Qu son las Matemticas?Una introduccin a la Filosofa de las Matemticas.Santiago A. Crdenas Martn

Qu son las Matemticas?

El diccionario de la RAE nos dice:

matemtica.(Del lat. mathematca, y este del gr. , der. de ,

conocimiento).f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes

abstractos, como nmeros, figuras geomtricas o smbolos, y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing.

~s aplicadas.f. pl. Estudio de la cantidad considerada en relacin con ciertos

fenmenos fsicos.

~s puras.f. pl. Estudio de la cantidad considerada en abstracto.

Las Matemticas como ciencia.

Las Matemticas no utilizan el mtodo cientfico. En ese sentido, no son una ciencia.

Hay quien las define como una ciencia deductiva, ya que se utiliza la deduccin como herramienta para obtener resultados, frente a la induccin del mtodo cientfico.

Las teoras matemticas pueden ser ms o menos tiles o adecuadas, pero una vez probadas, no son discutibles.

Qu tipo de cosas estudian las Matemticas?

Las Matemticas identifican y estudian patrones abstractos de comportamiento.

Se inventan objetos matemticos abstractos para representar estos patrones y Teoras Matemticas que desarrollan el comportamiento de estos objetos.

En un primer nivel se identifican estos patrones en la naturaleza y se crean las correspondientes teoras.

En un segundo nivel, se identifican patrones dentro de las propias Teoras Matemticas y dan lugar a nuevas teoras.

Ejemplos: La Aritmtica y la Geometra. Podemos crear una teora que sea la Aritmtica de

gavillas de trigo. Y otra teora que sea la Aritmtica de vacas. Enseguida nos daremos cuenta de que hay un patrn

similar de comportamiento entre ambas teoras y podemos crear la aritmtica, dnde manejaremos unos objetos abstractos llamados nmeros.

De igual manera, crearemos la geometra, con cuadrados, tringulos, etc.

Buscando patrones en Aritmtica...

Podemos observar que la suma es una operacin que a partir de dos nmeros reales genera otro nmero real y que tiene ciertas propiedades.

De igual manera, observamos que la multiplicacin es una operacin anloga.

Ambas son operaciones asociativas, conmutativas, tienen un elemento neutro y elemento simtrico, si consideramos la multiplicacin sin el cero.

... y en Geometra.

En Geometra, cuando estudiamos las transformaciones de cualquier figura geomtrica como un tringulo, nos damos cuenta que podemos pensar en una operacin abstracta que consiste en componer dos transformaciones.

La teora de Grupos.

A partir de estas observaciones, podemos inventar un nuevo objeto que generaliza estos comportamientos, llamado Grupo.

Un Grupo es un conjunto dotado de una operacin interna que es asociativa, tiene elemento neutro y elemento simtrico.

El estudio abstracto de estos grupos da lugar a la Teora de Grupos y todo lo que averigemos sobre ellos, ser de aplicacin a todos los grupos que nos encontremos en otras teoras matemticas.

El mtodo axiomtico Los objetos matemticos siempre son objetos

abstractos, nunca son objetos reales y para definirlos de manera rigurosa, tendremos que partir de objetos previamente definidos o bien, axiomatizar su comportamiento.

Los axiomas son reglas de comportamiento de unos objetos matemticos, que precisan todo lo que podemos utilizar sobre dichos objetos.

Si no definimos los objetos matemticos con conceptos previos, simplemente sern algo que verifica esos axiomas.

Las teoras Matemticas.

Un Sistema o Teora Matemtica est formada por un conjunto de axiomas.

A partir de estos axiomas, podremos de manera deductiva, obtener otros resultados, a los que llamaremos teoremas.

Si en cualquier modelo del mundo real o en cualquiera otra Teora Matemtica aparece un objeto que verifica los axiomas de la Teora que hemos creado, podremos aplicar todos sus resultados.

Ejemplo: Los axiomas de Peano.

1. 0 es un nmero natural. Es decir, el conjunto de los nmeros naturales es no vaco.

2. Si a es un nmero natural, entonces a + 1 tambin es un nmero natural, llamado el sucesor de a.

3. 0 no es sucesor de ningn nmero natural.

