Tema 5Sucesiones convergentes

Aparece por primera vez en este tema una de las nociones fundamentales del AnálisisMatemático, la noción de convergencia. Estudiamos la convergencia de sucesiones de númerosreales, que nos permitirá mejorar nuestro conocimiento de la recta real y será posteriormenteuna herramienta clave para estudiar las funciones reales de variable real.

5.1. Concepto de sucesión

Si A es un conjunto no vacío, se llama sucesión de elementos de A a cualquier aplicaciónde N en A. En particular, una sucesión de números reales es una aplicación de N en R. En loque sigue trabajaremos siempre con sucesiones de números reales. Cuando hablemos de unasucesión, sin más explicaciones, se entenderá que se trata de una sucesión de números reales.

Es habitual usar para las sucesiones una notación más acorde con su interpretación intuitiva,“números que se suceden”, aunque esta idea debe usarse con precaución. Concretamente, siϕ : N → R es una sucesión, para cada n ∈ N tenemos un número real xn = ϕ(n) y denotamosentonces por {xn} a la sucesión ϕ. Una ventaja de esta notación es su brevedad: por ejemplo,la sucesión {1/n} es la sucesión ϕ : N→ R definida por ϕ(n) = 1/n para todo n ∈ N, pero consólo escribir {1/n} entendemos perfectamente la sucesión a la que nos referimos.

Intuitivamente, interpretamos la sucesión {xn} como una lista infinita de números

x1 , x2 , . . . , xn , . . .

y es habitual decir que estos números son términos de la sucesión: x1 será el primer término,x2 el segundo y, en general, xn será el n-ésimo término de la sucesión. Debe quedar claro queesto es sólo una idea intuitiva, una forma de hablar. No es necesario dar significado matemáticoriguroso a la palabra “término”.

Conviene resaltar la diferencia entre una sucesión {xn}, que es una aplicación ϕ : N → R,y el conjunto {xn : n ∈ N} = ϕ(N), que es un subconjunto de R, la imagen de la aplicación ϕ.Por ejemplo, este conjunto puede muy bien ser finito aunque tengamos una aplicación definidaen todo el conjunto N. No hay nada de extraño en que la imagen de una aplicación definida enun conjunto infinito sea un conjunto finito.

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5. Sucesiones convergentes 40

Veamos algunos ejemplos en los que, junto a una sucesión ϕ : N → R, damos la notacióncon la que se representa y la idea intuitiva que nos sugiere:

Una sucesión puede ser constante. Más concretamente, fijado α ∈ R, podemos tomarϕ(n) = α para todo n ∈ N. Obtenemos una sucesión bastante aburrida: α , α , . . . , α , . . .

La sucesión de los números naturales viene definida por ϕ(n) = n para todo n ∈ N y sedenota simplemente por {n}. Intuitivamente pensamos en: 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . .

Ya ha aparecido anteriormente la sucesión de los inversos de los números naturales, esdecir, la sucesión {1/n} definida por ϕ(n) = 1/n para todo n ∈ N. Visualizamos estasucesión en la forma: 1 , 1/2 , 1/3 , . . . , 1/n , . . .

Las potencias de −1, con exponente natural, nos dan una sucesión ϕ : N → R, definidapor ϕ(n) = (−1)n para todo n ∈ N, que se denota simplemente por {(−1)n} y nos hacepensar en: −1 , 1 ,−1 , 1 , . . . ,−1 , 1 , . . .

5.2. Sucesiones convergentes

La definición que sigue es una de las más útiles en Matemáticas. Preferimos exponerlaformalmente y luego comentarla detenidamente para su mejor comprensión.

Sea {xn} una sucesión de números reales y sea x ∈ R. Decimos que {xn} converge a x, yescribimos {xn}→ x, cuando, para cada número real y positivo ε, puede encontrarse un númeronatural m, de forma que se tenga |xn− x| < ε para cualquier n ∈ N que verifique n > m. Asípues, simbólicamente:

{xn}→ x ⇐⇒[∀ε > 0 ∃m ∈ N : n > m ⇒ |xn− x|< ε

](∗)

Nótese que escribimos ε > 0 en lugar de ε ∈ R+, se sobreentiende que ε es un número real y seenfatiza que es positivo. Igualmente se sobreentiende que n ∈ N y se enfatiza que n > m.

