A.MAGNE-TS-DS5-Cor-1/6

Terminale S – Correction du Devoir Surveillé n°5 Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 :::: Partie APartie APartie APartie A : Le Nombre d’Or: Le Nombre d’Or: Le Nombre d’Or: Le Nombre d’Or

1.1.1.1. #$ = 1 + '1 + (1 + √1 + ⋯ = 1 + φ

2.2.2.2. On obtient l’équation du second degré #$ − φ − 1 = 0 Le discriminant est ∆= 3$ − 456 = 1 − 4 × 1 × 8−19 = 5 Il y a donc deux solutions : # = 1 + √5

2 ou # = 1 − √52

La solution à retenir étant bien évidemment celle qui est positive. Ainsi # = 1 + √52

Partie BPartie BPartie BPartie B : La suite de Fibonacci et les lapins crétins: La suite de Fibonacci et les lapins crétins: La suite de Fibonacci et les lapins crétins: La suite de Fibonacci et les lapins crétins

1.1.1.1. D’après le schéma de reproduction des lapins, on a : 1 couple de lapins pour C = 1 et pour C = 2 2 couples de lapins pour C = 3 3 couples de lapins pour C = 4 5 couples de lapins pour C = 5 8 couples de lapins pour C = 6 13 couples de lapins pour C = 7

2.2.2.2. a9 a9 a9 a9 HI = 2 , HJ = 3 , HK = 5 , HL = 8 , HM = 13 , HN = 21 , HO = 34 et HPQ = 55

b9b9b9b9 A l’aide d’un raisonnement par récurrence :

1ière étape : HP = 1 > 0 et H$ = 1 > 0 d’où HI = H$ + HP = 1 + 1 = 2 > 0 La propriété est vraie au rang 1 , 2 et 3

2ième étape : On suppose que la propriété est vraie au rang C et C + 1 : HTUP > 0 et HT > 0

3ième étape : Montrons que la propriété est vraie au rang C + 2 HTU$ est la somme de deux termes positifs car HTU$ = HTUP + HT On a donc HTU$ > 0

Conclusion : D’après le principe de récurrence, HT > 0 pour tout C ∈ ℕ∗ . Démontrons ensuite que la suite 8HT9 est croissante : HTU$ − HTUP = HT ≥ 0 donc HTU$ ≥ HTUP pour tout C ∈ ℕ∗ . De plus H$ ≥ HP donc on peut conclure que HTUP ≥ HT pour tout C ∈ ℕ∗ . Conclusion : La suite 8HT9 est croissante.

c9c9c9c9 La suite 8\T9 est le quotient de deux nombres positifs, à savoir HTUP et HT .

8\T9 est donc strictement positive.

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d9d9d9d9 Tableau

C HT \T = HTUP

HT Valeur approchée de \T

1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 2^ 1,5 4 3 5 3^ 1,667 5 5 8 5^ 1,6 6 8 13 8^ 1,625 7 13 21 13^ 1,615 8 21 34 21^ 1,619 9 34 55 34^ 1,617

10 55 89 55^ 1,618

e9e9e9e9 Il semblerait que la suite 8\T9 tende vers le Nombre d’Or # .

f9f9f9f9 Vérification de la relation de récurrence : \TUP = HTU$

HTUP= HTUP + HT

HTUP= 1 + HT

HTUP= 1 + 1

\T

g9g9g9g9 La suite 8\T9 étant convergente vers ℓ , les valeurs de \TUP et \T sont égales à ℓ en +∞

On a donc la relation suivante : ℓ = 1 + 1

ℓ ⟺ ℓ$ = ℓ + 1 ⟺ ℓ$ − ℓ − 1 = 0 On reconnait l’équation de la Partie APartie APartie APartie A qui possédait deux solutions :

ℓ = 1 + √52 ou ℓ = 1 − √5

2 Or ℓ est positive puisque la suite 8\T9 est strictement positive. On a donc :

ℓ = 1 + √52

Conclusion : la conjecture est vérifiée : la limite de 8\T9 est bien le Nombre d’Or

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Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 ::::

1.1.1.1. Pour tout réel d , ef > 0 et egf > 0 donc ef + ef ≠ 0 L’ensemble de définition est donc l’ensemble des réels : ij = ℝ

