Probabilidad y Estadística - Facultad - FCEIAusuarios.fceia.unr.edu.ar/~pablos/Probabilidad y...

Probabilidad y Estadstica

P (X x) = x

1p2

e(t)2

22 d t

P (T t ) = etW U (a,b)

Variables Aleatorias Continuasy algunas

Distribuciones de Probabilidad

Ral D. Katz

Pablo A. Sabatinelli2013

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

ndice

1. Variable aleatoria continua 3

2. Funcin de distribucin acumulada 4

3. Esperanza matemtica y variancia de una variable aleatoria continua 5

4. Distribucin uniforme 64.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2. Propuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3. Esperanza matemtica y variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Distribucin exponencial 75.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.2. Esperanza matemtica y variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.4. Propiedad de no memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.5. Vinculacin con la distribucin de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6. Distribucin normal 106.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2. Clculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Distribucin log-normal 147.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8. Miscelnea 16

9. Bibliografa 18

Ral Katz - Pablo Sabatinelli 2


1. Variable aleatoria continua

Hemos introducido a las variables aleatorias como funciones que asignan a cada elemento de un es-pacio muestral un nmero real. Cuando la variable aleatoria es continua, es decir, cuando el recorridode la variable aleatoria es un intervalo real, matemticamente no es factible asignar una probabilidadpositiva a cada elemento del recorrido de la variable aleatoria y al mismo tiempo verificar que la sumade las probabilidades de los distintos valores sea igual a uno. Esto nos obliga a desarrollar un mtododiferente para describir la distribucin de probabilidad para una variable aleatoria continua.

Supongamos que nos interesa conocer el comportamiento de la variable aleatoria X : vida til de unaherramienta. Desde un punto de visto terico esta variable aleatoria puede asumir cualquier valorreal no negativo. Sin embargo, esto no significa que podamos encontrar cada uno de esos valoresentre los datos de una muestra.Supongamos que se dispone de 100 datos correspondientes a la experiencia de medir la vida til de100 herramientas seleccionadas al azar de una poblacin. Utilizamos un histograma y un polgonode frecuencias relativas, como representaciones grficas para describir la distribucin de esos valoresmedidos.

Si continuramos indefinidamente midiendo la vida til de nuevas herramientas del mismo tipo,obtendramos ms datos y sera factible construir histogramas y polgonos sobre la base de ms in-tervalos de clase y de longitud menor. Estos histogramas y polgonos, basados en una mayor cantidadde mediciones, presentaran una forma cada vez ms suavizada y reflejaran de manera muy apro-ximada la distribucin de la variable en la poblacin constituida por la totalidad de las medicionesposibles. Surgira de este modo una curva, con propiedades anlogas a los histograma y a los polgo-nos de frecuencias relativas.

As como el rea encerrada por un histograma sobre un intervalo representa la proporcin o frecuen-cia relativa de datos que se encuentran en dicho intervalo, el rea encerrada por la curva sobre unintervalo representa la probabilidad de que al realizar una observacin de la variable aleatoria, lamisma asuma un valor en dicho intervalo.



Formalizaremos estas ideas a travs de la siguiente definicin.

Sea X una variable aleatoria continua. Decimos que fX es la funcin de den-sidad de probabilidad asociada a X cuando se verifica

fX (x) 0 para todo x R. +

fX (x)d x = 1.

P (a X b) = b

afX (x)d x.

1. Sea X una variable aleatoria continua y x un nmero real. Entonces P (X = x) = 0. Por qu?Significa esto que es imposible que la variable X asuma el valor x?

2. Del apartado anterior, resulta P (a X b) = P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b).

2. Funcin de distribucin acumulada

Sea X una variable aleatoria continua y fX su funcin de densidad de pro-babilidad. La funcin

FX : R [0,1]x 7 FX (x) =

x

fX (t )d t ,

se denomina funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria X .

Propiedades.

1. FX (x) = P (X x).

2. 0 FX (x) 1, x R.

3. FX es montona no decreciente.

4. F X (x) = fX (x) en los puntos de continuidad de fX .

Ejemplo: Sea X una variable aleatoria cuya funcin de densidad de probabilidad es

fX (x) ={

3x2 0 < x < 1,0 en otro caso.