Antes que nada conviene resaltar que el número natural m que aparece en (∗) dependeráusualmente del número positivo ε mencionado previamente. Para probar que {xn}→ x debemosprecisamente encontrar alguna regla que a cada número positivo ε asocie un número natural mcon la propiedad requerida: que se tenga |xn− x|< ε para n > m.

La desigualdad |xn− x| < ε es tanto más exigente cuanto más pequeño sea ε y equivale aque se tenga x−ε < xn < x+ε. Por tanto, en (∗) se afirma que, por muy pequeño que sea ε > 0,el intervalo ]x−ε,x+ε[ contiene a todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelanteo, si se quiere, a todos los términos suficientemente avanzados. También debemos recordar que|xn− x| es la distancia entre los puntos xn y x de la recta real, luego {xn} → x cuando podemosasegurar que xn está tan cerca de x como queramos (a distancia menor que un ε > 0 dado) paratodo número natural n suficientemente grande.

Podemos también reformular la definición de convergencia, pensando en los términos queno verifican la desigualdad que en ella aparece. Más concretamente, para cada ε > 0 podemospensar en el conjunto Aε = {n ∈ N : |xn− x|> ε}. Decir que |xn− x|< ε para n > m equivalea decir que Aε ⊂ {n ∈ N : n < m}, lo que a su vez equivale a decir que Aε es finito.

5. Sucesiones convergentes 41

En resumen, tenemos que {xn} → x si, y sólo si, para todo ε > 0, el conjunto Aε es finito.Esta forma de expresar la convergencia es útil cuando queremos negar que la haya: tendremosque {xn} no converge a x cuando Aε sea infinito para algún ε > 0.

Lógicamente, diremos que una sucesión de números reales {xn} es convergente cuandoexiste x ∈ R tal que {xn}→ x. Veamos que entonces x es único:

Si una sucesión {xn} verifica que {xn}→ x y que {xn}→ y, con x,y ∈ R, entonces x = y.

Para comprobarlo, fijamos ε > 0 y usamos la definición de convergencia para encontrarm1,m2 ∈ N tales que |xn− x| < ε para n > m1 y |xn− y| < ε para n > m2. Tomando entoncesn = max{m1,m2} tenemos claramente

|x− y|= |x− xn + xn− y|6 |x− xn|+ |xn− y|< 2ε

Como ε > 0 era arbitrario, hemos demostrado que |x− y|/2 es un minorante de R+, luego|x− y|6 0, es decir, x = y. �

Podemos ya usar la siguiente nomenclatura: si una sucesión {xn} converge a un x ∈ R, sedice que x es el límite de la sucesión {xn} y se escribe x = lım{xn}, o bien, x = lım

n→∞xn. Veamos

los primeros ejemplos de sucesiones convergentes y de sucesiones no convergentes:

Una sucesión constante es convergente. Si, para α ∈ R fijo, tenemos xn = α para todon ∈N, es obvio que, cualquiera que sea ε > 0, la desigualdad |xn−α|< ε se cumple paratodo n ∈N. Obsérvese que en este caso podemos tomar siempre m = 1, sea cual sea ε. Encualquier otro caso, la situación no será tan favorable.

Vamos a comprobar que {1/n} → 0. En efecto, dado ε > 0, la propiedad arquimediananos proporciona un m ∈ N tal que m > 1/ε y, para n > m, tenemos entonces∣∣∣∣1

n−0

∣∣∣∣ =1n

61m

< ε

Resaltamos la regla que nos ha permitido asociar a cada número positivo ε el númeronatural m requerido: basta que sea m > 1/ε; por ejemplo, podemos tomar m = E(1/ε)+1.Obsérvese que, recíprocamente, de {1/n}→ 0 se deduce la propiedad arquimediana.

La sucesión {n} no es convergente. En efecto, si para algún x ∈ R se tuviese {n} → x,tomando ε = 1 encontraríamos m ∈ N verificando que |n− x|< 1, y por tanto n < x + 1,para n > m ; pero esto es imposible, porque entonces x + 1 sería un mayorante de N,contradiciendo la propiedad arquimediana.

