Spettro d’ampiezza Α= f )() Xf Spettro di fase Qf ArgX...
Transcript of Spettro d’ampiezza Α= f )() Xf Spettro di fase Qf ArgX...
L3/1
“SPETTRO” DI UN SEGNALE
Dato un segnale ( )x t si considerano modulo e argomento della sua trasformata di Fourier:
( ) ( )Fourier
x t X f→
• Spettro d’ampiezza: ( ) ( )f X fΑ =
• Spettro di fase: ( ) ( )( )Q f Arg X f=
• Occupazione spettrale: intervallo di frequenze in cui ( )A f è “significativo”, in termini relativi (al valore massimo) o assoluti (riferimento fissato)
• Larghezza di banda: A -3 dB A -10 dB
…...
L3/2
LARGHEZZA DI BANDA DI UN SEGNALE
maxA2maxA2
maxA10
maxA10
( )A f
f
8
7
6
5
4
3
2
1
0
( ) ( )max
10dB
AA f 20 logA f
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ 3dB−
6dB−
10dB−
20dB−
f
0
maxA
maxA2maxA2
maxA10
maxA10
( )A f
f
8
7
6
5
4
3
2
1
0
( ) ( )max
10dB
AA f 20 logA f
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ 3dB−
6dB−
10dB−
20dB−
f
0
maxA
L3/3
SEGNALI IN BANDA “BASE”
( )A f
B
f0
f0
+π
−π
( )Q f
( )A f
B
f0
f0
+π
−π
( )Q f
SEGNALI IN BANDA “STRETTA” : B << fc
( )A f
B B
cf− cf+ f
( )A f
B B
cf− cf+ f
( )Q f
cf−
cf+ f
( )Q f
cf−
cf+ f
L3/4
CAMPIONAMENTO ED ALIASING – Esempio: lo Stroboscopio
t 0.25''= t 0.50''=
s sTa) Immagini prese a T F 4F4
= =
s sTb) Immagini prese a T F 2F2
= =
t 0''=
A A A
t 0.75''=
A
t 0''=
A
t 0.50''=
A
t 1.00''=
A
t 1.50''=
A
2 1Rotazione con un periodo di T 1.0''F
πω
= = =
A
t 0.25''= t 0.50''=
s sTa) Immagini prese a T F 4F4
= =
s sTb) Immagini prese a T F 2F2
= =
t 0''=
A
t 0''=
A A A
t 0.75''=
A
t 0''=
A
t 0.50''=
A
t 1.00''=
A
t 1.50''=
A
2 1Rotazione con un periodo di T 1.0''F
πω
= = =
A
L3/5
CAMPIONAMENTO ED ALIASING – Esempio: lo Stroboscopio
t 0= st T= st 2T=
t 0= st T= st 2T=
sTc) Immagini prese a T 0.05''2
= +
sd) Immagini prese a T T 0.05''= +
A A A
A A A
Rotazione apparente
t 0= st T= st 2T=
t 0= st T= st 2T=
sTc) Immagini prese a T 0.05''2
= +
sd) Immagini prese a T T 0.05''= +
A A A
A A A
Rotazione apparente
L3/6
IL PROCESSO DI CAMPIONAMENTO
In un qualsiasi sistema reale, il campionamento è il prodotto del segnale di energia ( )x t con un treno di impulsi rettangolari,
ciascuno di durata τ molto minore del periodo T del treno:
( ) ( ),Tk
Tc t rect t kTτττ
∞
=−∞
= −∑
dove ( ) 1 trect t 2 2
0 altroveτ
τ τ⎧ − < <⎪= ⎨⎪⎩
( )Tc t
Tτ
0
τ
T t
( )Tc t
Tτ
0
τ
T t
L3/7
IL PROCESSO DI CAMPIONAMENTO Ricordando i coefficienti di Fourier per un treno di impulsi rettangolari
di ampiezza unitaria, durata τ e periodo T: ( )x t
1
tτ/2−τ/2 T
( )x t
1
tτ/2−τ/2 T
Sviluppando in Serie di Fourier ( ),Tc t τ e ponendo kfT
= si ottiene
lo spettro:
( )T k f T
sin 2 fT 2C f c
2 f2
= ⋅
τ⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠= =
ττ π
k
ksinTc kT k
T
⎛ ⎞π τ⎜ ⎟τ ⎝ ⎠= ⋅π τ
L3/9
SEGNALE CAMPIONATO E SUO SPETTRO
Il segnale x(t), supposto per ora di energia con spettro ( )X f ,
per campionamento si trasforma nel segnale campionato:
( ) ( ) ( ), ,T Tx t x t c t= ⋅τ τ
Lo spettro del segnale campionato a frequenza 1FT
= è:
( ) ( ) ( ) j2 ftF TX f, x t c t, e dt
∞−
−∞
= ∫ πτ τ
Considerando il limite per τ tendente a zero (campionamento ideale):
( ) ( ){ }( ) ( )
lim ,
lim
F T0
j2 ft
0k
X f Fourier x t
1 T x t rect t kT e dt
→
∞ ∞−
→=−∞−∞
= =
= ⋅ ⋅ −∑∫
τ
πττ
τ
τ
L3/10
SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO
Assumendo che gli operatori di integrazione e somma commutino, si ottiene:
( ) ( ) j2 TkfF
k
X f T x kT e π∞
−
=−∞
= ⋅∑
che è una funzione periodica con periodo 1FT
= , cioè eguale
alla frequenza di campionamento.
I coefficienti dello sviluppo di Fourier di ( )FX f coincidono con i "campioni" del segnale originario, cioè:
( ) [ ]T x kT x k⋅ ≡
L3/11
SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO (Cont.)
Si è ricavata l'espressione della trasformata di Fourier della sequenza x[k]:
( ) [ ]expFk
2X f x k j kfFπ∞
=−∞
⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑
condizione sufficiente per l’esistenza è che x[k] sia sommabile in modulo:
[ ]k
x k∞
=−∞
< ∞∑
Se x[k] ha energia finita:
[ ] 2
k
E x k∞
=−∞
= < ∞∑
ed è una sequenza di lunghezza finita, allora è anche sommabile in modulo ed esiste la sua trasformata di Fourier.
L3/12
INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
Dal calcolo dei coefficienti di Fourier risulta:
[ ] ( )exp
F2
FF2
1 2x k X f j kf dfF F
π+
−
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∫
dove l'integrale può essere esteso a qualsiasi intervallo di ampiezza F. Tale formula permette la ricostruzione della sequenza noto lo spettro ( )FX f .
