Résumé de géométrie élémentaire

1 Angles

1.1 Vocabulaire

sommet

côté

côté

angle nul angle aigu angle droit angle obtus angle plat

angles supplémentaires angles complémentaires

1.2 Cas d’égalité de deux angles

angles opposés angles correspondants

angles alternes-internes angles alternes-externes

1

2 Triangles

2.1 Somme des angles

α β

γα + β + γ = 180◦

2.2 Égalité de deux triangles

Deux figures sont dites égales si elles sont superposables par un déplacement ou par un retourne-ment. (Notion déjà utilisée ci-dessus dans le cas des angles.)

Soient (ABC) et (A′B′C ′) deux triangles. S’ils sont égaux, avec superposition A → A′, B → B′,

C → C ′, alors on a les six égalités AB = A′B′, AC = A′C ′, BC = B′C ′, A = A′, B = B′, C = C ′.

Cependant, trois d’entre elles bien choisies sont suffisantes pour avoir égalité des triangles ; dansce cas, les trois autres seront vérifiées automatiquement :

Critère CCC

A B

CB′

A′

C ′

Si AB = A′B′, AC = A′C ′ et BC = B′C ′,alors les deux triangles sont égaux(et donc A = A′, B = B′, C = C ′).

Critère CAC

A B

CB′

A′

C ′

Si AB = A′B′, AC = A′C ′ et A = A′,alors les deux triangles sont égaux(et donc BC = B′C ′, B = B′, C = C ′).

Critère ACA

A B

CB′

A′

C ′

Si AB = A′B′, A = A′ et B = B′,alors les deux triangles sont égaux(et donc AC = A′C ′, BC = B′C ′, C = C ′).

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Attention !

— Le critère CAC exige que l’angle soit celui formé par les deux côtés.— Par contre, le critère ACA n’exige rien de tel (car si deux angles se correspondent, les

troisièmes se correspondent aussi).— Il n’y a pas de « critère AAA » (considérer un triangle et son agrandissement).

2.3 Triangles particuliers

isocèle en A

B C

A

AB = AC ⇐⇒ B = C

équilatéral

B C

A

AB = AC = BC ⇐⇒ A = B = C ⇐⇒ A = B = 60◦

rectangle en A

A B

C hypoténuse A = 90◦ ⇐⇒ BC2 = AB2 + AC2 (Pythagore)

2.4 Droites remarquables

médiatrice bissectrice hauteur médiane

— La médiatrice d’un segment [AB] est la perpendiculaire passant par son milieu.Un point P du plan se trouve sur la médiatrice de [AB] si et seulement si PA = PB :

A B

P

3

Les trois médiatrices d’un triangle (ABC) sont concourantes en un point O :

O

A B

C

Dès lors, OA = OB = OC, donc O est le centre d’un cercle passant par A,B,C, appelécercle circonscrit au triangle (ABC).

— La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue de son sommet qui partage l’angle endeux angles égaux.Un point du secteur angulaire se trouve sur la bissectrice d’un angle si et seulement s’il estéquidistant 1 de ses côtés :

Les trois bissectrices d’un triangle (ABC) sont concourantes en un point I :

I

A B

C

Dès lors, I est équidistant de [AB], [AC], [BC], donc I est le centre d’un cercle tangent à[AB], [AC], [BC], appelé cercle inscrit au triangle (ABC).

— Une hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté op-posé. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre

de ce triangle :

H

1. La distance d’un point à une (demi-)droite se mesure perpendiculairement à celle-ci.

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— Une médiane d’un triangle (ABC) est la droite passant par un sommet et par le milieudu côté opposé. Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G appelécentre de gravité de ce triangle :

G

A B

C

C ′

B′ A′

De plus, G est situé « aux deux tiers » sur chacune des médianes, c’est-à-dire

AG

AA′=

2

3

BG

BB′=

2

3

CG

CC ′=

2

3

(où A′ est le milieu de [BC], B′ celui de [AC] et C ′ celui de [AB]).

2.5 Cercle circonscrit à un triangle rectangle

A

B C

A se trouve sur le cercle de diamètre [BC] ⇐⇒ (ABC) est rectangle en A

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3 Quadrilatères

3.1 Généralités

quadrilatère convexe quadrilatère non convexe quadrilatère croisé

et non croisé

Dans la suite, tous les quadrilatères seront supposés convexes.

Somme des angles d’un quadrilatère :

α βγ

δ α+ β + γ + δ = 360◦

3.2 Parallélogrammes

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :

(P1) les côtés opposés sont parallèles

(P2) les côtés opposés sont égaux

(P12) deux côtés opposés sont parallèles et égaux

(P3) les angles opposés sont égaux

(P4) les angles consécutifs sont supplémentaires

(P5) les diagonales se coupent en leur milieu

Il suffit donc de montrer l’une de ces six propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est unparallélogramme (et qu’il possède donc également les cinq autres propriétés).

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3.3 Losanges

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux.

Les conditions suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :

(L1) les quatre côtés sont égaux.(L2) c’est un parallélogramme et deux côtés consécutifs sont égaux.(L3) c’est un parallélogramme et les diagonales sont perpendiculaires.

Il suffit donc de montrer l’une de ces trois propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est unlosange.

3.4 Rectangles

Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.

Les conditions suivantes sont équivalentes pour un quadrilatère :

(R1) ses quatre angles sont droits.(R2) c’est un parallélogramme et l’un des angles est droit.(R3) c’est un parallélogramme et les diagonales sont égales.

Il suffit donc de montrer l’une de ces trois propriétés pour en conclure qu’un quadrilatère est unrectangle.

Remarque : dans la propriété (R1), il suffit de demander que trois des angles soient droits.

3.5 Carrés

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle.

Il suffit donc de montrer— l’une des trois propriétés (L1)–(L3)— et l’une des trois propriétés (R1)–(R3)

pour en conclure qu’un quadrilatère est un carré.

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4 Théorème de Thalès

On donne :— D ,D ′ deux droites sécantes en O,— A,B deux points de D (distincts de O),— A′, B′ deux points de D ′ (distincts de O) :

On suppose que l’on est dans l’un des deux cas de figure suivants :

D

D ′

O

A′

B′

AB D

D ′

O

A′

B′

A

B

A,B du même côté de O sur D A,B de part et d’autre de O sur D

A′, B′ du même côté de O sur D ′ A′, B′ de part et d’autre de O sur D ′

Alors

(AA′)//(BB′)

⇐⇒OB

OA=

OB′

OA′

⇐⇒OB

OA=

BB′

AA′

⇐⇒OA

AB=

OA′

A′B′

Cas particulier : théorème de la droite des milieux

On donne :— un triangle (OBB′),— un point A sur le côté [OB],— un point A′ sur le côté [OB′].

1er théorème 2ème théorème

Si A est milieu de [OB] Si A est milieu de [OB]et si A est milieu de [OB′], et si (AA′) est parallèle à (BB′),

O

A

B

A′

B′

—

—

—

—

O

A

B

A′

B′

alors (AA′) est parallèle à (BB′). alors A′ est milieu de [OB′].

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