4. Si hay dos nmeros naturales a y b tales que sus sucesores son iguales, entonces a y b son nmeros naturales iguales.

5. Axioma de induccin: si un conjunto de nmeros naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los nmeros naturales.

La Aritmtica axiomatizada. Los axiomas de Peano recogen el comportamiento de

los nmeros naturales y de la funcin sucesor. No definimos lo que es un nmero natural, ni la

funcin sucesor, pero decimos como se comportan. Pero a partir de slo estos axiomas podremos definir

de manera rigurosa los conceptos de suma, multiplicacin, etc. y demostrar teoremas, como 2+2=4.

De esta manera creamos una Teora Matemtica (la Aritmtica) que es aplicable en muchsimos contextos.

Ejemplo: Los axiomas de Euclides de la Geometra.1. Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma direccin.

3. Se puede trazar una circunferencia que tenga su centro en cualquier punto y con cualquier radio.

4. Todos los ngulos rectos son iguales.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ngulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que estn los ngulos menores que dos rectos (este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y fue enunciado ms tarde tambin de la siguiente manera: por un punto exterior a una recta se puede trazar una nica paralela).

Uso de la Geometra Eucldea.

Los axiomas de Euclides, aunque imprecisos para nuestro punto de vista actual, axiomatizan el comportamiento de los puntos y rectas. Con slo esos axiomas podemos demostrar muchsimas cosas.

Los puntos y rectas de los axiomas de Euclides son objetos abstractos y como tales constituyen una teora matemtica. Hay una evidente correspondencia de esta teora con la geometra fsica que nos rodea.

Podemos utilizar esta correspondencia en cualquier sitio dnde se verifiquen los axiomas.

Geometra no-eucldea elptica.

Si cambiamos el quinto axioma por la alternativa: Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta que no la corte tambin obtenemos una teora matemtica vlida.

Esta geometra no-eucldea es una nueva teora matemtica que corresponde a la superficie de una hiper-esfera, y que puede que sea la geometra del Universo.

Geometra Hiprbolica.

Y si cambiamos el quinto axioma de Euclides por la alternativa: Por un punto exterior a una recta siempre pasa ms de una recta que no la corta tambin obtenemos una teora matemtica vlida, que en este caso es la geometra Hiperblica.

Las Matemticas son el estudio de sistemas matemticos. Desde el punto de vista formal, podemos decir que

las Matemticas son el estudio de las Teoras (o sistemas) Matemticas.

Recordemos que cada Teora Matemtica no es otra cosa que un conjunto de axiomas y todo el desarrollo de teoremas a partir de estos axiomas.

Las teoras contendrn definiciones axiomticas (un objeto x es algo que verifica estos axiomas) o definiciones rigurosas a partir de conceptos previamente definidos en la teora.

Matemticas: Creatividad y Rigor.

Vemos que en las matemticas se combinan dos facetas en apariencia opuestas.

Por una parte la creatividad y el ingenio, para observar, buscar patrones e inventar nuevas teoras. Con una buena parte de bsqueda de la belleza.

Y por otra parte, Es indispensable construir las Teoras Matemticas con un absoluto rigor, sin dejar ningn detalle sin demostrar.

La Lgica.

Desde los tiempos de Aristteles, muchos filsofos se han preocupado de estudiar la manera en la que razonamos.

Las Matemticas son, sin lugar a dudas, el campo en el que los razonamientos son ms puros y precisos.

Por eso, la Lgica es tan importante en la sistematizacin de las Matemticas.

El lenguaje de la Lgica.

La Lgica nos proporciona un lenguaje absolutamente preciso en el que escribir las sentencias matemticas.

Aunque un matemtico pueda utilizar expresiones de lenguaje cotidiano para expresar una afirmacin matemtica, siempre sabr escribirla de manera precisa utilizando el lenguaje de la Lgica.

Qu es una demostracin matemtica?

Una vez que expresamos los axiomas de una Teora Matemtica con el lenguaje de la Lgica, una demostracin es una secuencia de transformaciones sobre estos axiomas, para producir una nueva sentencia a la que llamamos Teorema.