( )FX f
0 F 2FF− f
…..…..
( )FX f
0 F 2FF− f
…..…..
Esempio di spettro (modulo) di un segnale campionato
L3/13
RELAZIONE TRA SPETTRO DEL SEGNALE CONTINUO E SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO
La relazione tra lo spettro ( )X f del segnale originario ( )x t e lo spettro ( )FX f del segnale campionato, o sequenza [ ]x k , si ottiene considerando la trasformata di Fourier inversa:
( ) ( ) j2 ftx t X f e dfπ∞
−∞
= ∫
calcolata per t kT= .
Si ha, ponendo [ ] ( )x k T x kT= ⋅
[ ] ( ) { }expx k T X f j2 fkT dfπ∞
−∞
= ∫
L3/14
RELAZIONE TRA SPETTRO DEL SEGNALE CONTINUO E SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO (Cont.)
Nell'espressione di [ ]x k il dominio di integrazione può essere
diviso in intervalli di larghezza 1FT
= :
[ ] ( )( )
expi 1 F
i iF
1 2x k X f j kf dfF F
π+∞
=−∞
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∫
ricordando la periodicità dell'esponenziale complesso, si ha:
[ ] ( )expF
i0
1 2x k X f iF j kf dfF F
π∞
=−∞
⎧ ⎫= + ⎨ ⎬⎩ ⎭∑∫
L3/15
RELAZIONE TRA SPETTRO DEL SEGNALE CONTINUO E SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO (Cont.)
Dal confronto tra
[ ] ( )exp
F2
FF
2
1 2x k j kf dfF F
X f π+
−
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∫
e la precedente espressione:
[ ] ( )expi
F
0
1 2x k j kfX f iF F
F dfπ∞
=−∞
⎧ ⎫= ⎨⎩ ⎭
+ ⎬∑∫
si ottiene:
( ) ( )Fi
X f X f iF∞
=−∞
= +∑
cioè lo spettro del segnale campionato è la somma di “infinite repliche” dello spettro di ( )x t .
L3/16
ESEMPIO DI SPETTRO DI UN SEGNALE REALE Spettro di un segnale reale
mf− mf+ f
( )A f
mf− mf+ f
( )A f
Spettro del segnale campionato alla frequenza di campionamento F
mf− mf+ f
( )A f
mF 2 f=mF 2 f− = − 0mf− mf+ f
( )A f
mF 2 f=mF 2 f− = − 0
Linea tratteggiata: campionato. Linea continua: repliche dell’originale
L3/17
FILTRO IDEALE “ANTIALIASING”
mf− mf+ f
( )A f
maxA
1 Filtro idealePassa-Basso
mf− mf+ f
( )A f
maxA
1 Filtro idealePassa-Basso
Conversione A/D Conversione D/A Elaborazione
L3/18
RICOSTRUZIONE DEL SEGNALE Domanda: come ricostruire il segnale originale disponendo della versione campionata? Idea: Partire dallo spettro del segnale campionato [ ] ( )x k T x kT= ⋅ Per ricostruire lo spettro del segnale originale (linea blu in grassetto) è sufficiente moltiplicare lo spettro del segnale campionato per il filtro (spettro rosso nella figura)
L3/19
RICOSTRUZIONE DEL SEGNALE (Interpolatore Ideale)
Si ha quindi (indicando con ( )RX f lo spettro del segnale ricostruito):
( ) ( ) ( )R F FX f X f rect f= ⋅ Nel dominio del tempo
( ){ } [ ] ( )FX f x k T x kT= = ⋅-1F
( ){ } ( )Frect f F sin c Ft= ⋅ π-1F
ed alla moltiplicazione in frequenza corrisponde la convoluzione nel tempo.
( ) ( ){ } ( ){ }( ) ( )
Rx t T x kT F sin c Ft
x kT sin c Ft
= ⋅ ∗ ⋅ π =
= ∗ π
che diviene:
( ) ( ) ( ){ }Rk
x t x kT sin c F t kT+∞
=−∞
= ⋅ π −∑
L3/25
TEOREMA DI SHANNON (NYQUIST) Un segnale può essere correttamente ricostruito dai suoi
campioni se:
1) Il segnale è limitato in banda, con B banda bilatera del
segnale;
2) Il campionamento avviene ad una frequenza che è
superiore alla banda bilatera del segnale:
F B≥ Per segnali reali, data la simmetria dello spettro, maxB 2 f=
maxF 2 f≥
max NyquistFf f2
≤ =
L3/26
Ricostruzione del segnale per Interpolazione
( ) [ ]x nT x n= ( )x̂ tInterpolatore
( )p t( ) [ ]x nT x n= ( )x̂ tInterpolatore
( )p t
( ) [ ] ( )n
x̂ t x n p t nT+∞
=−∞
= ⋅ −∑
( ) ( ) ( )FX̂ f X f P f= ⋅
con ( )FX f spettro del segnale campionato
L3/27
o Interpolatore a mantenimento
( ) TTp t rect t2
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )sin TfP f T exp j Tf
Tfπ
= − ππ
( ) [ ] Tn
Tx̂ t x n rect t nT2
+∞
=−∞
⎛ ⎞= ⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠∑
L3/28
Esempio di ricostruzione con interpolatore a mantenimento:
Spettro del segnale originario: ( ) ( )2Bf1X f rect f
2B B= ⋅ ⋅
L3/30
Osservazioni sullo spettro del segnale ricostruito
i) Non è limitato in banda (presenza di immagini delle repliche del segnale originario)
ii) Nell’intervallo “utile” F F;2 2
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
non coincide con lo spettro
del segnale originario. ( )x t subisce una distorsione di ampiezza.
Filtro Anti-Immagine
L3/33
Esempio di interpolatore a mantenimento Segnale Cinematografico:
o Segnale tempo discreto come sequenza di immagini (fotogrammi)
o Segnale (bidimensionale) continuo nelle coordinate spaziali x,y.
o Il campionatore è l’otturatore della cinepresa.
o La frequenza di campionamento è 24 Hz (24 fotogrammi al sec.)
