Radiacion de Cherenkov

Matıas Batarce

Pontificia Universidad Catolica

msbatarce@uc.cl

20 de noviembre de 2015

Matıas Batarce (PUC) Cherenkov 20 de noviembre de 2015 1 / 15

(−∇2 + ε(ω)

∂2

c2∂t2

)φ(x, t) =

4π

ε(ω)ρ(x, t)

(−∇2 + ε(ω)

∂2

c2∂t2

)A(x, t) =

4π

cJ(x, t)

ρ(x, t) = zeδ(x− vt)

J(x, t) = vρ(x, t)

Matıas Batarce (PUC) Cherenkov 20 de noviembre de 2015 2 / 15

F (x, t) =1

(2π)2

∫d3k

∫dω F (k,w)e ik·x−iωt

(k2 − ε(ω)

ω2

c2

)φ(k, ω) =

4π

ε(ω)ρ(k,w)

(k2 − ε(ω)

w2

c2

)A(k, ω) =

4π

cJ(k, ω)

ρ(k, ω) =ze

2πδ(ω − k · v)

J(k, ω) = vρ(k, ω)

Matıas Batarce (PUC) Cherenkov 20 de noviembre de 2015 3 / 15

φ(k, ω) =2ze

ε(ω)

δ(ω − k · v)

k2 − ε(ω)w2

c2

A(k, ω) = ε(ω)v

cφ(k, ω)

E(k, ω) = i[ε(ω)ω

v

c2− k]φ(k, ω)

B(k, ω) = iε(ω)k× v

cφ(k, ω)

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La partıcula cargada se mueve a lo largo del eje x

Se observan los campos a una distancia b perpendicular almovimiento de la partıcula

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E(ω) =1

(2π)32

∫d3k E(k, ω)e ibk2

E1(ω) =2ize

ε(ω)(2π)32

∫d3k e ibk2

[ε(ω)ωv

c2− k1

]δ(ω − vk1)

k2 − ε(ω)w2

c2

= − 2izeω

v2(2π)32

[1

ε(ω)− β2

] ∫dk2 e

ibk2

∫dk3

k22 + k2

3 + λ2

Donde

λ2 =ω2

v2− ω2

c2ε(ω) =

ω2

v2[1− β2ε(ω)]

Matıas Batarce (PUC) Cherenkov 20 de noviembre de 2015 6 / 15

E1(ω) = − izeω

v2(2π)12

[1

ε(ω)− β2

] ∫e ibk2dk2

(k22 + λ2)

12

= − izeω

v2

(2

π

) 12[

1

ε(ω)− β2

]K0(λb)

Analogamente

E2(ω) =zeω

v

(2

π

) 12 λ

ε(ω)K1(λb)

B3(ω) = ε(ω)βE2(ω)

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(dE

dx

)b>a

=1

v

dE

dt

= − c

4πv

∫ ∞−∞

2πaB3E1 dx

= −ca

2

∫ ∞−∞

B3(t)E1(t) dt

= −caRe∫ ∞

0B∗3 (ω)E1(ω) dω

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Para |λa| >> 1, se usas las formas asintoticas de las funciones de Bessel

E1(ω, a)→ izeω

c2

[1− 1

β2ε(ω)

]e−λa√λa

E2(ω, a)→ ze

vε(ω)

√λ

ae−λa

B3(ω, a)→ βε(ω)E2(ω, a)

(−caB∗3E1)→ z2e2

c2

(−i√λ∗

λ

)ω

[1− 1

β2ε(ω)

]e−(λ+λ∗)a

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Para ε(ω) Real y β2ε(ω) > 1 entonces λ es imaginario puro

v >c√ε(ω)

(dE

dx

)rad

=z2e2

c2

∫ε(ω)β2>1

ω

(1− 1

β2ε(ω)

)dω

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1

tan θC = −E1

E2

cos θC =1

β√ε(ω)

1Jackson, John David. Classical Electrodynamics. 3rd ed. New York: Wiley, 1999.Print. p639, fig. 13.4

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2

2Jackson, John David. Classical Electrodynamics. 3rd ed. New York: Wiley, 1999.Print. p639, fig. 13.5

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A(x, t) =2ze

(2π)2β

∫d3k

e ik1(x−vt)e ik⊥·ρ

k21 (1− β2ε) + k2

⊥

A(x, t) = β2ze√

(x − vt)2 − (β2ε− 1)ρ2

= β2ze√

(x − vt)2 − ρ2 cot2(π2 − θC )

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Aplicaciones

Permite calcular la velocidad de partıculas veloces

Detector de neutrinos Super-Kamiokande

En reactores nucleares

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Figura: Cherenkov radiation in the reactor pool of the FRM II

3

3(Picture: Jurgen Neuhaus, FRM II)Matıas Batarce (PUC) Cherenkov 20 de noviembre de 2015 15 / 15

Referencias

Jackson, John David. Classical Electrodynamics. 3rd ed. New York:Wiley, 1999. Print.

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