Calcule

1. P (X < 0.50).

2. P (1 < X < 0.20).

3. Determine la funcin de distribucin acumulada para la variable aleatoria X .

1. P (X < 0.50) = 0.50 fX (x)d x = 0.50

0 3x2 d x = 0.503 = 0.125.

2. P (1 < X < 0.20) = 0.201 fX (x)d x = 0.20

0 3x2 d x = 0.203 = 0.008.



3. Para x < 0, FX (x) = 0. Para x [0,1], FX (x) = x fX (t )d t =

x0 3t

2 d t = x3. Para x > 1, FX (x) = 1.Luego

FX (x) =

0 x 0,x3 0 < x < 1,1 x 1.

x

fX

0.5

1

x

FX

0.5

1

3. Esperanza matemtica y variancia de una variable aleatoria continua

Hemos definido la esperanza matemtica de una variable aleatoria discreta X con funcin de proba-bilidad pX como

RX xpX (x). Cuando X es una variable aleatoria continua, con funcin de densidad

de probabilidad fX , se define esperanza matemtica de X , a travs de una integral.

Sea X una variable aleatoria continua y fX su funcin de densidad de pro-babilidad. La esperanza matemtica o media poblacional de X , que se notaE(X ) o X es el nmero

E(X ) =X = +

x fX (x)d x,

siempre que la integral exista y sea finita.

Hemos definido la variancia de una variable aleatoria discreta X con funcin de probabilidad pXcomo

RX

(x X

)2 pX (x). Cuando X es una variable aleatoria continua, con funcin de densidadde probabilidad fX , se define la variancia de X , a travs de una integral.

Sea X una variable aleatoria continua y fX su funcin de densidad de proba-bilidad. La variancia de X que se nota V (X ) o 2X es el nmero no negativo

V (X ) =2X = +

(x X

)2 fX (x)d x,

siempre que la integral exista y sea finita.

A partir de la definicin de variancia, se prueba que

V (X ) = E (X 2) (E(X ))2 ,



donde E(X 2

)= + x2 fX (x)d x. Este resultado facilita el clculo de la variancia de una variable alea-toria.

Ejemplo: Consideramos la variable aleatoria Y con funcin de densidad

fY (y) ={

2y 0 y 1,0 en otro caso.

Veamos primero que fY es una funcin de densidad de probabilidad.

+

fY (y)d y =

1

02y d y = y2

10 = 12 02 = 1.

Es claro que fY (y) 0 para todo y R. La esperanza de Y es

Y = +

y fY (y)d y =

1

02y2 d y = 2

3y3

1

0= 2

3.

Si realizamos un gran nmero de observaciones de la variable aleatoria Y , entonces la media aritm-tica de esos valores ser un nmero que tiene grandes chances de diferir poco de Y = 23 .

La variancia de Y es

2Y = +

(y Y

)2 fY (y)d y = 1

02y

(y 2

3

)2d y = 1

2y4 8

9y3 + 4

9y2

1

0= 1

18.

La variancia cuatifica la variacin de los valores de la variable Y respecto de Y .

4. Distribucin uniforme

Decimos que una variable aleatoria X se distribuye uniformemente en elintervalo [a,b] y notamos X U (a,b), cuando su funcin de densidad deprobabilidad es

fX (x) ={

1ba si x [a,b],0 en otro caso.

El hecho de que una variable aleatoria tenga un comportamiento uniforme significa que intervalosde igual amplitud contenidos en el intervalo [a,b] tienen la misma probabilidad de ocurrir.

| |a b

1ba

x

fX

1

4.1. Ejemplo

El tiempo en minutos que una persona demora en ir de su casa a una estacin de tren es una variablealeatoria T con distribucin uniforme en el intervalo [20,25].

1. Calcule la probabilidad de que si la persona deja su casa a las 7:05, alcance el tren que parte alas 7:28.



2. A qu hora debe salir de su casa para tener una probabilidad de 0.8 de alcanzar el tren?

Sea T :tiempo en minutos que una persona demora en ir de su casa a una estacin de tren. T U (20,25).