La sucesión {(−1)n} no es convergente. Razonando de nuevo por reducción al absurdo,supongamos que {(−1)n}→ x ∈R y tomemos otra vez ε = 1 para obtener m ∈N tal que|(−1)n− x| < 1 para n > m. Usando n = 2m tenemos |1− x| < 1, de donde x > 0. Perotambién podemos tomar n = 2m+1 para obtener |(−1)−x|= |x+1|< 1, de donde x < 0y hemos llegado a una contradicción.

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5.3. Sucesiones parciales

Acabamos de ver que la sucesión {(−1)n} no es convergente, pero es intuitivamente claroque con los términos que ocupan un lugar impar podemos formar una sucesión convergente,e igual ocurre con los términos que ocupan un lugar par. Pues bien, vamos a formalizar laidea intuitiva consistente en seleccionar términos de una sucesión dada, para obtener una nuevasucesión, de la que diremos que es una “sucesión parcial” de la de partida.

Veamos pues en qué consiste la idea de seleccionar términos de una sucesión. Si llamamosσ(n) al lugar que ocupa en la sucesión de partida el n-ésimo término de la sucesión parcial,está claro que nuestra selección queda determinada por una aplicación σ : N → N. Siguiendocon nuestra idea intuitiva, el (n + 1)-ésimo término de la sucesión parcial debe ocupar en lasucesión de partida un lugar posterior al n-ésimo, es decir, debe ser σ(n) < σ(n+1), de formaque los términos que vayamos seleccionando no aparezcan en la sucesión parcial permutadosni repetidos. Finalmente es claro que si {xn} era la sucesión de partida, la selección descritamediante la aplicación σ produce la sucesión {xσ(n)}. Quedan así explicadas las definicionesque hacemos a continuación.

Se dice que una aplicación σ : N→ N es estrictamente creciente, cuando verifica que

σ(n) < σ(n+1) ∀n ∈ N

Si {xn} e {yn} son sucesiones, se dice que {yn} es una sucesión parcial de {xn} cuando existeuna aplicación estrictamente creciente σ : N→ N tal que

yn = xσ(n) ∀n ∈ N

Dicho de forma equivalente, las sucesiones parciales de una sucesión {xn} son las de la forma{xσ(n)}, donde σ : N→N es una aplicación estrictamente creciente. Obsérvese que la definiciónanterior tiene perfecto sentido para sucesiones de elementos de un conjunto arbitrario, aunqueaquí sólo nos interesen las de números reales.

Para presentar ejemplos de sucesiones parciales basta mostrar aplicaciones estrictamentecrecientes de N en sí mismo, cosa bien fácil. En los ejemplos que siguen, {xn} puede sercualquier sucesión de números reales y explicamos la selección de sus términos determinadapor la aplicación σ que se considera, que siempre es estrictamente creciente.

Tomando σ(n) = n ∀n ∈ N, observamos que {xσ(n)} = {xn} es una sucesión parcial desí misma. Obviamente, una forma de seleccionar términos de una sucesión consiste enseleccionarlos todos, aunque este ejemplo de sucesión parcial sea poco interesante.

Fijado k ∈ N, podemos tomar σ(n) = k +n ∀n ∈ N. Aparece así la sucesión {xk+n}, quees la sucesión parcial de {xn} obtenida al suprimir los k primeros términos y conservarlos restantes.

Tomando σ(n) = 2n ∀n ∈N, obtenemos la sucesión parcial {x2n}, en la que aparecen lostérminos de {xn} que ocupan los lugares pares.

Para seleccionar los términos en lugares impares, tomamos σ(n) = 2n− 1 ∀n ∈ N, conlo que obtenemos la sucesión parcial {x2n−1}.

5. Sucesiones convergentes 43

Vamos a ver enseguida que la convergencia de una sucesión obliga a todas sus sucesionesparciales a converger al mismo límite. Conviene hacer previamente la siguiente observación,sencilla pero importante:

Toda aplicación estrictamente creciente σ : N→ N verifica que σ(n) > n ∀n ∈ N.