2.2.2.2. Pour tout réel d de ij : l8d9 = ef − egf

ef + egf = ef8ef − egf9ef8ef + egf9 = e$f − 1

e$f + 1

3.3.3.3. Lorsque d tend vers l’infini, e$f − 1e$f + 1 f→Unopppq e$f r1 − 1 e$f^ s

e$f r1 + 1 e$f^ s f→Unopppq 1 − 1 e$f^1 + 1 e$f^ f→Unopppq 1

Conclusion : On obtient limf→Un l8d9 = 1

On en déduit aussi que la droite d’équation t = 1 est asymptote à uj en +∞

4.4.4.4. ℝ étant symétrique par rapport à 0 , il reste à calculer l8−d9 . Or l8d9 = egf − ef

egf + ef = − ef − egfef + egf = −l8d9 donc l est impaire et limf→gn l8d9 = −1

Conclusion : uj est symétrique par rapport à 0 , t = 1 est asymptote à uj en +∞ et t = −1 est asymptote à uj en −∞ .

5.5.5.5. La fonction l étant dérivable sur ℝ , on a : lv8d9 = 8e$f − 19v8e$f + 19 − 8e$f − 198e$f + 19v

8e$f + 19$ = 2e$f8e$f + 19 − 8e$f − 192e$f8e$f + 19$

lv8d9 = 4e$f8e$f + 19$ > 0

D’où : d −∞ + ∞

lv8d9 + l8d9 1

−1

6.6.6.6. En 0 , t = lv8098d − 09 + l809 . Conclusion : t = d est l’équation de la tangente à uj en 0 .

7.7.7.7. RAS 8Cf. calculatrice9

8.8.8.8. Cette fonction l s’appelle la « tangente hyperbolique » et se note zℎ et : zℎv8d9 = |ef − egf

ef + egf}v

= 8ef − egf9v8ef + egf9 − 8ef − egf98ef + egf9v8ef + egf9$

zℎv8d9 = 8ef + egf9$ − 8ef − egf9$8ef + egf9$ = 8ef + egf9$

8ef + egf9$ − |ef − egfef + egf}

$= 1 − zℎ$8d9

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Exercice 3Exercice 3Exercice 3Exercice 3 ::::

1.1.1.1. Calcul de l’affixe de ~v 6v = �√2 − 4

�√2 − 1 = ��√2 − 4���√2 − 1���√2 − 1���√2 + 1� = −2 + �√2 − 4�√2 − 4

−2 − 1 = −6 − 3�√2−3 = 2 + �√2

2.2.2.2. Les points invariants par l sont définis par le fait que l8�9 = � :

� = � − 4� − 1 ⟺ �$ − � = � − 4 ⟺ �$ − 2� + 4 = 0

On découvre une équation du second degré dont le discriminant est négatif ! Δ = −12 On a donc un ensemble de deux solutions imaginaires conjuguées :

� = �1 + �√3 ; 1 − �√3� où �� = 1 + �√3 et �� = 1 − �√3

3.3.3.3. a9a9a9a9 Calculs de dv et tv �v = d + �t − 4

d + �t − 1 = d − 4 + �td − 1 + �t = �8d − 49 + �t��8d − 19 − �t�

�8d − 19 + �t��8d − 19 − �t�

�v = 8d − 498d − 19 + t$ + ��t8d − 19 − t8d − 49�8d − 19$ + t$

Conclusion ∶ dv = d$ + t$ − 5d + 48d − 19$ + t$ et tv = 3t

8d − 19$ + t$

b9b9b9b9 Si �v est un réel, alors la partie imaginaire de �v est nulle, c’est-à-dire 3t

8d − 19$ + t$ = 0 ce qui est vrai ssi 3t = 0 et 8d − 19$ + t$ ≠ 0 Il faut donc que t = 0 et d ≠ 1. Conclusion : L’ensemble 8ℰ9 est la droite d’équation t = 0 privé du point �81 , 09

c9c9c9c9 Si �v est un imaginaire pur, alors sa partie réelle est nulle et donc : d$ + t$ − 5d + 4

8d − 19$ + t$ = 0 vrai ssi d$ + t$ − 5d + 4 = 0 et 8d − 19$ + t$ ≠ 0

Or d$ + t$ − 5d + 4 = 0 ⟺ |d − 52}

$− 25

4 + 4 + 8t − 09$ = 0 ⟺ |d − 5

2}$

+ t$ = 94

Conclusion : L’ensemble 8ℱ9 est le cercle de centre 82,5 ; 09 et de rayon 1,5 privé du point �81 , 09 ; autrement dit, un cercle de diamètre ���� privé de � .