Campionamento
L3/34
Esempio di interpolatore a mantenimento
Ricostruzione del Segnale Cinematografico:
o In fase di proiezione il segnale è ricostruito mediante un interpolatore a mantenimento costituito dal proiettore: immagine fissa ogni fotogramma per 1/24 di secondo.
o L’occhio umano svolge la funzione di filtro anti-immagine.
o Tempo di permanenza dell’immagine sulla retina e di circa 0.1 sec.
o Banda dell’occhio 10 Hz che rispetta il teorema del campionamento.
o Presenza di artefatti.
L3/35
o Interpolatore lineare
( ) ( )2Tt
p t 1 rect tT
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )2
2sin fTP f T T sinc fT
fTπ⎡ ⎤= = ⋅ π⎢ ⎥π⎣ ⎦
L3/38
Interpolazione lineare
Interpolatore lineare: ( ) ( )2Tt
p t 1 rect tT
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
Per il generico intervallo ( )[ ]k 1 T ;kT− :
( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )k
x̂ t x k p t kT x k 1 p t k 1 T x k p t kT+∞
=−∞
= ⋅ − = − − − + − =∑
[ ] [ ]t kT T t kTx k 1 1 x k 1T T
− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
[ ] [ ] [ ]t kT t kTx k 1 x k x kT T− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
[ ] [ ] [ ]{ } t kTx k x k x k 1T−⎛ ⎞= + − − ⎜ ⎟
⎝ ⎠ relazione lineare
L3/40
(a) Spettro di ampiezza del segnale originale (comportamento di tipo passa-basso)
(b) Spettro di ampiezza del segnale ricostruito mediante interpolazione lineare
L3/41
Campionamento nel tempo – Preriodicizzazione in frequenza
FourierTransform
FourierSeries
Sampling atinterval T
Periodization
( )x t
( )X f
[ ] ( )x k T x kT= ⋅
( ) ( )Fk
X f X f kF+∞
=−∞
= +∑1FT
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
FourierTransform
FourierSeries
Sampling atinterval T
Periodization
( )x t
( )X f
[ ] ( )x k T x kT= ⋅
( ) ( )Fk
X f X f kF+∞
=−∞
= +∑1FT
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
L3/42
CAMPIONAMENTO DELLO SPETTRO
Dalla dualità tempo-frequenza, campionare lo spettro ( )X f con passo di campionamento:
1fθ
Δ =
equivale a rendere periodico il segnale ( )x t che diviene:
( ) ( )i
x t x t iθ θ∞
=−∞
= +∑
Se tale campionamento è applicato allo spettro ( )FX f del
segnale campionato 1FT
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
e si sceglie FfN
Δ = , con N intero
si ha il seguente interessante risultato:
L3/43
CAMPIONAMENTO DELLO SPETTRO (Cont.)
“Periodizzazione” del segnale campionato
⇓
della sequenza [ ]x k
che diviene:
[ ] [ ]NTi
x k x k iN∞
=−∞
= +∑
ovvero
[ ] ( )NTi
x k T x kT iNT k∞
=−∞
≡ + ∀∑
Si ricorda l’espressione di ( )FX f :
( ) [ ]expFk
2X f x k j kfFπ∞
=−∞
⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑
L3/44
CAMPIONAMENTO DELLO SPETTRO (Cont.)
La sequenza periodica: [ ]NTx k
con periodo N, è descritta da N suoi campioni, così pure la sequenza:
[ ] ( )F FX n X n f n≡ Δ ∀
Ricordando che FfN
Δ = , si ha:
[ ] [ ]expFk
2X n x k j knNπ∞
=−∞
⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑
Si osservi che la sequenza esponenziale:
[ ] expN2e k j knNπ⎧ ⎫= −⎨ ⎬
⎩ ⎭ è periodica di periodo N
allora si può suddividere l’espressione di [ ]FX n in somme di N termini, ottenendo:
L3/45
CAMPIONAMENTO DELLO SPETTRO (Cont.)
[ ] [ ]( )( )
expi 1 N 1
Fi k iN
2X n x k j knNπ
+ −+∞
=−∞ =
⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∑
[ ] [ ] expN 1
Fk 0 i
2X n x k iN j knNπ− +∞
= =−∞
⎡ ⎤ ⎧ ⎫= + −⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑
[ ] [ ]expN 1
F NTk 0
2X n x k j knNπ−
=
⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑
Sfruttando le proprietà di [ ]Ne k si può rappresentare [ ]NTx k tramite [ ]FX n :
[ ] [ ]expN 1
NT Fn 0
1 2x k X n j knN N
π−
=
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∑
Le ultime due espressioni ottenute sono la rappresentazione di una sequenza periodica con la serie di Fourier.
L3/46
CAMPIONAMENTO DELLO SPETTRO (Cont.)
Considerando il primo periodo sia in tempo che in frequenza, cioè applicando una finestra di durata N nei due domini si ha:
[ ] , ,...,k NTx x k k 0 1 N 1= = −
[ ] , ,...,n FX X n n 0 1 N 1= = −
Tali sequenze sono l’una la Trasformata Discreta di Fourier, diretta e inversa, dell’altra:
{ } { }1
DFT
k nDFT
x X−
L’espressione della Trasformata Discreta di Fourier, DFT, è:
expN 1
n kk 0
2X x j knNπ−
=
⎧ ⎫= −⎨ ⎬⎩ ⎭∑
Mentre quella inversa, IDFT, è:
expN 1
k nk 0
1 2x X j knN N
π−
=
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∑
L3/47
RELAZIONI TRA DOMINIO DEL TEMPO E DELLA FREQUENZA
Nel diagramma che segue si mostrano le relazioni tra:
• Segnali tempo-continui aperiodici
• Segnali tempo-discreti (sequenze da campionamento)
• Segnali periodicizzati (sequenze periodiche)
• Sequenze finite
ed i relativi spettri.
Solo se il segnale tempo-continuo è strettamente limitato in banda, il campionamento non comporta perdita di informazione.
Se il segnale è limitato nel tempo, cioè ( )x t 0≠ per 0 t NT< < , allora la DFT permette di calcolare N campioni del suo spettro. In realtà entrambe le condizioni possono verificarsi solo in modo approssimato.
L3/48
RELAZIONI TRA DOMINIO DEL TEMPO E DELLA FREQUENZA (Cont.)
