Taller 3 cálculo diferencial cdx24 Profesor Jaime Andrés Jaramillo González. jaimeaj@conceptocomputadores.com. www.jaimeaj.conceptocomputadores.com ITM 2014-2 Derivadas de Orden Superior 1. Encuentre 'y y ''y

a. ( ) 2/31+= xy b. xxey = c. x

xy

34

2

−+= d.

x

xy

−=

3

e. )1tan( 3 += xxy

f. )ln(senxy =

g. )cos( xsenx eey =

h. 13

cot2 −

=x

xy

Ejercicios de derivación 2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva para en el valor x indicado: a.

])12sec[()( 2 π−+= xxxxf

Para x=1

b.

4

1)(

−+=

x

xxf

Para x=8

c.

xey tan=

Para x=π

d.

)9ln( 2 ++= xxy

Para x=4

e.

18)ln(72 =− xyy

Para ex =

(Dos repuestas: la gráfica de esta función tiene dos valores en los cuales ex = )

f.

( ) xxysenxy −=+ 1cos3 π

Para 1=x

g.

652 +−= xxy

Para x=4

h.

( )22 ln1 xyyx =−+

Para x=1

i.

( ) ( )( )xyxy 2lncos1cos5 2 +=π

Para 2

1=x

j. ( )xxyye xsen ππ cos2ln44 2)( +=−

Para x=1

k.

( ) yxyex

senx x )1(2

ln 2cos −=+

ππ

Para x=1

l.

( ) yxxxyx )12(4cos2ln 2 −+=+ π

Para 21=x

3. Encuentre dx

dy

a. 4

1)cos(2

2 xxyy =+−

b. y

xyxxyy tan2)ln( 22 −+=−

c. 10ln3 22 =+− yyx

d. senxx

xy

++=

23

13

e. y

x

exy = f. xexy x cot2 12−−=

g. 22 )( xyyxsen += h. 3237 xyyyxy +=− i. yy

xxseny

cos2sec =+

4. Encuentre dx

dy

a.

=−

y

xsene x 133 2

b. ( )yxsen cos67 )( +=

c. ( )13sec 21 −= − xy

d. ( )1

tan2

1

+=

−

x

xy

e. ( )753 43)25( xxy −−= f. 2331 += − xseny

g. xsen

xxy

1

2 153−

−+= h. ( ))1(sec

52tan

131

+−= −

−

xxy i.

483

552

2

−+=

x

xy

Regla de L’Hôpital 5. Calcule los siguientes límites:

a) 20

cos1lim

xx

xx +

−→

b) 1

4cos1lim

20 −−

→ xx e

x c)

416

390 −+

−+→ x

xlimx

d) 4

86lim

2

3 −+−

−→ x

xxx

e) x

x

x tan1

seclim

2+→

π f)

4

2lim

22 −−

→ x

xx

g) x

x

x cos

2lim

2

ππ

−→

h) xsenx

xxx −

−→

)1(coslim

4 i) )(lim 2 xxx

x+−

∞→

j) 2

2

limx

e x

x ∞→ k)

2lnlim

x

xx ∞→

l) xx

xxe /3

0)(lim +

+→

6. Calcule los siguientes límites: a)

−+→ xxx

11lim

0

b)

4

35lim

2

2

2 −−+

→ x

xx

c)

−−

→ 1

1

ln

1lim

1 xxx

d)

1lim −

−

−∞→ x

e x

x

e)

( )x

xsenx

+→0lim

f)

( )x

xe x

x

−−→

1lim

0

Razones de Cambio Relacionadas 7. Un niño que vuela una cometa va soltando hilo a razón de 0.5 m/s, mientras la cometa se va desplazando horizontalmente a una altura de 40 m. considerando que el hilo permanece tensionado ¿Cuál es la velocidad de la cometa cuando se han soltado 60 m de hilo? 8. Un globo de aire caliente que asciende en línea recta, desde el nivel del suelo es rastreado por un

observador que está a 500 pies del punto de elevación. En el momento que el ángulo del observador es 4

π,

éste crece a razón de 0.14 rad/min. ¿Qué tan rápido se está elevando el globo en ese momento? 9. Cuando un plato circular de metal se está calentando en un horno, su radio aumenta a razón de 0.01 cm/min. ¿A que razón aumenta el radio del plato cuando su radio es de 50 cm? 10. Un avión que vuela con altura constante de 4 800m con respecto al suelo pasará exactamente encima de un radar. Cuando su distancia al radar es de 15 km, ésta disminuye a razón de 305 km/h ¿Cuál es la velocidad del avión?

