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Ecole doctorale – Evry 2004

Modélisation déterministeModélisation déterministede réseaux de gènes :de réseaux de gènes :

Le répresseur Le répresseur λλ du bactériophage du bactériophage λλ

Mestivier DenisÉquipe « modélisation en biologie intégrative »

Institut Jacques Monod - CNRS, Universités Paris 6&7,2 place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05

mestiviermestivier@@ijmijm.jussieu..jussieu.frfr

Plan de la présentation

• Poser les bases de biologie moléculairenécessaires

• Montrer sur un exemple la stratégie demodélisation déterministe

• Illustrer que même un réseau simple peutconduire à des résultats surprenants dès quel’on prend en compte les interactions etleurs dynamiques.

Bases debiologie moléculaire

Pr. Silar, Université Paris 7http://….

Tout organisme est constitué decellules

• 1665 : premières cellules décrites par Robert Hooke 1665• 1839 : théorie actuelle (Mathias-Jacob Schleiden et Théodore

Schwann)• Toute cellule naît d'une cellule

– Ceci implique que l'information présente dans un organismen'apparaît pas spontanément

– Elle est produite à partir d'une information préexistante.– Elle doit donc être dupliquée avant d'être transmise.

• Les analyses biologiques du début du siècle ont conduit àdistinguer deux grands types de cellules, suivant leur constitutionet leur mode de reproduction.

Les cellules procaryotes• On les regroupe sous le terme générique de

Bactéries (2 grands groupes : eubactéries etarchaebactéries)

Les cellules eucaryotes

• Le matériel génétique estdans séparé du cytoplasme– Noyau

• Organisationcellulaire complexe

• Organismes :– Levure– …– mammifères

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Les virus• Contrairement aux procaryotes et eucaryotes, ils

sont incapables de diviser seuls leur informationgénétique

• Structure simple :– Sac (capside) contenant l’information génétique

• Parasites obligatoires :• Destruction de l’hôte• Insertion/vie dans l’hôte

capsideMatériel génétique

queue

• Stockée sur une molécule chimique : ADN

• 4 bases : A, C , T , G

• Règle appariement– A T et C G– double hélice

• homme = 3 milliard pdb• bactériophage λ = 48502 pdb

Nature de l'information génétique

TTA CAGA A T AG

TTA CAGA A T AG

TT AC T CA TT AG

Le gène• séquence sur l'ADN qui code pour une

information (ex: protéine)

• homme = entre 18000 et 50000 gènes• bactériophage (virus) = ~ 40 gènes

Protéines• constituants très importants pour la cellule :

– Composant structural :• Récépteurs membranaires

– fonctionnement de la cellule :• Voies métaboliques (ex: enzymes)• machinerie de synthèse de l’ADN

• Molécule composée d'unités de base : les acidesaminés ( n= 20)

• message génétique :– (alphabet à 4 lettres) alphabet protéique (20 lettres)

Des gènes aux protéines1/ transcription

• gène protéine : nécessite intermédiaire– ARN message (ARNm)

• ADN ARNm : transcription– Grâce aux règles d’appariement– A—U, C—G– ARNpolymérase

Des gènes aux protéines2/ traduction

• ARNm protéine : traduction

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Transcription / ARN polymérase

• l'ARNpol reconnait des sites spécifiques enamont du gène : les promoteurs

• Entre le promoteur et le début du gène, on peuttrouver des sites de régulation : les opérateurs.

(auto)-régulation +/-

• Les protéines peuvent réprimer/activer desrégions du gène

• un gène est sous la dépendance d'un promoteur• une protéine est synthétisée par un gène

GENE

ARNm

PROTEINE

Transcription/ARNpol (Promoteur)

Traduction

activation/répression (opérateurs)

ADN

λ : un virus, organisme modèle (bactériophage)

Bactérie Escherichia Coli• Organisme unicellulaire• découvert par Théodor Escherich en 1885• hôte normal de la flore intestine chez l’homme :

– croît sans causer de maladie– fabrique aussi la vitamine K

• indispensable pour l'homme

– certaines souches toxiques (O157:H7)