1. P (T < 23) = 3 15 = 35 .

| |

20 2523 t

3/5 1/5

1

2. P (T < t0) = 0.8 (t0 20) 15 = 0.8. Luego t0 = 0.85+20 = 24. Debe salir de su casa a las 7:04

| |

20 25t0 t

0.8

1

4.2. Propuestas

1. Sea X U (a,b). Determine su funcin de distribucin acumulada y grafquela.

2. El error que se comete al medir la densidad de una sustancia es una variable aleatoria continuaX con distribucin uniforme en el intervalo [0.02,0.02].

a) Calcule la probabilidad de que el error de una medicin se encuentre entre 0.010 y 0.014.

b) Calcule la probabilidad de que el error de una medicin sea mayor que 0.015.

c) Calcule la probabilidad de que el error de una medicin sea a lo sumo 0.016.d) Calcule la probabilidad de que en una medicin no se cometa error.

4.3. Esperanza matemtica y variancia

Sea X U (a,b). Entonces

E(X ) =X = b

a

x

b a d x =a +b

2.

V (X ) =2X = b

a

(x a +b

2

)2 1

b a d x =(b a)2

12.

5. Distribucin exponencial

Decimos que una variable aleatoria X tiene una distribucin exponencialde parmetro > 0 y notamos X E () cuando su funcin de densidad deprobabilidad es

fX (x) ={ex si x > 0,0 en otro caso.

Si x > 0, entonces FX (x) = x

0 et d t = 1ex . Consecuentemente P (X > x) = 1(1ex ) = ex .



fX

x0

1

5.1. Ejemplo

La duracin en aos de un fusible es una variable aleatoria T con distribucin exponencial con =0.25. Es decir que fT (t ) = 0.25e0.25t , t > 0.

1. La probabilidad de que un fusible dure ms de 2 aos es

P (T > 2) = e0.252 = e0.5 0.6065.

fX

x0 2

1

2. La probabilidad de que un fusible dure entre 3 aos y 4 aos es

P (3 < T < 4) = FT (4)FT (3) = 1e0.254 (1e0.253)= e0.253 e0.254 0.1045.

fX

x0 3 4

1

3. El fabricante quiere reponer a lo sumo el 2% de los fusibles dentro del tiempo de garanta.Entonces debe ofrecer una garanta de de a lo sumo t0.

P (T < t0) = FT (t0) = 1e0.25t0 = 0.02 t0 0.0808 aos 1 mes.

fX

x0 t0

0.02

1

5.2. Esperanza matemtica y variancia

Si X E (), entoncesE(X ) =X =

+

0xex d x = 1

.

V (X ) =2X = +

0

(x 1

)2ex d x = 1

2.



5.3. Ejemplos

1. El tiempo en minutos que transcurre entre las llegadas consecutivas de dos automviles a unaestacin de peaje, es una variable aleatoria X con distribucin exponencial con= 4 min1. Esdecir que fX (x) = 4e4t , x > 0.

a) El tiempo medio transcurrido entre las llegadas consecutivas de automviles es

E(X ) =X =1

4minutos = 15 segundos.

b) La probabilidad de que el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas sea inferiora un minuto, si se sabe que al cabo de 30 segundos an no ha llegado el segundo automviles

P (X < 1/X > 0.5) = P (0.5 < X < 1)P (X > 0.5) =

FX (1)FX (0.5)1FX (0.5)

0.8647.

2. La duracin en aos de un fusible es una variable aleatoria T con distribucin exponencial con= 0.25 aos1.

Calcule la probabilidad de que un fusible dure ms de tres aos.

Calcule la probabilidad de que un fusible dure ms de 4 aos, si ya ha durado 1 ao.

a) P (T > 3) = e0.253 = e0.75 0.472.b) P (T > 4/T > 1) = P (T>4)P (T>1) = e

0.254e0.251 = e0.75 0.472. Es decir, la probabilidad de que un fusi-

ble dure ms de cuatro horas cuando se conoce que ya ha durado ms de una hora, coinci-de con la probabilidad de que el fusible dure ms de tres horas. Esto es, la probabilidad deque el fusible sobreviva depende tan slo de la amplitud del intervalo de tiempo y no deltiempo en que ha estado fucionando. Con mayor generalidad enunciamos la propiedad.

5.4. Propiedad de no memoria

Sea X una variable aleatoria con distribucin exponencial. Sean t y s nmeros positivos. Entonces

P (X > t + s/X > s) = P (X > t ).

