Tensorprodukte in der Physik - iap.tu- · PDF fileKedar S. Ranade ∗ Betreuer: Prof. B...

K.S.Ranade Tensorprodukte in der Physik

Technische Universitat Darmstadt - Fachbereich Mathematik

Seminar zur Mathematik, SS 2004

”Operatoralgebren und vollstandig positive Operatoren“

Tensorprodukte in der Physik

Kedar S. Ranade∗

Betreuer: Prof. B. Kummerer

Seminarvortrag: 05. Juni 2004

1 Klassische Systeme und Quantenmechanik

In diesem Abschnitt werden zunachst die Konzepte der klassischen Mechanikund der Quantenmechanik gegenubergestellt. Die Formulierung erfolgt so,daß sowohl klassische als auch Quantenmechanik als Spezialfalle einer einheit-lichen mathematischen Struktur beschrieben werden konnen.1

1.1 Klassische Mechanik und Phasenraum

Die klassische Mechanik ist durch folgende Strukturen gekennzeichnet:

1. Einem physikalischen System wird ein Phasenraum Ω zugeordnet.

2. Physikalisch meßbaren Große entsprechen Funktionen aus BC(Ω).

3. Der Zustand eines Systems wird durch ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf Ω bestimmt.

∗Homepage: http://prp0.prp.physik.tu-darmstadt.de/~ranade/1Nicht bekannte Ausdrucke entnehme man den Anhangen.

05.06.2004 TU Darmstadt Seite 1/16


Der Raum BC(Ω) bildet eine kommutative C∗-Algebra. Wahlt man einenHilbertraum H derart, daß jedem Punkt ω ∈ Ω bijektiv ein Basisvektoreω ∈ H einer Orthonormalbasis von H zugeordnet werden kann, so ist BC(Ω)mittels der Abbildung

ψ : BC(Ω) → B(H), ψ(f) :=∑ω∈Ω

f(ω) 〈 · , eω〉 eω (1)

isometrisch isomorph zur einer kommutativen C∗-Unteralgebra von B(H);ist die Machtigkeit von Ω endlich, d.h. |Ω| = n ∈ N, so kann man dieseUnteralgebra mit den n× n-Diagonalmatrizen identifizieren.

1.2 Quantenmechanik und Hilbertraum

Die Quantenmechanik beruht auf folgenden Grundlagen:

1. Einem physikalisches System wird ein C-Hilbertraum H zugeordnet.

2. Physikalisch meßbaren Großen, in der Quantenmechanik als Observablebezeichnet, entsprechen selbstadjungierten2 Operatoren aus B(H).

3. Der Zustand eines Systems wird durch ein Funktional

ϕ ∈ S[B(H)

]:= ϕ ∈ B(H)∗|ϕ ≥ 0, ϕ(1I) = 1 (2)

bestimmt.3 In der Sprache der Physik ordnet ein solcher Zustand einerObservable den Erwartungswert einer Messung dieser Observablen zu.

Die den Observablen zugeordneten selbstadjungierten Operatoren erzeugendie nicht-kommutative C∗-Algebra B(H).

1.3 Vergleich der Modelle, vereinfachende Annahmen

Die in den Abschnitten (1.1) und (1.2) aufgestellte Forderung, daß Observablenur beschrankten Funktionen bzw. Operatoren entsprechen, ist starkvereinfachend. Physikalische Großen wie Ort, Impuls und Energie sind imallgemeinen unbeschrankt.

Unter den genannten Einschrankungen kann man also sowohl klassischeals auch quantenmechanische Systeme durch C∗-Unteralgebren von B(H)beschreiben; im ersteren Fall ist diese eine kommutative C∗-Unteralgebravon B(H), im letzteren ganz B(H).

2Fur beschrankte lineare Operatoren ist dies aquivalent zu hermitesch.3S[B(H)

]=ϕ ∈ B(H)∗|ϕ ≥ 0, ‖ϕ‖ = 1

wegen ϕ ≥ 0 ⇔ ‖ϕ‖ = ϕ(1I) in C∗-Algebren



Insbesondere heißt das, daß ein quantenmechanisches System genau dannklassisch beschrieben werden kann, wenn man nur physikalische Großenbetrachtet, fur die die zugehorigen Operatoren kommutieren.

Im weiteren Text werden vereinfachend meist Hilbertraume mit endlicherDimension n ∈ N betrachtet. Der einfachste nichttriviale Fall ist hierbein = 2. Ein solches System bezeichnet man in der Quanteninformationstheorieals Qubit ; der Prototyp ist ein Teilchen mit Spin 1/2.