La prueba por inducción es clara: σ(1) ∈ N, luego σ(1) > 1 y, suponiendo σ(n) > n, tenemosσ(n+1) > σ(n) > n, luego σ(n+1) > n+1. Podemos ya probar fácilmente lo siguiente:

Si {xσ(n)} es una sucesión parcial de una sucesión convergente {xn}, entonces {xσ(n)}también es convergente, con lım{xσ(n)}= lım{xn}.

Si {xn}→ x∈R, para cada ε > 0 podemos encontrar m∈N tal que |xn−x|< ε para n > m. Peroentonces, la observación previa nos dice que para n > m tenemos también σ(n) > n > m, luego|xσ(n)−x|< ε. Hemos demostrado que {xσ(n)}→ x, como se quería. Nótese que, para conseguirla convergencia de cualquier sucesión parcial, podemos asociar a cada ε > 0 el mismo m ∈ Nque nos proporciona la convergencia de la sucesión de partida. �

Como clara consecuencia, si {xn} admite una sucesión parcial que no es convergente, oadmite dos sucesiones parciales que convergen a límites diferentes, entonces {xn} no puedeser convergente. Por ejemplo, el hecho ya conocido de que la sucesión {(−1)n} no convergese puede explicar rápidamente, observando lo que les ocurre a dos sucesiones parciales suyas:{(−1)2n}→ 1 y {(−1)2n+1}→−1.

En ocasiones, se puede deducir la convergencia de una sucesión usando la convergencia deuna o varias sucesiones parciales. En lugar de hacer un enunciado general, que no será difíciladivinar, consideramos un par de ejemplos ilustrativos. El primero nos dice que la convergenciade una sucesión no depende para nada de sus primeros k términos, por muy grande que sea k:

Fijado k ∈ N, para toda sucesión {xn} y todo x ∈ R, se tiene: {xn}→ x ⇔ {xk+n}→ x

Basta obviamente probar la implicación hacia la izquierda. Dado ε > 0 tenemos m ∈ N tal que|xk+n− x|< ε para n > m. Para n > k +m será n− k > m luego |xn− x|= |xk+n−k− x|< ε. �

En un segundo ejemplo, usaremos dos sucesiones parciales, las formadas por los términospares y por los impares:

Para toda sucesión {xn} y todo x ∈R, se tiene: {x2n}→ x , {x2n−1}→ x =⇒ {xn}→ x

Dado ε > 0 tenemos m1,m2 ∈ N verificando que |x2k − x| < ε para k > m1 y |x2k−1− x| < ε

para k > m2. Tomando m = max{2m1,2m2 + 1}, para n > m podrán darse dos casos. Si n espar, tendremos n = 2k con k ∈ N y k > m1, luego |xn− x| = |x2k − x| < ε. Si n es impar, serán = 2k−1 con k ∈ N y k > m2, con lo que obtenemos también |xn− x|= |x2k−1− x|< ε. �

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5.4. Sucesiones acotadas

Ya se ha comentado la distinción que debemos tener presente entre una sucesión {xn} y elconjunto de sus términos {xn : n ∈ N}. Ello no impide, como vamos a hacer ahora, considerarpropiedades de una sucesión que sólo dependen del conjunto de sus términos:

Decimos que una sucesión de números reales {xn} está mayorada o minorada cuando loesté el conjunto {xn : n ∈ N}. Simbólicamente:

{xn} mayorada ⇐⇒ ∃ β ∈ R : xn 6 β ∀n ∈ N{xn} minorada ⇐⇒ ∃ α ∈ R : α 6 xn ∀n ∈ N

Naturalmente decimos que la sucesión {xn} está acotada cuando está mayorada y minorada.Es fácil ver que esto equivale a que la sucesión {|xn|} esté mayorada:

{xn} acotada ⇐⇒ ∃ K ∈ R : |xn|6 K ∀n ∈ NRápidamente relacionamos convergencia y acotación:

Toda sucesión convergente está acotada.

La demostración no es difícil. Si {xn} → x, la definición de convergencia nos proporciona unm ∈ N tal que |xn− x|< 1 para n > m. Tenemos por tanto:

n > m =⇒ |xn|= |xn− x+ x|6 |xn− x|+ |x|< 1+ |x|

Por otra parte, el conjunto {|xn| : n 6 m} es un subconjunto de R no vacío y finito, luegotendrá un máximo, digamos A. Tenemos claramente |xn|6 1+ |x|+A para todo n ∈N, luego lasucesión {xn} está acotada, como queríamos demostrar. �

La implicación recíproca es falsa: la sucesión {(−1)n} está acotada pero no es convergente.