FourierTransform
FourierSeries
Discrete FourierSeries (DFS)
Discrete FourierTransform (DFT)
Sampling atinterval T
Periodization(period = NT)
Window ofN samples
Periodization Samplingat interval
Window ofN samples
( )x t
( )X f
[ ] ( )x k T x kT= ⋅ [ ] ( )NTi
x k T x kT iNT+∞
=−∞
= ⋅ +∑ [ ]{ }k NTx x x k
k 0,1,...,N 1
≡ =
= −
N 1 2j knN
n kk 0
X x eπ−
−
=
= ⋅∑
N 1 2j knN
k nn 0
1x X eN
π−+
=
= ⋅∑
( ) ( )Fk
X f T X f kF+∞
=−∞
= ⋅ +∑
F 1 fN NT= ≡ Δ
[ ] ( )F FX n X n f= Δ ( ){ }n FX X X n f
n 0,1,...,N 1
≡ = Δ
= −1FT
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
FourierTransform
FourierSeries
Discrete FourierSeries (DFS)
Discrete FourierTransform (DFT)
Sampling atinterval T
Periodization(period = NT)
Window ofN samples
Periodization Samplingat interval
Window ofN samples
( )x t
( )X f
[ ] ( )x k T x kT= ⋅ [ ] ( )NTi
x k T x kT iNT+∞
=−∞
= ⋅ +∑ [ ]{ }k NTx x x k
k 0,1,...,N 1
≡ =
= −
N 1 2j knN
n kk 0
X x eπ−
−
=
= ⋅∑
N 1 2j knN
k nn 0
1x X eN
π−+
=
= ⋅∑
( ) ( )Fk
X f T X f kF+∞
=−∞
= ⋅ +∑
F 1 fN NT= ≡ Δ
[ ] ( )F FX n X n f= Δ ( ){ }n FX X X n f
n 0,1,...,N 1
≡ = Δ
= −1FT
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
L3/49
CAMPIONAMENTO NEL TEMPO ED IN FREQUENZA
( )x t
[ ]x k
[ ]NTx k
x
T
T
t
k
0
k
N 10=
10 punti
[ ]T0 1 N 1x x ,x ,...,x −=
0
0 1 2 N 1−
( )X f
f
f
0
0
( )FX f
1FT
=0 F−
[ ]FX n
n
X
n0
0
N 1−
[ ]T0 1 N 1X X ,X ,...,X −=
N 10=
10 punti
FourierTempo Frequenza⇒⇐
( )x t
[ ]x k
[ ]NTx k
x
T
T
t
k
0
k
N 10=
10 punti
[ ]T0 1 N 1x x ,x ,...,x −=
0
0 1 2 N 1−
( )X f
f
f
0
0
( )FX f
1FT
=0 F−
[ ]FX n
n
X
n0
0
N 1−
[ ]T0 1 N 1X X ,X ,...,X −=
N 10=
10 punti
FourierTempo Frequenza⇒⇐
L3/50
FINESTRE TEMPORALI Se si moltiplica ( )x t per una “finestra rettangolare” ( )w t che
vale 1 per / /NT 2 t NT 2− < < e zero fuori, forzandolo ad avere durata NT, se ne altera lo spettro causa la convoluzione con ( )W f , trasformata di Fourier di ( )w t :
( ) ( )sen NTfW f NT
NTfπ
π=
Pertanto, la risoluzione dello spettro calcolato tramite DFT risulta limitata dalla larghezza principale del lobo di ( )W f , che
(a circa -4 dB) è : 1f inverso della durata temporaleNT
Δ = = .
( ) ( )/ // /
sen NT f 2 sen 2f 2W NT NT NT2 NT f 2 2
π ππ π π
ΔΔ⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠ ( ).3 92 dB= −
Se si aumenta il numero di campioni N della DFT diminuendo il passo di campionamento, la risoluzione spettrale non cambia.
L3/51
FINESTRE TEMPORALI (Cont.) ( )w t
tNT2
−NT2
+
( )w t
tNT2
−NT2
+
( )W f
f01
NT1
NT−
1NT
NT4 dB−
( )W f
f0
( )w t
tNT2
−NT2
+
( )w t
tNT2
−NT2
+
( )W f
f01
NT1
NT−
1NT
NT4 dB−
( )W f
f0
Utilizzando un’opportuna legge di “pesaggio”, si possono abbassare: i lobi laterali di ( )W f a spese di un allargamento ed abbassamento del lobo principale rispetto alla finestra rettangolare.
1
1
L3/52
FINESTRE FREQUENZIALI
Un filtro anti-aliasing ideale è una finestra rettangolare ( )W f applicata allo spettro del segnale nell’intervallo tra 0 e F
(intervallo di Nyquist: F2
− , F2
+ )
Il segnale ( )x t può così essere campionato con passo 1TF
=
senza l’effetto del “ripiegamento” dello spettro.
L3/53
FINESTRE FREQUENZIALI (Cont.)
Tuttavia, se il segnale ( )x t ha componenti spettrali fuori da
,F F2 2
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ il suo spettro è alterato dalla finestra ( )W f , il che
nel dominio del tempo corrisponde alla convoluzione con la funzione:
( ) ( ) ( )sen Ft sen Ftw t F
t Ft= =
π ππ π
La risoluzione temporale che ne risulta (larghezza del lobo
principale) vale 1F
, cioè eguaglia il passo di campionamento T.
L3/54
LA TRASFORMATA DI FOURIER DISCRETA (DFT)
Si considera la sequenza [ ]x n , n = 0,1,…,N-1 posto:
expN2W jNπ⎧ ⎫= −⎨ ⎬
⎩ ⎭
La DFT è definita come:
[ ] [ ]{ } [ ]N 1
knN
n 0
X k DFT x n x n W−
=
= =∑
L’inversa, [ ]x n , dato [ ]X k , è data dall'espressione dei coefficienti di Fourier relativi alla sequenza periodica di cui [ ]X k è un periodo:
[ ] [ ]N 1
knN
k 0
1x n X k WN
−−
=
= ⋅∑
L3/55
VERIFICA DELLA DFT INVERSA
[ ] [ ] [ ]N 1 N 1 N 1
kn in knN N N
n 0 n 0 i 0
1X k x n W X i W WN
− − −−
= = =
⎡ ⎤= = ⋅ =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑
[ ] ( )N 1 N 1
k i nN
i 0 n=0
1 X i W N
− −−
=
= ∑ ∑
La sommatoria interna vale N se i k= e zero altrimenti.