1.4 Zustande und Dichtematrizen

Ist dimH = n, so entspricht jedes Funktional ϕ ∈ B(H)∗ einer n×n-Matrix:

ϕ ∈ B(H)∗ ⇔ ∃! ρ ∈Mn(C) : ϕ(A) = Spur(ρA) ∀A ∈ B(H) (3)

Fur das Funktional ϕ und die Matrix ρ gelten die Zusammenhange

ϕ = ϕ∗ ⇔ ρ = ρ∗, ϕ ≥ 0 ⇔ ρ ≥ 0, ‖ϕ‖ = Spur |ρ|, (4)

so daß folgende isometrische Isomorphien bestehen:

B(H)∗ ∼= Mn(C) und S[B(H)

] ∼= ρ ∈Mn(C)| ρ ≥ 0, Spur ρ = 1 . (5)

Die einem Zustand ϕ zugeordnete Matrix ρ heißt Dichtematrix 4 und manspricht sehr oft auch vom Zustand ρ.

Im Fall unendlichdimensionaler Hilbertraume definiert jeder Spurklasse-operator ρ ∈ T (H) ein Funktional auf B(H); die Umkehrung gilt jedoch imallgemeinen nicht.

1.5 Reine und gemischte Zustande

Die Menge der Zustande S[B(H)

]ist schwach-∗-kompakt und konvex. Ist

ein Zustand ϕ extremal, d.h.

ϕ = λϕ1 + (1− λ)ϕ2, ϕ1, ϕ2 ∈ S[B(H)

], λ ∈ (0; 1) ⇒ ϕ1 = ϕ2 = ϕ, (6)

so wird er als reiner Zustand, andernfalls als gemischter Zustand bezeichnet.Letztere ergeben sich dem Satz von Krein-Milman als abgeschlossene konvexeHulle der reinen Zustande.5

4synonym Dichteoperator, statistische Matrix oder statistischer Operator5Die Uberlegung gilt auch im klassischen Fall. Die reinen Zustande sind hier die Punkt-

maße, die einem genau festgelegten Phasenraumpunkt entsprechen.



Ein Zustand ϕ ist genau dann rein, wenn die ihm zugeordnete Dichtematrix ρeine (notwendig eindimensionale) Projektion ist, d.h.

ϕ ist reiner Zustand ⇔ ∃Ψ ∈ H, ‖Ψ‖ = 1 : ρ = 〈 · ,Ψ〉Ψ. (7)

Der Zustandsvektor Ψ ist bis auf eine Phase eindeutig; umgekehrt ist jederEinheitsvektor aus H Zustandsvektor eines reinen Zustands.

2 Zusammengesetzte Systeme

In diesem Abschnitt sollen physikalische Systeme betrachtet werden, dieaus mehreren Untersystemen aufgebaut sind. Der Einfachheit halber werdennur bipartite Systeme, d.h. Systeme, die aus zwei Untersystemen A und Bzusammengesetzt sind, betrachtet.

2.1 Motivation des Tensorproduktes

Seien zwei (klassische oder quantenmechanische) Systeme mit den Hilbert-raumen HA und HB gegeben und deren Zustande durch Dichtematrizen ρA

und ρB festgelegt. Es erfolgen an beiden Sytemen unabhangig Messungen,die durch Projektionen PA und PB charakterisiert seien.

Besteht zwischen den Systemen keine Wechselwirkung, so erwartet man,daß die durch die Projektionen definierten Ereignisse EA und EB statistischunabhangig sind, d.h. daß fur die Wahrscheinlichkeiten gilt:

P (EA ∧ EB) = P (EA) · P (EB) = Spur(ρAPA

)· Spur

(ρBPB

)(8)

Fur zwei selbstadjungierte Operatoren mit ihren Spektralzerlegungen

A =∑i∈I

aiPA,i ∈ B(HA) und B =∑j∈J

bjPB,j ∈ B(HB) (9)

ist der Erwartungswert der Produktes beider Meßergebnisse aufgrund derstatistischen Unabhangigkeit der Messungen das Produkt der Erwartungs-werte der Einzelmessungen und bestimmt sich damit zu

〈AB〉 = 〈A〉 · 〈B〉 = Spur(ρAA

)· Spur

(ρBB

). (10)

Fur die zusammengesetzte Observable AB fur das Gesamtsystems gilt alsoAB ∈ Bil(B(HA)∗,B(HB)∗) und wegen B(H)∗ ∼= T (H) fur dimH < ∞ istAB eine Bilinearform auf T (HA)× T (HB) und somit

AB := A⊗B ∈ B(HA)⊗ B(HB) = B(HA ⊗HB) (11)

Die Algebra der Operatoren des zusammengesetzten Systems ist also durchdas Tensorprodukt B(HA⊗HB) gegeben.