Conviene resaltar una idea que ha aparecido claramente en la demostración anterior y quese usa muy a menudo. Dada una sucesión {xn}, si para cierto m ∈ N probamos que el conjunto{xn : n > m} está acotado, entonces podemos asegurar que la sucesión {xn} está acotada.

De la implicación recién demostrada podemos deducir claramente algo que ya sabíamos: lasucesión {n} no es convergente, puesto que no está acotada.

5.5. Operaciones con sucesiones convergentes

Vamos a presentar ahora algunas reglas prácticas para el cálculo de límites. Empezamoscon una observación inmediata: la convergencia de una sucesión siempre equivale a que otrasucesión, de números no negativos, converja a cero.

Dada una sucesión {xn}, para x∈R, se tiene: {xn}→ x ⇔ {|xn−x|}→ 0. En particular,{xn}→ 0 ⇔ {|xn|} → 0.

En efecto, basta usar la definición de convergencia para ver que ambas afirmaciones se expresanexactamente de la misma forma.

5. Sucesiones convergentes 45

Conviene observar que la convergencia de una sucesión {xn} siempre implica la de {|xn|}:

Dada una sucesión {xn}, para x ∈ R, se tiene: {xn}→ x ⇒ {|xn|} → |x|.

En efecto, basta tener en cuenta que∣∣ |xn| − |x|

∣∣ 6 |xn − x| para todo n ∈ N. En general, elrecíproco no es cierto: tomando xn = (−1)n para todo n ∈ N, es evidente que {|xn|} → 1 perola sucesión {xn} no es convergente.

Pasamos a discutir la relación entre la convergencia de sucesiones y la estructura de R:suma, producto y orden. Para la suma, la situación es diáfana:

Si {xn} , {yn} son sucesiones convergentes, entonces {xn +yn} es convergente y se verificaque lım{xn + yn}= lım{xn}+ lım{yn}.

En efecto, suponiendo que {xn} → x y que {yn} → y, debemos probar que {xn + yn} → x + y.Dado ε > 0 existen m1,m2 ∈N tales que |xn−x|< ε/2 para n > m1, mientras que |yn−y|< ε/2para n > m2. Entonces, tomando m = max{m1,m2}, para n > m tenemos

|(xn + yn)− (x+ y)|6 |xn− x|+ |yn− y|< ε

2+

ε

2= ε �

Para el producto, esperamos un resultado análogo, pero conviene probar previamente losiguiente:

Si una sucesión {yn} está acotada y {zn}→ 0, entonces {yn zn}→ 0.

En efecto, existe K ∈R+ tal que |yn|6 K para todo n ∈N y podemos encontrar m ∈N de formaque |zn|< ε/K para n > m, luego para n > m tenemos

|yn zn|= |yn| |zn|6 K |zn|< Kε

K= ε �

Lo que ocurre con un producto de sucesiones convergentes es ya fácil de comprobar:

Si {xn} e {yn} son sucesiones convergentes, entonces la sucesión {xn yn} es convergentey se verifica que lım{xn yn}= lım{xn} · lım{yn}.

Suponiendo que {xn} → x y que {yn} → y, debemos probar que {xnyn} → xy. Empezamosobservando que, para cualquier n ∈ N, se tiene:

xn yn− xy = xn yn− xyn + xyn− xy = (xn− x)yn + x(yn− y)

Puesto que {xn − x} → 0, e {yn} está acotada (por ser convergente), será {(xn − x)yn} → 0,pero también es claro que {x(yn − y)} → 0. El resultado anterior sobre sumas de sucesionesconvergentes nos dice que {xn yn− xy}→ 0, luego {xnyn}→ xy, como queríamos. �

Para aproximarnos al cociente de dos sucesiones convergentes, empecemos viendo lo queocurre al invertir los términos de una sucesión convergente:

5. Sucesiones convergentes 46

Si xn ∈ R∗ para todo n ∈ N y {xn}→ x ∈ R∗, entonces{

1xn

}→ 1

x

Puesto que1xn− 1

x=

x− xn

xn xpara todo n ∈ N, bastará ver que la sucesión

{1xn

}está acotada.

