T.D. Cinématique 2 - Corrigé

Exercice n°1

- coordonnées cylindriques : OM→→→→

= r er→→→→

+ z z→→→→

v→

(M/R) = d OM

→

dt R = d (r er

→ + z z

→)

dt R = r. er→

+ r d er

→

dt R + z. z→

= r. er→

+ r θ. z→

∧ er→

+ z. z→

soit v→→→→

(M/R) = r.... er→→→→

+ r θθθθ.... eθθθθ→→→→

+ z.... z→→→→

a→

(M/R) = d v

→(M/R)dt R = r

........er→

+ r....

d er→

dt R + r.... θ.... eθ→

+ r θ........

eθ→

+ r θ....

d eθ→

dt R + z........

z→

avec d eθ

→

dt R = θ.... z→

∧ eθ→

= - θ.... er→

finalement a→→→→

(M/R) = ( r........

- r θθθθ....

2 ) er→→→→

+ ( 2 r.... θθθθ.... + r θθθθ

........ ) eθθθθ

→→→→ + z

........ z→→→→

- coordonnées sphériques: OM→→→→

= ρρρρ eρρρρ→→→→

v→

(M/R) = d OM

→

dt R = d (ρ eρ

→ )

dt R = ρ. eρ→

+ ρ deρ

→

dt R = ρ. eρ→

+ ρ ( θ. z→

+ ϕ. eθ→

) ∧ eρ→

soit v→→→→

(M/R) = ρρρρ.... eρρρρ→→→→

+ ρρρρ θθθθ.... sin ϕϕϕϕ eθθθθ

→→→→ + ρρρρ ϕϕϕϕ

.... eϕϕϕϕ→→→→

a→

(M/R) = d v

→(M/R)dt R = ρ........ eρ

→ + ρ. deρ

→

dt R + ρ. θ.... sin ϕ eθ

→ + ρ θ

........ sin ϕ eθ

→ + ρ θ

.... ϕ.... cos ϕ eθ

→ + ρ θ

.... sin ϕ

d eθ→

dt R

+ ρ. ϕ.... eϕ→

+ ρ ϕ........ eϕ→

+ ρ ϕ....

d eϕ→

dt R

avec d eθ

→

dt R = - θ.... er→

deρ

→

dt R = ( θ. z→

+ ϕ. eθ→

) ∧ eρ→

= θ. sin ϕ eθ

→ + ϕ

. eϕ→

d eϕ

→

dt R = ( θ. z→

+ ϕ. eθ→

) ∧ eϕ→

= θ.... cos ϕ eθ

→ - ϕ

.... eρ→

Finalement : a→→→→

(M/R) = ( ρρρρ........ - ρρρρ ϕϕϕϕ....

2 ) eρρρρ→→→→

+ ( 2 ρρρρ.... θθθθ.... sin ϕϕϕϕ + ρρρρ θθθθ

........ sin ϕϕϕϕ + 2 ρρρρ θθθθ

.... ϕϕϕϕ.... cos ϕϕϕϕ ) eθθθθ

→→→→ + ( 2 ρρρρ.... ϕϕϕϕ

.... + ρρρρ ϕϕϕϕ

........ ) eϕϕϕϕ

→→→→ - ρρρρ θθθθ

....2 sin ϕϕϕϕ er

→→→→

Exercice n°2

Soient A et B deux points quelconques d’un solide indéformable S, alors || AB→

|| est invariante au cours du temps.

Ceci s’écritddt ( AB

→.AB→

) = 0 , soit 2 AB→

. d AB

→

dt R = 0 , soit 2 AB→

. [ d OB

→

dt R - d OA

→

dt R ] = 0

soit 2 AB→

. [ v→

(B∈S/R) - v→

(A∈S/R) ] = 0 Finalement : AB→→→→

. v→→→→

(B∈∈∈∈S/R) = AB→→→→

. v→→→→

(A∈∈∈∈S/R)

Exercice n°3 : Composition des accélérations.