2.2 Zustande im zusammengesetzten System

Seien A ⊆ B(HA) und B ⊆ B(HB) die Algebren der Operatoren der Unter-systeme A und B. Fur zwei beliebige reine Zustande ϕA und ϕB in denUntersystemen ist auch das Tensorprodukt ϕA ⊗ ϕB ∈ A∗ ⊗ B∗ ∼= (A⊗ B)∗

ein reiner Zustand. Konvexkombinationen von Zustanden der Form

ϕ =∑j∈J

pj (ϕA,j ⊗ ϕB,j) , pj ≥ 0 ∀j ∈ J,∑j∈J

pj = 1, (12)

sind dann ebenfalls Zustande im Produktraum. Die so definierten Zustandenennt man separabel6.

Ist eine der Operatoralgebren (o.B.d.A. A) kommutativ, so gibt es eineOrthonormalbasis ei| i ∈ I von HA, so daß jeder positive Operator A ∈ Ain der Form A =

∑i∈I ai 〈 · , ei〉 ei mit ai ∈ R+

0 ∀i ∈ I dargestellt werdenkann; fur einen Zustand ϕ ∈ S(A⊗ B) und i ∈ I definiert man dann:

ϕA,i ∈ S(HA) ϕA,i(A) := Spur(A 〈 · , ei〉 ei) = ai (13)

ϕB,i ∈ S(HB) ϕB,i(B) := p−1i ϕ(〈 · , ei〉 ei ⊗B) (14)

pi := ϕ(〈 · , ei〉 ei ⊗ 1I) (15)

Unter Verwendung dieser Definitionen folgt nach (12), daß alle Zustande inder Tensorproduktalgebra separabel sind, falls mindestens eine der Operator-algebren der Untersysteme kommutativ ist.

3 Verschrankte Zustande

In diesem Abschnitt werden nicht separable Zustande betrachtet; dieseZustande nennt man verschrankt7. Die Verschrankung ist fur viele Effekteverantwortlich, die in der klassischen Physik nicht vorkommen.

3.1 Existenz verschrankter Zustande

Zunachst sollen verschrankte Zustande explizit konstruiert werden. Hierzuseien zwei Systeme A und B mit geeigneten Hilbertraumen HA und HB

gegeben.Ferner seien ΨA,1,ΨA,2 ∈ HA und ΨB,1,ΨB,2 ∈ HB Zustandsvektoren mit

〈ΨA,1,ΨA,2〉 = 0 oder 〈ΨB,1,ΨB,2〉 = 0 gegeben und

Ψges :=[ΨA,1 ⊗ΨB,1 + ΨA,2 ⊗ΨB,2

]/√

2 ∈ HA ⊗HB. (16)

6auch faktorisierbar oder klassisch korreliert7Verschrankung – engl. entanglement, verschrankt – engl. entangled



Der Vektor Ψges definiert als Einheitsvektor inHA⊗HB einen reinen Zustand,ist jedoch nicht als Tensorprodukt von zwei reinen Zustanden in der FormΨA ⊗ ΨB darstellbar, d.h. nicht separabel. Das typische Beispiel fur solcheZustande ist die Bell-Basis (17).8

Physikalisch interpretiert man die Verschrankung, indem man sagt, daßeine Eigenschaft uber mehrere Untersysteme verteilt ist; dies bedeutet, einesolche Eigenschaft bestimmt sich durch (nicht-klassische) Korrelationen derUntersysteme.

3.2 Maximal verschrankte Systeme

Betrachtet man ein zusammengesetztes System aus zwei klassischen Unter-systemen, so ist die Einschrankung eines beliebigen reinen Zustands auf einedes Untersysteme wieder ein reiner Zustand im Untersystem. Das folgendeBeispiel zweier Qubits zeigt, daß dies im quantenmechanischen Fall nichtmehr gilt.

Seien HA und HB Qubit-Hilbertraume mit OrthonormalbaseneA0 , e

A1

und

eB0 , e

B1

. Dann definieren die Vektoren

Φ+ =[eA0 ⊗ eB

0 + eA1 ⊗ eB

1

]/√

2 Φ− =[eA0 ⊗ eB

0 − eA1 ⊗ eB

1

]/√

2

Ψ+ =[eA0 ⊗ eB

1 + eA1 ⊗ eB

0

]/√

2 Ψ− =[eA0 ⊗ eB

1 − eA1 ⊗ eB

0

]/√

2 (17)

die sogenannte Bell-Basis des Zwei-Qubit-Hilbertraumes. Fur die zugeord-neten Dichtematrizen ρ = 〈 · , χ〉χ, χ ∈ Ψ+,Ψ−,Φ+,Φ−, bestimmen sichdie reduzierten Dichtematrizen zu

ρA := SpurHBρ =

1

21IHA

und ρB := SpurHAρ =

1

21IHB

. (18)

Die einzelnen Qubits enthalten also keine Information uber die Korrelationendes Gesamtsystem. Einen solchen Zustand nennt man maximal verschrankt.

