Otomata

Yogo Priyono © 2009 1

Otomata yang dibangkitkan olehhimpunan state


Adalah janggal harus membicarakan sebuah subotomata dalam kaitannya dengan himpunan dari state-statenya.

Bahwa sebuah subhimpunan R dari state-state adalah himpunan dari state-state dari sebuah subotomaton jika dan hanya jika dia samadengan himpunan suksesornya; dalam simbol-simbol, δ(R) = R.


Lemma 2.5.1.

Untuk sembarang subhimpunan R dari S, triple (δ(R), Σ, δ’) dari A adalah sebuah subotomaton dari A, dimana δ’ adalah pembatasan dari δ pada δ(R) × Σ*.

Dalam artian ini, maka, anggota-anggota dari R“membangkitkan” baik himpunan δ(R) dan subotomaton (δ(R), Σ, δ’) sekaligus.


Definisi 2.5.2.

Untuk sembarang subhimpunan R dari S, otomatonyang dibangkitkan oleh R dinyatakan dengan ⟨R⟩dan didefinisikan oleh

⟨R⟩ = (δ(R), Σ, δ’),

dengan δ’ adalah pembatasan dari δ pada δ(R) ×Σ*.


Seperti yang telah kita lakukan dengan himpunan-himpunan suksesor, jika R adalah sebuah singleton, katakanlah R = {r}, kita boleh hilangkan tanda kurung kurawal yang menyatakan tanda himpunan dan menuliskan ⟨r⟩ daripada ⟨{r}⟩ atau ⟨R⟩.

Karena otomata yang dibangkitkan oleh sebuah himpunan singleton tersebut memainkan sebuah peran utama dalam sisa dari buku ini, kita beri mereka sebuah nama spesial.


Definisi 2.5.3.

Sebuah otomaton A disebut sebagai dibangkitkansecara tunggal (singly generated) jika dan hanyajika terdapat sebuah state s dari A sehingga A =⟨s⟩.

Jelas bahwa sembarang otomaton dibangkitkanoleh himpunan dari seluruh statenya, karena yang terakhir harus tertutup (closed) di bawah semuatransisi.


Perhatikan otomaton berikut

Gambar 2.10. Diagram state dari sebuah otomaton.

c a b d

e f h

g1 0

0, 1 10

0

1

1

0

01

0

1

01


Otomaton A keseluruhan dibangkitkan oleh salahsatu dari banyak himpunan, seperti {a, c}, {b, f, e}, atau {a, d, g, h}.

Sekalipun begitu A juga dibangkitkan oleh {a} saja, yaitu, A = ⟨a⟩ (juga oleh {b} saja, A = ⟨b⟩), dan dengan demikian dibangkitkan secara tunggal.

Subotomaton ⟨{c, d}⟩ tidak dibangkitkan secara tunggal.


Mudah untuk menentukan semua subotomaton dari A yang dapat dibangkitkan secara tunggal denganmempertimbangkan otomaton yang dibangkitkanoleh setiap state dari A.

Diperoleh ⟨a⟩ = ⟨b⟩ = A; ⟨c⟩ = ⟨{c, e, f, g, h}⟩, ⟨d⟩ = ⟨{d, f, g, h}⟩, ⟨e⟩ adalah sebuah otomaton singleton, dan ⟨f⟩ = ⟨g⟩ = ⟨h⟩ = ⟨{f, g, h}⟩.

Jadi, ada lima subotomaton dari A yang berbedayang dibangkitkan secara tunggal.


Lemma 2.5.4.

Ambil R dan T adalah subhimpunan-subhimpunandari S dalam sebuah otomaton A. Maka

⟨R ∪ T⟩ = ⟨R⟩ ∪ ⟨T⟩.

Lemma 2.5.5.

Ambil R dan T adalah subhimpunan-subhimpunandari S dalam sebuah otomaton A. Maka

⟨R ∩ T⟩ << ⟨R⟩ ∩ ⟨T⟩.


Jangan mengharapkan bahwa gabungan dari duasubotomaton yang dibangkitkan secara tunggalhasilnya juga subotomaton yang dibangkitkansecara tunggal.

Sebenarnya, hasilnya adalah subotomaton yang dibangkitkan secara tunggal, jika dan hanya jikasalah satu dari kedua subotomaton tersebutmerupakan subotomaton dari yang lainnya.


Lemma 2.5.6.

Ambil A = (S, Σ, δ) adalah sebuah otomaton. Maka

Lemma ini menunjukkan bahwa semua sub-otomaton dari sebuah otomaton A dapat diperolehdengan mengambil seluruh kemungkinan gabungandari subotomaton-subotomaton dari A yang dibangkitkan secara tunggal.