1 - La dérivation de la vitesse d’entraînement conduit à :

a→

(M∈R/R0) = d ( v

→(O∈R/R0) + Ω→(R/R0) ∧ OM

→ )

dt R0

= d v

→(O∈R/R0)

dt R0 +

d Ω→(R/R0)dt R

0 ∧ OM

→ + Ω→(R/R0) ∧

d OM→

dt R

0

Par définition de l’accélération : d v

→(O∈R/R0)

dt R0 = a

→(O∈R/R0)

En utilisant la formule de la base mobile : d OM

→

dt R0 =

d OM→

dt R + Ω→(R/R0) ∧ OM

→ = Ω→(R/R0) ∧ OM

→ car on considère

ici que le point M est lié au repère R.

Finalement : a→→→→

(M ∈∈∈∈R/R0) = a→→→→

(O∈∈∈∈R/R0) + d ΩΩΩΩ→→→→(R/R0)

dt R0 ∧∧∧∧ OM

→→→→ + ΩΩΩΩ→→→→(R/R0) ∧∧∧∧ [ ΩΩΩΩ→→→→(R/R0) ∧∧∧∧ OM

→→→→ ]

er→

x→θ

eθ→

y→

z→

eρ→

z→

ϕ

eϕ→ er

→

eθ→

2 - La dérivation de la formule (a) de composition des vitesses conduit à :

a→

(M∈S/R0) = d v

→(M∈S/R)

dt R0 +

d ( v→

(O∈R/R0) + Ω→(R/R0) ∧ OM→

)dt R

0

On utilise la formule de la base mobile pour décomposer d v

→(M∈S/R)

dt R0 en

d v→

(M∈S/R)dt R + Ω→(R/R0) ∧ v

→(M∈S/R)

On a alors a→

(M∈S/R0) = d v

→(M∈S/R)

dt R + Ω→(R/R0) ∧ v→

(M∈S/R)

+ d v

→(O∈R/R0)

dt R0 +

d Ω→(R/R0)dt R

0 ∧ OM

→ + Ω→(R/R0) ∧

d OM→

dt R

0

Par définition de l’accélération : d v

→(O∈R/R0)

dt R0 = a

→(O∈R/R0) et

d v→

(M∈S/R)dt R = a

→(M∈S/R)

En utilisant la formule de la base mobile : d OM

→

dt R0 =

d OM→

dt R + Ω→(R/R0) ∧ OM

→

On considère ici que le point M est quelconque, donc : d OM

→

dt R = v→

(M∈S/R) ≠ 0→

soit a→→→→

(M ∈∈∈∈S/R0) = a→→→→

(M ∈∈∈∈S/R) + ΩΩΩΩ→→→→(R/R0) ∧∧∧∧ v→→→→

(M ∈∈∈∈S/R)

+ a→→→→

(O∈∈∈∈R/R0) + d ΩΩΩΩ→→→→(R/R0)

dt R0 ∧∧∧∧ OM

→→→→ + ΩΩΩΩ→→→→(R/R0) ∧∧∧∧ [ v

→→→→(M ∈∈∈∈S/R) + ΩΩΩΩ→→→→(R/R0) ∧∧∧∧ OM

→→→→ ]

3 - La relation obtenue à la question 2, en regroupant les deux termes Ω→(R/R0) ∧ v→

(M∈S/R) , s’écrit :

a→

(M∈S/R0) = a→

(M∈S/R) + 2 Ω→(R/R0) ∧ v→

(M∈S/R)

+ a→

(O∈R/R0) + d Ω→(R/R0)

dt R0 ∧ OM

→ + Ω→(R/R0) ∧ [ Ω→(R/R0) ∧ OM

→ ]

On retrouve en deuxième ligne l’expression de l’accélération d’entraînement a→

(M∈R/R0) trouvée à la question 1

Finalement : a→→→→

(M ∈∈∈∈S/R0) = a→→→→

(M ∈∈∈∈S/R) + 2 ΩΩΩΩ→→→→(R/R0) ∧∧∧∧ v→→→→

(M ∈∈∈∈S/R) + a→→→→

(M ∈∈∈∈R/R0)

