Regresión y correlación Tema 8 1. Regresión lineal simple · PDF...

Universidad Autónoma de Madrid

Análisis de Datos en Psicología II Tema 8

1

Regresión y correlación Tema 8

1. Regresión lineal simple

1.1 Contraste sobre β 1.2 Regresión en formato ANOVA

2. Correlación. Contraste sobre ρxy



2

1. Regresión lineal simple Objetivo: predecir una variable Y (dependiente o criterio) a partir de una X (independiente o predictora). Ambas cuantitativas. Para un caso i la ecuación en la población es:

Yi = α + βXi + Ei Siendo: Parámetros:

α : Origen de la recta β : Pendiente de la recta

Ei : Error aleatorio



3

En la muestra se estima α y β con A y B:

∑ ∑

∑ ∑∑

−

−=

i iii

i iii

iii

XXn

YXYXnB 2

2

XBYA −=

Con estos estimadores, la ecuación es: Yi = A +BXi + Ei Por lo que el valor predicho para cada Xi es: Y'i = A +BXi El error en el pronóstico es: Ei = Yi - Y'i Ejemplo: Se intenta predecir el absentismo laboral Y (en horas al año) a partir del salario X (en euros semanales).



4

X (€) Y (horas) 150 300 200 406 175 442 160 330 210 422 895 1900

86,1895162825)5(

1900)895(344970)5(2

22

=−

−=

−

−=

∑ ∑

∑ ∑∑

i iii

i iii

iii

XXn

YXYXnB

06,47 179)86,1(380

589586,1

51900

=−=

−=

−= XBYA

Luego: Y'i = 47,06 +1,86Xi



5

X Y Y' E

150 300 326,06 -26,06 200 406 419,06 -13,06 175 442 372,56 69,44 160 330 344,66 -14,66 210 422 437,66 -15,66 895 1900 0 0 =E

150 170 190 210x

320

360

400

440

y

W

W

W

W

W



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1.1 Contraste sobre β Objetivo: Comprobar si hay relación lineal, y de que tipo es esta, entre X e Y. 1. Hipótesis Bilateral:

H0: β = 0 (no hay relación lineal, son linealmente independientes)

H1: β ≠ 0 (hay relación lineal) Unilateral derecho:

H0: β ≤ 0 (no hay relación lineal) H1: β > 0 (hay relación lineal positiva)

Unilateral izquierdo:

H0: β ≥ 0 (no hay relación lineal) H1: β < 0 (hay relación lineal negativa)

2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad



7

3. Estadístico de contraste

∑

∑−−

−=

iii

ii

nYY

XXBT

)2( / )'(

)(

2

2

Cuya distribución es tn-2 4. Zona crítica

Bilateral: T ≤ α/2tn-2 y T ≥ 1-α/2tn-2 Unilateral derecho: T ≥ 1-αtn-2 Unilateral izquierdo: T ≤ αtn-2

Ejemplo: Contrastar si al aumentar el salario (X) aumenta el absentismo (Y) con α=0,01. 1. Hipótesis

H0: β ≤ 0 H1: β > 0



8

2. Supuestos: normalidad, independencia, homocedasticidad. 3. Estadístico de contraste

1,23/75,6131

262086,1

)2( / )'(

)(

2

2

==

−−

−=

∑

∑

iii

ii

nYY

XXBT

Distribución tn-2 = t3 4. Zona crítica

Unilateral derecho: 0,99t3 = 4,541

5. Decisión Mantener H0



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1.2 Regresión en formato ANOVA

Combinación lineal de variables

ZkYkX 21 += Ejemplo: Un examen tiene dos partes: teórica y práctica. La parte teórica (Y) cuenta un 40% y la parte práctica (Z) un 60% de la nota final (X).