P (X > t + s/X > s) = P ((X > t + s) (X > s))P (X > s) =

P (X > t + s)P (X > s) =

e(t+s)

es= et = P (X > t ).

Esta propiedad slo la satisfacen aquellas variables que tengan comportamiento exponencial sin im-portar su parmetro.

5.5. Vinculacin con la distribucin de Poisson

Sea X t la cantidad de automviles que llegan a un puesto de peaje en un periodo de tiempo t . Supon-gamos que X t P (t ), es decir

P (X t = k) =(t )k et

k !, k = 0,1,2, . . . .

Sea T : tiempo que transcurre hasta que se produce la llegada de un automvil al puesto de peaje oequivalentemente tiempo que transcurre entre la llegada de un automvil y el siguiente. La probabi-lidad de que el tiempo entre la llegada de dos automviles sea mayor que t , es igual a la probabilidadde que no lleguen automviles al puesto de peaje en un periodo de tiempo t , puesto que estos sucesosson equivalentes. En smbolos

P (T > t ) = P (X t = 0) = et .Esta relacin nos indica que T E ().



5.6. Ejemplo

La distancia entre imperfecciones en un rollo de alambre se distribuye exponencialmente con unadistancia media de 3 m. Sea X la distancia (medida en m.) entre dos imperfecciones consecutivas.

1. Cul es la media de la cantidad de imperfecciones por metro?

2. Cul es la probabilidad de que en 5 m. de alambre haya solo 2 imperfecciones?

Sea X E (13).

1. Sea Y1: nmero de imperfecciones en 1 m. de alambre. Entonces Y1 P(1

3

). E (Y1) = 13 imper-

fecciones.

2. Sea Y5: nmero de imperfecciones en 5 m. de alambre. Entonces Y5 P(5

3

).

P (Y5 = 2) =(5

3

)2e

53

2!= 25

18e

53 0.2623.

6. Distribucin normal

La distribucin normal fue introducida en 1733 por Abraham De Moivre, al obtenerla como una for-ma lmite de la distribucin binomial.

Medio siglo despus fue redescubierta por Laplace y Gauss para describir el comportamiento de loserrores en las mediciones astronmicas, que seguan una distribucin simtrica en forma de campa-na.

Decimos que una variable aleatoria X tiene una distribucin normal de pa-rmetros y , donde > 0, y notamos X N (,) cuando su funcin dedensidad de probabilidad es

fX (x) =1p

2e

(x)222

La vida til de las bateras, el dimetro interior de un anillo de pistn, los errores en instrumentospara medir longitudes, la resistencia a la ruptura de una soga, el nivel de agua en un lago, el valor deglucosa en sangre y el espesor de pintura en lminas sin recubrimiento de zinc, son variables alea-torias que pueden modelizarse a travs de una distribucin normal. La posibilidad de poder explicarla variabilidad en situaciones tan diversas a partir de un mismo modelo, hace que la distribucinnormal sea una de las ms importantes de la estadstica.

6.1. Propiedades

1. La funcin fX (x) > 0, para todo x real y adems + fX (x)d x = 1.

2. La grfica de fX es simtrica respecto de la recta de ecuacin x =. En smbolos

fX(x)= fX

(+x) , x R.

3. La funcin fX tiene un mximo absoluto para x = y presenta puntos de inflexin en los puntosde abcisa x =.



Se demuestra que si X N (,), entonces

E(X ) = +

x fX (x)d x =.

V (X ) = +

(x )2 fX (x)d x =2.

Mostramos tres grficos de curvas normales con diferentes medias y variancias. En este grfico es1 2.

x

N(2,2

)N

(1,2

)

N(1,1

)

1

6.2. Clculo de probabilidades

Sea X N (,). Entonces la probabilidad de que una variable aleatoria con dicha distribucin tomeun valor en el intervalo [a,b] viene dada por la integral

P (a < X < b) = b

a

1p2

e(t)2

22 d t .

En la prctica, estas integrales se calculan con la ayuda de tablas. La funcin f (t ) = e(t)2

22 no sepuede integrar, en el sentido de que no existe ninguna funcin F que se exprese en trminos de po-linomios, races, senos, cosenos, exponenciales, logaritmos, etc., tal que F = f .

