StochProc_2014_04_answers (2)
7
Στοχαστικές Ανελίξεις - Απρίλιος 2014 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1. (25) ΄Εχουmε 3 νοmίσmατα όπου η πιθανότητα το i να φέρει κεφάλι είναι ίση mε p i ,i =1, 2, 3, και ακολουθούmε την εξής διαδικασία. Ξεκινάmε mε το νόmισmα 1 και το ρίχνουmε διαδοχικά mέχρι να φέρει κεφάλι. Τότε το αλλάζουmε mε το 2 και επαναλαmβάνουmε την ίδια διαδικασία. ΄Οταν το 2 φέρει κεφάλι το αλλάζουmε mε το 3 και όταν αυτό φέρει κεφάλι το αλλάζουmε mε το 1 και ούτω καθεξής. (α) Να ορίσετε mια Μαρκοβιανή διαδικασία διακριτού χρόνου που περιγράφει την εξέλιξη αυτού του παι- χνιδιού και να βρείτε το διάγραmmα και τον πίνακα πιθανοτήτων mετάβασης ενός βήmατος. (β) Να χαρακτηρίσετε αυτή τη διαδικασία και να βρείτε την οριακή κατανοmή. (γ) Αν κάθε φορά που φέρνουmε κεφάλι κερδίζουmε 1 ευρώ, ποιο είναι το αναmενόmενο mέσο κέρδος ανά mονάδα χρόνου σε άπειρο ορίζοντα; Απάντηση (α) Υποθέτουmε 0 <p i < 1,i =1, 2, 3. ΄Εστω n =1, 2, οι διαδοχιδές ρίψεις και X n το νόmισmα που ρίχνεται στη n-οστή ρίψη, mε X n ∈{1, 2, 3}. Αν X n = i, αυτό σηmαίνει ότι το νόmισmα i είναι σε χρήση και από την τελευταία φορά που χρησιmοποιήθηκε δεν έχει φέρει ακόmη κεφάλι. Επειδή οι διαδοχικές ρίψεις είναι ανεξάρτητες, η κατανοmή πιθανότητας της επόmενης κατάστασης εξαρτάται mόνο από το ποιο νόmισmα χρησιmοποιείται τώρα και όχι από την προηγούmενη ιστορία. Συγκεκριmένα αν το νόmισmα φέρει γράmmατα η κατάσταση θα παραmείνει η ίδια, ενώ αν φέρει κεφάλι η κατάσταση θα αλλάξει στο επόmενο νόmισmα. Εποmένως η διαδικασία X n ,n =1, 2,... είναι Μαρκοβιανή αλυσίδα διακριτού χρόνου mε πίνακα και διάγραmmα πιθανοτήτων mετάβασης ενός βήmατος που φαίνονται παρακάτω: P = 1 - p 1 p 1 0 0 1 - p 2 p 2 p 3 0 1 - p 3 3 2 1 1 - p 1 p 1 1 - p 2 p 2 1 - p 3 p 3 Σχήmα 1: Θέmα 1: Dιάγραmmα Πιθανοτήτων Μετάβασης Ενός Βήmατος (β) Η αλυσίδα είναι αδιαχώριστη και επειδή είναι και πεπερασmένη, είναι θετικά επαναληπτική. Επίσης επειδή για κάθε κατάσταση i, p ii > 0, είναι και απεριοδική. Εποmένως υπάρχει η οριακή κατανοmή π = (π 1 ,π 2 ,π 3 ) που είναι η mοναδική λύση του συστήmατος: π 1 = (1 - p 1 )π 1 + p 3 π 3 π 2 = (1 - p 2 )π 2 + p 1 π 1 π 1 + π 2 + π 3 =1 1
-
Upload
scorober87 -
Category
Documents
-
view
214 -
download
2
description
Stochastic proc
Transcript of StochProc_2014_04_answers (2)
-
- pi 2014
1. (25) 3 pi pi i pi, i = 1, 2, 3, . 1 . 2 pi . 2 3 1 .() pi pi pi- pi pi .() .() pi 1 , pi pi ;
pi() pi 0 < pi < 1, i = 1, 2, 3. n = 1, 2, Xn pi n- , Xn {1, 2, 3}. Xn = i, i pi pi pi . pi , pi pi pi pi pi pi pi . pi , pi. pi Xn, n = 1, 2, . . . pi pi pi pi:
P =
1 p1 p1 00 1 p2 p2p3 0 1 p3
3
21
1 p1 p1 1 p2
p2
1 p3
p3
1: 1:
() pi pipi, pipi. pipi i, pii > 0, pi. pi pi pi =(pi1, pi2, pi3) pi :
pi1 = (1 p1)pi1 + p3pi3pi2 = (1 p2)pi2 + p1pi1
pi1 + pi2 + pi3 = 1
1
-
pi pi pipi
pi1p1 = pi2p2 = pi3p3
pi1 + pi2 + pi3 = 1.
