1

Глава 5 Nastran Frequency Response

Результаты расчета ( )δ δ δ σ, &,&&, ,Fgpc - комплексные числа

Для удобства математического решения проблемы возбуждающую силу представляем ввиде комплексного числа

{ }P e P t iP ti t( ) ( ) cos ( ) sinω ω ω ω ωω = ∗ + ∗ , где e t ti tω ω ω= +cos sin

Подобным образом представляем искомый вектор перемещения{ } { }x U ei t= ( )ω ω

{ } { } { } { }& ( ) ; && ( )x i U e x U ei t i t= = −ω ω ω ωω ω2

представляем в Mx Bx Kx P&& &+ + = и делем на e i tω:

[ ]{ } { }− + + =ω ω ω ω2M i B K U P( ) ( )

Если учитывается B или P(ω) представляется как комплексное число, то решается черезкомплекную проблему.Damping in Direct Frequency ResponseДемпфирование представляется в 1) [B] и в 2) [K]

1) B B B= +1 2

B1 - матрица составленная из демпфирующих элементов (CVISC, CDAMPi) и матрицВ2GGB2 - матрица составленная из В2РР и transfer functions

2) [ ]K iG K i G KE E= + + ∑( )[ ] [ ]1[K] - глобальная матрица жесткостиG - коэффициент демпфирования для всей конструкции ( задается в PARAM, G)KE - матрица жесткости элементаG E - коэффициент демпфирования элемента, задается в записи МАТiЗамечание: 1. Могут быть заданы все виды демпфирования или некоторые в любой ком-бинации. Как только задаем что-либо во входных данных- Nastran автоматически учиты-вает.2. В- это вязкое демпфирование, iK - структурное.

2

В frequency Response нет необходимости переводить структурное демпфирование в экви-валентное вязкое т.к. решение в комплексных числах.А в Transient Response необходим перевод ik => B т.к. решение в действительных числах.глава 5.2Modal Frequency Response (MFR)1) Если демпфирование не учитывается, то MFR приводит к решению несвязанных урав-нений.2) MFR можно рассматривать как продолжение проблемы собственных частот и форм.Перемещения можно представить в виде:

{ } [ ]{ ( )}x ei t= φ ξ ω ω

\ (5-8)собственные вектора

Это равенство точное если используются все моды,если меньшее (как обычно) => при-ближенное.

1) Рассмотрим сначала без демпфирования:

− + =ω ω2 [ ]{ } [ ]{ } { ( )}M x K x P (5-9) => подставляем сюда (5-8) =>

ω φ ξ ω φ ξ ω ω2 [ ][ ]{ ( )} [ ][ ]{ ( )} { ( )}M K P+ = (5-10)

Эти уравнения остаются связанными,чтобы развязать их умножаем их на [ ]φ T :

− + =ω φ φ ξ ω φ φ ξ ω φ ω2 [ ] [ ][ ]{ ( )} [ ] [ ][ ]{ ( )} [ ] { ( )}T T TM K P (5-11)

[ ] [ ][ ]φ φT M - модальная(обобщенная) матрица масс

[ ] [ ][ ]φ φT K - модальная (обобщенная)матрица жесткости

[ ] { }φ T P - модальный вектор силына основе свойств ортогональности собственных векторов - это диаганальные матрицы.

Следовательно (5-11) это несвязные уравнения:

− + =ω ξ ω ξ ω ω2 mi i ki i pi( ) ( ) ( )(для каждой степени свободы) , гдеmi - i-th modal masski - i-th modal stiffhesspi - i-th modal force

После вычисления модальных координат ξi(ω) находятсяперемещения в комплексном виде:

{ } [ ]{ ( )} [ ]{ ( )}(cos sin )x e t i ti t= = +φ ξ ω φ ξ ω ω ωω

если { ( )}P ei tω ω- задана только действительной частью ( т.е. ωt=0 =>

sinωt=0 => P(ω)*i*sinωt=0, то и в вычисленных перемещениях будет ≠0 только действи-тельная часть, а мнимая =0.Но в общем случае {X} - это комплексный вектор т.к. Р(ω)- может быть комплексным.{ξ} - модальные координаты, и ξi есть не что иное как амплитуда ( т.е. максимальное от-клонение) на i собственной частоте (т.е. абсолютное, а не нормированное значение ам-плитуды i-го собственного вектора) которая появляется в результате действия силы Р (ω)-с частотой ω.

3

Т.е. отклик системы => суперпозиция нормированных собственных векторов умноженныхна масштабные множетели- амплитуды-модальные координаты.После вычисления {х} (в общем случае комплексного) вычисляются σ, ε и т.д. тоже вкомплексном виде.( по запросам Case Control)

Damping in Modal Frequency ResponseВ общем случае, свойства ортогональности собственных векторов не приводят к диаго-нальному виду матрицу В:

[ ] [ ][ ]φ φT B ≠ diagonal

Если используется структурное демфирование (PARAM,G или G E ), то

[ ] [ ][ ]φ φT K ≠ 0 тоже,

где [ ] ( )[ ] [ ]K iG K i G KE E= + +1 ΣОтсюда мы имеем уже связанные уравнения:

− + + =[ [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]]{ ( )} [ ] { ( )}ω φ φ ω φ φ φ φ ξ ω φ ω2 T T T TM i B K P

Но число модальных координат ξ обычно намного менбше чем DOF и поэтому решениедаже связанных модульных уравнений может быть намного эффективнее решения DirectFrequency Response проблемы.Если же демфирование возможно приложить отдельно к каждой моде вi(которое можно представить в виде

вi=2*mi*ωi i, где ibi

b

Gi

cr

= =2

см. ниже)Тогда снова можно получить несвязанные уравнения в виде:

