Practica No4

Analisis de Sensibilidad - InterpretacionEconomica

4.1 Considere el problema:

Max cx

s.a. Ax=b

x ≥0

con A ∈ Rm×n y rango(A) = m. Suponga tener la base B de la solucion optima y que b esreemplazado por b+ λd, donde λ ∈ R y d ∈ Rm. Dar una condicion para que la base B seaoptima para todo λ ≥ 0.

4.2 Considerar los siguientes ppl:

a)

Max 5x1+x2+2x3

s.a. x1+x2+ x3 ≤6

6x1 + x3 ≤8

x2+ x3 ≤2

x1, x2 , x3 ≥0

Usando la tabla optima del problema:

1) Hallar el dual del problema y su solucion optima.

2) Hallar el rango de valores de c1 y de c2 en los que la base optima actual continuasiendo optima.

3) Hallar el rango de valores de b3 en los que la base optima actual continua siendooptima.

b)

Max 3x1+x2−x3s.a. 2x1+x2+x3 ≤ 8

4x1+x2−x3 ≤10

x1, x2 ,x3 ≥ 0

Usando el diccionario optimo del problema:

1) Hallar el dual del problema y su solucion optima.

2) Hallar el rango de valores de b2 para los que la base optima actual continua siendooptima. Si b2 = 12, ¿cual es la nueva solucion optima?

4.3 Considerar el siguiente PPL:

Max 3x1+x2

s.a. 2x1+x2≤8

4x1+x2≤10

x1, x2≥0

La solucion optima de este problema es z∗ = 9, x∗1 = 1, x∗2 = 6. Hallar graficamente el rangode valores de b2 para los cuales la base optima actual continua siendo optima.

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4.4 Considerar un PPL con tres restricciones por ≤. Los lados derechos de las restricciones son10, 15 y 20 respectivamente. En la tabla optima s2 es una variable basica en la segundarestriccion, con lado derecho de 12. Determinar el rango de valores de b2 para los cuales labase optima actual continua siendo optima (ayuda: si el lado derecho de la restriccion 2 es15 + ε, esto deberıa ayudar a encontrar el lado derecho en el diccionario optimo).

4.5 Una fabrica de muebles fabrica bibliotecas, escritorios, sillas y camas, para lo cual tiene unacapacidad de produccion medida por la cantidad de materia prima disponible (117 unidad demetal y 420 de madera) y la disponibilidad de 225 horas de mano de obra. Los requerimientospara cada tipo de mueble y los beneficios de la venta de cada uno son:

una biblioteca requiere 3 horas de trabajo, una unidad de metal y 4 de madera, y daun beneficio de 19$.

un escritorio requiere dos horas de trabajo, una unidad de metal y 3 de madera y daun beneficio de 13$.

una silla requiere una hora de trabajo, una unidad de metal y 3 de madera, y da unbeneficio de 12$.

una cama requiere 2 horas de trabajo, una unidad de metal y 4 de madera y da unbeneficio de 17$.

Suponiendo que se puede vender todo lo que se produce, determinar el programa de produc-cion que maximice el beneficio de la empresa.

A partir de la solucion optima anterior resolver las siguientes variaciones que pueden surgir:

a) el beneficio de cada escritorio crece de 13 a 15$.

b) la disponibilidad de metal crece de 117 a 125 unidades por dıa.

c) la companıa quiere producir mesas de cafe que requieren 3 horas de trabajo, una unidadde metal, 2 de madera, y dan un beneficio de 14$.

d) el numero de sillas fabricadas tiene que ser al menos 5 veces el numero de escritorios.

e) se decide cambiar el modelo de las sillas y para fabricar el nuevo se requieren 4 unidadesde madera.

4.6 Radioco produce dos tipos de radios. El unico recurso escaso que se necesita para producirradios es mano de obra. Hasta el momento, la companıa cuenta con dos empleados. Elempleado 1 desea trabajar no mas de 40 horas semanales y recibe $5 por hora. El empleado2 desea trabajar hasta 50 horas por semana y recibe $6 por hora. Tanto los precios como losrecursos necesarios para fabricar cada tipo de radio se dan en la siguiente tabla:

radio 1 radio 2empleado 1 1 hora 2 horasempleado 2 2 horas 1 horacosto materia prima $5 $ 4precio $25 $ 22

Plantear el problema que maximice los beneficios de Radioco, y usando el diccionario optimoresolver:

a) ¿Para que valores del precio de la radio 1 la base actual seguirıa siendo optima?

b) ¿Para que valores del precio de la radio 2 la base actual seguirıa siendo optima?

c) Si el empleado 1 deseara trabajar solo 30 horas por semana, ¿seguirıa la base actualsiendo optima?

d) Si el empleado 2 deseara trabajar hasta 60 horas por semana, ¿seguirıa la base actualsiendo optima?

e) Si el empleado 2 estuviera dispuesto a trabajar solo 48 horas semanales, ¿cual serıa elbeneficio de Radioco? Verificar la respuesta determinando el numero de radios de cadatipo que se producirıan.

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f ) Se esta considerando la produccion de un tercer tipo de radio. Las especificaciones serıanlas siguientes: precio, $30; 2 horas de trabajo del empleado 1; 2 horas de trabajo delempleado 2; costo de materia prima, $3. ¿Le conviene a Radioco producir radios tipo3?

4.7 Beerco produce dos tipos de cerveza a partir de maız, lupulo y malta y debe plantear elsiguiente PPL para maximizar beneficios:

Max 40c1+50c2

s.a. c1+ 2c2≤40 (restriccion para el maız)

c1+ c2≤30 (restriccion para el lupulo)

2 c1+ c2≤40 (restriccion para la malta)

c1, c2≥0

donde c1 es la cantidad de barriles de cerveza tipo 1 producidos y c2 es la cantidad de barrilesde cerveza tipo 2 producidos.