3.3 Maße fur Verschrankung

Es ist moglich, Verschrankung quantitativ zu erfassen; dies geschieht unterVerwendung von Großen, die man als Verschrankungsmaße bezeichnet.

Betrachtet man zwei Systeme mit Hilbertraumen der gleichen Dimensionn ∈ N, so wird fur reine, durch ihre Dichtematrix ρ festgelegte Zustande imTensorproduktraum die von-Neumann-Entropie der reduzierten Dichtematrixwie folgt definiert:9

E(ρ) := S(ρA) = S(ρB) (19)

8Fur eine genauere Betrachtung von Verschrankungskriterien vgl. Anhang A.9Fur eine Definition der Entropie vgl. Anhang A.



Das Verschrankungsmaß E hat unter anderem folgende Eigenschaften:

• E(ρ) ∈ [0; k log2 n]

• E(ρ) = 0 ⇔ ρ ist separabel

• E(ρ) = k log2 n⇔ ρ ist maximal verschrankt

Auf die genauen Eigenschaften von E kann hier nicht eingegangen werden, esist jedoch festzuhalten, daß E durch sogenannte LOCC-Operationen10, d.h.Operationen, die an den Untersystemen durchgefuhrt werden konnen, ohnedaß diese unmittelbar miteinander wechselwirken mussen, nicht wachst. Esist allerdings moglich, aus vielen schwach verschrankten Zustanden wenigemaximal verschrankte Zustande zu erzeugen; dies nennt man Destillierenvon Verschrankung.

Es muß jedoch angemerkt werden, daß die Konstruktion eines solchenVerschrankungsmaßes fur gemischte Zustande wesentlich komplizierter ist.

4 Anwendungen I: Bellsche Ungleichung

Nach der im wesentlichen bis heute anerkannten Formulierung der Quanten-mechanik, die um 1925 erfolgte, kam die Frage auf, ob die Quantenmechanikeine lokal-realistische Theorie sei, d.h. eine Theorie, bei der das Ergebniseiner Messung, die nur an einem Teilsystem ausgefuhrt wird, unabhangigvon Messungen an raumlich11 entfernten Teilsystemen ist (Lokalitat) unddurch verborgene Parameter determiniert wird (Realitat).

Diese Frage wurde unter Verwendung verschrankter Zustande verneint.

4.1 Bloch-Kugel und Bloch-Vektor

Der Zustand eines einzelnen Qubits kann durch einen Bloch-Vektor~s = (sx, sy, sz)

t ∈ B1(0)R3 beschrieben werden. Fur die Dichtematrix ρ giltdann:

ρ = ρ(~s) =1

2

[1I +

∑k∈x,y,z

σk · sk

]=

1

2

[1I + ~σ · ~s

](20)

Man spricht hierbei von der Bloch-Kugel ; es gilt ferner (ρ rein ⇔ ‖~s‖ = 1).Die Bloch-Kugel ist damit auch isometrisch isomorph zu S

[B(C2)

], und

zu einem Bloch-Vektor ~s ∈ S2 definiert man den zugehorigen Operator zu(+1) ρ(~s) + (−1) ρ(−~s) = ~σ · ~s mit den Eigenwerten +1 und −1.

10engl. fur local operations and classical communication11insbesondere auch fur raumartig voneinander getrennte Messungen, d.h. fur solche

Messungen, bei denen das Licht zwischen zwei Messungen nicht vom einen zum anderenTeilsystem gelangen kann



4.2 Anwendungen I: Bellsche Ungleichung

Die folgende Uberlegung wurde durch John S. Bell12 angestellt: Betrachtetwerden zwei raumlich voneinander getrennte Qubits an denen unabhangigvoneinander Messungen durchgefuhrt werden, die durch normierte Bloch-Vektoren ~a,~b ∈ S2 beschrieben werden. Einschrankend werde angenommen,daß im Fall ~a = ~b stets entgegengesetzte Meßwerte angenommen werden.13

Geht man davon aus, daß die Teilchen nicht wechselwirken, so erwarteteine lokal-realistische Theorie, daß ein Parameter14 λ ∈ Λ derart existiert,daß das Meßergebnis der einzelnen Messungen durch Funktionen der Form

A,B : S2 × Λ → −1,+1 mit B(~a, λ) = −A(~a, λ)∀~a ∈ S2 (21)

beschrieben werden kann.Bezeichnet man mit P (~a,~b) den Erwartungswert fur das Produkt beider

Meßergebnisse, so ergibt sich unter Verwendung einer Wahrscheinlichkeits-dichte ρ : Λ → [0; 1],

∫λ∈Λ

ρ (λ) dλ = 1, fur den Parameter λ:

P (~a,~b) =

∫λ∈Λ

ρ (λ)A(~a, λ)B(~b, λ) dλ (22)