pi
pi1 =
1p1
1p1
+ 1p2 +1p3
, pi2 =
1p2
1p1
+ 1p2 +1p3
, pi3 =
1p3
1p1
+ 1p2 +1p3
.
() 1 pi ( ) 0 pi , Xn = i,
Rn(Xn, Xn+1) =
{1, pi pi0, pi 1 pi
pi pi i
r(i) = E(Rn(Xn, Xn+1)|Xn = i) = pi. pi pi pi
C =iS
r(i)pii =3i=1
pi
1pi
1p1
+ 1p2 +1p3
=3
1p1
+ 1p2 +1p3
.
2. (30) , pi pi. pi pi p pi 1 p. pi pi pi pi . pi pi pi .() pi pi;() pi pi ;() pi pi pi pi pi pi;
pi: {Xn, n = 0, 1, . . .} pi X0 = 0 Xn n- pi.
pi() Xn n- pi. Xn = 2 2, pi , . Xn = 1, 0, 1 pi pi 1 ( pi 1 p) 1 (pi p). pi, pi , Xn, Xn+1 pi . pi
-2 -1 0 1 21
p
1 p
p
1 p
p
1 p1
2
-
-2 2 pi -1, 0, 1 pi. - pi pi 0 pi -2 2. pi, fi pi i pi -2 2. f1, f0, f1 pi pi , pi pipi pi pi :
f1 = 1 + pf0f0 = 1 + (1 p)f1 + pf1f1 = 1 + (1 p)f0.
pi pi:
f0 = 1 + (1 p) + (1 p)pf0 + p+ p(1 p)f0 = 2 + 2p(1 p)f0 pi
f0 =2
1 2p(1 p)pi pi pi.() pi pi pi pi 2 0. xi pi pi 2 X0 = i. x2 = 0, x2 = 1. x1, x0, x1 pi pi , pi pipipi pi :
x1 = px0x0 = (1 p)x1 + px1x1 = p 1 + (1 p)x0.
pi pi:
x0 = (1 p)px0 + p2 + p(1 p)x0 = p2 + 2p(1 p)x0 pi
x0 =p2
1 2p(1 p)pi pi pi .() pi pi p pi.pi pi pipi pi x0 p. x0 pi:
p2
1 2p(1 p) pp
1 2p(1 p) 1 p 1 2p(1 p) 1 3p+ 2p2 0.
2p2 3p+ 1 1 12 . pi 12 p 1, pi pi pi ( pi pi ).
3. (25) {Xn, n = 0, 1, . . .}
3
-
S = {1, 2, . . . , 7} pi pi pi
P =
14
34 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 015
15
15
15
15 0 0
0 1414 0 0
14
14
0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0
.
() pi pi pipi pi.() pi pi :
limn p
(n)12 , limn p
(n)32 , limn p
(n)17 , limn p
(n)45 , limn p
(n)42 , limn p
(n)34 .
() X0 = 6, pi pi pi pi pi 7;() X0 = 1, pi pi pi pi pi 1;
pi() pi pi pi pi pi:
1
2
3
4
6
5
7
14
34 1
151
5
15
15
1515
14
14
14
14
1
1 1
pi pi pi:
1. C1 = {1, 2} pipi pipi 2. C2 = {5} pi 3. C3 = {6, 7} pipi pipi 4. C = {3, 4} pi pi
4
-
pi pipi, C1 pi pi p11 > 0 C3 pi pi 2.() pipi .
pi C2 pi pi pi pi
pi1 =1
4pi1 + pi2
pi1 + pi2 = 1
pi pi pipi pi1 = 47 , pi2 =37 .