11. Si las aristas de una caja rectangular x, y y z de una caja rectangular cambian a las tasas:

smdt

dx/1=

; sm

dt

dy/2−=

;sm

dt

dz/1=

Determine la tasa de cambio de: (a) el volumen; (b) El área de la superficie y (c) la longitud de la diagonal

222 yyxs ++= , cuando x=3; y=7; z=2. 12. A un depósito cilíndrico de base circular y 4 m de radio, le está entrando agua a razón de 20 l/s. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua. 13. En una planta de arena y grava, la arena cae de una cinta transportadora creando un montículo de forma cónica, a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del montículo es aproximadamente tres veces la altura. Cuando la altura es 15 pies ¿A qué ritmo cambia? 14. Dos aviones vuelan horizontalmente a 2 500m de altura en trayectorias perpendiculares. Uno de ellos se encuentra a 4km del punto de intersección de sus trayectorias acercándose a 450 km/h mientras el otro a 15km de ese punto se aproxima 396km/h. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre los aviones en ese momento? 15. Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 4 m por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 7 m del muelle, el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 75 cm/s. ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle? 16. Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m, éste aumenta a razón de 80cm/s . ¿A qué velocidad aumenta el área del círculo formado por dicha onda?

17. Una escalera de 13 m de longitud descansa contra un muro perpendicular al suelo. Si el extremo inferior de la escalera se está resbalando a razón de 1.2 m/s, ¿a qué velocidad desciende el extremo superior cuando éste está a 12 m del suelo? 18. Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante, por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1 m, la superficie sube a razón de 2 cm por minuto. ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente? 19. Un poste de 7 m de altura tiene un faro en la parte superior; un hombre de 1.75 m de estatura se aleja del poste caminando a una velocidad de 1.2 m/s. Cuando la distancia de la base del poste a la punta (parte más alejada) de la sombra del hombre es de 6 m, ¿con qué velocidad crece su sombra?; ¿con qué velocidad se mueve la punta de la sombra con respecto al farol? 20. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T en grados (kelvin) y la presión P (en atmósferas) con un volumen V (en litros), es PV=nRT , donde n es el número de moles del gas y R=0,0821 es la constante de los gases. Suponga que en cierto instante P =8 atm y que aumenta a razón de 0,10 atm/min, además el volumen es de 10l y disminuye a razón de 0,15 l/min. Determinar la razón de cambio de T con respecto al tiempo, en ese preciso instante, si n = 10 mol.

Problemas de Optimización 21. A un fabricante de latas le solicitan diseñar un envase para gaseosa de forma cilíndrica y con capacidad de 300ml. Encuentre las dimensiones del envase para las cuales la cantidad de material utilizado para su fabricación es mínima. 22. Para hacer una caja de base cuadrada con la parte superior abierta, se recortan cuadrados de igual medida de las esquinas de una hojalata cuadrada y luego se doblan los lados hacia arriba. Al hacer esto con una hojalata de 16cm * 16cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados recortados para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es éste volumen? 23. Se van a utilizar 15 cm de alambre para construir un cuadrado y un círculo. Cuales deben ser las dimensiones del cuadrado y del círculo para que el área total abarcada sea máxima? 24. Dos postes, uno de 8m y otro de 12m se encuentran a 25m de distancia. Se sostienen por dos cables atados a la misma estaca desde el nivel del suelo a la parte superior de cada poste ¿Dónde debe ubicarse la estaca para usar la menor cantidad de cable posible? 25. Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio 4 ¿Cuál es el área máxima que puede tener y cuáles son sus dimensiones? 26. Un sólido se forma uniendo dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. El volumen total del sólido es de 12cm3. Encuentre el radio del cilindro que produce el área superficial mínima. 27. Se cercará un terreno rectangular de 512 m2 para la siembra de un cultivo de tomates y será dividido en dos partes iguales colocando una cerca paralela a uno de los lados. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo exterior para que la cantidad de cerca utilizada sea mínima?¿Qué cantidad de cerca se requiere en este caso? 28. Una ventana normanda se construye al unir una semicircunferencia a la parte superior de una ventana rectangular corriente. Encuentre las dimensiones de una ventana Normanda de área máxima, si su perímetro total es de 7m. 29. La parte semicircular de una ventana normanda tiene un vidrio oscuro y la parte rectangular vidrio claro. La cantidad de luz por unidad de área que admite el vidrio oscuro es un tercio de la admitida por el vidrio claro. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la cantidad de luz que admite la ventana sea máxima? Trazado de Gráficas 30. Determine las principales características de la función (Dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas, puntos críticos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos relativos) y elabore una representación gráfica de acuerdo con la información obtenida.

326154)( xxxxf −++= 3/22 )13( += xy

x

xy

−=

2

2

24 24

1)( xxxf −=

)2()1()( 3/2 −+= xxxf

−= xxy2

73/2

( )42

3)(

++=

x

xxxf 2

5/2

)1(

2)2()(

+−+=

x

xxf ( )53

2)( +

+= x

xxxf

1

2)(

2 −=

x

xxf

2

2

1

)1()(

x

xxf

++=

senx

xy

+=

1

cos