Intégrale CurviligneElaboré par M. NUTH Sothan

I- Courbe dans l’espace :

1. Longueur d’une courbe :Soit x, y, z des coordonnées cartésiennes. Soit L

une courbe continue sur [a, b] donnée par :x=φ(t) , y=ψ(t) , z=χ(t) , (a ≤ t ≤ b) (1)

Définition : On dit qu’une courbe L est lisse (ou différentiable) si φ(t) ,ψ(t) et χ(t) admettent des dérivées premières continues sur [a, b].

I- Courbe dans l’espace (suite) :

Soit le rayon vecteur du point (x, y, z)Considérons :

La relation (1) peut être mises sous forme :

où est continue sur [a, b].Donc la courbe L est définie par (1) ou (2).

{ , , }r x y z

( ) { ( ), ( ), ( )} , ( )r t t t t a t b

( ) , (2)r r t

( ) { ( ), ( ), ( )}r t t t t

I- Courbe dans l’espace (suite) :

Définition : On dit qu’un point , t1∈ [a, b] ,d’une courbe L est double si ∃ t1 ≠ t2 (t2∈ [a, b]) tel que .

Soit T={t0 , t1 , ... , tn} une subdivision de [a, b].Considérons la ligne polygonale de sommet :

inscrite dans la courbe L.

1( )r t

1 2( ) ( )r t r t

0 1 2( ), ( ), ( ),..., ( )nr t r t r t r t

I- Courbe dans l’espace (suite) :

On a : la longueur de cette ligne.

Définition : La longueur de courbe L sur [a, b] est :

Th : La longueur de courbe L sur [a, b] est :

1

10

( ) ( )n

i ii

r t r t

1

1( ) 0

0

lim ( ) ( )n

i ih T

i

l r t r t

( ) (3)b

a

l r t dt

I- Courbe dans l’espace (suite) :

Remarque :1. Si L : x=φ(t) , y=ψ(t) , z=χ(t) , (a ≤ t ≤

b) , alors :

2. Si L : x=φ(t) , y=ψ(t) , (a ≤ t ≤ b) , alors :

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) (4)b b

a a

r t dt t t t dt

2 2( ) ( ) ( ) (5)b b

a a

r t dt t t dt

I- Courbe dans l’espace (suite) :

Remarque :3. Si L : y=f(x), (a ≤ x ≤ b) , alors :

2( ) 1 ( ) (6)b b

a a

r t dt f x dx

I- Courbe dans l’espace (suite) :

Exemples :Si L : x=a cos t , y= a sin t , z= bt , (0 ≤ t ≤ 2π) , alors :

2

0

22 2 2 2 2 2 2

0

( )

sin cos 2

l r t dt

a t a t b dt a b

II- Intégrale curviligne de 1er espèce :

Définition :Soit L : x=φ(t) , y=ψ(t) , z=χ(t) , (a ≤ t ≤

b) , alors :La courbe différentiable L est régulière si

ou

( ) 0r t

2 2 2( ) ( ) ( ) 0t t t

II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) :

Remarque : Les points de la courbe en lesquels sont dits singuliers.

Définition : Soit f(x, y, z) définie sur L. L’intégrale curviligne de première espèce de la fonction f(x, y, z) le long de la courbe L est

( ) 0r t

( , , )L

f x y z dl

II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) :

Cas 1 : L : x=φ(t) , y=ψ(t) , z=χ(t) , (a ≤ t ≤ b) , et f(x, y, z) définie sur L , alors :

2 2 2

( , , )

( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )

L

b

a

f x y z dl

f t t t t t t dt

II- Intégrale curviligne de 1er espèce(suite) :

Cas 2 : L : x=φ(t) , y=ψ(t) , (a ≤ t ≤ b) , et f(x, y) définie sur L , alors :

2 2

( , )

( ( ), ( )) ( ) ( )

L

b

a

f x y dl

f t t t t dt

II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) :

Cas 3 : L : y=y(x), (a ≤ x ≤ b) ,et f(x, y) définie sur L , alors :

2

( , )

( , ( )) 1 ( )

L

b

a

f x y dl

f x y x y x dx

II- Intégrale curviligne de 1er espèce(suite) :

Cas 4 : L : r=r(), (1 ≤ ≤ 2) , , et f(x, y) définie sur L

, alors :

2

1

2 2

( , )

( ( ) cos , ( )sin ) ( ) ( )

L

f x y dl

f r r r r d

II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) :

Remarque 1 :

Remarque 2 :

Exemple 1 : Calculer l’intégrale curviligne :

Indication : x = a cos3 t , y = a sin3 t , 0 t 2

( , ) ( , )AB BA

f x y dl f x y dl

AB

dl l

4 4 2 2 2

3 3 3 3 3( ) où :L

x y dl L x y a

II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) :

Exemple 2 : Calculer l’intégrale curviligne :

Indication : Passer aux coordonnées polaire.