La Lgica nos dice que tipo de transformaciones son vlidas en el transcurso de una demostracin.

En la prctica, una demostracin matemtica se expresa con una mezcla de lenguaje formal y lenguaje cotidiano, para hacerla legible, pero un matemtico siempre ser capaz de traducirla a un lenguaje lgico.

El estudio matemtico de la Lgica.

La Lgica esta formada por objetos abstractos (axiomas y teoremas) y reglas para transformarlas.

Enseguida nos damos cuenta de que la Lgica es susceptible de ser estudiada de manera matemtica. Es decir, podemos hacer una Teora Matemtica de la Lgica.

Esto nos permite profundizar mucho en el desarrollo de la Lgica.

La Lgica estudia el razonamiento matemtico y las Matemticas sirven para estudiar la Lgica... Mediante la Lgica Filosfica hacemos una

primera justificacin del razonamiento matemtico.

Y, luego aprovechamos la potencia de las Matemticas para desarrollar y estudiar en profundidad la Lgica, lo que justifica y valida an ms su uso.

La Metamatemtica.

Existe una enorme potencia en el estudio sistemtico, (utilizando herramientas matemticas) de como se desarrollan las teoras matemticas y que propiedades tienen.

Esto da lugar a la Metamatemtica, que podramos decir que es la Teora Matemtica que estudia como objetos abstractos a las propias Teoras Matemticas, los Axiomas y los Teoremas.

Y lo curioso, es que la Metamatemtica acaba teniendo muchas aplicaciones directas en las propias Teoras Matemticas.

La definicin rigurosa de objetos matemticos. Como hemos dicho, un objeto matemtico puede

ser definido de manera rigurosa a partir de otros objetos matemticos previamente definidos, o podemos no definirlo y precisar su comportamiento de manera axiomtica.

En las Matemticas actuales, lo que hacemos es definir de manera precisa absolutamente todo a partir de conceptos previos, excepto dos conceptos.

Slo hay dos cosas que dejamos sin definir y que por tanto tendremos que axiomatizar.

La Teora de Conjuntos.

Las dos cosas que dejamos sin definir son el concepto de conjunto y el concepto de pertenencia a un conjunto.

La axiomatizacin de estos dos conceptos es la Teora de Conjuntos, que tiene suma importancia en la sistematizacin de los fundamentos de las Matemticas.

No definimos que es un conjunto y que es pertenecer a un conjunto, pero especificamos con unos axiomas, como se comportan los conjuntos.

La Teora de Conjuntos como fundamentos de las Matemticas. A partir de los conjuntos podemos definir

conceptos como pares ordenados, funciones entre conjuntos, etc.

E incluso podemos definir de manera rigurosa que son los nmeros (sern ciertos conjuntos, evidentemente) y los axiomas de Peano se obtendrn como teoremas de la Teora de Conjuntos a partir de esas definiciones.

El formalismo de Hilbert

El matemtico alemn David Hilbert creo a principios del siglo XX una corriente de pensamiento matemtico llamada formalismo, que bsicamente es la que impera hoy da.

La versin actual del formalismo es la definir todos los objetos matemticos en el seno de la Teora de Conjuntos y expresarlo todo con el lenguaje de la Lgica.

Las Matemticas se convierten en una enorme coleccin de Teoras Matemticas.

El infinito. Los cardinales infinitos.

Las mayores complicaciones que aparecen en la Teora de Conjuntos provienen del hecho de considerar conjuntos de tamao infinito.

La teora de Conjuntos original (no axiomtica) fu creada por George Cantor, a finales del siglo XIX.

Y una de las cosas ms curiosas que obtuvo Cantor es que existen infinitos de diferentes tamaos.

La idea bsica para comparar el tamao de diferentes conjuntos infinitos es emparejar los elementos de los dos conjuntos.

Diferentes tamaos de infinitos. Por ejemplo, fcilmente vemos que podemos

emparejar los nmeros naturales con los nmeros pares (n --> 2n), aunque los nmeros pares sean un subconjunto de los naturales.