Para el clculo a travs de tablas, resulta til saber que si X N (,), entonces para Z = X , resultaZ N (0,1). En efecto, veamos que el cambio de variable z = t , permite que la evaluacin nodependa de los particulares valores de y .

FX (x) = P (X x) = x

1p

2e

(t)222 d t =

x

1p2

ez2

2 d z = P(

Z x

)

donde Z N (0,1).

Es gracias a esta propiedad de la distribucin normal que en la prctica solamente existen tablas parala distribucin normal de parmetros 0 y 1, conocida como distribucin normal estndar, o reducida.

Con mayor generalidad:

Si X N (X ,X)

entonces Y = aX + b, tambin tiene una distribucin normal, conparmetros Y = aX +b y Y = |a|X .

6.2.1. Ejemplos

La resistencia a la compresin de una muestra de cemento es una variable aleatoria que se distribuyenormalmente con media 6000 kg/cm2 y desviacin estndar de 100 kg/cm2.

1. Cul es la probabilidad de que la resistencia de una muestra de cemento tomada al azar, seamenor a 6250 kg/cm2?



2. Cul es la probabilidad de que la resistencia de una muestra de cemento se encuentre entre5800 y 5900 kg/cm2?

3. Cul es la probabilidad de que la resistencia de una muestra de cemento tomada al azar, superelos 5950 kg/cm2?

4. Cul es el valor de la resistencia que es superado por el 95% de las muestras de cemento?

Llamamos X :resistencia a la compresin de una muestra de cemento. X N (6000,100).1.

P (X < 6250) = P(

X 6000100

< 62506000100

)

= P (Z < 2.5) 0.9938,segn resulta de la tabla de la distribucin normal.

x62506000

1

2.

P (5800 < X < 5900) = P(

58006000100

< X 6000100

< 59006000100

)

= P (2 < Z 0.50)= 1P (Z


4.

P (X > x0) = 0.95 P(

Z > x0 6000100

)= 0.95

P(

Z < x0 6000100

)= 0.05

x0 6000100

1.64 x0 5836 kg/cm2.

xx0

0.95

1

6.3. Problemas

1. Indique en el siguiente grfico de una variable con distribucin normal, la media y la mediana.Justifica.

2. Una empresa produce un cierto tipo de piezas metlicas, para lo que cuenta con dos mquinas.Las longitudes de las piezas producidas por la mquina 1 se distribuyen normalmente con =87.5 cm y = 0.5 cm; mientras que las longitudes de las piezas producidas por la mquina 2 sedistribuyen normalmente con= 85 cm y= 0.8 cm. Un cliente requiere piezas con longitudesmayores que 86 cm. Con qu mquina le conviene producir piezas para este cliente? Expliquepor qu es posible responder sin realizar clculos.

3. El voltaje de salida de una fuente de energa elctrica se distribuye normalmente, con media12 V y desviacin estndar de 0.10 V. Las especificaciones para el voltaje es 120.15 V. Calcu-le la probabilidad de que una fuente de voltaje de energa elegida al azar no cumpla con lasespecificaciones.

4. La duracin de una batera de automvil, es una variable aleatoria con distribucin normalde media 900 das. Calcule para qu valor del desvo estndar se verifica que con probabilidad0.95, una batera elegida al azar dure al menos 825 das.

5. Los ejes fabricados para el uso de dispositivos de almacenamiento ptico tienen dimetros quese distribuyen normalmente con media = 0.652 cm y desviacin estndar = 0.003 cm. Laespecificacin para el dimetro de los ejes es 0.6500.005 cm.

a) Qu proporcin de los ejes fabricados por este proceso no cumple con la especificacin?

b) Sea Y : cantidad de ejes que no cumplen con la especificacin en una muestra de tamao10, seleccionada de una produccin muy grande. Calcule e interprete el valor de E(Y ).

c) Se ha recalibrado el proceso de tal forma que la media de los dimetros es = 0.65 cm.Cul debera ser el mximo valor de la desviacin estndar para que el 99% de los ejescumpla con la especificacin?

d) Explique qu mide la desviacin estndar.