ω ξ ω ω ξ ω ξ ω ω2 mi i i bi i ki pi( ) ( ) ( ) ( )+ + =для каждой моды.Cправки:Raram, KDAMP,1 (default)1) Если KDAMP = -1, то Вязкое демпфирование (В) переводится в структурное демпфиро-вание (как комплексная жесткость). Уравнение становится:

− + + =ω ξ ω ω ξ ω ω2 1mi i iG ki i pi( ) ( ( )) ( ) ( )2) Из элементарной теории : для одной степени свободы:

ω ωπ

πω

= = = =km

f Tf

; ;2

1 2

Параметр затухания:

ζω

ib

bbm

Gi

cp

= = =2 2

biGi

m Gim fiGimi= = =2

2 2ω ω π

4

ki i mi fi mi= =ω π2 2 24или bi Gimi i= ω (1)

но т.к. ωω

= => =km

miki

i2 (2)

подставим (2) в (1) и получим:

biGiki

ii

Gii

ki= =ω

ωω2

Каждая модальная координата вычисляется тогда

ξ ω ωω ω

ipi

mi ibi ki( )

( )=− + +2

Для ввода демпфирования по каждой моде в Case Control вводится SDAMPING котораяссылается в Bulk Data на TABDMP1

TABDMP1, TID, TYPE, ...f1, g1, f2, g2, f3, g3, etc,ENDT

т.е. задается график и промежуточные значения определяются путем аппроксимацииfi - Frequency Value( cycles per unit time)gi - демпфирование в единицах указанных в TYPETYPE - G или CRIT или Q1) Если G -коэффициент структурного демпфированияωi - внутри Nastrana вычисляется как недемпфированная собственная частота, котораявычисляется из уравнения для одной степени свободы:

ωikimi

=

И коэффициент демпфирования bi после вычисления недемпфированной ωi вычисляет-ся из соотношений

этот коэффициент и

ζω

ibib

bimi i

Gi

cp

= = =2 2 задан в таблице если

TYPE=Gоткуда

bi Gimi i= ωили выразим это соотношение через жесткость учитывая, что

5

ωikimi

= =>mi

ki

i=

ω 2

откуда bi Gimi i Giki

ii

Gi

iki= = =ω

ωω

ω2

Таким образом если TYPE=G,то в таблице задается Gi и bi равно: biGi

iki=

ωКоэффициент вязкого демпфирования

где ωi - недемпфированная собственная частота одной степени свободы =

ωikimi

=

2)TYPE=CRITВ промышленности часто демпфирование задают как параметр затухания ζi (fraction ofcritical damping)Справка: практическое демпфирование

b mi i kimicp = ≡2 2ω

т.к.ωi

kimi

=

То вязкое демпфирование определяется из соотношений:

ζibi

kimi=

2bi i kimi= ζ 2

или bi mi i i= 2 ω ζ

где ωikimi

=- недемпфированая собственная частота одной DOF

Справка:ζi

Gi=2 - по определению

3) TYPE=Q

6

То в таблице вводится Q- параметр качества, который связан с bi

Qi Gi

= =12

1ζ

или Qb

bicr=

1

2

откуда bib

QkimiQ

cp= =2

22

bikimiQ

=

Замечание:В Nastrane используются (в модальном методе) несвязанные уравнения в двух случаях:

1) Если демпфирование не учитывается2) Если используется модальное демпфирование т.е. через таблицу TABDMP1 задается

демпфирование для каждой моды.Еслт же в модальном методе используется демпфирование ( не модальное) через CVISC,CDAMPi, GE в записи MATi, или PARAM,G, то мы имеем связанные уравнения.Выбор числа модальных координат и их диапазона.Mode Truncatation in Modal FrequencyResponse)Абсолютный минимум: необходимо рассматривать все моды лежащие в диапазоне при-ложенной силы.Практическая рекомендация: Для хорошей точности необходимо рассматривать все моды, лежащие в диапазоне от нуля до ,верхняя граница которого выше верхней границы час-тоты приложенной силы в 2-3 раза.

Если, например, сила приложена от 20 до 2000 Нz то необходимо, как минимум, рассмат-ривать моды в диапазоне от 0 до 4000Нz.Этот диапазон задается в картах EIGRL or EIGR.Кроме этого можно пользоваться параметрами PARAM,LFREQ и PARAM,HFREQ указы-вается нижний и верхний предел диапазона частот(т.е. уже выделяет диапазон из вычис-ленных частот в карте EIGR) PARAM, LMODES указывает номер нижней моды(т.е. от-брасывает часть нижних мод вычисленных в EIGR из рассмотрения).Расчет перемещений напряжений в MFR(Dynamic Data Recovery in Modal Frequency Response Analysis)В Nastrane после расчета модальных координат (в MFR) имеется три метода расчета пере-мещений и напряжений: 1) метод перемещений и 2) матричный метод и 3) метод ускоре-ний1) Displacement method - для каждой частоты возбуждающей силы вычисляется переме-щение на основе модальных координат собственных векторов{δ}=[φ]{ξ}

затем вычисляются напряжения

7

[ ] [ ]([ ]{ } { })σ δ ε= −D B 0на основе уже вычисленных перемещений для данной частоты силы (ω)Число операций вычислений пропорционально числу исследуемых частот силы.2) Matrix Method - для каждого нормированного собственного вектора, который воспри-нимается как перемещение соответсвующей моды, вычисляются σ:

{ } { }modδ φi ie ≡{ } [ ]([ ]{ } { })modσ φ εi D B ie = − 0

Далее для каждой частоты вынужденной силы вычисляются модальные координаты {ξ} иперемещения вычисляются как обычно