Exercice n°4 : Existence de l’axe central

La relation définissant les points P de l’axe central est : Ω→(S/R) ∧ v→

(P∈S/R) = 0→

On remplace v→

(P∈S/R) par v→

(A∈S/R) + Ω→(S/R) ∧ AP→

, soit : Ω→(S/R) ∧ [ v→

(A∈S/R) + Ω→(S/R) ∧ AP→

] = 0→

On développe et on utilise la formule du double produit vectoriel, soit

Ω→(S/R) ∧ v→

(A∈S/R) + [ Ω→(S/R) . AP→

] Ω→(S/R) - [ Ω→(S/R) .Ω→(S/R) ] AP→

= 0→

Avec la décomposition proposée, AP→

= AH→

+ HP→

, on a : Ω→(S/R) . AH→

= 0 d’une part et HP→

= λ(P) Ω→(S/R) d’autre part

Ω→(S/R) ∧ v→

(A∈S/R) + [ Ω→(S/R) . ( AH→

+ λ(P) Ω→(S/R) ) ] Ω→(S/R) - [ Ω→(S/R) . Ω→(S/R) ] AP→

= 0→

D’où Ω→(S/R) ∧ v→

(A∈S/R) + λ(P) [ Ω→(S/R) . Ω→(S/R) ] Ω→(S/R) - [ Ω→(S/R) . Ω→(S/R) ] AP→

= 0→

En divisant par Ω→(S/R) . Ω→(S/R) on obtient : AP→→→→

= ΩΩΩΩ→→→→(S/R) ∧∧∧∧ v

→→→→(A∈∈∈∈S/R)

ΩΩΩΩ→→→→(S/R) . ΩΩΩΩ→→→→(S/R) + λλλλ(P) ΩΩΩΩ→→→→(S/R)

Par identification avec la décomposition , AP→

= AH→

+ HP→

= AH→

+ λ(P) Ω→(S/R), on voit clairement que AH→→→→

= ΩΩΩΩ→→→→(S/R) ∧∧∧∧ v

→→→→(A∈∈∈∈S/R)

ΩΩΩΩ→→→→(S/R) . ΩΩΩΩ→→→→(S/R)

Ceci prouve que : - l’ensemble de points P cherché existe dès que Ω→(S/R) ≠ 0→

, c’est à dire que l’on n’a pas un torseur couple, c’est

à dire que le mouvement n’est pas une translation.

- tous les points P de l’ensemble cherché ont même projection H sur le plan π, cette projection étant donnée par la

relation AH→

= Ω→(S/R) ∧ v

→(A∈S/R)

Ω→(S/R) . Ω→(S/R) , donc l’ensemble de point cherché est une droite ce qui justifie le mot axe.

Remarque : Par extension, dans le cas d’une translation, on peut considérer que l’axe central, qui représente l’axe instantané de

rotation, est reporté à une distance || AH→

|| infinie. Une rotation autour d’un axe situé à l’infini est une translation !

Exercice n°5 : Norme des vitesses sur l’axe instantané de rotation

En utilisant la formule de changement de point, on a : || v→

(P∈S/R) || = || v→

(A∈S/R) + Ω→(S/R) ∧ AP→

||

Si le point P appartient à l’axe instantané de rotation, l’axe central, alors AP→

= Ω→(S/R) ∧ v

→(A∈S/R)

Ω→(S/R) . Ω→(S/R) + λ(P) Ω→(S/R)

On remplace et on développe : || v→

(P∈S/R) || = || v→

(A∈S/R) + Ω→(S/R) ∧ Ω→(S/R) ∧ v

→(A∈S/R)

Ω→(S/R) . Ω→(S/R) + Ω→(S/R) ∧ λ(P) Ω→(S/R) ||

Le dernier produit du terme de droite est nul, deux vecteurs colinéaires. Le premier produit du terme de droite est un double produit

vectoriel, on utilise la formule.

