Modelo de Regresión Lineal Múltiple....
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Guión 10. Dr. V. Aguirre 2
Supuestos del Modelo.
n S1:
n S2 & S3
n S4:
n S5:
ββ X)X|Y(E =∋∃
I)X|Y(Cov 2σ=
0)XXdet( T ≠
)I,X(N~X|Y 2σβ
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Propiedades Estadísticas del EMC.
n Proposición 12Bajo S1 a S5
.ˆ)a ββ de itud verosimilmáxima deestimador el es
)].X|ˆ(Var,[N~X|ˆ)b iii βββ
).1rn(t~)ˆ(EE
ˆt)d
i
iii −−
−=
βββ
.ˆ)1rn(~s'X|ˆ)1rn()c 2
2
2
βχσ
σ de nteindependie , −−−−
Guión 10. Dr. V. Aguirre 4
Demostración parcial Proposición 12.
7.n Proposició la asimilar nteCompletame )a
normal.ón distribucicon aleatorias variablesde linealn combinació una es i
ˆ)b β
curso. del alcance del Fuera )c
7.n Proposició la asimilar nteCompletame )d
Guión 10. Dr. V. Aguirre 6
Percentiles de la distribución t(gl).
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
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Intervalo de (1-α)% de confianza para .
( ) αβββββ
αβ
ββ
αα
α
−=+<<−
−=
<
−
1)ˆ(EEtˆ)ˆ(EEtˆP
1t)ˆ(EE
ˆP
i2/iii2/i
2/
i
ii
que sigue se
identidad la De
iβ
)ˆ(EEtˆ)ˆ(EEtˆ
i2/i
i2/i
ββ
ββ
α
α
+
−
superior límite
inferior límite
Guión 10. Dr. V. Aguirre 8
Ejemplo. Y=PNB Agrícola Taiwán.
Número Año L K PNBAGR ln(L) ln(K) ln(PNB)1 1958 275.5 17803.7 16607.7 5.619 9.787 9.7182 1959 274.4 18096.8 17511.3 5.615 9.803 9.7713 1960 269.7 18271.8 20171.2 5.597 9.813 9.9124 1961 267 19167.3 20932.9 5.587 9.861 9.9495 1962 267.8 19647.6 20406 5.590 9.886 9.9246 1963 275 20803.5 20831.6 5.617 9.943 9.9447 1964 283 22076.6 24806.3 5.645 10.002 10.1198 1965 300.7 23445.2 26465.8 5.706 10.062 10.1849 1966 307.5 24939 27403 5.728 10.124 10.218
10 1967 303.7 26713 28628.7 5.716 10.193 10.26211 1968 304.7 29957 29904.5 5.719 10.308 10.30612 1969 298.6 31585.9 27508.2 5.699 10.360 10.22213 1970 295.5 33474.5 29035.5 5.689 10.419 10.27614 1971 299 34821.8 29281.5 5.700 10.458 10.28515 1972 288.1 41794.3 31535.8 5.663 10.641 10.359
∈+++= KL 210 PNBAGR:Modelo
βββ
Guión 10. Dr. V. Aguirre 9
Ejemplo. Y=PNB Agrícola Taiwán.
)0736.0(179.24036.0)ˆ(EEtˆ)0736.0(179.24036.0)ˆ(EEtˆ
179.2t2r,15n
2025.02
2025.02
025.0
+=+
−=−
=⇒=⇒===
ββ
ββ
αβ
superior límite
inferior límite
12gl , 0.05 para confianza de 95% de Intervalo 2
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción -28068.44949 9432.1367 -2.97583151 0.01157507 -48619.31 -7517.58945L 147.9413346 36.44361 4.059458856 0.001583241 68.537531 227.3451378K 0.403556741 0.0735613 5.485993093 0.000139355 0.2432805 0.563833026
Guión 10. Dr. V. Aguirre 10
Pruebas de hipótesis bilaterales sobre iβ
α
α
α
βββ
α
ββββ
α
<>=
>
−==
=
≠=
)t)gl(t(PPValor
H
ttH
)ˆ(EE
ˆt
:H:H
calc
0
2/calc0
i
HIPicalc
HIPi1HIPi0
si ciasignifican de nivelun con Rechazar b)ementeequivalent o
si ciasignifican de nivelun con Rechazar a)
prueba de oestadístic
ciasignifican de nivel
vs
Guión 10. Dr. V. Aguirre 11
Ejemplo. Y=PNB Agrícola Taiwán.