{ } [ ]{ }δ φ ξ=\матрица

а напряжения подобно перемещениям

{ } [ ... ... ]{ }σ σ σ σ ξ= 1 i n

столбец напряжений i-ой модыт.е. путем суммирования напряжений для отдельных мод.Число операций расчета пропорционально числу мод (модальных координат)На практике обычно число модальных координат намного меньше числа частот вынуж-денной силы, поэтому матричный метод быстрее и он в Nastrane установлен по умолча-нию.(Быстрее, потому, что операция перемножения матрицσ δ ε= −[ ]([ ]{ } { })D B 0выполняются для каждой моды и потом для каждой частоты суммируются с умножениемна модальную координату, т.к. предполагается линейная зависимость σ и δ).Задать метод перемещений можно параметром:PARAM, DDRMM, -13) Метод ускорений

Эффективность модального и прямого методаModal Direct

Small model +Large Model +Few Eci tation Frequencies +Many -' - +High Freq Excitation(Высокая возбуждающая частота) +Присутствует демпфированиекоторое нельзя разнести по модам +Если нужна высокая точность +

Если собственные частоты и вектора были уже вычислены, можно сделать рестарт ( этовыгодно).

8

5.4 Frequency- Dependent Excitation DefimtionОписание динамических нагрузок делится на две части: 1) распределение в пространстве ,2) изменение во времени.RLOAD1 - Tabylar input - real and imaqinaryRLOAD2 - ---'---- - maqnitude and phaseDAREA - Generates the spatial distribution of dunamic loads from

static load entriesDLOAD - combines dunamic load setsTABLEDI -Tabular values versus frequencyDELAY - Time delayDPMASE - Phase lead( см. приложение F для более полного описания операторов секции Bulk Data)Запись RLOAD1 задание ангрузки в зависимости от частоты.

P f A C f iD f ei f( ) [ ( ) ( )] { }= + −Θ 2π τ

RLOAD1, SID, A, τ, θ, C, DSID - Set ID defined by a DLOAD Case Control command or a DLOAD Bulk Data entry.A - идентификатор карты DAREA, которая определяет значение коэффициента силы -Аτ - delay-номер карты DELFY, которая определяет τθ - номер карты DPHASE, которая определяет θС - номер карты TABLEDi, которая определяет С(f)D - омер карты TABLEDi, которая определяет D(f)Может быть или С илиD - пробел или , но не оба вместе!RLOAD1 может объединяться через RLOAD2 через DLOAD, поэтому номера карт (SIDs)в RLOAD1 и 2 должны быть разные.SIDs для всех LOAD1, 2 и TABLED1, 2 - должны быть уникальными.Запись RLOAD2 - определение нагрузки в зависимости от частоты.Если RLOAD1 - определяет действительную и мнимую часть нагрузки, то LOAD2 опреде-ляет амплитуду и фазовый угол нагрузки.

P f AB f ei f f( ) ( ) { ( ) }= + −φ θ π τ2

Если сравнить RLOAD1 и RLOAD2:

C f iD f B f ei f( ) ( ) ( ) ( )+ = φ

\ \RLOAD1 RLOAD2Definition Definition

RLOAD2, SID, A, τ, θ, B, φSID -номер записи RLOAD2, который выбирается командой DLOAD в секции CaseControlA - номер карты DAREA, в которой определяется номер точки и компонента, где задананагрузка, а также масштабный множитель Аτ - номер карты DELAY, в которой определяется τ (используется только при наличиикарты DAREA)θ - номер карты DPHASE, в которой определяется фазовый угол ( в градусах) (исполь-зуется толбко при наличии карты DAREA)В - номер таблицы TABLEDi, в которой определяется зависимость нагрузки от частотыВ( )

9

φ - номер таблицы TABLEDi, в которой определяется зависимость фазового угла от час-тоты φ(t).DAREA - распределение динамической нагрузки в пространствеDAREA - определяет степени свободы, где приложена нагрузка и ее масштабный множи-тельDAREA, SID, P1, C1, A1, P2, C2, A2SID - номер карты DAREA, на которуюссылаются карты RLOADiPi - номер узловых точек, экстра точек или скалярных точекCi- номер компонентыAi - масштабный множительМожно использовать любое количество карт DAREA с одним и тем же SID. Все они будутвыбираться одной картой RLOADiDELAY - задержка по времени действия динамической силыDEIAY, SID, P1, C1, τ1, P2, C2, τ2SID-номер карты DELAY, которая выбирается из карты RLOADiPi - номер узловых, экстра или скалярных точекCi - номер компонентыτi - задержка по времени для силы действующей в узле Pi и компоненте Ci.Для указанной точки и компоненты должна также существовать карта DAREA.Можно использовать любое количество записей DELAY c одним и тем же SID, они будутопределять задержку для различных точек и так же как и DAREA могут выбираться однойкартой RLOADiDPHASE - определение фазового угла действия динамической нагрузкиDPHASE, SID, P1, C1, θ1, P2, C2, θ2Глава 6 Переходные динамические процессыОпределяется поведение конструкции от возмущения, которое изменяется во времени.Это возмущение (динамическое или кинематическое) явным образом определено во вре-мени,т.е. все силы или /и кинематические возбуждения известны в любой момент време-ни.

Основные результаты анализа : перемещения, скорости,ускорения узловых точек, силы инапряжения в элементах.Используются два метода: прямой и модальный.Прямой метод выполняет численной интегрирование полностью связанных уравненийдвижения.Модальный метод использует собственные формы колебаний, уменьшая число рассмат-риваемых уравнений движения. И если не рассматривается демпфирование, то эти урав-нения становятся насвязанными, что значительно ускоряет вычислительный процесс. Ре-шение а модальном методе получаем через суммирование (суперпозицию) отклика конст-рукции по отдельным модам (формам собственных колебаний).6.1 Прямой метод анализа переходных динамических процессовРассматривается система связанных уравнений движения:

[ ]{&&( )} [ ]{& ( )} [ ]{ ( )} { ( )}M u t B u t K u t P t+ + =

Основное поведение конструкции описывается перемещениями, которые необходимо оп-ределить в дискретных временных точках, как правило, определяемых на основе времен-ного шага интегрирования ∆t.Используя центральные конечные разности определяем скорости и ускорения на основеперемещений:

10

{& } { }ut

u un n n= −+ −1

2 1 1∆

{&& } { }ut

u u un n n n= − ++ −1

22 1 1∆

(Справка: ускорение находится:

{&& }& &( ) ( )uu u

t

u ut

u ut

tnn n n n

n n n n

=−

=

− − −

=+ ÷ ÷ −

+ −

1 1

1 1

∆∆ ∆

∆

= − ++ −1

22 1 1∆t

u u un n n( ) ).