Escherichia Coli

• génome de 4500 kpb• courte (2 à 3 µm x 0.7 µm)• agent d'infections

– intestinales et extra-intestinales

bactériophage lambda• virus parasite de E. Coli• ADN : 48502 pdb• en début d'infection :

– Lytique– Lysogénique

• notion de décision :– mécanisme moléculaire– 2 gènes / 2 promoteurs– 3 opérateurs

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Devenirs de lambda lors del'infection d'une bactérie

LYSELYSOGENIE

La phase lytique• le virus utilise la machinerie cellulaire :

– se dupliquer– lyser la paroi bactérienne

• libérer dans le milieu extérieur les virus fils• Cette phase :

– Dure environ 45 min– relargue ~ 100 virus.

• La bactérie est détruite

Phase lysogénique• le virus s'intègre dans le génome de la bactérie

– dupliqué lors de la division bactérienne.• la bactérie lysogène bloque les autres virus qui

viendraient à l'infecter• phénomènes d'échappement :

– Ex: UV– Passage en lytique– p = 10-4 à 10-5

Points fondamentaux à retenir• Lorsqu'un virus infecte une bactérie, il a deux

devenirs possibles : lytique ou lysogénique• Suivant le milieu, un choix est privilégié.• Cette décision est sous le contrôle :

– d’une petite région du génome d'une centainede paires de bases (par rapport au 48 502 pb)

– 2 gènes et 2 promoteurs• Cette région de régulation : switch génétique

Génome du bactériophage

Gènes regroupés parensembles fonctionnels

Zone de décision(zone de switch)

Région de régulation

CI CRO

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Le Switch

• Chacune des deux protéines CI et CRO vainhiber la synthèse de l'autre et augmentersa propre synthèse.

• Selon les conditions de culture, une desdeux protéines va prendre le dessus surl'autre (en termes de concentration).

• Alors on entrera dans un cycle lytique oulysogénique.

Le switch : synthèse

• Le combat CI/CRO se déroule au niveau del'opérateur Or :– Or comporte trois parties distinctes : Or1, Or2 et Or3

• Les protéines CI et CRO (dimères) ont desaffinités inverses pour les trois parties du site :– CI a une affinité croissante pour Or3 < Or2 < Or1– CRO a une affinité croissante pour Or1 < Or2 < Or3.

Le switch : synthèse

• Si CI se fixe le premier sur Or1 :– il gène la fixation de la RNA-pol. sur le

promoteur (Pr) de la transcription de CRO– augmente sa propre transcription à partir du

promoteur Prm.– Cela facilite aussi la fixation d'un deuxième

dimère sur Or2 : amplification du processus.• Le processus inverse se produit pour CRO.

Diagramme du réseau de gènes

Problème biologique ?

lysogénie

lyse

[CI]

faible

fort

La quantité importante est [CI]

Quelles valeurs de [CI] au cours du temps (lyse/lysogénie)Quelles valeurs de [CI] au cours du temps (lyse/lysogénie)en fonction de son tau de dégradation ?en fonction de son tau de dégradation ?

Systèmes déterministes

Relation entre réactions(bio)chimiques et équations

différentielles

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Modélisation d'une réaction chimique

• L'approche de modélisation adoptée est celle dessystèmes dynamiquessystèmes dynamiques.

• Elle décrit l'évolution d'une (ou de) quantité(s)biologiques(s) par des équations différentielles.

• Les équations :– ont pour but de décrire l’évolution de l’espèce moléculaire au

cours du temps,– expriment la variation d'une petite quantité sur un petit

intervalle de temps.– Il y a une étape qui passe des variations sur un petit temps à

l’évolution sur un long temps.

• Ainsi :

dx / dt = f( x )

• où x représente la quantité biologique, parexemple la concentration CI, répresseur λ

• La fonction f(x) indique, sur un court instant,comment change cette quantité.