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción -28068.44949 9432.1367 -2.97583151 0.01157507 -48619.31 -7517.58945L 147.9413346 36.44361 4.059458856 0.001583241 68.537531 227.3451378K 0.403556741 0.0735613 5.485993093 0.000139355 0.2432805 0.563833026
.0H
,01.000158.0)059.4)12(t(PPValor
,059.44436.369413.147
t
,01.00:H0:H
10
calc
1110
≠
=<=>=
==
=≠=
β
α
αββ
que de evidenciaHay . rechaza se entonces
; vs
Guión 10. Dr. V. Aguirre 12
Pruebas de hipótesis unilaterales sobre .iβ
αα
βββ
α
ββββ
ttH
)ˆ(EE
ˆt
:H:H
calc0
i
HIPicalc
HIPi1HIPi0
>
−==
=
>≤
si ciasignifican de nivelun con Rechazar
prueba de oestadístic
ciasignifican de nivel
vs
Guión 10. Dr. V. Aguirre 13
Pruebas de hipótesis unilaterales sobre . iβ
αα
βββ
α
ββββ
ttH
)ˆ(EE
ˆt
:H:H
calc0
i
HIPicalc
HIPi1HIPi0
−<
−==
=
<≥
si ciasignifican de nivelun con Rechazar
prueba de oestadístic
ciasignifican de nivel
vs
Guión 10. Dr. V. Aguirre 14
Ejemplo. Y=ln(PNBAGR) Agrícola Taiwán.
Número Año L K PNBAGR ln(L) ln(K) ln(PNB)1 1958 275.5 17803.7 16607.7 5.619 9.787 9.7182 1959 274.4 18096.8 17511.3 5.615 9.803 9.7713 1960 269.7 18271.8 20171.2 5.597 9.813 9.9124 1961 267 19167.3 20932.9 5.587 9.861 9.9495 1962 267.8 19647.6 20406 5.590 9.886 9.9246 1963 275 20803.5 20831.6 5.617 9.943 9.9447 1964 283 22076.6 24806.3 5.645 10.002 10.1198 1965 300.7 23445.2 26465.8 5.706 10.062 10.1849 1966 307.5 24939 27403 5.728 10.124 10.218
10 1967 303.7 26713 28628.7 5.716 10.193 10.26211 1968 304.7 29957 29904.5 5.719 10.308 10.30612 1969 298.6 31585.9 27508.2 5.699 10.360 10.22213 1970 295.5 33474.5 29035.5 5.689 10.419 10.27614 1971 299 34821.8 29281.5 5.700 10.458 10.28515 1972 288.1 41794.3 31535.8 5.663 10.641 10.359
∈+++= )Kln()Lln((PNB)ln 210 :log-log Modelo
γγγ
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Ejemplo. Y=ln(PNB) Agrícola Taiwán (log-log).
.1Htt
,782.1t,05.0
999.4102044.0
148985.0t
1:H1:H
2005.0calc
05.0
calc
2120
<<
=⇒==
−=−
=
<≥
γ
α
γγ
que de evidenciaHay . rechaza se - como
12gl para
; vs
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción -3.3387546 2.4495134 -1.36302772 0.197902894 -8.675785729 1.998276453ln(L) 1.49883206 0.5398014 2.776636319 0.01675454 0.322705952 2.674958165ln(K) 0.48985174 0.102044 4.800397537 0.000433243 0.267516979 0.712186499
Guión 10. Dr. V. Aguirre 16
Valor P Pruebas de Hipótesis Unilaterales.
bilateralunilateral
unilateral
1i
0
PValor21
PValor
PValor
HˆH
que Nótese
b)
cumple a)
:mentesimultánea cumple se si rechaza Se
=
< α
β
Guión 10. Dr. V. Aguirre 17
Ejemplo. Y=ln(PNB) Agrícola Taiwán (log-log).