6. La densidad del grosor de un suelo se define como la masa de slidos secos por unidad de volu-men del grosor. La densidad del grosor de un suelo es una variable aleatoria X con distribucinnormal, media igual a 1.5 y desviacin estndar 0.2 g/cm3.



a) Calcule P (1.1 < X < 1.9). Esboce adems una grfica de la funcin densidad de X y mues-tre sobre la misma el valor de la probabilidad calculado.

b) Cul es el valor de la densidad que posee la propiedad de que el 10% de las muestras desuelo tienen densidades mayores?

c) Calcule la probabilidad de que en 10 muestras del suelo seleccionadas al azar, a lo sumouna tenga una densidad menor que 1.0 g/cm3.

7. Los tiempos hasta la primera avera de cierta marca de impresora se distribuyen normalmentecon una media de 1500 horas y una desviacin estndar de 200 horas.

a) Qu proporcin de las impresoras fallarn antes de las 1000 horas?

b) Calcule la esperanza matemtica de la variable aleatoria X : cantidad de impresoras quefallan antes de las 1000 horas en una muestra aleatoria de 50 impresoras.

c) Si el fabricante desea que slo presente averas dentro del perodo de garanta el 0.5% delas impresoras, cul debera ser el tiempo mximo de garanta para esas impresoras?

8. La duracin de ciertos chips para computadoras vara aleatoriamente segn una distribucinnormal, con media 4.4 106 horas y desviacin estndar de 0.13 106 horas. Un fabricantede computadoras necesita que por lo menos el 90% de los chips, de un gran lote, tengan unaduracin de por lo menos 4106 horas.

a) Cumplen los chips con los requerimientos del fabricante?

b) Cul es la probabilidad de que un lote de 100 chips contenga a lo sumo 2 cuya duracinsea menor que 3106 horas?

9. Para una variable aleatoria X con distribucin N(,

), calcule

P (< X


Sea X N (,) y sea Y = e X . Entonces la funcin de densidad de la varia-ble aleatoria Y es

fY (y) =

1yp

2e

(ln y)222 y > 0,

0 y 0.

En este caso, decimos que la variable aleatoria Y tiene una distribucin log-normal con parmetros y .

GRFICA DE DISTRIBUCIN LOG-NORMAL.La distribucin log-normal se utiliza generalmente para modelar o describir procesos con asimetraa derecha. Las muestras provenientes de poblaciones log-normales presentan a menudo valores at-picos hacia la derecha. Tal es el caso de la concentracin de anticuerpos en suero sanguneo humano,el tamao de partculas de las gotas formados por los nebulizadores utilizados en espectroscopa dellama, el tamao de partculas que resultan de un proceso de molienda, la concentracin de impure-zas en el agua, el grado de acidez de una sustancia.

Se demuestra que si Y tiene una distribucin log-normal de parmetros y , entonces

E(Y ) = e+ 2

2

V (Y ) =(e

2 1)

e2+2

7.1. Ejemplo

Cuando un pesticida entra en contacto con la piel, se absorbe cierto porcentaje de ste. El porcentajedel pesticida que ser absorbido durante cierto espacio de tiempo puede modelarse con una distri-bucin log-normal. Suponga que para cierto pesticida, la cantidad absorbida (en porcentaje) duranteun periodo de dos horas sigue una distribucin log-normal con = 1.5 y = 0.5

1. Determine la media y desviacin estndar del porcentaje absorbido.

2. Determine la probabilidad de que el porcentaje absorbido sea mayor que 10.

3. Determine la probabilidad de que el porcentaje absorbido sea menor que 5.

4. Que porcentaje de pesticida es absorbido por a lo sumo el 75% de las personas?

5. Determina la mediana del porcentaje absorbido.

Sea Y : cantidad de pesticida absorbido (en porcentaje) durante un periodo de dos horas de pesticida.Y = e X , donde X N (1.5,0.5).

1. E(Y ) = e1.5+ 0.52

2 = e0.1875 1.206%, V (Y ) =(e0.5

2 1)

e21.5+0.52 7.325%2.

2. P (Y > 10) = P (e X > 10)= P (X > ln10) = P(

Z > ln101.50.5) 0.054.

3. P (Y < 5) = P (e X < 5)= P (X < ln5) = P(

Z < ln51.50.5) 0.587.

4.

P(Y < y0

)= 0.75 P (e X < y0)= 0.75

P (X < ln y0)= 0.75

P(

Z < ln y0 1.50.5

)= 0.75

ln y0 1.50.5

0.67.



