ZEL1 – cvič. 4 – řešení, výsledky, ZS 2020/21

str. 1/8

Úvodní poznámka vyučujícího: tento dokument je doplňujícím

materiálem pro bezkontaktní výuku. Prosím, zásadně počítejte příklady

sami, postupy výpočtu z tohoto dokumentu použijte pro kontrolu.

% konstanty ρCu=18e-9; %rezistivita mědi[Ohm.m] μ0=4*pi*10-7; %permeabilita vakua [H/m] ε0=8.854*10-12; %[permitivita vakuaF/m]

4 Cvičení 4

4.1 Indukčnost

a)

Zadání:

S=100*10-4 m2

N=500 l=0.2 m μr=1

Výpočet:

Hustota závitů n=N/l=500/0.2=2500 m-1 (závitů na metr)

L=μ0*μr*N*S*n=4*pi*10-7*1*100*10-4*2500=15.707963 mH

b)

Zadání:

Dz=6*10-3 m %stredni prumer zavitu J=15 A/mm2 %proudova zatizitelnost Cu L=330*10-6 H l=5 mm %delka vinuti Idc=0.5 A Rdc=1 Ohm

Výpočet:

Průřez vodiče: vyjdeme ze vztahu pro proudovou hustotu J=I/S a dostaneme

SCu=Idc/J=0.5/(15*106)=0.033333*10-6 m2=0.033333 mm2

Délka vodiče lv=Rdc*Sv/roCu=1*0.033333*10-6/18*10-9=1.851852 m

Délka 1 závitu lz=pi*Dz=3.14*6*10-3=0.01885 m

Počet závitů N=zaokrouhlit(lv/lz)=zaokrouhlit(1.851852/0.018850)=98

Plocha závitu S=pi*(Dz/2)^2=3.14*(6*10-3 /2)= 28.274334 mm2

Relativní permeabilita jádra: vyjdeme ze vztahu L=μ0*mi_r*N2*S a dostaneme

μr=L*l/(μ0*N2*S)=330*10-6*5*10-3/(4*pi*10-7*982*28.274334*10-6)= 4.835368

c)

Výpočet:

Obecně pro lineární induktory platí, že Φc=L*i, jedná se o okamžité hodnoty

nezávislé na čase, tento vztah platí v každém časovém okamžiku, tedy i pro

libovolný časový průběh veličin Φc (cívkový indukční tok ve Weberech) a i

(elektrický proud cívkou v Ampérech).

Amplituda cívkového toku Φcm=L*Im=165 μWb

ZEL1 – cvič. 4 – řešení, výsledky, ZS 2020/21

str. 2/8

Amplituda indukovaného napětí:

obecně je napětí na induktoru u(t)=dΦc(t)/dt

pro harmonický (sinusový) tok Φc(t) je indukované napětí také

harmonické, protože platí u(t)=d[Φcm*sin(ωt+φ)]/dt=

Φcm*cos(ωt+φ)*ω=Um*cos(ωt+φ)

proto mezi amplitudou napětí a toku platí vztah Um=Φcm*ω

dále ω=2*pi*f

Amplituda indukovaného napětí je tedy Um=Φcm*2*pi*f=165*10-6*2*3.14*1000= 1.04

V

4.2 Kapacita a)

C=ε0*εr*S/d=8.854*10-12*30*10-4/10-3=26.6*10-12 F=26.6 pF

b)

Plocha elektrod je S=π*r2= π*(2*10-3)2=12.566*10-6 m2

Ze vztahu C=ε0*εr*S/d si vyjádříme d.

d=ε0*εr*S/C=8.854*10-12*3000*12.566*10-6/10*10-9=33.4*10-6 m=33.4 μm

c)

Výpočet:

Obecně pro lineární kapacitory platí, že q=C*u, jedná se o okamžité hodnoty

nezávislé na čase, tento vztah platí v každém časovém okamžiku, tedy i pro

libovolný časový průběh veličin q (elektrický náboj na kapacitoru v

Coulombech) a u (elektrické napětí na kapacitoru ve Voltech).

