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A13-1- a) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de la tension redressée "simple alternance".

On donne : ve(t) = Vm sin(2πFt ) avec

€

Vm = 240 2 V et F = 50 Hz

ve vs

Vm

vs(t)

t

i

R 10Ω

b) En déduire la puissance Pu dissipée dans la charge R (on suppose la diode parfaite)c) En réalité, il existe une chute de tension dans la diode telle que : vd = Vd + r .i, avec r = 0,05 Ω et Vd = 0,7 V. Calculer la puissance perdue Pd dans la diode par effet Joule.

A13-2- Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace de la fonction en dents de scie suivante:

A13-3- Un circuit d'alimentation débite un courant formé de créneaux rectangulaires i(t) représenté ci-dessous, sous une tension alternative U = Um.sinωt .

1°) Calculer: a) la valeur efficace de i(t) en fonction de Ic. b) la puissance apparente S fournie. c) la puissance active P. d) le facteur de puissance F = P/S.

2°) Mêmes questions quand le courant i(t) est déphasé d'un angle ϕ par rapport à la tension u(t) (voir figure).

G. Pinson - Physique Appliquée Signaux périodiques A13-TD/1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ISBN 978-2-9520781-1-5 http://www.syscope.net © G. Pinson, 2011

http://www.syscope.net

A13-4- On relève les oscillogrammes suivants. Remplir les tableaux ci-dessous par les valeurs numériques (approchées) qui se rapportent à ces signaux en précisant les unités.

a)

paramètre symbole valeurs A valeurs B unité

période T

pulsation ω

fréquence F

amplitude V

tension crête à crête Vpp

valeur efficace Vac

décalage horaire ∆t 0

phase (préciser pour B : retard ou avance ?) ϕ 0 degré

b)

paramètre symbole valeurs A unité

période T

fréquence F

rapport cyclique αtension mini Vmin 0 V

tension maxi Vmax

valeur moyenne Vdc

vleur efficace vraie Vac+dc

vleur efficace de la composante alternative Vac




REPONSES

A13-1- a) Soit :

€

ω = 2πF =2πT

. On remarque que vs(t) est de période T et telle que pour

€

0 < t <T

2 : vs(t ) = ve(t ) et pour

€

T

2< t < T : vs(t ) = 0 .

d'où : valeur moyenne valeur efficace

€

V s =1

TVmsinωt dt

0

T /2∫

€

Vseff =1

TVmsinωt( )2

dt0

T /2∫soit, après changement de variable t → x = ωt ; T → 2π (facultatif, mais simplifie les calculs !) :

€

V s =1

2πVmsin xdx

0

π∫

€

Vseff =1

2πVmsinx( )2

dx0

π∫calcul des primitives : (NB :

€

sin2 x =1−cos2x

2)

€

V s =Vm

2π−cosx[ ]0

π

€

Vseff = Vm1

2π1

2x−

1

2sin2x

0

π

soit numériquement :

€

V s = Vm

2π−(cosπ − cos0)( )

V s =Vm

2π−(−1−1)( )

V s =Vm

π=108 V

€

Vseff = Vm1

2π12

π − 12

sin2π − 0+ 12

sin0

Vseff = Vm1

2π1

2π

Vseff =Vm

2≈170 V

b) Par définition,

€

Pu =1

Tvs( t ).i( t)dt

0

T∫ =1

T

vs2

Rdt

0

T∫ =Vseff

2

R = 2,88 kW

c)

€

Pd =1

Tvd (t).i (t ).dt

0

T∫ =1

TVd + ri ( t )( ).i( t ).dt

0

T∫ = Vd1

Ti( t ).dt

0

T∫ + r1

Ti 2(t).dt

0

T∫

€

⇒ Pd = Vd.I + rIeff2

Or,

€

i (t) =vs(t)

R⇒

I = V sR

Ieff =Vseff

R

€

⇒ Pd = Vd.V sR

+ rVseff

2

R2= 0,7.

108

10+ 0,05.

1702

102≈ 7,56+14,45 ≈ 22 W

A13-2- On calcule tout d'abord l'équation de la rampe passant par zéro :

€

y( t ) =50

2t = 25t . D'où :

€

Y =1

225t dt

0

2∫ =25

2

1

2t2

0

2

=25

44− 0( ) = 25




€

Yeff =1

225t( )2dt

0

2∫ =625

2

1

3t 3

0

2

=625

6(8− 0) ≈ 28,9

A13-3- 1°)

a) Par calcul d'aire, on trouve :

€

Ieff2 =

3π4

− π4

Ic

2

π=

Ic2

2⇒ I eff =

Ic

2

b)

€

S=Ueff .Ieff =U m

2.

Ic

2=

Um.Ic

2

c)

€

P =1

Tu( t ).i( t )dt

0

T∫ par définition

€

P =1

2πUmIc sin x.dx− UmI c sinx.dx

5π/4

7π /4∫π/4

3π/4∫

après changement de variable t → x = ωt

€

P =UmIc

2π−cosx[ ]π /4

3π/4− −cosx[ ]5π /4

7π/4

€

P =UmIc

π−cosx[ ]π/4

3π /4car cos(x+π) = – cosx

€

P =UmIc

π−cos

3π4

+ cosπ4

€

P =UmIc

π2

2+

2

2

= UmI c

2

π

d)

€

F =P

S=

UmI c2

πUm.Ic

2

=2 2

π≈ 0,9

2°)

a) Idem 1°) :

€

Ieff =Ic

2 (aires identiques, bien que translatées de ϕ)

b) Idem 1°) :

€

S=Ueff .Ieff =U m

2.

Ic

2=

Um.Ic

2

c)

€

P =1

2πUmIc sin x.dx− UmI c sinx.dx

5π/4+ϕ

7π /4+ϕ∫π/4+ϕ

3π/4+ϕ∫

€

P =UmIc

π−cosx[ ]π/4+ϕ

3π /4+ϕ

€

P =UmIc

π−cos

3π4

+ ϕ

+ cos

π4

+ ϕ

cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb

€

P =UmIc

π−cos

3π4

cosϕ + sin3π4

sinϕ + cosπ4

cosϕ − sinπ4

sinϕ

€

P =UmIc

π2

2cosϕ +

2

2sinϕ +

2

2cosϕ −

2

2sinϕ

€

P =UmIc2

πcosϕ




d)

€

F =P

S=

UmI c2

πcosϕ

U m.I c

2

=2 2

πcosϕ ≈ 0,9cosϕ

A13-4- a)

paramètre symbole valeurs A valeurs B unité

période T 500 500 µs

pulsation ω = 2π/Τ 12560 12560 rad/s

fréquence F = 1/T 2000 2000 Hz

amplitude V 2 1,6 V

tension crête à crête Vpp = 2xV 4 3,2 V

valeur efficace Vac = V/√2 1,4 1,1 V

décalage horaire ∆τ 0 80 µs

phase (B : retard par rapport à A) ϕ = −360 ∆τ/Τ 0 -57,6 degré

b)paramètre symbole valeurs A unité

période T 25 ms

fréquence F 40 Hz

rapport cyclique α 80% %

tension mini Vmin 0 V

tension maxi Vmax 5 V

valeur moyenne Vdc 4 V

vleur efficace vraie Vac+dc 4,47 V

vleur efficace de la composante alternative Vac 2,24 V




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