32 2 2 2 2 2 22 où : ( ) ( )

L

x y dl L x y a x y

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce :

Définition : On appelle courbe orientée sur laquelle on a choisi l’une de deux orientations possibles.

Soitun champ de vecteurs continu sur une courbe

régulière différentiable L.

( , , ) { ( , , ); ( , , ); ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Définition : L’intégrale curviligne de second espèce

du champ de vecteurs le long de la courbe L .

Si la courbe régulière différentiable L est orientée par t croissant, alors

( , , ) ( , , ) ( , , )L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ( , , )u x y z

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Si la courbe régulière différentiable

est orientée par t croissant, alors( , , ) ( , , ) ( , , )

[ ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( )]

, (2)

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P t t t t Q t t t t R t t t t dt

: ( ), ( ), ( ) , L x t y t z t t

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Si la courbe régulière différentiable L est orientée par t décroissant, alors

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

L

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Remarque 1 : L’intégrale (2) peut être mise en forme :

où .

Soit un vecteur unité tangent à la

courbe L .

( ( , , ), ) ( ( ( )), ( ))L

u x y z dr u r t r t dt

{ , , }dr dx dy dz

( )( )

( )

r tt

r t

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Alors :( ( , , ), ) ( ( ( )), ( )) ( )

( ( ( )), ( )) ( )

L

u x y z dr u r t t r t dt

u r t t ds t

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Remarque 2 : Si L est traitée comme la trajectoire d’un point

matériel et le vecteur comme la force agissant sur ce point, alors l’intégrale curviligne de second espèce représente le travail de la force le long de la trajectoire L.

( , , )u x y z

( , , )u x y z

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Définition : Un champ de vecteur

est dit potentiel si U(X) dérivable tel que

pour x ∈ X.Dans ce cas, U(X) s’appelle potentiel de

1 2( ) { ( ), ( ),..., ( )}nf X f X f X f X

( ) ( ) , 1, 2,..., (3)ii

Uf X X i n

x

( )f X

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

D’après (3), on a :

et

où

1

1 2

( ) ( )

( ) ( )

, ,...,

n

i ii

n

dU X f x dx

f X U X

x x x

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Th.1 : Si U1(X) et U2(X) sont des potentiels dedéfini sur X ouvert, alors U1(X)−U2(X) = Const.Th.2 : Pour qu’un champ de vecteur dérivable et

défini sur X ouvert soit potentiel, il est N. et S. que

pour x ∈ X.

( )f X

( )f X

( ) ( ) , , 1, 2,...,ji

j i

ffX X i j n

x x

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Remarque 1 : Soit Pour que soit potentiel, il est N. et S. que :

Remarque 2 : Soit . Pour que

soit potentiel, il est N. et S. que :

( ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}f X P x y z Q x y z R x y z

( )f X

, ,P Q Q R R P

y x z y x z

( ) { ( , ), ( , )}f X P x y Q x y

P Q

y x

( )f X

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Th.3 : Soit un champ de vecteur potentiel sur

G et soit U(x, y, z) son potentiel.Si L est une courbe R.D. continue dans G et

reliant de point A(x1, y1, z1) vers B(x2, y2 ,z2), alors :

( , , )u x y z

2 2 2 1 1 1( , , ) ( , , )L

Pdx Qdy Rdz U x y z U x y z

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Autrement dit que l’intégrale curviligne ne dépend pas du chemin suivi.

Remarque : Soit T={t0 , t1 ,..., tn } une subdivision de [a, b] tel que Li arc de courbe L compris entre et , i = 0, 1, 2 , ..., n-1. Alors :

1

0i

n

iL L

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz

( )ir t

1( )ir t

1

0

( , , ) ( , , )i

n

iL L

f x y z ds f x y z ds

IV- Formule de Green. Condition de potentialitée :

1. Formule de Green : Soit D={(x, y); y1(x) ≤ y ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b} un

trapèze curviligne continu dans G.