Amplituda náboje qm=C*Um=10*10-9*23=0.23*10-6 C=0.23 μC

Amplituda proudu:

obecně je proud (nejen kapacitorem) dán jako i(t)=dq(t)/dt

pro harmonický (sinusový) náboj q(t) je indukované napětí také

harmonické, protože platí i(t)=d[qm*sin(ωt+φ)]/dt=

qm*cos(ωt+φ)*ω=Im*cos(ωt+φ)

proto mezi amplitudou proudu a náboje platí vztah Im=qm*ω

dále ω=2*pi*f

Amplituda proudu je tedy Im=qm*2*pi*fi=0.23*10-6*2*3.14*50=72 μA

d)

Výpočet:

Amplituda náboje qm=C*Um=0.23 μC

Im=qm*2*pi*fi=0.23*10-6*2*3.14*1000=1.45 mA

Jak je vidět, pro vyšší frekvenci napětí je shodná amplituda náboje, ale vyšší

amplituda proudu.

e)

Výpočet:

Vztah q=C*u platí i pro konstantní hodnoty q a u: Q=C*U=0.23 μC

Proud i(t)=dq(t)/dt=dQ/dt=0 A (derivace konstanty je 0).

Pozn.: Obdobně pokud by cívkou tekl konstantní proud, vytvořil by se

konstantní indukční tok, ale indukované napětí by bylo nulové.

ZEL1 – cvič. 4 – řešení, výsledky, ZS 2020/21

str. 3/8

4.3 Dáno uC, určete qC a iC Časový charakter průběhu náboje je shodný s charakterem průběhu napětí, pouze je třeba přepočítat

amplitudu náboje Qm. Dále se pro jednotlivé časové intervaly určí proud.

4.4 Dáno iL, určete ΦL a uL (D. Ú. – spočtěte si sami, postup pro kontrolu) Časový charakter průběhu cívkového toku je shodný s charakterem průběhu poudu, pouze je třeba

přepočítat amplitudu cívkového toku Φcm. Dále se pro jednotlivé časové intervaly určí napětí.

Pozn.: napětí pro časové okamžiky 0+ (čti v nule zprava), 5- (čti v čase 5 zleva), 5+ a 10- bylo určeno

přesně, mezi těmito hodnotami byl průběh dokreslen odhadem. Lze očekávat exponenciální charakter.

ZEL1 – cvič. 4 – řešení, výsledky, ZS 2020/21

str. 4/8

4.5 Dáno iC, určete qC a uC

ZEL1 – cvič. 4 – řešení, výsledky, ZS 2020/21

str. 5/8

4.6 Dáno iC, určete qC a uC (když zbyde čas)

ZEL1 – cvič. 4 – řešení, výsledky, ZS 2020/21

str. 6/8

4.7 Dáno uC, určete qC a iC Časový charakter průběhu náboje je shodný s charakterem průběhu napětí, pouze je třeba přepočítat

amplitudu náboje Qm. Dále se pro jednotlivé časové intervaly určí proud.

ZEL1 – cvič. 4 – řešení, výsledky, ZS 2020/21

str. 7/8

4.8 Nabíjení a vybíjení kondenzátoru a) nabíjení

τ=R1*C=100*40*10-9= 4 μs

𝑢𝐶 = 𝑈 + (0 − 𝑈) ∙ 𝑒−𝑡

𝜏 = 24 − 24 ∙ (𝑒−𝑡

4∙10−6) V

𝑖𝐶 = 𝐶 ∙d𝑢𝐶

d𝑡= 𝐶 ∙ (−𝑈 ∙ 𝑒

−𝑡

𝜏 ∙−1

𝜏) =

𝑈∙𝐶

𝑅1∙𝐶∙ 𝑒

−𝑡

𝜏 = 0,24 ∙ 𝑒−𝑡

4∙10−6 A

Průběh napětí:

b) vybíjení τ=R2*C=250*40*10

-9= 10 μs

𝑢𝐶 = 0 + (𝑈 − 0) ∙ 𝑒−𝑡

𝜏 = 24 ∙ 𝑒−𝑡

10−5 V

𝑖𝐶 = 𝐶 ∙d𝑢𝐶

d𝑡= 𝐶 ∙ 𝑈 ∙ 𝑒

−𝑡

𝜏 ∙−1

𝜏= −

𝐶∙𝑈

𝑅2∙𝐶∙ 𝑒

−𝑡

𝜏 = −0,096 ∙ 𝑒−𝑡

10−5 A

Průběhy napětí a proudu:

ZEL1 – cvič. 4 – řešení, výsledky, ZS 2020/21

str. 8/8

4.9 Zdroje napětí a proudu a)

b) Shodné hodnoty proudu nakrátko a vnitřního odporu jako podle zadání a), tj. Ik=7.5A,Ri=0.2 Ohm

c) Nijak, mají shodnou zatěžovací charakteristiku. d) Ik=U0/Ri=460A

Pozn.: Ve skutečnosti je proud omezen impedancí zkratové smyčky, nikoliv

odporem, dále platí, že jistič nedovolí průtok tak vysokého proudu

e)