= −∫

λ∈Λ

ρ (λ)A(~a, λ)A(~b, λ) dλ. (23)

Unter Verwendung eines dritten normierten Bloch-Vektors ~c folgt:

P (~a,~b)− P (~a,~c) =

∫λ∈Λ

ρ(λ)[A(~a, λ)A(~c, λ)− A(~a, λ)A(~b, λ)

]dλ (24)

=

∫λ∈Λ

ρ(λ)A(~a, λ)A(~b, λ)[A(~b, λ)A(~c, λ)− 1

]dλ. (25)

Betrachtet man die Betrage der Ausdrucke, so folgt mit |A( · , λ)| = 1 fur

beliebige normierte Bloch-Vektoren ~a, ~b, ~c ∈ S2 die Bellsche Ungleichung :

|P (~a,~b)− P (~a,~c)| ≤∫

λ∈Λ

ρ (λ)[1− A(~b, λ)A(~c, λ)

]dλ = 1 + P (~b,~c). (26)

Man betrachtet nun den durch den Vektor Ψ− beschriebenen Zustand undberechnet die quantenmechanische Vorhersage fur P (~a,~b):

P (~a,~b) = Spur[(⟨

· ,Ψ−⟩Ψ−)(

(~σ·~a)⊗(~σ·~b))]

= −~a·~b = − cos ^(~a,~b) (27)

Man erkennt, daß die Ungleichung z.B. fur die Wahl ^(~a,~b) = ^(~b,~c) = π/3und ^(~a,~c) = 2π/3 verletzt und die Quantenmechanik somit keine lokal-realistische Theorie ist.

12in ”On the Einstein-Podolsky-Rosen-Paradox“, Physics Vol. 1 (1964), S. 195 – 20013Dies kann z.B. durch den Bell-Zustand Ψ−, das Spin-Singulett, realisiert werden.14Genaugenommen mußte man sagen, daß Λ ein Maßraum ist usw.



5 Anwendungen II: Quantenkryptographie

Verschrankte Zustande erlauben es, zwischen zwei Parteien, Alice und Bob15,Nachrichten sicher zu ubertragen. Dies beruht darauf, daß diese Parteiendurch Messung ihrer Zustande einen sicheren Schlussel erzeugen konnen.

5.1 Das One-time-pad

Das One-time-pad ist ein theoretisch sicheres Verfahren zur Ubertragungeiner Nachricht (ni)i∈1,...,n ∈ Fn

2 . Voraussetzung hierbei ist, daß Alice undBob sich einen geheimen zufalligen Schlussel (si)i∈1,...,n ∈ Fn

2 teilen.Alice erzeugt mittels der Vorschrift ti := ni ⊕ si den zu ubermittelnden

Text. Da der Schlussel zufallig ist, ist der verschlusselte Text auf Fn2 gleich-

verteilt, so daß dieser keine Ruckschlusse auf die Nachricht zulaßt. Bob kenntden geheimen Schlussel und kann den empfangenen Schlusseltext durch dieVorschrift ni = ti ⊕ si entschlusseln.

Durch das One-time-pad reduziert sich die sichere Ubertragung einerNachricht auf die sichere Erzeugung eines geheimen Schlussels. Nur dieseSchlusselerzeugung wird durch ein quantenmechanisches Protokoll behandelt,und man spricht daher auch von engl. quantum key distribution (QKD).

5.2 Schlusselerzeugung: Lo-Chau-Protokoll

Im folgenden wird kurz das modifizierte Lo-Chau-Protokoll16 zur Erzeugungeines geheimem Schlussels beschrieben:

1. Alice erzeugt 2n Qubit-Paare, die jeweils durch den ZustandsvektorΦ+ ∈ HA ⊗HB beschrieben werden.

2. Alice wahlt ein zufalliges Element b ∈ F2n2 und fuhrt eine Hadamard-

Transformation der Form 1IA ⊗ HB an denjenigen Qubit-Paaren aus,fur die bi = 1 ist.

3. Alice sendet den die zweite Halfte der Paare an Bob.

4. Bob empfangt die Qubits und gibt dies offentlich bekannt.

5. Alice wahlt zufallig n der Qubit-Paare aus, die als Testbits dienen.

15Ublicherweise wird bei einer Ubertragung der Sender ”Alice“ und der Empfanger ”Bob“genannt; ein eventueller Lauscher heißt ”Eve“ (von engl. eavesdropping – Abhoren).

16vgl. [NiCh00] oder Peter W. Shor, John Preskill: ”Simple Proof of Security of theBB84 Quantum Key Distribution Protocol“, Phys. Rev. Lett 85 (2000), S. 441 – 444



6. Alice veroffentlicht b und die Positionen der Testbits.

7. Bob invertiert Alices Hadamard-Transformationen aus Schritt 2 unterVerwendung von b.

8. Alice und Bob messen die Testbits in der z-Basis17 und vergleichen ihreErgebnisse. Ist die Fehlerrate zu hoch, bricht das Protokoll ab.

