Problemas resueltos de Distribución Muestral

Pregunta 1En el último año, el peso de los recién nacidos tiene una media de 3000 gr. ydesviación estándar de 140 gr. ¿Cuál será la probabilidad de que la media de unamuestra de 100 recién nacidos sea superior a 3030 gr. ?

P( X > 3030) = P( (X - µ ) / σ/√n < (3030-3000) /140/√100)= P( Z < 2.14) = 0.9838

Pregunta 2

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuyeaproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándarde 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focostenga una vida promedio de menos de 775 horas.Solución:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

Pregunta 2

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en formanormal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazode esta población, determine:

a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y unmuestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección.Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

a)

(0.7607)(200)=152 medias muestrales

b)

b.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

Pregunta 3

Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población sigue unadistribución normal de media 162 cm y desviación estándar de 12 cm. Se tomauna muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media.¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y 165 cm?

µ=162 cm.σ=20 cm.

P( 159 < X <165) = P( (159-162) / 12/√100< (X - µ ) / σ/√n < (165-162) /12/√100)= P( -2.5 < Z < 2.5) = P( Z < 2.5) - P( Z < - 2.5) = P( Z < 2.5) – (1 - P( Z < 2.5))= 2*P( Z < 2.5) -1 =2*(0.9938)) – 1 = 0.9876

Pregunta 4

En una casa de retiro la edad de las personas tiene una media de 76 años y unadesviación estándar de 10 años.

a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra aleatoria de las personas, para tener unaprobabilidad del 9.94% de que la edad media sea inferior a 74 años?

µ=76 añosσ=10 años

P( X <74) = P( (X - µ ) / σ/√n < (74-76)/10/√n) =0.0994= P( Z < Z0) = 0.0994 ENTONCES Z0 = - 1.32

(74-76)*/10/√n = -1.32

OPERANDO

-2*√n/10 = -1.32

ENTONCES

√n = 6.6 POR LO TANTO n=43.6 APROXIMADAMENTE SE NECESITA 44 PERSONAS

b) Si esta muestra se tomó de un total de 500 personas. Determinar por debajo dequé valor se encuentra el 80% de las medias muestrales probabilidad del 9.94%de que la edad media sea inferior a 74 años?

P( X <X0) = P( (X - µ ) / σ/√n < (X0 – 76) /10/√500) =0.80= P( Z < Z0) = 0.80 ENTONCES Z0 = 0.85

(X0-76)*/10/√500 = 0.85

OPERANDO

X0= 76.38

ENTONCES

SE ENCUENTRA POR DEBAJO DEL VALOR DE 76.38

Pregunta 5

Se sabe que los sueldos de los trabajadores de una empresa están distribuidosnormalmente con una media de $800. Se toma una muestra aleatoria de 25trabajadores y se encuentra que hay una probabilidad del 5% de que la mediamuestral exceda los $866.

a) Hallar la desviación estándar de los sueldos

µ = $800

σ = ¿???

P( X > 866) = P( (X - µ ) / σ/√n < (866 – 800) /σ /√25) =0.05= P( Z > 330/ σ) = 0.05 ENTONCES 1- P( Z < 330/ σ)=0.05P( Z < 330/ σ)=0.95330/ σ=1.65 entonces σ=$200

b) Hallar la probabilidad de que un sueldo elegido aleatoriamente exceda los $770

P( X > 770) = P( (X - µ ) / σ > (770 – 800) /200) = P( Z > - 0.15)ENTONCES 1- P( Z < - 0.15) = 1-(1-P( Z < 0.15))= P( Z < 0.15)= 0.5596.