Soient P(x, y) et Q(x, y) sont continues dans G

avec ses dérivées partielles .

et P Q

y x

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

D

y

x0

y=y1 (x)

y=y2 (x)F

a

E

BA

b

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

On a :

2

1

( )

2 1

( )

2 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

y xb b

a y x a

b b

a a AB EF

AB BE EF FA

P Pdxdy dy dx P x y P x y dx

y y

P x y dx P x y dx Pdx Pdx

Pdx Pdx Pdx Pdx

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

Alors :

Or :

Analogiquement :

( , ) (1)D C

Pdxdy P x y dx

y

( , ) ( , ) 0

BE FA

P x y dx P x y dx

( , ) (2)D C

Qdxdy Q x y dy

x

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

En soustrayant (1) et (2) :

qui s’appelle formule de Green.

Soit C un contour fermé contenant G,D l’ensemble des points intérieur à C,et D ⊂ G.

( , ) ( , ) (3)D C

Q Pdxdy P x y dx Q x y dy

x y

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

Th.1 :Supposons que P(x, y) et Q(x, y) est

continues avec ses dérivées

dans un domaine simplement connexe. On a :

où le contour C est parcouru dans le sens direct.

et P Q

y x

(4)D C

Q Pdxdy Pdx Qdy

x y

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

Remarque : Si l’on pose P = y et Q = 0.

D’après (4), on obtient la formule pour l’aire du

D :

Analogiquement, si P = 0 et Q = x , on trouve :

( ) (5)D C

D dxdy ydx

( ) (6)D C

D dxdy xdy

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

L’addition (5) et (6) , nous donne une formule

pour le calcul de l’aire.1

( )2 C

D xdy ydx

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

2. Condition de potentialité :Soit un champ de

vecteur continu dans G.Th.2 : est potentiel

dans G s.s.s.

Th.3 : est potentiel

dans G s.s.s. dans G.

( , ) { ( , ), ( , )}u x y P x y Q x y

( , ) { ( , ), ( , )}u x y P x y Q x y

( , ) ( , ) 0C

P x y dx Q x y dy ( , ) { ( , ), ( , )}u x y P x y Q x y

P Q

y x

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

Ex. :

G={(x, y), x2 + y2 > 0} non simplement connexe.

Posons : x = r cos t , y = r sin t , 0 ≤ t ≤ 2

2 2 2 2,

y xP Q

x y x y

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

Th.4 : Soit continue sur

AB : x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b .

Soit la direction de la tangente

à AB en M(x, y).

( , ) { ( , ), ( , )}u x y P x y Q x y

{cos ,cos }

( , ) ( , ) ( cos cos )AB AB

P x y dx Q x y dy P Q ds

Exemples :

Calculer les intégrales curvilignes de 1er espèce :

1.

2.

3.

4.

( ) , où L est les sommets O(0, 0),

A(1, 0), B(0, 1) de triangleL

x y dl

2 , L : ( sin ), (1 cos ),0 2 .L

y dl x a t t y a t t 2 2

, L : {( , ),0 ,0 2 }.x y

L

e dl r r a 2 2 2 2 , L : .

L

x y dl x y ax

Exemples :

Calculer les intégrales curvilignes de 2ème espèce :

1. , où O(0, 0), A(1, 1) :

a. une droite. b. une parabole x = y2 .

2.

3.

OA

xdx ydy

2 2 2( 2 ) ( 2 ) , L : , 1 1.L

x xy dx y xy dy y x x 2 2 2 2

2

( ) ( ) ,

L : 1 1 ,0 2.

L

x y dx x y dy

y x x x

Exemples :

Calculer les intégrales curvilignes de 2ème espèce en utilisant la formule de Green :

1.

2.

3.

2 2 2 2 2 , L: C

xy dy x dx x y a 2 2

2 2( ) ( ) , L : 1.

C

x yx y dx x y dy

a b

2 2 2(2 ) ( ) , L est un périmètre

de triangle de sommets A(1, 1), B(2, 2) et C(1, 3).C

x y dx x y dy