9. Alice und Bob wenden Fehlerkorrekturverfahren18, um dadurch m ≤ ndurch Ψ beschriebene Zwei-Qubit-Zustande zu erhalten.

10. Alice und Bob messen die Qubits in der z-Basis; die Meßergebnissebilden dann ihren geheimen Schlussel.

Es kann gezeigt werden, daß das Protokoll im Rahmen der Quantenmechaniktheoretisch sicher ist, sofern die Fehlerrate nicht zu hoch ist. Das beschriebeneProtokoll ist allerdings derzeit nicht experimentell realisierbar.

Anhang A: Begriffe und Bezeichnungen

Stetige Funktionen

Fur einen lokal-kompakten topologischen Raum Ω ist die Menge

BC(Ω) := f : Ω → R| f beschrankt und stetig (28)

mit der Supremumsnorm ‖f‖ := supx∈Ω |f(x)| eine kommutative C∗-Algebra.

Hilbertraume und Operatoren, Dualraum

Im Text bezeichnetH stets einen Hilbertraum uber den komplexen Zahlen Cmit linkslinearem Skalarprodukt 〈 · , · 〉 : H×H → C.Die Menge der beschrankten linearen Operatoren auf H

B(H) := T : H → H|T linear und beschrankt (29)

ist bzgl. der Operatornorm ‖T‖ := supx∈H,‖x‖=1 ‖Tx‖ eine C∗-Algebra.19

Zu einem Operator T ∈ B(H) bezeichnet T ∗ (in der Physik meist T †)die Adjungierte. Ist T = T ∗, so nennt man den Operator T selbstadjungiert ;er wird positiv (genauer positiv semidefinit) genannt, falls er zusatzlich nurnicht-negative Spektralwerte besitzt; hierfur schreibt man T ≥ 0.

17Alice mißt bzgl.eA0 ⊗ 1I, eA

1 ⊗ 1I, Bob bzgl.

1I⊗ eB

0 , 1I⊗ eB1

18Diese Fehlerkorrekturverfahren sind zu kompliziert, um hier beschrieben zu werden.19aquivalent: B(H) := T : H → H|T linear und stetig



Indexmengen werden mit I und J bezeichnet; oft (aber nicht durchgehend)wird I fur die Orthonormalbasis eines Hilbertraums verwendet und J fursonstige Indexmengen.

Fur einen Einheitsvektor Ψ ∈ H bezeichnet 〈 · ,Ψ〉Ψ die Projektion aufden eindimensionalen Unterraum CΨ ⊆ H; ist ei| i ∈ I eine Orthonormal-basis von H so gilt

∑i∈I 〈 · , ei〉 ei = 1I.

Fur einen normierten Vektorraum E ist der Dualraum gegeben durch

E∗ := ϕ : E → C|ϕ linear und stetig . (30)

Spur eines Operators, Spurklasseoperatoren

Ist der Ausdruck summierbar, so wird fur einen Operator T ∈ B(H) die Spurdefiniert durch

SpurT :=∑i∈I

〈Tei, ei〉 , (31)

wobei ei| i ∈ I eine Orthonormalbasis von H ist. Die Spur ist unabhangigvon der Wahl der Basis und fur T ≥ 0 zumindest bestimmt divergent.

Die Menge der Spurklasseoperatoren

T (H) := T : H → H| Spur |T | <∞ ⊆ B(H) (32)

ist ein abgeschlossenes zweiseitiges ∗-Ideal von B(H). Es ist |T | :=√T ∗T ≥ 0,

und bzgl. der Spurnorm ‖T‖1 := Spur |T | ist der Raum T (H) ein Banach-raum derart, daß

ϕ ∈ T (H)∗ ⇒ ∃!T ∈ B(H) : ϕ(S) = Spur(T ∗S) ∀S ∈ T (H). (33)

gilt, d.h. (T (H), ‖ · ‖1)∗ ∼= B(H).

Endlichdimensionale Hilbertraume

Jeder komplexe Hilbertraum H der Dimension n ∈ N ist isomorph zu Cn,und es gilt unter Verwendung der komplexen n× n-Matrizen:

B(H) = T (H) ∼= Mn(C) := (aij)i,j=1,...,n| aij ∈ C ∀i, j = 1, . . . , n (34)

Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen sind gegeben durch

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

), (35)

und man faßt sie zusammen zu ~σ = (σx, σy, σz)t.



Bitfolgen

Uber dem endlichen Korper F2 := 0, 1 wird die Menge

Fn2 = 0, 1n mit |Fn

2 | = 2n (36)

bzgl. der Operation”⊕“ (bitweise Addition modulo 2) zu einem Vektorraum

der Dimension dim Fn2 = n.