On a alors : || v→

(P∈S/R) || = || v→

(A∈S/R) + [ Ω→(S/R) . v

→(A∈S/R) ] Ω→(S/R) - [ Ω→(S/R) . Ω→(S/R) ] v

→(A∈S/R)

Ω→(S/R) . Ω→(S/R) ||

Soit, en simplifiant à droite : || v→

(P∈S/R) || = || v→

(A∈S/R) + [ Ω→(S/R) . v

→(A∈S/R) ] Ω→(S/R)

Ω→(S/R) . Ω→(S/R) - v

→(A∈S/R) ||

= || [ Ω→(S/R) . v→

(A∈S/R) ] Ω→(S/R)Ω→(S/R) . Ω→(S/R)

||

= | Ω→

(S/R) . v→

(A∈S/R)Ω→(S/R) . Ω→(S/R)

| || Ω→(S/R) ||

=| Ω→(S/R) . v

→(A∈S/R) |

|| Ω→(S/R) ||

Ω→(S/R)

|| Ω→(S/R) || est un vecteur unitaire appelons le u→

On a donc : || v→

(P∈S/R) || = | u→

. v→

(A∈S/R) | <_ || v→

(A∈S/R) ||

car | u→

. v→

(A∈S/R) | représente la projection de v→

(A∈S/R) sur u→

, c’est à dire sur Ω→(S/R)

Exercice n°6 : Composition de deux mouvements de rotation.

Pour tout point quelconque A :

- le mouvement de rotation d’axe ∆2 du solide S2 par rapport au solide S1 est représenté par le torseur cinématique :

V S2/S1 = Ω→(S2/S1) ; v→

(A∈S2/S1) A = Ω→(S2/S1) ; 0→

P pour tout point P de ∆2

- le mouvement de rotation d’axe ∆1 du solide S1 par rapport au repère R0 est représenté par le torseur cinématique :

V S1/R = Ω→(S1/R0) ; v→

(A∈S1/R0) A = Ω→(S1/R0) ; 0→

P pour tout point P de ∆1

- le mouvement du solide S2 par rapport au repère R0 est représenté par le torseur cinématique :

V S2/R = Ω→(S2/R0) ; v→

(A∈S2/R0) A avec Ω→(S2/R0) = Ω→(S2/S1) + Ω→(S1/R0)

v→

(A∈S2/R0) = v→

(A∈S2/S1) + v→

(A∈S1/R0)

1 - Prenons le cas particulier du point I. I ∈ ∆2 ⇒ v→

(I∈S2/S1) = 0→

I ∈ ∆1 ⇒ v→

(I∈S1/R0) = 0→

donc v→

(I∈S2/R0) = v→

(I∈S2/S1) + v→

(I∈S1/R0) = 0→

Le point I est donc un point de vitesse minimale (nulle) pour le mouvement de S2 par rapport à R0 donc :

I ∈∈∈∈ ∆∆∆∆, l’axe instantané de rotation du mouvement de S2 par rapport au repère R0

Le mouvement du solide S2 par rapport au repère R0 est un mouvement de rotation.

Comme Ω→(S2/S1) est vecteur directeur de ∆2

Ω→(S1/R0) est vecteur directeur de ∆1

Ω→(S2/R0) = Ω→(S2/S1) + Ω→(S1/R0) est vecteur directeur de ∆

Les 3 axes ∆∆∆∆, ∆∆∆∆1 et ∆∆∆∆2 passent par I, alors ils sont coplanaires, puisque leur vecteurs directeurs sont coplanaires.

2 - Appelons u→

un vecteur directeur unitaire de ∆1 et ∆2 qui sont parallèles.

Alors on peut écrire Ω→(S1/R0) = ω1 u→

et Ω→(S2/S1) = ω2 u→

La relation Ω→(S2/R0) = Ω→(S2/S1) + Ω→(S1/R0) conduit alors à Ω→(S2/R0) = ( ω2 + ω1 ) u→

Donc les 3 axes ∆∆∆∆, ∆∆∆∆1 et ∆∆∆∆2 sont parallèles.

Prenons 3 points : P ∈ ∆ , H1 ∈ ∆1 et H2 ∈ ∆2 tels que représenté ci-contre.

On peut écrire v→

(P∈S2/R0) = v→

(P∈S2/S1) + v→

(P∈S1/R0)

= v→

(H2∈S2/S1) + Ω→(S2/S1) ∧ H2P→

+ v→

(H1∈S1/R0) + Ω→(S1/R0) ∧ H1P→

= 0→

+ ω2 u→

∧ H2P→

+ 0→

+ ω1 u→

∧ H1P→

= u→

∧ ( ω2 H2P→

+ ω1 H1P→

)

Donc v→

(P∈S2/R0) est orthogonal à u→

Mais P ∈ ∆ implique que v→

(P∈S2/R0) soit colinéaire à Ω→(S2/R0) donc à u→

On en déduit que v→

(P∈S2/R0) = 0→

, c’est à dire que le mouvement du solide S2 par rapport au repère R0 est une rotation.