Infatti ponendo:
k i h− =
expN 1
n 0
2j hn 0 se h 0Nπ−
=
⎧ ⎫− = ≠⎨ ⎬⎩ ⎭∑
(Chiusura di una poligonale)
L3/56
PROPRIETA’ DELLA DFT Le proprietà della DFT discendono dalle proprietà delle trasformate di Fourier:
1. Linearità
2. Traslazione “circolare”
3. Coniugio (e ribaltamento)
4. Convoluzione (e prodotto)
L3/57
PROPRIETA’ DELLA DFT (Cont.)
• Linearità
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]DFT a x n b y n a X k b Y k⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
• Traslazione “circolare”: [ ]{ } [ ]0kn0 NDFT x n n W X k−+ =
N− N0
N− N0
n
n
[ ]x n
[ ]0x n n−
N0
[ ]x n
n
0n 2=
N− N0
N− N0
n
n
[ ]x n
[ ]0x n n−
N0
[ ]x n
n
0n 2=
[ ] [ ] [ ]0 0 Nx n n x n n rect n+ = +
[ ]N1 per 0 n N 1
rect n0 Altrove
≤ ≤ −⎧= ⎨⎩
[ ] [ ] [ ]0 0 Nx n n x n n rect n+ = +
[ ]x n sequenza “periodicizzata”
[ ]x n sequenza di lunghezza N
L3/58
Verifica: [ ]{ } [ ]0kn0 NDFT x n n W X k−+ =
Ad esempio per N 5= e 0n 2=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5 1
kn k 2k 3k 4k5 5 5 5 5
n 0
X k x n W x 0 x 1 W x 2 W x 3 W x 4 W−
=
= = + + + +∑
0 1 2 3 4-1-2 n
[ ]x 0 [ ]x 1 [ ]x 2 [ ]x 3 [ ]x 4 [ ]x 0 [ ]x 1 [ ]x n 2+..........
0 1 2 3 4-1-2 n
[ ]x 0 [ ]x 1 [ ]x 2 [ ]x 3 [ ]x 4 [ ]x 0 [ ]x 1 [ ]x n 2+..........
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]4
kn5 5 5
n 0
DFT x n 2 rect n x n 2 rect n W=
+ = +∑
L3/59
Verifica: (continua)
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }
4kn
5 5 5n 0
k 2k 3k 4k5 5 5 5
3k k 3k 2k k5 5 5 5 5
DFT x n 2 rect n x n 2 rect n W
x 2 x 3 W x 4 W x 0 W x 1 W
W x 0 x 1 W x 2 W x 3 W x 4 W
=
− − −
+ = + =
= + + + + =
= + + + +
∑
Utilizzando le relazioni:
3k 2k5 5W W 1⋅ = ⇒ 3k 2k
5 5W W −=
4k k5 5W W 1⋅ = ⇒ 4k k
5 5W W −=
[ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ]
5
2k k 2k 3k 45 5 5 5 5
2k5
DFT x n 2 rect n
W x 0 x 1 W x 2 W x 3 W x 4 W
W X k
−
−
+ =
= + + + + =
= ⋅
L3/60
PROPRIETA’ DELLA DFT (Cont.)
• Coniugio (e ribaltamento)
[ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]
DFT x n X k
DFT x n X k
∗ ∗
∗ ∗
= −
− =
• Convoluzione Circolare
Date due sequenze [ ]1x n e [ ]2x n lunghe N, si definisce la loro convoluzione circolare (simbolo ⊗):
[ ] [ ] [ ]1 2w n x n x n= ⊗ [ ] [ ] [ ]N 1
1 2 Nm 0
x m x n m rect n−
=
⎡ ⎤= ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑
dove: [ ]1x n e [ ]2x n sono la “periodicizzazione” di [ ]1x n e [ ]2x n con periodo N.
L3/61
N− N0
N− N0
N− N0
N− N0
m
m
m
m
[ ]2x m
[ ]1x m
[ ]2x 2 m−
[ ] [ ]1 2x m x 2 m−
[ ] w m
N− N0
N− N0
N− N0
N− N0
m
m
m
m
[ ]2x m
[ ]1x m
[ ]2x 2 m−
[ ] [ ]1 2x m x 2 m−
[ ] w m
L3/62
DFT DELLA CONVOLUZIONE CIRCOLARE Se
[ ] [ ] [ ]w n x n y n= ⊗
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }DFT w n DFT x n DFT y n= ⋅
cioè: [ ] [ ] [ ]W k X k Y k= ⋅
come conseguenza delle proprietà delle trasformate di Fourier. Osservazione: la convoluzione lineare tra [ ]x n e [ ]y n vale:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ].linm
w n x n y n x m y n m+∞
=−∞
= ∗ = −∑
Se [ ]x n ha lunghezza 1N e [ ]y n 2N , [ ]lin.w n è lunga −1 2N + N 1
L3/63
Convoluzione Lineare/Circolare
[ ] [ ]g n 1 2 3 4 5 4 3 2≡ lunghezza gN 8=
[ ] [ ]h n 1 1 1 1≡ lunghezza hN 4=
Convoluzione lineare tra [ ]g n e [ ]h n :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]m
g n h n g m h n m 1 3 6 10 14 16 16 14 9 5 2∗ = − =∑
lin. g hN N N 1 11= + − =
Convoluzione circolare tra [ ]g n e [ ]h n :
[ ] [ ] [ ]g n h n 10 8 8 10 14 16 16 14⊗ ≡
circ. g hN N N 8= = =
L3/65
Convoluzione Lineare/Circolare
[ ][ ]
n : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 14 16 16 14 Convoluzione lineare Valori che
9 5 29 5 2
[ ]10 8 8 10 14 16 16 eccedono la convoluzione circolare
Convoluzione circ14 olare
Per far sì che le due operazioni di convoluzione coincidano, si
inseriscono sulle sequenze di origine e tanti zeri (“zero
padding”) quanti sono sufficienti a raggiungere la lunghezza
della convoluzione lineare.