Осредняя приложенные нагрузки по трем соседним точкам по времени, уравнение движе-ния можно периписать в виде:

M

tu u u

Bt

u un n n n n∆ ∆2 1 1 1 122

− + +

− ++ − + −( ) ( )

+

+ + = + ++ − + −K

u u u P P Pn n n n n n3131 1 1 1( ) ( )

Далее перегруппируем уравнения и приведем к виду:

[ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ]{ }A u A A u A un n n1 1 2 3 4 1+ −= + +где:

[ ]

[ ] { }

[ ]

[ ]

AM

t

Bt

K

A P P P

AM

t

K

AM

t

Bt

K

n n n

1 2

2 1 1

3 2

4 2

2 3

132

3

2 3

= + +

= + +

= −

= − + −

+ −

∆ ∆

∆

∆ ∆Матрица [ ]A1 называется динамической матрицей.

[ ]A 2 - это приложенная сила( определенная по трем соседним точкам времени).Этот подход подобен классическому методу прямого интегрирования Ньюмарка-Бета, заисключением того, что вектор сил осредняется по трем точкам и матрица [K] модифици-руется таким образом, что динамическое рассмотренное уравнение сокращается к извест-ному статистическому[ ]{ } { }K u Pn n=

11

если отсутствуют матрицы [M] и [B].

Решение получаем путем декомпозиции [ ]A1 и использованием правой части описан-ного выше уравнения.В этом виде решение подобно статистическому решению: на каждом шаге выполняетсяпередняя - обратная подстановка (FBS) с новым вектором силы. Отметим, что сущностьпереходного динамического процесса выражается в модификации приложенной нагрузки[ ]A 2 через матрицы [ ]A 3 и [ ]A u .В простейшем случае, матрицы [M],[B] и [K] являются константами и неизменяются вовремени, хотя в NASTRANE имеются специальные методы для варьирования матриц

М,В,К. Таким образом, если шаг ∆t постоянный, то матрица [ ]A1 нуждается в деком-позиции только однажды.Каждый последующий шаг нуждается только в подстановке нового вектора нагрузки(FBS).

Если шаг ∆t изменяется, то должна быть проведена новая декомпозиция матрицы [ ]A1 .Это дорогостоящая операция для задач большой размерности.Другое преимущество в прямом методе - это то, что интервал времени для вывода резуль-татов может быть значительно больше чем шаг интегрирования ∆t.Демпфирование в прямом методе анализа динамических переходных процессовМатрица демпфирования [B] характеризует диссипацию энергии в конструкции.В общем случае:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]B B BG

WK

WG KE E= + + + ∑1 2

3 4

1

где

[ ]B1- демпфированные элементы (CVISC, CDAMPi,) + B2GG

[ ]B2- B2PP ( матрицы демпфирования прямого ввода) + функции преобразования (TF)

G - коэффициент демпфирования для всей конструкции (PARAM, G)

W3 - частота области интереса ( в радианах на единицу времени, задается PARAM, W3 )для преобразования структурного демпфирования всей конструкции в эквивалентное вяз-кое демпфирование.[K] = глобальная матрица жесткостиG E = коэффициент структурного демпфирования для отдельного конечного элемента (параметр GE в записи MATi)

W4 = частота области интереса ( в радианах на единицу времени, задается PARAM,

W4 ) для преобразования структурного демпфирования конечного элемента в эквива-лентное вязкон демпфирование.Анализ переходных процессов не позволяет использовать комплексные числа, поэтомуструктурное демпфирование вводится в виде эквивалентного вязкого демпфирования. Длярешения этой проблемы необходимо определить связь между структурным и эквивалент-ным вязким демпфированием.Силы вязкого демпфирования вычисляются на основе матрицы [B] и скорости[ ]{&&( )} [ ]{& ( )} [ ]{ ( )} { ( )}M u t B u t K u t P t+ + = (6-6)Силы структурного демпфирования вычисляются от перемещений, а также коэффициентаG и матрицы жесткости [K]

12

[ ]{&&( )} ( )[ ]{ ( )} { ( )}M u t iG K u t P t+ + =1 (6-7)Если рассмотрим гармоническое колебание с постоянной амплитудой - для системы с од-ной степенью свободы, то силы вязкого и структурного демпфирования равны между со-бой, если:

Gk b= ω (6-8)или

bGk=ω (6-9)

Следовательно, если структурное демпфирование G моделируется эквивалентным вязкимдемпфированием b, тогда равенство ( 6-9) выдерживается только для частоты ( см. рису-нок 6-1)

Структурное демпфирование

ЭквивалентноеСилы вязкое демпфированиедемпфирования

Рис 6-1 Отношение структурного демпфирования к эквивалентному вязкому. ( колебанияс постоянной амплитудой)Два параметра испольуется для конвертации структурного демпфирования в эквивалент-ное вязкое:PARAM, W3 ,r, где r- круговая частота на которой силы демпфирования должны бытьравны. Этот параметр используется совместно с PARAM, G.

По умолчанию W3 = 0.0, т.е. демпфирование от параметра G не учитывается в анализепереходных процессов.