De plus 0→

= u→

∧ ( ω2 H2P→

+ ω1 H1P→

) implique que ω2 H2P→

+ ω1 H1P→

= 0→

car ce vecteur ne peut être colinéaire à u→

.

Ceci impose que les points H1, H2 et P soient alignés. Donc les axes ∆∆∆∆, ∆∆∆∆1 et ∆∆∆∆2 sont coplanaires.

3 - Soit v→

un vecteur directeur unitaire de δ la perpendiculaire commune de ∆1 et ∆2.

Alors ∆1 ⊥ δ implique que Ω→(S1/R0) . v→

= 0

∆2 ⊥ δ implique que Ω→(S2/S1) . v→

= 0

La relation Ω→(S2/R0) = Ω→(S2/S1) + Ω→(S1/R0)

conduit alors à Ω→(S2/R0) . v→

= 0

Le vecteur v→

est orthogonal à l’axe instantané de rotation ∆ du

mouvement du solide S2 par rapport au repère R0.

Soit π le plan de normale δ contenant ∆ et un point Q de l’axe ∆.

On peut écrire v→

(P∈S2/R0) = v→

(P∈S2/S1) + v→

(P∈S1/R0)

= v→

(H2∈S2/S1) + Ω→(S2/S1) ∧ H2P→

+ v→

(H1∈S1/R0) + Ω→(S1/R0) ∧ H1P→

= 0→

+ Ω→(S2/S1) ∧ - H2P v→

+ 0→

+ Ω→(S1/R0) ∧ H1P v→

= [ Η1P Ω→(S1/R0) - H2P Ω→(S2/S1) ] ∧ v→

Donc v→

(P∈S2/R0) est orthogonal à v→

. Or, on a vu que Ω→(S2/R0) est aussi orthogonal à v→

.

Donc le produit vectoriel Ω→(S2/R0) ∧ v→

(P∈S2/R0) est colinéaire à v→

.

On peut écrire Ω→(S2/R0) ∧ v→

(P∈S2/R0) = Ω→(S2/R0) ∧ [ v→

(Q∈S2/R0) + Ω→(S2/R0) ∧ QP→

]

= Ω→(S2/R0) ∧ v→

(Q∈S2/R0) + Ω→(S2/R0) ∧ [ Ω→(S2/R0) ∧ QP→

]

Le point Q ∈ ∆ donc Ω→(S2/R0) ∧ v→

(Q∈S2/R0) = 0→

et on développe le double produit vectoriel.

Ω→(S2/R0) ∧ v→

(P∈S2/R0) = [ Ω→(S2/R0) . QP→

] Ω→(S2/R0) - [ Ω→

(S2/R0) . Ω→

(S2/R0) ] QP→

Les vecteurs Ω→(S2/R0) et QP→

sont orthogonaux à v→

donc leur combinaison linéaire ci-dessus, Ω→(S2/R0) ∧ v→

(P∈S2/R0) , aussi.

Donc pour être à la fois orthogonal et colinéaire à v→

, Ω→(S2/R0) ∧ v→

(P∈S2/R0) doit être nul, c’est à dire que P est un point de ∆.

L’axe instantané de rotation ∆ du mouvement du solide S2 par rapport au repère R0 coupe la perpendiculaire commune δ aux axes ∆1 et

∆2. Comme on a vu que ∆ est dans le plan π de normale δ, alors on peut conclure que l’axe instantané de rotation ∆∆∆∆ du mouvement

de S2 par rapport au repère R0 coupe orthogonalement la perpendiculaire commune δδδδ aux axes ∆∆∆∆1 et ∆∆∆∆2.

Remarque : Rien ne permet de dire ici que le mouvement du solide S2 par rapport au repère R0 soit un mouvement de rotation

contrairement aux cas 1 et 2.

H1

∆1

u→

∆

∆2

P

H2

H1

v→

Q

∆

δ

P ∈ π

∆1∆2

H2

π