Usando el diccionario optimo, resolver:

a) Hallar el dual del problema y su solucion optimal.

b) Hallar los rangos de valores del precio de la cerveza 1 y del precio de la cerveza 2 paralos cuales la base actual es optima.

c) Hallar los rangos de valores de la cantidad disponible de maız, lupulo y malta para loscuales la base actual es optima.

d) Beerco esta considerando producir licor de malta. Un barril de licor de malta requiere0.5 lb de maız, 3 lb de lupulo y 3 lb de malta y se vende a $50. ¿Le conviene a Beercoproducir licor de malta?

e) ¿Cual es la solucion optima del dual de este nuevo problema?

4.8 Ballco produce pelotas grandes, pelotas medianas y pelotitas de tenis. Cada tipo de pelotarequiere tiempo en tres departamentos: corte, cosido y empaquetado, como se muestra en lasiguiente tabla (expresada en minutos):

tiempo de corte tiempo de cosido tiempo de empaquetadopelotas grandes 10 15 4pelotas medianas 15 15 3pelotitas 8 4 2

De acuerdo a consideraciones de comercializacion, se deben producir al menos 1000 pelotasmedianas. Cada pelota mediana se puede vender a $3, cada pelota grande a $5 y cadapelotita de tenis a $4. Se hallan disponibles un total de 18000 minutos de tiempo de corte,18000 minutos de tiempo de cosido y 9000 minutos de tiempo de empaquetado. Ballco quieremaximizar sus beneficios.

Plantear el problema y a partir del diccionario optimo resolver:

a) Hallar el dual del problema y su solucion optima.

b) Mostrar que el problema de Ballco tiene una solucion optima alternativa. Encontrarla.¿Cuantos minutos de tiempo de cosido se usan en la solucion optima alternativa?

c) ¿Que incremento producirıa en los beneficios de Ballco el aumento de 1 minuto en lacantidad disponible de tiempo de cosido? ¿Como se relaciona esta respuesta con el hechode que la desigualdad de cosido sea restrictiva?

d) Asumiendo que la base actual sigue siendo optima, ¿como afectarıa en los beneficios deBallco, el aumento en 100 unidades de la demanda de pelotas medianas?

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4.9 Una empresa produce dos tipos de sillas, S1 y S2. El proceso de fabricacion consta de dostareas basicas: ensamble y terminado. Una silla S1 requiere de 1,5 hora de ensamble y 1 horade terminado dejando un beneficio de 20$. Una silla S2 requiere de 0,5 hora de ensamble y0,5 hora de terminado dejando un beneficio de 12$. Actualmente se dispone de 100 horasde ensamblado y 80 horas de terminado. La companıa se encuentra realizando negociacionessalariales. Si usted fuera consultado, ¿que aconsejarıa respecto al aumento en el valor de lahora hombre de ensamble y de terminado?

4.10 En la solucion del problema de produccion de jamon, panceta y lomito, la solucion optimaindicaba que toda la panceta y todo el lomito debıan ser ahumados. Sin embargo, cambiosen las condiciones del mercado han hecho que el precio de venta de la panceta fresca seincremente en x$. ¿Cual deberıa ser el aumento para que fuera necesario cambiar el plan deproduccion?

4.11 Cornco produce dos productos: PS y QT. Los precios de venta y la cantidad maxima que sepuede vender de cada producto en los proximos tres meses se muestra en la siguiente tabla:

mes 1 mes 2 mes 3producto precio demanda precio demanda precio demandaPS $40 40 $60 45 $55 50QT $35 53 $40 50 $44 40

Cada producto se debe procesar por dos lıneas de ensamble. El numero de horas requeridaspor cada producto en cada lınea de ensamble se muestra en la siguiente tabla:

producto lınea 1 lınea 2PS 3 horas 2 horasQT 2 horas 2 horas

El numero de horas disponible en cada lınea de ensamble durante cada mes se muestra en lasiguiente tabla:

lınea mes 1 mes 2 mes 31 1200 160 1902 2140 150 110

Cada unidad de PS requiere 4 kg. de materia prima, mientras que cada unidad de QT requiere3 kg. Se pueden comprar hasta 710 kg de materia prima a $3 por kg. Al comienzo del mes 1,hay disponibles 10 unidades de PS y 5 unidades de QT. Cuesta $10 almacenar una unidadde cualquier producto por un mes. Resolver el PPL.

a) Hallar la nueva solucion optima si cuesta $11 almacenar una unidad de PS al final delmes 1.

b) Hallar la nueva solucion optima de la companıa si hay disponibles 210 horas de la lınea1 durante el primer mes.

c) Hallar el nuevo beneficio de la companıa si hay disponibles 109 horas de la lınea 2durante el mes 3.

d) ¿Cuanto es lo maximo que Cornco estarıa dispuesto a pagar por una hora extra de lalınea 1 durante el mes 2?

e) ¿Cuanto es lo maximo que Cornco estarıa dispuesto a pagar por 1 kg extra de materiaprima?

f ) ¿Cuanto es lo maximo que Cornco estarıa dispuesto a pagar por una hora extra de lalınea 1 durante el mes 3?

g) Hallar la nueva solucion optimal si PS se vende a $50 durante el mes 2.

h) Hallar la nueva solucion optimal si QT se vende a $50 durante el mes 3.

i) Si se invirtieran $20 en comerciales en el mes 2, la demanda de QT aumentarıa en 5unidades. ¿Le conviene a Cornco hacer esa inversion?

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