C2 pi pi pi pi 5 pi pi pi5 = 1.
C3 pi pi pi, pi pi pi :
pi6 = pi7
pi6 + pi7 = 1
pi pi pipi pi6 = pi7 = 12 . pi pipi pi pi pi pi
pi pi pi pipi . C1 pi pi x3,C1 , x4,C1 pi -
x3,C1 = p31 1 + p32 1 + p33x3,C1 + p34x4,C1 + p35 0x4,C1 = p42 1 + p43x3,C1 + p46 0 + p47 0
pi
x3,C1 =2
5+
1
5x3,C1 +
1
5x4,C1
x4,C1 =1
4+
1
4x3,C1
pi pi pipi x3,C1 =35 , x4,C1 =
25 .
C2 pi pi x3,C2 , x4,C2 pi -
x3,C2 = p34 1 + p33x3,C2 + p34x4,C2x4,C2 = p43x3,C2
pi
x3,C2 =1
5+
1
5x3,C2 +
1
5x4,C2
x4,C1 =1
4x3,C2
pi pi pipi x3,C2 =415 , x4,C2 =
115 .
C3 pi pi pipi pi :
x3,C3 = 1 x3,C1 x3,C2 = 13
5 4
15=
2
15
x4,C3 = 1 x4,C1 x4,C2 = 12
5 1
15=
8
15.
5
-
pi pi.
pi limn p(n)12 = pi1 =
47 , C1 pipi pi
pipi pi.
pi limn p(n)32 = x3,C1pi2 =
3537 =
935 , pi pipi pi C1
pi pi 2.
pi limn p(n)17 = 0 1 pi
pi C1. pi :
limn p
(n)45 = x4,C2pi5 =
1
15
limn p
(n)42 = x4,C1pi2 =
1
15
limn p
(n)34 = 0,
pi 4 pi.() 6, pi pi pipi C3. pi , pi pi6, pi7 pi pi pi 6 7 , pi pi pi7 = 12 .() 1, pi pi pipi C1, pi pi pi1 = 47 .
4. (30) pi pi pi pi Poisson(). pi pi pi - . X(t) pi t.() {X(t), t 0} .() pi pi Chapman-Kolmogorov pi - pij(t), i, j S.() pi pipi , . ;() 100 pi pi - 1 , pi pi pi pi ; (pi pi pi .)
pi () pi pi pi . pi X(t), t 0 -.
n = , n = 0, 1, . . .. pi n pi
pi pi pi n pi. pi pi - n, n = n, n = 0, 1, 2, . . ..
6
-
0 1 2 n 1 n
() pi Chapman-Kolmogorov :
pi0(t) = pi0(t) + pi1(t), i 0,pij(t) = (+ j)pij(t) + pi,j1(t) + (j + 1)pi,j+1(t), i 0, j > 0
() . pi pi, pi pi, pipi pipi. , pipipipi pi . pipi pi. pi pi {0, 1, . . . , n}, {n+ 1, . . .}, n = 0, 1, . . ., pi
p0 = p1
p1 = p22
pn1 = pnn
pi pi pipi
p1 =
p0, p2 =
2p1 =
2
22p0, . . . , pn =
n
n!np0
pi pn pi pin=0
pn = p0
n=0
n
n!n= 1.
n=0
n
n!n=n=0
(
)nn!
= e
pipi , > 0, pi pi pi pipi
p0 = e
pn = e
(
)nn!
> 0, n = 0, 1, 2, . . .
pi pipi pi. , pi Poisson pi .() pi () pi X(t) t pi Poisson pi . pi
limtE(X(t)) =
.
, = 100 60 = 6000, 1/ = 1, pilimtE(X(t)) = 6000.
7
![Velocidad de reacción - WordPress.com · Velocidad de reacción 2 Velocidad de reacción: concepto 2 2 2 2 1 2 H O H O Oo tiempo (s) [H 2 O 2] (M) [H 2 O] (M) [O 2] (M) 0 400 2,32](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5f4fe9b3fbf70c7d6a60bd55/velocidad-de-reaccin-velocidad-de-reaccin-2-velocidad-de-reaccin-concepto.jpg)