Ahora bien, tomando ε = |x|/2 > 0 encontramos m ∈ N tal que, |xn− x| < |x|/2 para n > m.Entonces, también para n > m, tenemos

|xn|= |x− (x− xn)|> |x|− |x− xn|> |x|− |x|2

=|x|2

, luego∣∣∣∣ 1xn

∣∣∣∣ 62|x|

�

La hipótesis x ∈R∗ del resultado anterior es esencial. Si x = 0, entonces la sucesión {1/xn}no está acotada, pues si lo estuviera, tendríamos {xn ·1/xn}→ 0, lo cual es absurdo. Lo que sepuede afirmar sobre un cociente de sucesiones convergentes es ya inmediato:

Sea {yn} una sucesión convergente y {xn} una sucesión de números reales no nulos queconverja a un número real no nulo. Entonces la sucesión {yn/xn} es convergente y severifica que: lım{yn/xn} = lım{yn}/ lım{xn}

Pasamos ahora a discutir brevemente la relación entre la convergencia de sucesiones y elorden de los números reales. Dicho de forma más intuitiva, queremos saber si las desigualdadesentre los límites de dos sucesiones convergentes dan lugar a desigualdades entre los términos yviceversa. La respuesta es bien sencilla:

Sean {xn} e {yn} sucesiones convergentes. Si lım{yn}< lım{xn}, entonces existe m ∈Ntal que yn < xn para n > m.

Para comprobarlo, sea y = lım{yn} < lım{xn} = x. Tomamos ε = (x− y)/2 y encontramosm ∈ N tal que |xn− x| < ε y también |yn− y| < ε para n > m. Entonces, para n > m tenemosclaramente

yn < y+ ε = y+x− y

2=

x+ y2

= x− x− y2

= x− ε < xn �

Si queremos que las desigualdades entre los términos de las dos sucesiones se reflejen ensus límites, basta enunciar equivalentemente el último resultado:

Sean {xn} e {yn} sucesiones convergentes. Si el conjunto {n ∈N : xn 6 yn} es infinito,entonces: lım{xn}6 lım{yn}.

En efecto, si fuese lım{yn}< lım{xn}, el resultado anterior nos daría un m ∈ N tal que yn < xnpara n > m, luego el conjunto {n ∈ N : xn 6 yn} sería finito. �

Obviamente, si xn 6 yn para todo n ∈ N, se tendrá también lım{xn}6 lım{yn}. Convienesin embargo resaltar que de la desigualdad estricta xn < yn, aunque sea válida para todo n ∈ N,no podemos deducir lım{xn} < lım{yn}. Basta observar, por ejemplo, lo que ocurre cuandoxn = 0, yn = 1/n, para todo n ∈ N. Destacamos el caso particular del resultado anterior que seutiliza con más frecuencia.

5. Sucesiones convergentes 47

Sea {xn} una sucesión convergente y α,β ∈ R.

Si el conjunto {n ∈ N : xn 6 β} es infinito, entonces lım{xn}6 β.Si el conjunto {n ∈ N : α 6 xn} es infinito, entonces α 6 lım{xn}.En particular, se tiene: ınf{xn : n ∈ N}6 lım{xn}6 sup{xn : n ∈ N}.

En los resultados anteriores se supone que las sucesiones involucradas son convergentes. Enla situación que ahora vamos a considerar se consigue la convergencia de una sucesión que, porasí decirlo, está “emparedada” entre dos sucesiones convergentes al mismo límite.

Sean {xn} , {yn} , {zn} sucesiones tales que xn 6 yn 6 zn para todo n ∈ N. Si {xn} y {zn}convergen a un mismo límite, entonces {yn} también converge a dicho límite.

En efecto, sea x = lım{xn} = lım{zn} y vamos a probar que {yn} → x. Dado ε > 0 tenemosm ∈N tal que, para n > m se tiene |xn−x|< ε y también |zn−x|< ε. Entonces, para n > m seráx− ε < xn 6 yn 6 zn < x+ ε, luego |yn− x|< ε como queríamos. �

Obsérvese que el resultado anterior sigue siendo cierto si se supone solamente que la dobledesigualdad xn 6 yn 6 zn se verifica para todo n suficientemente grande. Sin embargo, paraasegurar la convergencia de {yn}, no basta que el conjunto {n ∈ N : xn 6 yn 6 zn} sea infinito.