L3/66
Calcolo della convoluzione lineare mediante DFT
1. Si trattano “opportunamente” le sequenze iniziali (zero padding).
2. Si calcolano le DFT delle due sequenze allungate con zeri.
3. Si moltiplicano le sequenze trasformate (DFT) del passo precedente termine a termine.
4. Si inverte (IDFT) la sequenza ottenuta al passo precedente.
L3/68
LA FAST FOURIER TRANSFORM (FFT)
La periodicità dei coefficienti expknN
2W j knNπ⎧ ⎫= −⎨ ⎬
⎩ ⎭ rende
possibile la riduzione del numero di prodotti dell’algoritmo DFT raccogliendo dei termini. Degli algoritmi efficienti che ne risultano per il computo della DFT, il più comune è la FFT (Fast Fourier Transform) che permette di calcolare una DFT (in generale, complessa) di N campioni mediante un numero di moltiplicazioni complesse dell’ordine di:
( )log2N N⋅ contro le 2N
moltiplicazioni della DFT (incluse le moltiplicazioni per 0 e 1). La FFT è idonea al calcolo della DFT di sequenza la cui lunghezza è una potenza di 2. Sono disponibili sia software che hardware (microcircuiti dedicati) per il calcolo della FFT.
L3/69
Effetto del campionamento sullo spettro di un segnale Esempio 1. Impulso rettangolare
( )1 0 t LT
x t L T 00 altrove
< <⎧= >⎨⎩
con intero e
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
Tempo
x(t)
, x[
nT]
Segnale ContinuoSegnale Campionato
N = 20L = 10T = 1
L 10= , T 1= , N 20=
L3/70
Esempio 1. (continua)
Spettro di ampiezza di ( )x t
( ) ( )sin fLTX f LT
fLTπ
=π
o Massimo: ( )X 0 LT=
o Nulli: mfLT
= m 1, 2,...= ± ± ( )nullin
mfL
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
o Se 1FT
= Frequenza normalizzata: nffF
=
o Spettro normalizzato in ampiezza (rispetto al valore massimo) ed
in frequenza (rispetto alla frequenza di campionamento)
( )( )
( )n n
n
X f sin f LX 0 f L
π=
π
L3/71
Esempio 1. (continua) Spettro normalizzato in ampiezza (rispetto al valore massimo) ed
in frequenza (rispetto alla frequenza di campionamento)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frequenza Normalizzata
|X(f
)/X
(0)|
Per L = 10
L3/72
Esempio 1. (continua) Impulso rettangolare Campionato (T il periodo di campionamento)
[ ] ( )
1 0 n L 1x n x nT
0 L n N 1≤ ≤ −⎧
= = ⎨ ≤ ≤ −⎩
Si considerano N campioni con N L>>
o Calcolo della DFT di [ ]x n :
k 0= [ ] [ ]N 1 L 1
n 0 n 0
X 0 x n 1 L− −
= =
= = =∑ ∑ (supponiamo T 1= )
k 0>
[ ] [ ]
( )( )
( )
nN 1 L 1 L 12 2 2j kn j kn j kN N N
n 0 n 0 n 0
2j Lk j Lk j Lk j LkN N N N j L 1 k
N2j k j k j k j kN N N N
X k x n e e e
sin Lk1 e e e e Ne
sin k1 e e e e N
− − −π π π− − −
= = =
π π π π− − − π
− −
π π π π− − −
⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥
⎣ ⎦π⎡ ⎤⎛ ⎞
⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠= = ⎢ ⎥π⎛ ⎞⎢ ⎥− − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑ ∑
L3/73
Esempio 1. (continua)
Spettro di ampiezza di [ ]x n
[ ]X 0 L= [ ]sin Lk
NX ksin k
N
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
per k 0>
Nulli: zeriNk mL
= con m 1, 2,...= ± ± se N è un multiplo intero di L
Ad esempio:
N 20= e L 10= ⇒ zerik 2,4,6 ,...,18=
N 100= e L 10= ⇒ zerik 10,20,30,...,90=
Per k N= [ ] [ ]X N X 0 L= =
L3/74
Esempio 1. (continua)
Spettro di ampiezza di [ ]x n
N 20= e L 10=
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenza Normalizzata
|X[k
]/X[0
]|
k/N
L3/75
Esempio 1. (continua)
Spettro di ampiezza di [ ]x n
N 100= e L 10=
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenza Normalizzata
|X[k
]/X[0
]|
L3/76
Esempio 1. (continua)
Spettro normalizzato in ampiezza (rispetto al valore massimo) ed in frequenza (rispetto alla frequenza di campionamento)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenza Normalizzata
|X[k
]/X[0
]|
N = 100, L = 10N = 20, L = 10Spettro segnale cont.
L3/77
Esempio 2. Coseno ( ) ( )0x t cos 2 f t= π
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Tempo
fo = 4 Hz
L3/78
Spettro: ( ) ( ) ( )0 01X f f f f f2⎡ ⎤= δ − + δ +⎣ ⎦
0 0f+0f−
( )X f12
0 0f+0f−
( )X f12
Coseno Campionato
[ ] ( )0x n cos 2 f nT= π
o T il periodo di campionamento
o 1FT
= frequenza di campionamento che soddisfa il TH. di
Shannon: 0F 2 f≥ , 0Ff 0,2
⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠
Si considerano N campioni di [ ]x n e si calcola la DFT:
(a) 0lf FN
= con l intero (b) 0f FNλ
= con λ non intero
L3/79
Esempio 2. (continua)
Caso (a): 0lf FN
= con l intero
Ad esempio N 64= e l 4=
0Ff 4 Hz16
= = con F 64 Hz=
0 8 16 24 32 40 48 56 64
-1
-0.5
0
0.5
1
nT
cos(2πf0nT)
L3/80
Esempio 2: caso (a)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
Spr
etto
del
seg
nale
lim
itato
nel
tem
po
L3/81
Esempio 2: caso (a)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
Spe
ttro
del
seg
nale
lim
itato
nel
tem
po
L3/82
Esempio 2: caso (a)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
1a R
eplic
a sp
ettr
o de
l seg
nale
cam
pion
ato
e lim
itato
in te
mpo
L3/83
Esempio 2: caso (a)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
Spe
ttro
seg
nale
cam
pion
ato
e lim
itato
in t
empo
(Sommando solo la prima replica)
L3/84
Esempio 2: caso (a)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 640
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
Mod
ulo
Spe
ttro
(Sommando solo la prima replica)
L3/85
Esempio 2. (continua)
Calcolo della DFT:
[ ]N 1 N 12 2 2 2j kn j ln j ln j kn
N N N N
n 0 n 0
Fl 1X k cos 2 nT e e e eN 2
− −π π π π− − −
= =
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞= π = + =⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎩ ⎭∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( )N 1 N 1 N 12 2 2 2j l k n j l k n j l k n j l k n
