat dituliskan sebagai berikut:

d2

dt2

∫T 00xlxmd3x, (2.52)

dimana integral pada ruas kanan dari persamaan (2.52) merupakan tensor mo-

men quadrupol dari distribusi massa,

I lm =∫T 00xlxmd3x (2.53)

= Dlm exp(−iΩt), (2.54)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 16

sehingga

hjk = −2Ω2Djk exp(iΩ(r − t)). (2.55)

Persamaan (2.55) sering disebut sebagai pendekatan quadrupol untuk gelom-

bang gravitasi. Persamaan (2.21) dapat dilengkapi dengan memilih kondisi

dimana gelombang merambat dalam arah z, dan dalam gauge TT sehingga

didapatkan bentuk paling sederhana dari gelombang:

hTTzi = 0 (2.56)

hTTxx = hTTyy = −Ω2(łxx − łyy) exp(iΩr/r) (2.57)

hTTxx = −2Ω2łxy exp(iΩr/r)) (2.58)

dimana

łjk = Ijk −13δjkI

ll (2.59)

disebut sebagai tensor trace-free atau tensor momen quadrupole tereduksi. So-

lusi untuk radiasi gravitasi yang teremisi pada persamaan (2.35) untuk nilai

yang berubah-ubah diberikan oleh integral retarded

hab(t, xi) = 4∫τab(t−R, yi)

Rd3x, (2.60)

dimana integral dilakukan melewati kerucut cahaya masa lalu (t, xi) dimana

hab dihitung. Misalkan titik asal berada di dalam sumber dan dimisalkan bah-

wa titik medan xi terletak jauh sekali:

|xi| ≡ r |yi| ≡ y (2.61)

sehingga turunan komponen waktu dari Tab sangat kecil, maka, di dalam inte-

gral dari persamaan (2.60), kontribusi yang dominan berasal dari pertukaran

R oleh r:

hab(t, xi) ≈4r

∫Tab(t− r, yi)d3x. (2.62)

Persamaan (2.62) merupakan generalisasi dari dari persamaan (2.45). Dengan

memanfaatkan hukum kekekalan

∂aTab = 0, (2.63)

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 17

maka akan diperoleh ∫Ttad3y = const. (2.64)

Bagian r−1 dari hta tidak ber-gantung waktu sehingga tidak akan berkontribusi

pada bidang gelombang manapun. Hal ini akan menghasilkan persamaan

(2.51). Lalu, dengan menggunakan persamaan (2.52), maka didapatkan per-

samaan generalisasi dari persamaan (2.55):

hjk(t, xi) =2r∂2t Ijk(t− r). (2.65)

Dengan menggunakan gauge TT , maka diperoleh

hTTxx = 1r [∂2

t łxx(t− r)− ∂2t łyy(t− r)]

hTTxy = 2r ∂

2t łxy(t− r)

. (2.66)

2.4 Radiasi Gravitasi Sistem Bintang Ganda

Salah satu sumber gravitasi yang sangat umum adalah sistem 2 bintang yang

mengorbit mengitari titik pusat massanya di bawah pengaruh gravitasi masing-

masing bintang. Dari seluruh sistem bintang di alam semesta ini, kurang lebih

2/3 nya merupakan sistem bintang ganda [14]. Pendekatan untuk sumber yang

bergerak lambat seperti yang dilakukan pada bagian §2.3 cukup memadai un-

tuk diterapkan pada sistem bintang ganda.

Kasus yang akan ditinjau ditunjukkan pada Gambar 2.2. Dengan menga-

sumsikan bahwa Hukum Newton cukup akurat, maka dengan memanfaatkan

Hukum Newton (gaya gravitasi = gaya sentrifugal) dan mengambil G = 1:

M2

4R2= Mω2R : ω =

(V

R

) 12

, (2.67)

dimana ω merupakan kecepatan sudut orbit.

Dari Gambar 2.2 geometri untuk kasus yang ditinjau adalah:

x1(t) = R cos(ωt), y1(t) = R sin(ωt), z1(t) = 0

x2(t) = −x1(t), y2(t) = −y1(t), z2(t) = 0.

(2.68)

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 18

Gambar 2.2 sistem bintang ganda yang mengitari titik pusat massa nya akibat pengaruh

gravitasi masing-masing bintang. Kedua bintang memiliki massa yang sama M ,

dan bergerak dengan kecepatan sudut ω

Komponen tensor momen quadrupol untuk kedua bintang dapat dihitung dari

persamaan (2.53):

Ixx = 2MR2 cos2(ωt) = MR2(1 + cos(2ωt)),

Iyy = 2MR2 sin2(ωt) = MR2(1− cos(2ωt)),

Ixy = 2MR2 sin(ωt) cos(ωt) = MR2 sin(2ωt).

(2.69)

Tensor momen quadrupol tereduksinya adalah:

łxx = −łyy = MR2 exp(−2iωt),

łyy = MR2 exp(−2iωt).

(2.70)

Dengan memasukkan persamaan (2.70) ke persamaan (2.56-2.58):

hxx = −hyy = −−8ω2MR2

r exp(−2iω(r − t)/r),

hxy = −hyy = −−8iω2MR2

r exp(−2iω(r − t)/r).

(2.71)

Dari persamaan (2.71) dapat dilihat bahwa frekuensi dari radiasi yang teremisi

adalah dua kali frekuensi orbit (Ω = 2ω) yang mengimplikasikan bahwa polar-

isasi gelombang yang diemisikan sistem bintang ganda ini merupakan polar-

isasi melingkar dimana partikel-partikel dengan elips yang tegak lurus, seperti

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 19

yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1, berotasi dengan frekuensi sudut 2ω ter-

hadap gelombang.

Sedangkan untuk radiasi gelombang gravitasi yang merambat dalam arah

sumbu x ditunjukkan oleh persamaan (2.71), namun tidak dalam gauge trans-

verse traceless-nya. Dengan menghilangkan komponen longitudinal xx dan xy

dari hij dan mengurangi trace, maka diperoleh:

hyy = −hxx = −−4ω2MR2

rexp(−2iω(r − t)/r). (2.72)

Persamaan (2.72) merupakan polarisasi linear yang sejajar dengan bidang or-

bit.