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  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    La densidad electrónica es un campo escalar en el espacio tridimensional

    ρ(x , y , z) = N ∫ |Ψ(r1, r2, . . . , rN)|2dr2 . . . drN

    Nos interesarán principalmente dos operaciones sobre este campo El gradiente: ∇ρ(r) La divergencia del gradiente o laplaciano: ∇ · ∇ρ(r) = ∇2ρ(r)

    En donde usamos el operador vectorial

    ∇ = ı̂ ∂ ∂x

    + ̂ ∂

    ∂y + k̂

    ∂z

    exp(-(x**2+y**2))

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5

    -1 -0.5

    0 0.5

    1 1.5

    2 0

    0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    El gradiente es un vector

    ∇ρ(r) = ı̂ ∂ρ(r) ∂x

    + ̂ ∂ρ(r) ∂y

    + k̂ ∂ρ(r) ∂z

    = r̂ ∂ρ(r) ∂r

    + θ̂ 1 r ∂ρ(r) ∂r

    + φ̂ 1

    r sin θ ∂ρ(r) ∂φ

    O, más precisamente, un campo vectorial: un vector para cada punto r.

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat"

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    El gradiente es un vector

    ∇ρ(r) = ı̂ ∂ρ(r) ∂x

    + ̂ ∂ρ(r) ∂y

    + k̂ ∂ρ(r) ∂z

    = r̂ ∂ρ(r) ∂r

    + θ̂ 1 r ∂ρ(r) ∂r

    + φ̂ 1

    r sin θ ∂ρ(r) ∂φ

    O, más precisamente, un campo vectorial: un vector para cada punto r.

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat"

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    Su interpretación ∇ρ(r) · dr = dρ

    para un |dr| fijo se tiene el máximo valor de dρ si dr es paralelo a ∇ρ

    dirección de máximo cambio

    Por otro lado ∇ρ(r) · dr = dρ = 0

    si ∇ρ(r) y dr son ortogonales

    es perpendicular al lugar geométrico de ρ constante

    interpretación

    ∇ρ(r) es un vector en cada punto del espacio con la dirección del máximo cambio y perpendicular a la (hiper)superficie de ρ constante

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    interpretación

    ∇ρ(r) es un vector en cada punto del espacio con la dirección del máximo cambio y perpendicular a la (hiper)superficie de ρ constante

    exp(-(x**2+y**2))

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5

    -1 -0.5

    0 0.5

    1 1.5

    2 0

    0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat"

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    interpretación

    ∇ρ(r) es un vector en cada punto del espacio con la dirección del máximo cambio y perpendicular a la (hiper)superficie de ρ constante

    (x**2+y**2)**2*exp(-(x**2+y**2))

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5

    -1 -0.5

    0 0.5

    1 1.5

    2 0

    0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

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    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat" u 1:2:5:6

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    interpretación

    ∇ρ(r) es un vector en cada punto del espacio con la dirección del máximo cambio y perpendicular a la (hiper)superficie de ρ constante

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat" u 1:2:5:6

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    La divergencia es una operación sobre un campo vectorial, produce un campo escalar

    ∇ · V(r) = ı̂ · ı̂ ∂Vx (r) ∂x

    + ̂ · ̂ ∂Vy (r) ∂y

    + k̂ · k̂ ∂Vz(r) ∂z

    = 1 r2 ∂r2Vr (r)

    ∂r +

    1 r sin θ

    ∂ sin θVθ(r) ∂θ

    + 1

    r sin θ ∂Vφ(r) ∂φ

    f (r) = ∇ · V(r)

    su interpretación requiere del concepto de flujo

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    flujo

    líneas de campo que cruzan una (hiper)superficie dada

    dφ = V · dσ

    flujo a través de una superficie cerrada

    φ =

    ∫ S

    dφ = ∫

    S V · dσ

    la divergencia es

    lim Ωs → 0 ∫

    S dφ ΩS

    (flujo "puntual")

    famoso ejemplo: ∇ · E(r) = ρ(r), el flujo del campo eléctrico es cero a menos que haya carga

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    laplaciano

    la divergencia del gradiente de una función escalar (es un campo escalar)

    potencial

    U(r)

    concentración

    C0(r, t)

    campo

    E(r) = ∇U(r)

    flujo

    J(r, t) = ∇C0(r, t)

    carga

    ρ(r) = ∇2U(r)

    flujo del flujo

    ∂C0(r, t) ∂t

    = D0∇2C0(r, t)

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    gradiente, divergencia y laplaciano

    ∇U(r): dirección de máximo cambio ∇ · V(r): flujo puntual ∇2U(r): curvatura, "fuente"

    exp(-(x**2+y**2))

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5

    -1 -0.5

    0 0.5

    1 1.5

    2 0

    0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat"

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    gradiente, divergencia y laplaciano

    ∇U(r): dirección de máximo cambio ∇ · V(r): flujo puntual ∇2U(r): curvatura, "fuente"

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat" (4*(x**2+y**2)-6)*exp(-x**2-y**2)

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5

    -1 -0.5

    0 0.5

    1 1.5

    2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    gradiente, divergencia y laplaciano

    ∇U(r): dirección de máximo cambio ∇ · V(r): flujo puntual ∇2U(r): curvatura, "fuente"

    (x**2+y**2)**2*exp(-(x**2+y**2))

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5

    -1 -0.5

    0 0.5

    1 1.5

    2 0

    0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

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    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat" u 1:2:5:6

  • La densidad electrónica El gradiente

    La divergencia El laplaciano

    Grad, Div y Lap

    gradiente, divergencia y laplaciano

    ∇U(r): dirección de máximo cambio ∇ · V(r): flujo puntual ∇2U(r): curvatura, "fuente"

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

    "dat.dat" u 1:2:5:6

    ((4*(x**2+y**2)-22)*(x**2+y**2)+20)*(x**2+y**2)*exp(-x**2-y**2)

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5

    -1 -0.5

    0 0.5

    1 1.5

    2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

    La densidad electrónica El gradiente La divergencia El laplaciano Grad, Div y Lap