N N N N
n 0 n 0 n 0
1 1 1e e e e2 2 2
− − −π π π π− − + − − +
= = =
⎧ ⎫= + = +⎨ ⎬
⎩ ⎭∑ ∑ ∑
Se k l= [ ]( ) ( )
N 1 N 12 2j l k n j l k nN N
n 0 n 0
N 0
1 1X k e e2 2
− −π π− − +
= =
= +∑ ∑
Se k N l= − [ ]( ) ( )
N 1 N 12 2j l k n j l k nN N
n 0 n 0
0 N
1 1X k e e2 2
− −π π− − +
= =
= +∑ ∑
L3/86
Esempio 2. (continua) Se e k l k N l≠ ≠ −
[ ]( ) ( )
N 1 N 12 2j l k n j l k nN N
n 0 n 0
0 0
1 1X k e e2 2
− −π π− − +
= =
= +∑ ∑
quindi
[ ] ( ) ( )[ ]NX k k l k N l2
= δ − + δ − +
con k 0,1,2,...,N 1= −
L3/87
Esempio 2. (continua)
Caso (a) DFT
0 10 20 30 40 50 600
5
10
15
20
25
30
35
k
X[k]
N = 64l = 4
Frequenza del coseno 0
Ff16
= , N 64= , l 4=
L3/88
Esempio 2. (continua)
Caso (b): 0f FNλ
= con λ non intero
Ad esempio: 0FfN
= λ , con N 64= e 4.5λ =
-1 -0.5 0 0.5 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Tempo
fo = 4.5 Hz
L3/90
Esempio 2: caso (b)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
Spe
ttro
del
seg
nale
lim
itato
in t
empo
L3/91
Esempio 2: caso (b)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
Spe
ttro
del
seg
nale
lim
itato
in t
empo
L3/92
Esempio 2: caso (b)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
1a R
eplic
a S
pettr
o de
l seg
nale
cam
pion
ato
e lim
itato
in te
mpo
L3/93
Esempio 2: caso (b)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
Spe
ttro
seg
nale
cam
pion
ato
e lim
itap
in t
empo
(Sommando solo la prima replica)
L3/94
Esempio 2: caso (b)
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 640
5
10
15
20
25
30
35
Frequenza (Hz)
Mod
ulo
spet
tro
del s
egna
le c
ampi
onat
o e
limita
to in
tem
po
(Sommando solo la prima replica)
L3/95
Esempio 2. (continua)
Calcolo della DFT:
[ ]( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
N 1 N 12 2 j 2 k j 2 kj k n j k nN N
2 2j k j kN Nn 0 n 0
1 1 1 e 1 eX k e e2 2
1 e 1 e
− −π π π λ− − π λ+λ− − λ+
π πλ− − λ+
= =
⎡ ⎤⎡ ⎤ − −⎢ ⎥= + = + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −
∑ ∑
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
j k j k j k j k j k j k
j k j k j k j k j k j kN N N N N N
e e e e e e12 e e e e e e
π λ− − π λ− π λ− − π λ+ π λ+ − π λ+
π π π π π πλ− − λ− λ− − λ+ λ+ − λ+
⎡ ⎤− −⎢ ⎥+= =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )[ ]( )
1 1j k 1 j k 1N Nsin k sin k1 e e
2 sin k sin kN N
⎛ ⎞ ⎛ ⎞π λ− − − π λ+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤π λ − π λ +⋅ +⎢ ⎥= π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥λ − λ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
L3/96
Esempio 2. (continua) Considerando la parte reale e immaginaria:
[ ] ( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )R
sin k sin k1 11 cos k 1 cos k 1X k N Nsin k sin k2N N
π λ − π λ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞π λ − − + π λ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥λ − λ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ] ( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )I
sin k sin k1 11 sin k 1 sin k 1X k N Nsin k sin k2N N
π λ − π λ +⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞π λ − − − π λ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥λ − λ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Il modulo vale:
[ ] [ ] [ ]2 2
R IX k X k X k= +
L3/97
Esempio 2. (continua)
Caso (b) DFT (modulo)
0 8 16 24 32 40 48 56 640
5
10
15
20
25
30
35
k
X[k]
N = 64λ = 4.5
Frequenza del coseno 0
FfN
= λ , con N 64= , 4.5λ =
L3/98
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
La maggior parte dei segnali reali fisici è di tipo non stazionario,
cioè con caratteristiche variabili nel tempo. Ad esempio:
( ) ( ) ( ) ( )i i
Na t t
i i i ii 0
x t A e cos 2 f t u t tπ ψ− −
=
= ⋅ + −∑ (1)
con diversi parametri: • Ampiezze iA
• tempi di inizio it
• frequenze dominanti if
• fasi iniziali iψ
• coefficienti di smorzamento ia > 0
dove ( )iu t t− è la funzione gradino unitario, vale 1 per it t> e 0
altrove
L3/99
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
Se si effettua la trasformata di Fourier: ( )X f
• ( )X f dà informazione sulle componenti armoniche if e delle
rispettive ampiezze iA .
• La fase di ( )X f ingloba le informazioni relative agli altri
parametri.
Problema: Tali informazioni sono così “mescolate” fra loro, specie se
il segnale ha molte componenti, da risultare illeggibili.
Cioè la trasformata di Fourier identifica le componenti armoniche ma
non permette di ricavare facilmente informazioni su quando e come
tali frequenze siano effettivamente presenti.
L3/100
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
Infatti la definizione della trasformata di Fourier ( )X f :
( ) ( ) j 2 ftX f x t e dtπ+∞
−
−∞= ⋅∫ (2)
è perfettamente locale in frequenza ma assolutamente globale nel
tempo.
Questa trasformazione è adatta a segnali stazionari perché
permette di evidenziare nettamente fenomeni che avvengono nel
dominio della frequenza ma non discrimina eventi che avvengono nel dominio del tempo.
L3/101
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
• Quindi è necessario effettuare un’analisi congiunta tempo-frequenza per rilevare le caratteristiche temporali e spettrali del
segnale (ciò vale in particolare per il suono).
• Intuitivamente bisogna selezionare tratti di segnale
sufficientemente corti da poter essere assunti stazionari.
• Una sequenza di questi spettri a breve termine costituisce la
Short Time Fourier Transform.