En consecuencia y0 6.26%.

5.

P(Y < y)= 0.50 P (e X < y)= 0.50

P (X < ln y)= 0.50

P(

Z < ln y 1.50.5

)= 0.50

ln y 1.50.5

= 0.

En consecuencia y 4.48%.

7.2. Problemas

1. La vida til de un semiconductor lser tiene una distribucin log-normal con = 10 horas y= 1.5 horas.

a) Cul es la probabilidad de que la vida til de un semiconductor lser elegido al azar su-pere las 10000 horas?

b) Qu tiempo de vida excede el 99% de los lser?

2. El dimetro de bolitas de telgopor para embalajes es una variable aleatoria con distribucinlog-normal con parmetros = 0.8 y = 0.1 mm. Calcule la probabilidad de que una bolitaelegida al azar tenga un dimetro mayor a 2.7 mm.

8. Miscelnea

1. El peso que soporta una varilla especial usada en la construccin es una variable aleatoria condistribucin normal, con media igual a 25 toneladas. Se conoce que el 80% de las varillas so-portan un peso mayor a 23 toneladas.

a) Las especificaciones dadas por un comprador requieren que las varillas aguanten un pesode por los menos 22 toneladas. Qu proporcin de las varillas no satisface las especifica-ciones?

b) Calcule la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 5 varillas a lo sumo una nocumpla con las especificaciones.

c) Cul es el nmero promedio de varillas que no satisface las especificaciones, en todos losposibles lotes de 400 varillas?

2. La cantidad de averas diarias para un proceso automatizado de produccin tiene una distri-bucin de Poisson con media igual a 2 averas en jornadas de 8 horas.

a) Calcule la probabilidad de que el proceso trabaje ms de una hora sin averas.

b) Calcule la probabilidad de que el proceso trabaje un turno de ocho horas sin averas.

c) Explique qu significa que la media, en jornadas de 8 horas, sea igual a 2 averas.

d) Cul es el tiempo medio entre averas?

3. El tiempo necesario para terminar determinada operacin de ensamblado se distribuye uni-formemente entre 30 y 40 minutos.

a) Calcule la probabilidad de que la operacin de ensamblado requiera ms de 38 minutos.

b) Analice la veracidad de la siguiente afirmacin: El 70% de las veces el armado terminadespus de los 33 minutos de operacin.



4. El error que se comete al pesar un objeto vara aleatoriamente con distribucin normal, mediay desviacin estndar igual a 0 y 0.15 g respectivamente.

a) Calcule la probabilidad de que el error, en valor absoluto, de una pesada resulte inferior a0.20 g.

b) Cul es la esperanza matemtica de la variable aleatoria Y : nmero de pesadas sobre untotal de 10 en que el error, en valor absoluto, resulta inferior a 0.20 g?

5. El tiempo en minutos que un auto permanece en una playa de estacionamiento es una variablealeatoria X normalmente distribuida con E(X ) = 50 minutos. Se conoce adems que la proba-bilidad de que un auto permanezca en la playa por ms de 54 minutos es 0.0668.

a) Cul es la probabilidad de que un auto permanezca en la playa por ms de 52 minutos?

b) Cul es la probabilidad de que, sobre un total de 10 autos, por lo menos dos permanezcanpor ms de 52 minutos?

6. Un fabricante de aviones desea obtener remaches para montar los propulsores de sus avio-nes. El esfuerzo a la tensin mnima necesario de cada remache es de 25000 lb. Se pide a tresfabricantes de remaches que proporcionen toda la informacin pertinente con respecto a losremaches que producen. Los tres fabricantes aseguran que la resistencia a la tensin de susremaches se encuentra distribuida normalmente con medias 28000, 30000 y 29000 libras, res-pectivamente. Tiene el fabricante suficiente informacin para hacer una eleccin? Explique.

7. El nmero de pedidos de asistencia que recibe un servicio de remolque de vehculos es unavariable aleatoria con distribucin de Poisson a razn de cuatro pedidos por hora.

a) Calcule la probabilidad de que en un perodo de 2 horas se reciban 10 pedidos.

b) Si los operadores de las gras de remolque descansan durante 30 minutos, cul es la pro-babilidad de que en ese perodo de tiempo no se desatienda ninguna llamada de asisten-cia?

c) Qu distribucin de probabilidad tiene la variable aleatoria T : tiempo transcurrido hastaque se produce la primera solicitud (o tiempo transcurrido entre dos solicitudes sucesi-vas)?