PARAM, W4 , r используется с параметром GE в записи MATi/

По умолчанию W4 =0.0.

W3 иW4 вводится в радианах на единицу времени.

Обычно W3 илиW4 выбирают как доминантную частоту, на которой демпфированиенаиболее активно. Часто, это первая (низшая) собственная частота. В то же время, демп-фирование отдельных конечных элементов может проявляться на различных частотах. Взависимости от решаемой проблемы, пользователь может определять одну их этих частот,как W3 или W4 .

Начальные условия в анализепереходных динамических процессах.В анализе переходных процессов вы можите задать начальные перемещения и/или скоро-сти. Записи TIC в Bulk Data используются для определения начальных условий для ком-

13

понент узловых точек. Команда IC в Case Control секции используется для выборки запи-сей TIC.Начальные условия через TIC определяются для всех степеней свободы где задаются не-нулевые граничные условия. Для тех степеней свободы, где не заданы значения в записяхTIC, предполагаются ненулевые начальные условия.

Заданные начальные условия { }u0 и/или {& }u0 далее используютсядля определения

{ },{ }u P−1 0 и { }P−1 , после чего возможно решить основное разрешающее уравне-

ние (6-4) и определить { }u1 .

{ } { } {& }

{ } [ ]{ } [ ]{& }

u u u t

P K u B u−

− −

= −= +

1 0 0

1 1 0

∆

Тогда сила в момент времени t=0 определяется выражением:

{ } [ ]{ } [ ]{& }P K u B u0 0 0= +Начальные ускорения всегда и для всех точек равны нулю! Т.е. если задается начальнаяскорость, то в момент t=0. Эта скорость всегда и для всех точек постоянна.Формат TIC записи:TIC, SID, G, C, U0, V0SID - номер записи, который выбирается командой IC в Case

ControlG - узловая, скалярная или экстра точкаC - номер компонентыU0 - начальное смещениеV0 - начальная скоростьНачальные условия могут быть определены только в прямом методе анализа переходныхпроцессов. В модальном методе начальные условия всегда определяются равными нулю!Т.е. начальные условия могут быть определены только в a-set (см. главу 11).

6.2 Модальный анализ переходныхдинамических процессов.В этом методе используются собственные формы колебаний для уменьшения размерностизадач. Также, если демпфирование отсутствует, в модальном методе мы имеем системунесвязанных уравнений, что позволяет значительно ускорить процесс вычисления. По-скольку собственные частоты и формы, как правило, расчитываются для проэктируемыхконструкций, то модальный анализ переходных динамических процессов является естест-венным продолжением исследований после определения собственных частот и форм.Преобразуем перемещения из физических координат в модальные координаты.

{ ( )} [ ]{ ( )}u t t= φ ξ (6-13)Это уравнение точно, если используются все собственные формы колебаний. Но на прак-тике используются далеко не все формы колебаний, поэтому данное уравнение являетсяприближенным.Если игнорируем демпфирование, то уравнение движения имеем в виде:[ ]{&&( )} [ ]{ ( )} { ( )}M u t K u t P t+ =Или в модальных координатах:

[ ][ ]{&&( )} [ ][ ]{ ( )} { ( )}M t K t P tφ ξ φ ξ+ =

Для получения несвязанных уравнений умножаем на [ ]φ T:

14

[ ] [ ][ ]{&&( )} [ ] [ ][ ]{ } [ ] { ( )}φ φ ξ φ φ ξ φT T TM t K P t+ =где:

[ ] [ ][ ]φ φT M = модальная (обобщенная) матрица масс

[ ] [ ][ ]φ φT K = модальная (обобщенная) матрица жесткости

[ ] { }φ T P = модальный вектор силНа основе свойств ортогональности собственных векторов (это свойство говорит, что ка-ждый собственный вектор уникальный и не может быть получен из других векторов пу-тем их суперпозиций и масштабирования) обощенные матрицы жесткости и масс являют-ся диагональными. Таким образом мы имеем систему несвязанных уравнений:

mi i t ki t Pi t&& ( ) ( ) ( )ξ ξ+ =где:mi,ki - i-тый диаганальный член матрицы модальной массы и модальной жесткостиpi - i-ая модальная силаПосле вычисления модальных координат вычисляются физические перемещения:

{ ( )} [ ]{ ( )}u t t= φ ξПоскольку численное интегрированиевыполняется на относительно небольшом численесвязанных уравнений, то изменение ∆t - шага по времени не требует больших вычисли-тельных затрат, в противоположность прямому методу. Тем неменее, рекомендуется ис-пользовать постоянный шаг по времени!Другая эффективная способность MSC/Nastran в модальном анализе, также как и в пря-мом методе, возможно назначить для вывода намного больший временной интервал посравнению с шагом интегрирования, что позволяет значительно снизить объем вывода.

Демпфирование в модальном анализепереходных динамических процессов.

Если учитывается демпфирование, то, в общем случае, матрица [ ] [ ][ ]φ φT B не являет-ся диаганальной. И тогда в модальном методе мы имеем систему связанных уравнений вмодальных координатах:

[ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ]{ }A A A An n n1 1 2 3 4 1ξ ξ ξ+ −= + + (6-20)где:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] { }

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

AM

t

B

t

K

A P P P

AM

t

K

AM

t

B

t

K

T

Tn n n

T

T

1 2

2 1 1

3 2

4 2

2 3

1

32

3

2 3

= + +

= + +

= −

= − + −

+ −

φ φ

φ

φ φ

φ φ

∆ ∆

∆

∆ ∆

15

Эти уравнения подобны уравнениям для прямого метода, за исключением того, что онизаписываются в модальных координатах. Модальных координат, как правило выбираетсянамного меньше, чем физических (степеней свободы), и решение проходит быстрее, чемпри прямом методе.Если демпфирование возможно "предсказать" т.е. определить до проведения расчета изадать во входных данных как величины демпфирования для каждой собственной часто-ты, то опять можно получить "развязанные" уравнения, и для каждой i-ой модальной ко-ординаты можно записать:

mi i t bi i t ki i t Pi t&& ( ) & ( ) ( ) ( )ξ ξ ξ+ + =или

&& &ξ ζ ω ξ ω ξi i i i i iMi

Pi+ + =212

где:

ζω

ibi

mi i=

2 ≡ коэфицент модального демпфирования

ωiki

mi2 = ≡ модальная частота (собственная частота)

Запись TABDMP1 задает зависимость демпфирования от собственной частоты. Эта за-пись активизируется командой в Case Control секции: SDAMMPING=SetID.TABDMP1 ID TYPE

f1 g1 f2 g2 f3 g3 etc ENDT

т.е. задается график и промежуточные значения определяются путем аппроксимацииfi - Frequency Value( cycles per unit time)gi - демпфирование в единицах указанных в TYPETYPE - G или CRIT или Q1) Если G -коэффициент структурного демпфированияωi - внутри Nastrana вычисляется как недемпфированная собственная частота, котораявычисляется из уравнения для одной степени свободы:

ωikimi

=

И коэффициент демпфирования bi после вычисления недемпфированной ωi вычисляет-ся из соотношений

этот коэффициент и

ζω

ibib

bimi i

Gi

cp

= = =2 2 задан в таблице если

TYPE=Gоткуда

bi Gimi i= ωили выразим это соотношение через жесткость учитывая, что

16

ωiki

mi= =>

miki

i=

ω 2

откуда bi Gimi i Giki

ii

Gi

iki= = =ω

ωω

ω2

Таким образом если TYPE=G,то в таблице задается Gi и bi равно: biGi

iki=

ωКоэффициент вязкого демпфирования

где ωi - недемпфированная собственная частота одной степени свободы =

ωiki

mi=

2)TYPE=CRITВ промышленности часто демпфирование задают как параметр затухания ζi (fraction ofcritical damping)Справка: практическое демпфирование

b mi i kimicp = ≡2 2ω

т.к.ωi

ki

mi=

То вязкое демпфирование определяется из соотношений:

ζibi

kimi=

2bi i kimi= ζ 2

или bi mi i i= 2 ω ζ

где ωiki

mi=

- недемпфированая собственная частота одной DOF

Справка:ζi

Gi=2 - по определению

3) TYPE=Q

17

То в таблице вводится Q- параметр качества, который связан с bi

Qi Gi

= =1

2

1

ζ

или Qb

bicr=

1

2

откуда bib

QkimiQ

cp= =2

22

bikimiQ

=

Замечание:В Nastrane используются (в модальном методе) несвязанные уравнения в двух случаях:

1) Если демпфирование не учитывается2) Если используется модальное демпфирование т.е. через таблицу TABDMP1 задается

демпфирование для каждой моды.Еслт же в модальном методе используется демпфирование ( не модальное) через CVISC,CDAMPi, GE в записи MATi, или PARAM,G, то мы имеем связанные уравнения.Полученая система связанных уравнений

&& &ξ ζ ω ξ ω ξi i i i i imi

pi+ + =212

решается на основе алгоритма, учитывающего несвязанность уравнений. Для каждогоразъединенного уравнения (модальной несвязанной степени свободы) определяется мо-дальная координата в виде:

ξ ξ ωξ ξ

ωω( ) ( cos

&

sin )t e dt

b

md

dtbt

m= ++

+−

20

0 02

+ ⋅ ⋅ −−

∫em d

e p d t dbt

m

b

m

t

2 2

0

1

ωτ ω τ τ

τ

( ) sin ( )

Все выражение в скобках равно нулю, т.к. начальные условия для модального анализапереходных динамических процессов не учитываются. Т.е. всегда начальная скорость и

ускорение равны нулю ( & )ξ ξ0 0= = .Это итеграл Дюамеля (см. Клаффа).В модальном анализе Вы можите использовать "немодальное" (иногда называется "дис-кретное") демпфирование через ввод элементов CVISC, CDAMPi, PARAM, G или пара-метр GE в записи MATi. При этом строится недиагональная матрица демпфирования [B]и решается уже связанная система уравнений.

18

В модальном методе анализа переходных процессов рекомендуется использование толькомодального демпфирования (TABDMP1).Если есть необходимость использовать "дискретное" демпфирование, то рекомендуетсяиспользовать прямой метод анализа.Снова отметим:В модальном методе не задаются ненулевые граничные условия.

Глава 7 Кинематическое возбуждениеПри кинетическом возбуждении задаются в узловых точках перемещения, скорости и/илиускоренияЭти параметры задаются вместо внешних сил или совместно с ними.Например, землетрясение. Неизвестно какие силы прикладываются к зданию, известензакон изменения по времени перемещений или ускорений фундамента здания.MSC не включает в себя полностью автоматический методдля описания кинематическоговозбуждения, поэтому используются два метода: метод больших масс и метод множите-лей Лагранжа.7.1The Large Mass Method in Direct Transient and Direct Frequency Response.1. Удаляем любые граничные условия в тех степенях свободы, где будем прикладыватькинематическое возбуждение.2.Прикладываем большую массу к тем степеням свободы где кинематическое возбужде-ние (MSC рекомендует массу в 10**6 больше массы всей конструкции, или если рас-сматривается кинематическое возбуждение на вращение, то в 10**6 раз больше моментаинерции всей конструкции). Хотя можно взять большее число. (10**6 - обеспечиваетточность до шестого знака).Масса прикладывается через записи СMASSi или CONMi скалярный массовый элемент (этот элемент соединяет две точки) CMASS1, EID, PID, G1, С1, G2, С2EDI - номер элементаPID - номер свойства элемента ( PMASS)G1, G2 - номера grid or scalar pointsС1, С2 - номера компонент (DOFs) ( это 1 - 6 для узлов и 0 для скалярной точки)Замачение:G1, С1 и G2, С2 не должны совпадать.Но одна из этих пар, т.е. один из концов может отсутствовать, тогда это означает ' зазем-ление' этого конца.Таким образом этот элемент вводит дополнительные массовые (инерционные) свойствамежду указанными степенями свободы или между DOF и 'землей'.Последний вариант очень подходит для метода Больших масс.Свойства для CMASS1:PMASS,PID1, M1, PID2, M2, PID3, M3 ... и т.д.CMASS2, EID, M, G1, C1, G2, C2.То же самое, что и CMASS1, только без ссылки на свойства.CMASS3,4 - для "массового соединения" скалярных точек.