Concluimos este tema mostrando que algunas propiedades de R pueden interpretarse deforma muy clara e intuitiva, mediante la convergencia de sucesiones. Un primer ejemplo ya seha comentado: la propiedad arquimediana de R equivale a decir que {1/n} → 0. La siguienteobservación clarifica las nociones de supremo e ínfimo:

Si A es un conjunto de números reales no vacío y mayorado, existe una sucesión {xn} deelementos de A tal que {xn}→ sup A. Análogamente, si A es no vacío y minorado, existeuna sucesión {yn} de elementos de A tal que {yn}→ ınf A.

En efecto, si A está mayorado, para cada n ∈ N podemos encontrar xn ∈ A verificando que

sup A− 1n

< xn 6 sup A

Formamos así una sucesión {xn} de elementos de A que evidentemente converge a sup A. Parael ínfimo de un conjunto minorado se razona de forma análoga. �

La relación entre supremo y máximo, o entre ínfimo y mínimo, puede entenderse ahoracon más claridad. El supremo de un conjunto no vacío y mayorado, puede no pertenecer alconjunto, pero siempre es el límite de una sucesión de puntos del conjunto y, de hecho, es elúnico mayorante del conjunto que tiene esa propiedad. Análogamente, el ínfimo de un conjuntono vacío y minorado es el único minorante del conjunto que puede obtenerse como límite deuna sucesión de puntos del conjunto. Por ejemplo, es ahora evidente que 0 = ınf{1/n : n ∈N}.

Podemos también interpretar la densidad de Q y R\Q en R. Recordando que

sup{r ∈Q : r < x}= x = ınf{s ∈Q : s > x} ∀x ∈ R

deducimos claramente lo siguiente:

5. Sucesiones convergentes 48

Para todo x ∈ R, existen sucesiones {rn} y {sn} de números racionales, tales que:

rn < x < sn ∀n ∈ N , x = lım{rn}= lım{sn}

La misma idea puede usarse con R\Q obteniendo, para cada x ∈ R, sendas sucesiones {αn} y{βn} de números irracionales que convergen a x y verifican que αn < x < βn para todo n ∈ N.De hecho, se puede hacer el mismo razonamiento con cualquier conjunto denso en R.

5.6. Ejercicios de revisión

1. Probar que un conjunto A es numerable si, y sólo si, existe una sucesión {an} de elementosde A tal que A = {an : n ∈N}. En particular, Q = {rn : n ∈N} para conveniente sucesión{rn}. ¿Puede {rn} ser convergente?

2. Dados α,β ∈ R con α 6= β, definir una sucesión {xn} de puntos del conjunto {α,β} talque los conjuntos {n ∈ N : xn = α} y {n ∈ N : xn = β} sean infinitos.

3. Dadas dos sucesiones {xn} e {yn} pongamos {yn} � {xn} cuando {yn} sea una sucesiónparcial de {xn}. Probar que la relación � es reflexiva y transitiva.¿Es antisimétrica?

4. Sea {xn} una sucesión convergente y φ : N → N una aplicación inyectiva. Probar que{xφ(n)} converge al mismo límite que {xn}. ¿Es {xφ(n)} una sucesión parcial de {xn}?

5. Probar que las sucesiones {1/n2}, {1/2n} y {1/n!} convergen a cero.

6. En cada uno de los siguientes casos, probar que la sucesión dada es convergente y calcularsu límite:

(a){

(−1)nnn2 +1

}(b)

{2n+5(−1)n

n+1

}(c)

{(−1)nn2−3n+4

n3 + 1

}7. Sea D un conjunto denso en R.

a) Probar que, para cada x ∈ R, existen sucesiones {αn} y {βn} verificando:

αn,βn ∈ D , αn < x < βn ∀n ∈ N , x = lım{αn}= lım{βn}

b) Recíprocamente, sea A un subconjunto de R verificando que para cada x ∈ R existeuna sucesión de elementos de A que converge a x. Probar que A es denso en R.