8. La vida til T de un componente es una variable aleatoria con distribucin N (100,). Se co-noce que P (T < 120) = 0.90.

a) Calcule P (T > 110).b) Un sistema consta de 5 de tales componentes. Al fallar una cualquiera de las componentes

se desconecta el sistema. Cul es la probabilidad de que se desconecte el sistema antesde las 110 horas de funcionamiento? Indique qu supuestos debi realizar para el clculode la probabilidad anterior.

9. Un sistema consta de dos dispositivos (A y B) que funcionan simultnea e independiente. Laduracin en horas del dispositivo A es una variable aleatoria con distribucin exponencial deparmetros = 0.02 horas1, en cambio la duracin en horas para el dispositivo B es una va-riable aleatoria con distribucin normal de parmetros = 10 horas, y = 1 hora.

a) Calcule la probabilidad de que falle al menos un dispositivo antes de las 12 horas de fun-cionamiento.

b) Si al menos uno de los dispositivos ha fallado antes de las 12 horas de funcionamiento,calcule la probabilidad de que sea el dispositivo B .

c) Calcule la probabilidad de que el dispositivo A funcione al cabo de las 20 horas sabiendoque funciona al cabo de las 8 horas.



10. La duracin en aos de cierto tipo de heladera es una variable aleatoria D N (4.8,1.3).

a) El aparato est garantizado por dos aos. Cul es la probabilidad de que el artefacto debaser reemplazado durante el perodo cubierto por la garanta?

b) Cunto tiempo de garanta debe otorgar el fabricante si desea reemplazar slo el 0.5% delas heladeras?

c) La empresa fabricante recibe el pedido de 10 heladeras. Cul es la probabilidad de quepor lo menos 8 duren ms de 5 aos?

11. El salario que paga una compaa a sus empleados por hora de trabajo es una variable aleatoriaS con distribucin normal, media igual a $80 y desviacin estndar igual a $12. Considere lassiguientes dos posibilidades:

se aumenta el salario por hora de cada empleado en un 10%;

se aumenta el salario por hora de cada empleado en $8.

En qu caso la proporcin de empleados que ganan ms de $100 la hora es mayor?

12. El costo de reparacin (medido en pesos) de un equipo es una variable aleatoria C que dependedel tiempo T (medido en horas) que insume la reparacin: C = 10+100T . La variable aleatoriaT U (0,20). Calcule la probabilidad de que el costo de reparacin de un equipo supere el valor$1030.

13. a) Los artculos dispuestos en una cinta transportadora son analizados por un robot quedetecta los artculos defectuosos. Si el nmero de artculos defectuosos que detecta elrobot en un perodo de una hora sigue una ley de Poisson a razn de 5 artculos por hora,calcule la probabilidad de que en un cuarto de hora el robot detecte a lo sumo un artculodefectuoso.

b) Qu distribucin de probabilidad tiene la variable aleatoria tiempo que transcurre desdeque el robot detecte un artculo defectuoso hasta que detecte el siguiente? Justifique.

c) Calcule la probabilidad de que dicho tiempo sea superior a 10 minutos.

9. Bibliografa

1. Devore, J. (2005). Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencia. Mxico: Thomson Edito-res.

2. Garca, R. y Mermoz, O. (2006). Distribuciones univariantes de probabilidad. Modelos y su iden-tificacin. Buenos Aires: Nueva Librera.

3. Meyer, P. (1992). Probabilidad y aplicaciones estadsticas Mxico: Addison-Wesley Iberoameri-cana.

4. Milton, J. y Arnold, J. (1986). Probabilidad y Estadstica con Aplicaciones para Ingeniera y Cien-cias Computacionales Mxico: McGraw-Hill.

5. Montgomery, D. y Runger, G. (1996). Probabilidad y Estadstica aplicadas a la Ingeniera. Mxi-co: Mc-Graw-Hill.

6. Walpole, R., Myers, R. y Myers, S. (1999) Probabilidad y estadstica para ingenieros. Mxico:Pearson Educacin.


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