4.4.4.4. |�v| = ��v ; |� − 4| = �� et |� − 1| = �� On en déduit que : |�v| = 1 ⟺ �� − 4

� − 1� = 1 ⟺ |� − 4||� − 1| = 1 ⟺ ��

�� = 1 ⟺ �� = �� Conclusion : |�v| = 1 équivaut à : � appartient à la médiatrice de ���� . C’est donc la droite d’équation d = 5

2

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Exercice 4Exercice 4Exercice 4Exercice 4 :::: Partie APartie APartie APartie A

1.1.1.1. Pour d ∈ ℝ , ef × egf = efU8gf9 = eQ = 1 Comme ef ≠ 0 , on a egf = 1

ef

2.2.2.2. La démonstration se fait par récurrence : • Au premier rang C = 0 , 8ef9Q = 1 et eQ×f = eQ = 1

L’égalité est vérifié au rang C = 0 . • On suppose que 8ef9T = eTf pour un certain rang C . • Montrons qu’alors on a 8ef98TUP9 = e8TUP9f

8ef98TUP9 = 8ef9T × ef = eTf × ef = e8TUP9f L’égalité est vérifié au rang C + 1 .

Conclusion : on a démontré que 8ef9T = eTf pour tout réel d et pour tout C ∈ ℕ . Partie BPartie BPartie BPartie B

1.1.1.1. a9a9a9a9 Pour tout entier naturel C , le dénominateur 1 + egf ne s’annule pas sur �0 ; 1� . La fonction d ⟼ egTf

1 + egf est continue sur �0 ; 1� en tant que quotient de fonctions continues sur �0 ; 1� donc HT existe pour tout entier naturel C . HQ + HP = � 1

1 + egfP

Q �d + � egf

1 + egfP

Q �d = � 1

1 + egf + egf1 + egf

P

Q �d

HQ + HP = � 1 + egf1 + egf

P

Q �d = � 1

P

Q �d = �d�QP = 1

b9b9b9b9 Calcul de HP :

HP = � egf1 + egf

P

Q �d = − � −egf

1 + egfP

Q �d = −�ln81 + egf9�QP

HP = − ln81 + egP9 + ln81 + eQ9 = − ln |1 + 1e} + ln 2 = ln 2 − ln |1 + e

e } HP = ln 2 − 8ln81 + e9 − ln e9 = ln 2 + 1 − ln81 + e9 On en déduit la valeur de HQ ∶ HQ = 1 − ln 2 − 1 + ln81 + e9 = ln81 + e9 − ln 2

2.2.2.2. Pour tout réel d de �0 ; 1� , on a 1 + egf > 0 et egTf > 0 pour tout C ∈ ℕ . On a donc egTf

1 + egf ≥ 0 et on en déduit par positivité de lvintégrale ∶ HT = � egTf

1 + egfP

Q �d ≥ 0

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3.3.3.3. a9a9a9a9 Pour tout entier naturel non nul C , on aura : HTUP + HT = � eg8TUP9f

1 + egfP

Q �d + � egTf

1 + egfP

Q �d = � eg8TUP9f

1 + egf + egTf1 + egf

P

Q �d

HTUP + HT = � eg8TUP9f + egTf1 + egf

P

Q �d = � egTf8egf + 19

1 + egfP

Q �d = � egTfP

Q �d

HTUP + HT = �− egTfC �

Q

P= |− 1

C egT} − |− 1C eQ} = 1 − egT

C

b9b9b9b9 D’après la question 2, on a montré que HTUP ≥ 0 et donc que HTUP + HT ≥ HT Donc naturellement HT ≤ 1 − egT

C

4.4.4.4. Pour tout entier naturel C non nul, on a : 0 ≤ HT ≤ 1 − egT

C Or, quand C → +∞ , on a egT → 0 et donc 1 − egT → 1 Ainsi, limT→Un

1 − egTC = 0

D’après le théorème des gendarmes, on peut déduire que 8HT9 converge vers 0 .