ZYX 4,00,6 += Si una persona obtiene en el teórico un 4,5 y en el práctico un 6,1 su puntuación final es:

14,51,6)4,0(0,6)4,5( =+=X



10

La media y la varianza de X son:

)()()( 21 ZEkYEkXE += ),(2)()()( 21

22

21 ZYCovkkZVarkYVarkXVar ++=

Ejemplo: Si en el teórico y el práctico se obtiene los siguientes resultados:

Y Z Media 5,1 6,7 Varianza 3,8 4,2

Cov (Y, Z) = 3,1 Entonces los resultados para la nota final son:

74,57,6)4,0(1,5)6,0()( =+=XE

3,528

1,3)4,0)(6,0(2)2,4(4,0)8,3(6,0)( 22

=

++=XVar



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El modelo es: Yi = A +BXi + Ei Por lo que : Yi = Y'i + Ei De donde se deduce:

)( )(

)()'()(

i

i

iii

XBEABXAEEEYEYE

+=+=+=

222

22'

2

EX

EYY

SSB

SSS

+=

+=

Es decir: SCT = SCR + SCE Ejemplo: Vimos que 179=X y 380=Y . Se comprueba que:

E(Yi) = 47,06 + (1,86)179 = 380



12

( )∑ ∑∑ −=−=i

ii

ii n

YYYYSCT

2

22)(

)()'( 22 XSCTBYYSCRi

i =−= ∑

SCRSCTYYESCEi

iii

i −=−== ∑∑ 22 )'(

Tabla de ANOVA

FV SC gl MC F

Regresión SCR 1 1SCR

MCEMCR

Error SCE n-2 2−n

SCE

Total SCT n-1 F ~ F1, n-2 H0: β = 0 (no hay relación lineal)



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Ejemplo:

( )∑ ∑ =−=−=i

ii n

YYSCT 15184

51900737184

222

75,6131)63,15()09,26( 222 =−++−== ∑ L

iiESCE

25,905275,613115184 =−=−= SCESCTSCR FV SC gl MC F R 9052,25 1 9052,25 4,429 E 6131,75 n-2=3 2043,92 T 15184 n-1=4 F ~ F1, 3 1-αF1, n-2 = 0,99F1, 3 = 34,12 Mantenemos H0. No hay relación lineal.



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2. Correlación de Pearson Objetivo: cuantificar la intensidad y sentido de la relación entre dos variables X e Y cuantitativas. Cálculo de rxy en la muestra:

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

−

−

−=

i iii

i iii

i iii

iii

xy

YYnXXn

YXYXnr

22

22

La correlación al cuadrado resulta ser:

SCTSCR

r =2

(Nota: SCT = SCR + SCE) r2 es el equivalente en regresión a las medidas de tamaño del efecto del ANOVA: η2, ε2 y ω2.



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Contraste sobre ρxy

1. Hipótesis Bilateral: H0: ρXY = 0; H1: ρXY ≠ 0 U. derecho: H0: ρXY ≤ 0 ; H1: ρXY > 0 U. izquierdo: H0: ρXY≥ 0 ; H1: ρXY < 0 2. Supuestos Independencia Normalidad 3. Estadístico de contraste

212

XY

XY

rnrT

−

−=

Cuya distribución es tn-2 4. Zona crítica

Bilateral: T ≤ α/2 t n-2 y T ≥ 1-α/2 t n-2 Unilateral derecho: T ≥ 1-α t n-2 Unilateral izquierdo: T ≤ α t n-2



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Ejemplo: Comprobar si el salario (X) correlaciona positivamente con el absentismo (Y) utilizando α=0,01. 1. Hipótesis

H0: ρXY ≤ 0 ; H1: ρXY > 0 2. Supuestos: Independencia Normalidad 3. Estadístico de contraste

772,01900737184)5(895162825)5(

1900)895(344970)5(22

22

22

=−−

−=

−

−

−=

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

i iii

i iii

i iii

iii

XY

YYnXXn

YXYXnr



17

1,2772,01

3772,01

222

=−

=−

−=

XY

XY

rnrT

Distribución tn-2 = t3

4. Zona crítica: T ≥ 0,99 t 3 = 4,541 5. Decisión. Mantener H0



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Formulario del tema 8 Contraste sobre β

∑

∑−−

−=

iii

ii

nYY

XXBT

)2( / )'(

)(

2

2

T ~ tn-2

Regresión en formato ANOVA

( )∑ ∑∑ −=−=i

ii

ii n

YYYYSCT

2

22)(

)()'( 22 XSCTBYYSCRi

i =−= ∑

SCRSCTYYESCEi

iii

i −=−== ∑∑ 22 )'(

GLT = n-1 GLR = 1

GLE = n-2



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Contraste sobre ρ

212

XY

XY

rnrT

−

−=

T ~ tn-2



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Ejercicios recomendados del libro: 8.3 8.5 8.6 8.9 8.10

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