p-Wert im Uberblick

Gegeben:

• Testproblem mit Nullhypothese H0 und Alternative H1

• Theoretische Teststatistik, z.B. w oder T• Theoretische Verteilung der Teststatistik unter H0

• Ablehnbereich (und damit Richtung der Alternative)• Signifikanzniveau α

• Beobachteter Wert der Teststatistik bei konkreten Daten, z.B. wobs oder Tobs

Definition p-Wert:

Der p-Wert ist definiert als diejenige Wahrscheinlichkeit, unter H0 den beobachtetenWert der Teststatistik oder einen in Richtung der Alternative extremeren Wert zuerhalten.

Entscheidungsregel:

Zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau α gilt:

p ≤ α ⇒ H0 ablehnen

p > α ⇒ H0 beibehalten

Beispiel 1: Wald-Test beim linearen Modell

• Testproblem

H0 : Cβ = d vs. H1 : Cβ 6= d

• Theoretische Teststatistik

w = (Cβ − d)′[CCov(β)C ′

]−1(Cβ − d)

• Theoretische Verteilung der Teststatistik unter H0

wn→∞∼ χ2(r) mit r = dim(d)

• Ablehnbereich

w > χ21−α(r)

wobei χ21−α(r) das (1− α)-Quantil der χ2-Verteilung mit r Freiheitsgraden bezeichnet

Damit: Je großer w wird, desto mehr bewegt sich die Teststatistik in Richtung derAlternative.

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• p-Wert beim Wald-TestGegeben sei ein beobachteter Wert der Teststatistik wobs bei konkreten Daten – wielasst sich der p-Wert beim Wald-Test berechnen?

Laut Definition ist der p-Wert diejenige Wahrscheinlichkeit, unter H0 – also hier unterVoraussetzung der χ2(r)-Verteilung – den beobachteten Wert der Teststatistik – alsohier wobs – oder einen in Richtung der Alternative extremeren Wert – also hier einengroßeren Wert als wobs – zu erhalten.

Damit:

p = P (w ≥ wobs) = 1− P (w ≤ wobs)

wobei P (w ≤ wobs) die Verteilungsfunktion der χ2(r)-Verteilung an der Stelle wobsbezeichnet.

• Veranschaulichung mit Dichte der χ2(3)-Verteilung

0 5 10 15

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

w

f(w

)

wobs

In der Abbildung entspricht der p-Wert der schraffierten Flache unter der Dichte derχ2(r)-Verteilung.

Beispiel 2: t-Test bei der linearen Regression

• Testproblem

H0 : βj = 0 vs. H1 : βj 6= 0

• Theoretische Teststatistik

T =βjσβj

• Theoretische Verteilung der Teststatistik unter H0

T ∼ t(n− k − 1)

mit n=Anzahl der Beobachtungen und k = Anzahl der Kovariablen ohne Intercept

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• Ablehnbereich

|T | > t1−α2(n− k − 1)

wobei t1−α2(n−k−1) das (1− α

2 )-Quantil der t-Verteilung mit n−k−1 Freiheitsgradenbezeichnet

Damit: Je großer |T | ist, desto mehr bewegt sich die Teststatistik in Richtung derAlternative.

• p-Wert beim t-TestGegeben sei ein beobachteter Wert der Teststatistik Tobs bei konkreten Daten – wielasst sich der p-Wert beim vorliegenden t-Test berechnen?

Laut Definition ist der p-Wert diejenige Wahrscheinlichkeit, unter H0 – also hier unterVoraussetzung der t(n − k − 1)-Verteilung – den beobachteten Wert der Teststatistik– also hier Tobs – oder einen in Richtung der Alternative extremeren Wert – also hiereinen betragsmaßig großeren Wert als |Tobs| – zu erhalten.

Damit:

p = P (|T | ≥ |Tobs|)= P (T ≥ |Tobs|) + P (T ≤ −|Tobs|)︸ ︷︷ ︸

=P (T≥|Tobs|) wegen Symmetrie

= 2 P (T ≥ |Tobs|)= 2 (1− P (T ≤ |Tobs|))

wobei P (T ≤ Tobs) die Verteilungsfunktion der t(n−k−1)-Verteilung an der Stelle Tobsbezeichnet.

• Veranschaulichung mit Dichte der t(2)-Verteilung

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

T

f(T

)

Tobs− Tobs

In der Abbildung entspricht der p-Wert der schraffierten Flache unter der Dichte dert(n− k − 1)-Verteilung.

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