Messungen in der Quantenmechanik

Eine von-Neumann-Messung ist durch Projektionen Pj| j ∈ J auf demHilbertraum H bestimmt, die folgende Eigenschaften erfullen:

PiPj = δijPi ∀i, j ∈ J und∑j∈J

Pj = 1I (37)

Mit einem Zustand ϕ und der zugeordneten Dichtematrix ρ ergibt sich dieWahrscheinlichkeit fur das Eintreten eines durch Pi bezeichneten Ereignisseszu ϕ(Pi) = Spur(ρPi).

Ein selbstadjungierter Operator A ∈ B(H) definiert eine Zerlegung von Hin Eigenraume und hierdurch eine von-Neumann-Messung. Sein Erwartungs-wert ergibt sich somit zu ϕ(A) = Spur(ρA).

Die moglichen Meßwerte sind die Eigenwerte des Operators.

von-Neumann-Entropie

Fur eine Zahl k ∈ R+ und eine Dichtematrix ρ mit den Eigenwerten λj (mitihrer Vielfachheit) ist die von-Neumann-Entropie definiert durch

S(ρ) := −k Spur(ρ log2 ρ) = −k∑

j∈J,λj 6=0

λj log2 λj (38)

Wegen∑

j∈J λj = 1 und λj ∈ R+0 ∀j ∈ J sie ist null fur reine Zustande

und maximal, falls ρ ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. In der Quanten-informationstheorie ist dabei k = 1.

Hadamard-Transformation

Die Hadamard-Transformation wirkt auf die Zustandsvektoren eines Qubit-Systems wie die Matrix

H = H∗ = H−1 =1√2

(1 11 −1

)(39)



Sonstige verwendete Bezeichnungen

∧ logisches UND.δik = 1 fur i = k, 0 fur i 6= k Kronecker-SymbolR+ = x ∈ R|x > 0 positive reelle ZahlenR+

0 = R+ ∪ 0 nicht-negative reellen Zahlen

B1(0)R3 = x ∈ R3| ‖x‖ ≤ 1 abgeschlossene Einheitskugel in R3

S2 = ∂B1(0)R3 = x ∈ R3| ‖x‖ = 1 Einheitssphare in R3.Bil(E,F ) Bilinearformen auf E × F

Kriterien fur Verschrankung bei reinen Zustanden

Fur jeden reinen Zustand ρ = 〈 · ,Ψ〉Ψ in HA⊗HB existieren Orthonormal-systeme

eA

j | j ∈ J

undeB

j | j ∈ J

in HA und HB, so daß man folgendeSchmidt-Zerlegung20 erhalt:

Ψ =∑j∈J

λj eAj ⊗ eB

j , λj ≥ 0 ∀j ∈ J,∑j∈J

λ2j = 1. (40)

Die reduzierten Dichtematrizen ergeben sich also zu

ρA =∑j∈J

λ2j

⟨· , eA

j

⟩eA

j und ρB =∑j∈J

λ2j

⟨· , eB

j

⟩eB

j . (41)

Dies bedeutet, ρA und ρB sind genau dann rein, d.h. Projektionen, wenn einIndex k ∈ J existiert, so daß λj = δjk ∀j ∈ J ist. Insbesondere ist ein reinerZustand also genau dann separabel, wenn diese Bedingung erfullt ist.

Zusammenfassend gilt also:

E(ρ) = 0 ⇔ ρA, ρB rein ⇔ ∃ k ∈ J : λj = δjk ⇔ ρ separabel

E(ρ) 6= 0 ⇔ ρA, ρB gemischt ⇔ @ k ∈ J : λj = δjk ⇔ ρ verschrankt (42)

20Diese Zerlegung folgt aus polarer und Singularwertzerlegung; vgl. hierzu [NiCh00].



Anhang B: Tensorprodukte

In diesem Abschnitt beginnt die Numerierung einer Orthonormalbasisabweichend zum ubrigen Text mit

”1“ statt mit

”0“. Des weiteren wird die

Indexkonvention i, k ∈ 1, . . . , n, j, l ∈ 1, . . . ,m verwendet.

Veranschaulichung des Tensorproduktes

Seien n,m ∈ N und HA := Cn,HB := Cm Hilbertraume mit den Ortho-normalbasen

eA1 , . . . , e

An

⊆ HA und

eB1 , . . . , e

Bm

⊆ HB. (43)

Dann ist die MengeeA

i ⊗ eBj | i, j

eine Orthonormalbasis von HA⊗HB und

mittels der Abbildung

ψ : HA ⊗HB → Cnm, ψ

(∑i,j

cijeAi ⊗ eB

j

):=∑i,j

cijeij (44)

ist das TensorproduktHA⊗HB isomorph zu Cnm, wobei eij| i, j eine Ortho-normalbasis von Cnm ist. In Vektordarstellung werden die Komponenten inder Reihenfolge

f(i−1)m+j := eij = ψ(eAi ⊗ eB

j ) (45)

d.h. f1 = e11, f1 = e12, . . . , fm = e1m, fm+1 = e21, . . . , fnm = enm, angeordnet.