Элемент концентрированной массы CONMi(General Form) CONM1, EID, G ,CID, M11, M21, M22, M31,..., M66.

19

Определяет в узле G в системе координат CID матрицу масс.(Rigid body form) CONM2, EID, G, CID, M, X1, X2, X3, I11, I21, I22, I31, I33где X1, X2, X3 - отступ от узла G в системе координат CID.

Т.е. задается матрица

M

M

M

I

I I

I I I

11

21 22

31 32 33

−− −

Например, в FEMAP-е пользователь вводитдополнительный узел, соединяет его с узлом,где задается кинематическое возбуждение, и задает компоненту ускорения. В результатеFEMAP задает элемент CONM2, вычисляет силу, которая обеспечивает ускорение, и при-кладывает ее к дополнительному узлу.На самом первом этапе, когда пользователь определяет дополнительный узел, FEMAPпредлагает значение Large Mass, которую он собирается поместитьв этот узел, но пользо-ватель может изменить значение массы.

Справка: Rigid elements.Каждый rigid element должен иметь шесть независимых DOF, обеспечивающих его сво-бодное перемещение в пространстве, если будет меньше, то он как бы зафиксируется впространстве и будет закреплен,что 'излишне' закрепит и всю конструкцию.

3. Далееа. В случае Direct Frequency Response прикладывается к каждой степени свободы, где

рассматривается кинематическое возбуждение, сила вычисленная по формулеP=mo u = i w mo u =- w*2 mo u

(в зависимости от того, что задано u или u или u).Можно использовать две схемыа бузел i узел к i к

RBE2 RBE2

Large Large LargeMass Mass Mass

сила сила сила

здесь массу можно прикла-дывать через жесткие элеме-нты и непосредственно в сте-пенях свободы через элементскалярной массы CMASSiДля прямого метода,я думаю,обе схемы можно использовать на практике( решены тесты).

20

Для модального метода лучше использовать только схему б т.к. в схеме а есть собствен-ные формы колебаний с очень низкими частотами: движение одной Large Mass относи-тельно другой,которые необходимо учитывать в модальном анализе, т.е. мы сами увели-чиваем как бы искусственно число модальных координат,которые необходимо рассматри-вать.б В случае Direct transient response:

1 Указываем в поле 5 записи TLOAD 1,2 тип кинематического возбуждения: переме-щение, или скорость,или ускорение.

2 Прикладываем к каждой степени свободы,указанной в п. 1 , силу которая равна: mou , mo u or mouв зависимости от того какой тип возбуждения рассматриваем( u, или u, или u).Mетод большой жесткостиК узлу, и именно к той степени свободы,где необходимо приложить кинематическое воз-буждение,прикладываем очень жесткую пружину,с жесткостью Ко, другой конец которойзаземлен.Теперь,если нам необходимо обеспечить по эотй степени свободы перемещение u, то егоможно обеспечить приложив большую силу к этому узлу и к этой степени свобо-ды,равной:p=ko uт.е. рассматривается только заданная пользователем жесткость пружины,а жесткостьюконструкции можно пренебречь, как малой величиной.Метод больших жесткостей конечно работает,но метод больших масс более предпочти-телен,т.к. в нем более легко мы можем определить суммарнуюмассу конструкции М и затем быстро посчитать большую массу Мо = 10*6 МВ случае метода больших жесткостей трудно даже определить порядок жесткости конст-рукции,а значит и Ко.Но более важно что метод больших масс намного лучше, когда используется модальныйметод.Так как, если мы используем в модальном методе большие жесткости, то собственныемоды соответствующие этой жесткости имеют очень высокие частоты и их сложно учестьв модальном методе,( т.к. придется рассматривать весь диапазон частот.(т.к. обычно инте-ресны нижние частоты), а это лишает всякого смысла использовать модальный метод),аесли эти высшие частоты будут отброшены,то не будет учтено и кинематическое возбуж-дение.Это главная причина почему рекомендуется метод больших масс, а не больших жестко-стей.7.2 Метод больших масс в модальном методе переходных процесов и установисшихсягармонических колебаний.(in Modal Transient and Modal Frequency Response.)В модальном методе выполняются все шаги 1,2,3 , перечисленные в главе 7.1Кроме этого, если степеней свободы, где приложено кинематическое возбуждение, недос-таточно чтобы подавить все движения жесткого тела, можно также использовать записьSUPORT, но это необязательно.Моды жесткого тела могут быть исключены из рассмотрения: или не вычислением их(т.е. указываем диапазон с нижним пределом в картеEIGR) или через параметр PARAM,LFREQ, 0,001(или другое маленькое число).Если это сделано, то u, u и u вычисляются относительно всей конструкции, а не абсолют-ными в пространстве.(Например, стыковка спутников: не будет общего смещения двух спутников в простран-стве, а будет местная картина взаимной деформации и проникновения).