Réactions chimiques élémentaires• Ce sont des réactions qui font intervenir peut

d’espèces ensemble• Elles expriment des réactions simples• Par exemple :

– Dégradation : A --

– Transformation : A B

A B

k1

k1

k1

k-1

Réactions chimiques élémentaires

• Beaucoup d’interactions dans un réseaux de gènesse ramènent à des réactions chimiques élémentaires

• Formalisation par la loi d’action de masse• Obtention des équations différentielles X’=f(X)• Il est maintenant possible de déterminer les valeurs

A(t), B(t) et C(t) en intégrant les équations dusystème– Analytique– Numérique (Matlab, Mathématica, C, etc…)

Propriétés du modèle• Il faut bien réaliser que les fonctions fi(X) contiennent

toute l'information sur le système biologique

• Dès lors que l'on a exprimé sous forme d'équationsdifférentielles des connaissances biologiques, on peututiliser la théorie des systèmes dynamiques pourrépondre à un certain nombre de questions d'ordrebiologique :– Quels sont les comportements dynamiques possibles du

système ?– Quels sont les états d'équilibre du système ?– Quelle est la stabilité de ces états d'équilibre face à une petite

perturbation ?– Comment évolue le système si je change un paramètre ?

Relations bio/équations

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• dx/dt = 2.k-1.y - k1.x2

• dy/dt = -k-1.y + k1.x2

• dD1/dt = k2 y D0 - k-2 D1

• dD2 D1/dt = k3 y D1 - k-3 D2 D1

• dD3 D2 D1/dt = k4 y D2 D1 - k-4 D3 D2 D1

• dx/dt = … + kt.n. D0.P• dx/dt = … + kt .n. D1.P• dx/dt = … +α.kt.n. D2D1.P

• dx/dt = … - kx.x

dimérisation

fixations

synthèse

dégradation

Cinétique simplifiée de [CI] aucours du temps

• dx/dt = 2.k-1y - k1x2 + n.kt.P.(D0+D1+α.D2D1) –kxx+ 5 équations

• dx/dt = - γx x m (1 + x2 + α σ1 x4 )

1+ x2 + α σ1 x4 + σ1 σ2 x6

Terme de production Terme de dégradation

Étape 2 :Étape 2 : Réactions chimiques

Phénomène : switch génétique

Étape 1:Étape 1: réseau de gènes du répresseur λ (diagramme des interactions)

Étape 3 :Étape 3 : Modèle mathématique ou computationnel

DéterministeStochastique

Agents

Réactions chimiques Équations différentielles

Problème biologique ?

lysogénie

lyse

[CI]

faible

fort

La quantité importante est [CI] = variable x

On essaie de déterminer une équation simplifiée pour x

temps

x

si x se stabilise, alors dx/dt = 0

x part d’une valeur initialepuis x évolue au cours du temps

mais dx/dt = f(x)

f(x) détermine les solutions stationnaires

Notion de point fixe

• Un point fixe d’un système est la notionmathématique de l’équilibre :– dx / dt = f(x) = 0

• C’est lorsque la variable d’intérêt (ici [CI]) nechange plus au cours du temps

• Ceci signifie que le bilan est nul, c’est-à-direque ce qui est crée compense parfaitement cequi est détruit

• La vitesse d’évolution de [CI] au cours du tempsest nulle

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On ne résout pas l’équation différentielle, on vachercher les zéros de la fonction f()

x

f(x)

Notion de stabilité

• Lorsque l’on a un équilibre, si on leperturbe un peu, va-t-il revenir dans l’étatoù il était ou bien, ou bien va-t-il changer ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Temps (ua)

[X] (ua)

Faible dégradation : γx=1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

X

f(X)

UN état d’équilibrex ~ 4.3449

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

X

f(X)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X (ua)

Temps (ua)

Forte dégradation : γx=8

UN état d’équilibre x ~ 0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10

-5

0

5

f(X)

X

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Temps (ua)

X (ua)

Dégradation intérmédiaire : γx=5

TROIS états d’équilibre !x ~ 0.2070

x ~ 1.5114

Diagramme de bifurcation

Faibledégradation

forte dégradationZone bistableZone bistable

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Couplage avec protéase

• Considérons la gène de la protéase sous ladépendance d’un promoteur Prm

• Quand [CI] grand forte synthèse de RscA• Quand [RscA] grand forte dégradation de CI 0 200 400

0

1

2

3CI

0 200 400300

400

500

600RcsA

0 1 2 3 40

200

400

600

800

1000Diagramme de phase

Construction d’un oscillateur