Abbildung in den Produktraum, Skalarprodukt

Je einem Vektor ausHA undHB wird mittels folgender Abbildung ein Vektorim Tensorproduktraum zugeordnet:

⊗ : HA ×HB −→ HA ⊗HB (46)(n∑

i=1

vieAi

)⊗

(m∑

j=1

wjeBj

)7−→

∑i,j

viwjeij (47)

In HA ⊗HB gilt fur jedes Skalarprodukt die Gleichung:⟨∑i,j

αijeij,∑k,l

βklekl

⟩=∑i,j,k,l

αijβkl 〈eij, ekl〉︸︷︷︸=δikδjl

=∑i,j

αijβij. (48)

Damit gilt 〈v1 ⊗ w1, v2 ⊗ w2〉 = 〈v1, v2〉 · 〈w1, w2〉 , v1, v2 ∈ HA, w1, w2 ∈ HB.



Operatoren im Tensorproduktraum

Jeder lineare Operator auf dem Tensorproduktraum kann durch eine MatrixC = (cij,kl) ∈Mnm(C) dargestellt werden und hat die Form

C =

C11 . . . C1n...

. . ....

Cn1 . . . Cnn

mit Cik =

ci1,k1 . . . ci1,km...

. . ....

cim,k1 . . . cim,km

∈Mm(C). (49)

Fur A ∈Mn(C) und B ∈Mm(C) definiert man

A⊗B = (aik)⊗ (bjl) := (aik · bjl) ∈Mnm(C), (50)

Hieraus folgt (A ⊗ B)(v ⊗ w) = (Av) ⊗ (Bw)∀ v ∈ HA, w ∈ HB und(A⊗B)(C ⊗D) = (AC)⊗ (BD)∀C ∈Mn(C), D ∈Mm(C).

Partielle Transposition

Fur C = (cij,kl) ∈Mnm(C) wird die partielle Transposition definiert durch:21

CTHA := (ckj,il) =

C11 . . . Cn1...

. . ....

C1n . . . Cnn

, CTHB := (cil,kj) =

CT11 . . . CT

1n...

. . ....

CTn1 . . . CT

nn

(51)

Es gilt CT = CTATB = CTBTA .

Partielle Spur

Fur C = (cij,kl) ∈Mnm(C) ist Spur uber einen Faktor ist gegeben durch

SpurHAC :=

n∑i=1

Cii ∈Mm(C) (52)

(SpurHBC)ik :=

m∑j=1

cij,kj = (SpurCik)ik ∈Mn(C) (53)

Es gilt SpurC = SpurHASpurHB

C = SpurHBSpurHA

C.

21Die partielle Transposition wird im Text zwar nicht benotigt, man verwendet sieaber fur das Peres-Horodecki-Kriterium, welches fur Zwei-Qubit-Systeme besagt, daß dieAussage ”ρ separabel ⇔ ρA ≥ 0 ⇔ ρB ≥ 0“ gilt und im Gegensatz zu den im Textangesprochenen Kriterien auch fur gemischte Zustande gultig ist.



Literatur

[Kumm04] Burkhard Kummerer:

”Operatoralgebren“/

”C∗-Algebren“

Vorlesung (WS 2003/04), Mitschrift des Verfassers

[NiCh00] Michael A. Nielsen, Issac L. Chuang:

”Quantum Computation and Quantum Information“

Cambridge University Press, 2000

[Pres98] John Preskill:

”Quantum Information and Computation“

Vorlesungsskript (ca. 1998), verfugbar unterhttp://www.theory.caltech.edu/people/preskill/

[Keyl02] Michael Keyl:

”Fundamentals of Quantum Information Theory“

Quelle: arXiv:quant-ph/0202122 v1 21 Feb 2002

[Kumm88] Burkhard Kummerer:

”Mathematische Grundlagen der quantenstatistischen Mechanik“

Vorlesungsskript (SS 1988), nicht offentlich verfugbar

[Maas03] Hans Maassen:

”Quantum Probability, Quantum Information Theory,

Quantum Computing“Vorlesungsskript (SS 2003), Quelle:http://www.math.kun.nl/~maassen/lectures/qpqiqc.ps.gz

[KuMa98] Burkhard Kummerer, Hans Maassen:

”Elements of Quantum Probability“

Quantum Probability Communications, X (1998) 73-100,alternativhttp://www-math.sci.kun.nl/math/onderzoek/reports/

→rep1996/rep9615.ps.gz


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