. que de evidenciahay nodecir es , rechaza se no que loPor
. entonces 12,glcon tablas,De
cumple que Note
con ; vs
1H
1.0PValor25.0
924.05398.0
149883.1t,Hˆ
.05.01:H1:H
10
unilateral
calc11
1110
>
>>=
=−=
=>≤
γ
γ
αγγ
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción -3.3387546 2.4495134 -1.36302772 0.197902894 -8.675785729 1.998276453ln(L) 1.49883206 0.5398014 2.776636319 0.01675454 0.322705952 2.674958165ln(K) 0.48985174 0.102044 4.800397537 0.000433243 0.267516979 0.712186499
Guión 10. Dr. V. Aguirre 18
Ejemplo. Y=ln(PNB) Agrícola Taiwán (log-log).
. que de evidenciahay decir es , rechaza se que loPor
.
entonces Excel,por mostrado resultado Del cumple que Note
con ; vs
0H
05.000021.0PValor
00043.0PValor800.4t,Hˆ
.05.00:H0:H
20
unilateral
bilateral
calc12
2120
>
<=
==
=>≤
γ
γ
αγγ
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción -3.3387546 2.4495134 -1.36302772 0.197902894 -8.675785729 1.998276453ln(L) 1.49883206 0.5398014 2.776636319 0.01675454 0.322705952 2.674958165ln(K) 0.48985174 0.102044 4.800397537 0.000433243 0.267516979 0.712186499
Guión 10. Dr. V. Aguirre 19
Pruebas sobre funciones lineales de los parámetros.
vs b)
vs a)
.constantes
deun vector es donde sobre hipótesis una
como general manera una deformulan se casos ambos1 b)
0 ó a) siprobar interés de resulta ocasionesEn
21
2121
1a:H1a:H)1,1,0(a
0a:H0a:H)1,1,0(a
aa
T1
T0
T
T1
T0
T
TT
>≤=
≠=−=
>+
≠−≠
ββ
ββ
β
ββ
ββββ
Guión 10. Dr. V. Aguirre 20
Pruebas sobre funciones lineales de los parámetros.
α
α
α
β
β
α
ββ
α
<>=
>
−==
=
≠=
)t)gl(t(PPValor
H
ttH
)ˆa(rVa
cˆat
ca:Hca:H
calc
0
2/calc0
T
HIPT
calc
HIPT
1HIPT
0
si ciasignifican de nivelun con Rechazar b)ementeequivalent o
si ciasignifican de nivelun con Rechazar a)
prueba de oestadístic
ciasignifican de nivel
vs
Guión 10. Dr. V. Aguirre 21
Pruebas sobre funciones lineales de los parámetros.
αβ
α
α
β
β
α
ββ
α
<>
>
−==
=
>≤
unilateralHIPT
0
calc0
T
HIPT
calc
HIPT
1HIPT
0
PValorcˆa
H
ttH
)ˆa(rVa
cˆat
ca:Hca:H
y
si ciasignifican de nivelun con Rechazar b)ementeequivalent o
si ciasignifican de nivelun con Rechazar a)
prueba de oestadístic
ciasignifican de nivel
vs
Guión 10. Dr. V. Aguirre 22
Varianza de la combinación lineal.
1T2
TT
)XX(ˆ)X|ˆ(vCo
a)X|ˆ(vCoa)ˆa(rVa
−=
=
σβ
ββ
con
Guión 10. Dr. V. Aguirre 23
Ejemplo. Y=ln(PNB) Agrícola Taiwán (log-log).
. 0.05 tablasDe
. que de evidenciahay decir es , rechaza se que loPor .
Excelpor mostrado resultado Del
cumple que Note con ; vs
025.0PValor
1H05.002952.0PValor
084.2t,Hˆˆ.05.01:H1:H
unilateral
210
unilateral
calc121
211210
>>
>+<=
=+=>+≤+
γγ
γγαγγγγ
Cov ( beta gorro) Prueba de hipótesis sobre funciones lineales del vector beta6.00011581 -1.2605606 0.1121914-1.2605606 0.29138551 -0.0384267 vector a beta gorro at * beta gorro Cov (beta gorro) * a0.11219138 -0.0384267 0.010413 0 -3.33875464 1.988683797 -1.148369
1 1.498832059 at * Cov(beta gorro) * a 0.2529591 0.489851739 0.224945148 -0.028014
Valor hipotético Estadística t gl Valor P (bilateral)1 2.08458257 12 0.059141