Este es el infinito ms pequeo, el de los nmeros naturales, o el de los racionales.

Sin embargo, el infinito de los nmeros reales o el de los puntos que forman un segmento es un infinito mayor, que no puede ser emparejado con el de los naturales.

El teorema de incompletitud de Gdel.

En 1.930, Kurt Gdel demostr sus famosos teoremas de incompletitud de la Lgica. En principio, estos teoremas supusieron un jarro de agua fra al logicismo de Hilbert.

El primer teorema de incompletud nos dice que cualquier Teora Matemtica en la que se pueda definir la Aritmtica es incompleta. Es decir, que siempre habr sentencias matemticas que no sean demostrables ni la propia sentencia ni su negacin.

Esto implica que en toda Teora siempre habr afirmaciones que no sern ni verdaderas ni falsas.

La independencia de resultados.

En 1.963, Paul J. Cohen consigui la primera demostracin de independencia, mediante una tcnica metamatemtica muy potente que invent, llamada Forcing.

Cohen demostr que la Hiptesis del Continuo es independiente. Esta era una cuestin a la que se haban enfrentado infructuosamente Cantor y otros muchos matemticos.

Por el teorema de incompletitud de Gdel sabamos que tenan que existir casos as, pero este era el primero que se encontraba.

La Hiptesis del Continuo.

La Hiptesis del Continuo afirma que no existe ningn infinito entre el del conjunto de los nmeros naturales (N) y el del conjunto de los nmeros reales (R). Es decir, que todo subconjunto de R es biyectable o bien con el propio R o con N.

Pues bien, Cohen demostr que esto no es ni verdadero ni falso, sino todo lo contrario.

Formalismo vs Platonismo

El Formalismo es una visin de las Matemticas desde el punto de vista de la Lgica. Al final, los teoremas no son otra cosa que una cadena de smbolos.

Sin embargo, el Platonismo como corriente de pensamiento matemtico es la concepcin de que los objetos matemticos tienen una existencia real, aunque sea una existencia abstracta.

Significado de los resultados independientes para formalistas y platonistas.

Para un formalista, la Hiptesis del Continuo no es verdadera ni falsa, ni tiene sentido preguntarse por ello una vez demostrada su independencia.

Para un platonista a pesar de su independencia de los axiomas de la Teora de Conjuntos, tiene sentido preguntarse todava por su veracidad o falsedad.

Para un platonista, los conjuntos existen como objetos abstractos y debemos ampliar nuestros axiomas todo lo que hagan falta para captar su esencia.

Otras corrientes matemticas: finitistas, intuicionistas Probablemente, el infinito como tal no exista en el

universo. El infinito es, bsicamente, una creacin de la mente humana.

Por ello, han surgido algunas corrientes que en mayor o menor medida eliminan el uso del infinito en el desarrollo de las Matemticas. Las principales son el Finitismo y el Intuicionismo.

Pero en las Matemticas actuales el uso del infinito est en todas partes y es esencial en casi todas las Teoras Matemticas. Por ello, estas corrientes se han vuelto bastante marginales en la actualidad.

Matemticas tericas y aplicadas.

A pesar de lo abstracto de las Matemticas actuales y de lo alejadas de la realidad que parecen algunas de sus teoras, al final la motivacin principal de las Matemticas es su aplicacin en el estudio del mundo real.

Lo que ocurre es que para poder tener la potencia que han alcanzado en la actualidad ha sido imprescindible llegar a ese nivel de abstraccin.

Por eso, no existe ni existir una frontera clara entre Matemticas aplicadas y no aplicadas.

Aplicaciones de las Matemticas

Hoy en da, ms que nunca, las aplicaciones de las Matemticas estn por todas partes.

Sin Matemticas no tendramos Arquitectura, ni por supuesto tendramos ordenadores, ni Aviacin comercial.

Pero, adems, ahora ms que nunca estamos viendo como se aplican cotidianamente resultados matemticos muy avanzados, como en la codificacin de las comunicaciones mviles, en los GPS, en la encriptacin para compras seguras en Internet, etc.