L3/102
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
• Per i segnali non stazionari occorre inserire una dipendenza dal
tempo nella trasformazione, cioè rendere locale la (2) operando
su porzioni di ( )x t , ottenute moltiplicandolo per una finestra
( )g t τ− che trasla nel tempo.
• Si definisce allora la Trasformata di Fourier a Breve Termine o
Short Time Fourier Transform:
( ) ( ) ( ) j 2 ftxSTFT , f x t g t e dtπτ τ
+∞−
−∞= ⋅ − ⋅∫ (3)
La STFT evidenzia il contenuto armonico di ( )x t in un intorno
dell’istante di tempo τ di durata pari all’estensione della finestra.
L3/103
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
Limiti della STFT:
• Moltiplicare nel dominio del tempo ( )x t con la funzione ( )g t
equivale ad effettuare la convoluzione dei loro spettri ( )X f e
( )G f nel dominio della frequenza.
• La STFT fornisce quindi lo spettro del segnale alterato dalla
presenza della finestra.
• Questo limite non è eliminabile.
L3/104
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
( )g t a supporto ampio
( )g t a supporto stretto
fΔ
tΔtΔ
fΔ
Frequenza Frequenza
Tempo Tempo 0t
0f 0f
L3/105
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
• Fissata la funzione finestra ( )g t sono definite le indeterminazioni
tΔ e fΔ rispettivamente nel dominio del tempo e della
frequenza.
• Due eventi distanti meno di tΔ o fΔ non sono più discriminati
dalla STFT nel rispettivo dominio.
• Le due indeterminazioni sono inversamente proporzionali, quindi
la risoluzione temporale può essere migliorata solo a scapito della
risoluzione in frequenza, e viceversa.
• Principio di indeterminazione: non è possibile stimare con
precisione arbitraria e simultaneamente i parametri temporali e
frequenziali di un segnale.
L3/106
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT)
• Se le due indeterminazioni sono fisse questo implica che le
risoluzioni relative t
tΔ
e ffΔ
risultano variabili.
• In molte applicazioni non è possibile permettersi di localizzare
fenomeni lenti e fenomeni veloci con la stessa indeterminazione,
nel senso che identificare una frequenza di 100 MHz con
precisione f 1 kHzΔ = è molto diverso dall'identificare 100 kHz
con la stessa precisione.
L3/107
(a) Il segnale è composta da: una sinusoide di 35 Hz, + un chirp quadratico (all’istante iniziale di 25 Hz dopo un secondo di 140 Hz) + un impulso breve (si manifesta dopo 0.3 sec). (b) Uso di una finestra temporale “larga”: buona risoluzione in frequenza. (c) Uso di una finestra temporale “stretta”: buona risoluzione temporale. (d) Uso di una finestra di lunghezza media si ha una accettabile risoluzione sia in frequenza che nel tempo.
L3/108
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT) Interpretazione della STFT come banco di filtri
Data la: ( ) ( ) ( ) j 2 ftxSTFT , f x t g t e dtπτ τ
+∞−
−∞= ⋅ − ⋅∫
se la finestra è pari: ( ) ( )g gθ θ= − , allora per un valore fissato di f si ha:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
j 2 ftx
j2 ft
STFT , f x t e g t dt
x t e g t
π
π
τ τ
τ
+∞−
−∞
−
⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − =⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⋅ ∗ −⎣ ⎦
∫
cioè fissato il valore di f, ( )STFT , fτ si può interpretare come l’uscita
di un filtro con risposta impulsiva ( )g i al cui ingresso viene immesso
( )x t demodulato dall’esponenziale j 2 fe π− . La porzione di spettro
intorno alla frequenza f è riportata intorno all’origine e quindi “vista”
attraverso il filtro ( )g i , che ha in genere una risposta di tipo passa
basso.
L3/109
LA SHORT TIME FOURIER TRANSFORM (STFT) Frequenze di campionamento della STFT nel tempo e in frequenza Domanda: quanto tempo deve intercorrere fra una STFT e la successiva perché non ci sia perdita di informazione? • La banda passante della STFT (per qualunque frequenza
considerata) è la banda B (monolatera) della trasformata della finestra considerata, quindi la STFT deve essere campionata a un valore: wF 2B≥
• La finestra con banda minima è quella rettangolare. • Sostituendo la STFT con la DFT quale frequenza di
campionamento delle frequenze deve essere adottata? • Scambiando i ruoli dei domini temporale e frequenziale si può
affermare che è necessario adottare almeno N L≥ campioni dell’asse frequenziale, se L è la lunghezza temporale della finestra di analisi.
L3/110
Esempio: finestra di Hamming Frequenza di campionamento del segnale pari a cF 44100 Hz= Finestra di Hamming a 1024 punti (L = 1024): 5T 2.26 10 sec−= ×
( )
altrove
2 n0.54 0.46 cos 0 n L 1w n L
0
π⎧ ⎛ ⎞− ≤ ≤ −⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪⎩
Si può vedere che la banda B della finestra di Hamming è circa:
cFB 2L
≅
Dovrà quindi essere c
w4F 4 44100F 2B 173 HzL 1024
⋅≥ ≥ = ≅
cioè la STFT dovrà essere campionata nel tempo a circa 173 Hz cioè
ogni 44100/173 = 254 campioni del segnale.
L3/111
Finestra di Hamming a 1024 punti (L = 1024): 5T 2.26 10 sec−= ×
0.5 1 1.5 2
x 104
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (us)
Am
plitu
de
Time domain
-0.5 0 0.5-60
-40
-20
0
20
40
60
Frequency (kHz)
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency domain
L3/112
Rettangolare
10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Samples
Am
plitu
de
Time domain
0 0.2 0.4 0.6 0.8-20
-10
0
10
20
30
40
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency domain
L3/113
Triangolare
10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Samples
Am
plitu
de
Time domain
0 0.2 0.4 0.6 0.8-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency domain
L3/114
Chebyshev (50 dB)
10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Samples
Am
plitu
de
Time domain
0 0.2 0.4 0.6 0.8-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency domain
L3/115
Esempi di rappresentazione della STFT: sonogramma di un brano cantato
Risultano evidenti le righe corrispondenti alle armoniche delle vocali e la localizzazione dei formanti. Si nota inoltre la distribuzione spettrale delle consonanti sorde ’s’ e ’z’ (con andamento di tipo passa alto) prive di struttura armonica.