21

При этом и силы в элементах являются точно такими же если бы были включены модысвободного твердого тела, потому что моды свободного твердого тела не вносят какого-либовклада в них.Также отбрасывания мод свободного тела может убрать 'дрейф' жесткого тела.Rigid-body modes появляются когда структура незакреплена и большие массы приклады-ваются к DOFs, которые если бы были закреплены определяли бы статически определен-ную конструкцию.Избыточно закрепленные DOFs, которые дают статическую неопределенность конструк-ции, определяют совершенно другую ситуацию,когда эти закрепления удаляются по этимDOFs прикладываются большие массы.В этом случае возникают очень низкочастотные моды, но они не являются модами Rigidbody.Некоторые из этих мод представляют движение одной большой массы относительно дру-гой. Эти моды дают вклад в напряжения и силы в элементах и должны быть оставленыдля решения в модальном методе.Иногда эти частоты не такие уже и маленькие, они могут быть на 1-2 порядка толькоменьше наименьшей жесткосной моды.Таким образом если используется RARAM, LFREQ, r, то r должно быть меньше нижней'относительной'частотыбольших масс.Метод больших жесткостей имеет преимущество в случае задания кинематического воз-буждения в виде перемещений, т.к. в этом случае не будет ошибки округления при дифе-ренцировании перемещений для получения ускорения в случае применения метода боль-ших масс.Применение больших жесткостей позволяет также избежать 'дрейфа' жесткого тела в слу-чае если кинематическое возбуждение прикладывается в точках статически определенныхзакреплений.'Дрейф'жесткого тела - означает что перемещения увеличиваются постоянно во времени,что причиной этого является накопление численных ошибок при интегрировании уравне-ний движения.Рассмотрим стержневую конструкцию

предположим что к двум концам балки приложено одинаковое кинематическое возбужде-ние в виде закона изменения ускорения по времени.

1- ый вариант реализации использования двух больших масс (по одной на каждом конце),которые незакреплены в У -направлении.

Эта модель дает две очень низкочастотные моды. Первая является модой жесткого тела,авторая нет.Вторая мода вносит вклад в напряжения и силы в элементах иесли мы не учтем этотвклад, то будем иметь ошибку,так как одна масса сможет 'дрейфовать' относительно дру-гой во времени.

22

2 -ой вариант -Лучший подход - Исподльзовать одну большую массу и соединить ее же-сткими элементами RBE2 с узлами где задается кинематическое возбуждение. Тогда мыимеем только одну очень низкую частоту- частоту свободного жесткого,тела , которуюможно безболезненно отбросить если требуется определить только деформации и напря-жения относительно тела ( а не закон его абсолютного движения в пространстве).

Метод множителей ЛагранжаРассмотрим уравнение гармонических вынужденных колебаний (frequency vesponce):

[ ]{ } { }K M u P− =ω2

Из вектора {u} выделим подвектор { }u3 к которому приложено кинематическое возбу-

ждение, остальные компоненты {u} обозначим { }uC :Таким образом:

K K

K K

M M

M M

u

u

P

PC

C CC

C

C CC C C

33 3

3

2 33 3

3

3 3

−

=

ω

Установим связь между заданными значениями кинематического возбуждения ( заданны-

ми перемещениями, или с коростями или ускорениями) { }Y3 ( в книге сказано толь-ко:перемещение)

и неизвестными { }u3 в виде:

[ ]{ } { }R u Y33 3 3= (в книге : { } [ ]{ }u R Y3 33 33= )

(Если Y3 - перемещения, то [ ]R 33 - единичная матрица)

Тогда для того чтобы обеспечить необходимое перемещение { }u3 , то к P3 надо сде-лать некоторую добавку, которую можно записать в виде[ ]{ }R q33 3

где { }q 3 - внутренние силы, возникающие при достижении перемещениями заданныхзначений.

Тогда можно записать:

0 0

0

0 0 0

0

0

33

33 33 3

3

233 3

3

3

3

3

3

R

R K K

K K

M M

M M

q

u

u

V

P

PC

C CC

C

C CC C C

−

−

=

ω(K-4)

23

Первое уравнение определит { }u3 , тогда во втором и третьем уравнении будут неиз-

вестные { }q 3 и { }uC , которые можно найти решая как обычно уравнения.Например:1 этап Имеем некоторую заданную [K] и {P}:

4 3

8 2

10

161

2

=

u

u

Решение:4 3 101 2u u+ =8 2 161 2u u+ = <- это уравнение делим на 2 и отнимаем от первого.

0 2 2

11 2

2

u u

u

+ ==

тогда:

4 3 1 10

7

4

1

1

⋅ + ⋅ =

=

u

u

2 этап Теперь прикладываем кинематическое возбуждение в виде: u1 4=

т.к. задано только одно перемещение, (а может быть и смешанное для нескольких узлов)

то [ ] [ ]R 33 1=Составим уравнение (К-4):

R 33 Y33/ /

0 1 0

1 4 3

0 8 2

4

10

16

3

1

2

−

=

q

u

u(*)

Из первого уравнения:

u1 4=Далее два уравнения:

24

− ⋅ + ⋅ + =+ ⋅ + =

= −= −

− + − =− =

= −

q u

u

u

u

q

q

q

3 2

2

2

2

3

3

3

1 4 4 3 10

0 8 4 2 16

2 16

8

16 24 10

18

18Т.е. уравнение (*) можно записать в виде

( почти, что в первоначальном)

4 3

8 2

10 18

161

2

=−

u

u эта добавка по силе для того чтобы обеспечить за-

данное u1 4= и при этом сила в строке u2 остается прежней.Если необходимо задать определенное значение скорости или ускорения, то матрица[ ]R 33 - ( это единичная метрица -ШБ) заносится соответственно в [B] или в [M]и всевычисляется подобным образом, как уже рассмотрели.