.USs

sA∈

⟩⟨=


Telah ditunjukkan bahwa gabungan dari duaotomaton yang dibangkitkan secara tunggal tidakmenghasilkan sebuah subotomaton baru jika salahsatu dari kedua otomaton tersebut adalah sebuahsubotomaton dari yang lainnya.

Adalah sangat mudah untuk menentukan duaotomaton yang dibangkitkan secara tunggal apakahsatu diantaranya merupakan subotomaton dariyang lainnya.


Lemma 2.5.7.

Ambil A adalah sebuah otomaton dan ambil r, s ∈S. Maka ⟨r⟩ << ⟨s⟩ jika dan hanya jika r ∈ δ(s).

prosedur dalam penentuan seluruh subotomaton dari sebuah otomaton hingga, diilustrasikan dengan otomaton pada Tabel 2.7 dan Gambar 2.11.


Tabel 2.7. Tabel transisi dari A.

0 1a a ab a cc f cd c fe a bf j fg a hh g ii i aj j f


Gambar 2.11. Diagram state dari A.


Tabel 2.8. Penambahan pada tabel transisi dari A.

f, jfjja, iaiia, g, h, iigha, g, h, ihagf, jfjfa, b, c, e, f, jbaec, d, f, jfcdc, f, jcfca, b, c, f, jcabaaaa

δ(R)10R


Tabel 2.9. (Tabel 1).

R δ(R) Gabungkan dengan

a a c, d, fb a, b, c, f, j d, g, ic c, f, j g, id c, d, f, j e, g, ie a, b, c, e, f, j g, if f, j g, ig a, g, h, i -i a, i -


Tabel 2.10. (Tabel 2).R δ(R) Gabungkan dengan

a, c a, c, f, j –a, d a, c, d, f, j –a, f a, f, j –b, d a, b, c, d, f, j g, ib, g a, b, c, f, g, h, i, j –b, i a, b, c, f, i, j –c, g a, c, f, g, h, i, j –c, i a, c, f, i, j –d, e a, b, c, d, e, f, j g, id, g a, c, d, f, g, h, i, j –d, i a, c, d, f, i, j –e, g a, b, c, e, f, g, h, i, j –e, i a, b, c, e, f, i, j –f, g a, f, g, h, i, j –f, i a, f, i, j –


Tabel 2.11. (Tabel 3).

R δ(R) Gabungkan dengan

b, d, g a, b, c, d, f, g, h, i, j –

b, d, i a, b, c, d, f, i, j –

d, e, g a, b, c, d, e, f, g, h, i, j –

d, e, i a, b, c, d, e, f, i, j –


Otomata ⟨R⟩ yang dibangkitkan oleh sebuahhimpunan R dari state-state memainkan sebuahperan penting dalam pengembangan.

Sejauh ini, telah kita pandang ⟨R⟩ “dari dalam keluar(terbalik)”, yaitu dari himpunan R yang membangkitkannya.

Sekarang kita peroleh sebuah karakterisasi dari ⟨R⟩“dari luar ke dalam” dalam kaitannya dengansubotamata keseluruhan yang himpunan-himpunanstate-statenya mengandung R.


Teorema 2.5.9.

Ambil A = (S, Σ, δ) adalah sebuah otomata dan ambil R ⊆ S. Maka

⟨R⟩ = ∩{B << A | R ⊆ SB}.


Untuk melukiskan, marilah kita pilih himpunan bagian {b, c, i} dari state-state otomata pada Tabel 2.7 dan Gambar 2.11.

Berdasarkan Algoritma 2.3.2, kita peroleh dari tabel transisi tersebut himpunan state-state δ({b, c, i}) dari ⟨{b, c, i}⟩ sebagai {a, b, c, f, i, j}.

Untuk memperoleh irisan dari seluruh subotomata yang mempunyai b, c, dan i sebagai state-state; pertama kita kumpulkan dari Tabel 2.9 sampai dengan Tabel 2.11 semua subotomata yang seperti itu.


Himpunan state-state yang berkaitan dengan mereka berdasarkan urutan kemunculannya dalam tabel-tabel tersebut ditunjukkan dalam Gambar 2.13, dari mana sangat mudah untuk menemukan elemen-elemen bersama.

Irisan dari seluruh himpunan tersebut adalah {a, b, c, f, i, j}, yang mana adalah δ({b, c, i}).


Irisan dari seluruh himpunan tersebut adalah {a, b, c, f, i, j}, yang mana adalah δ({b, c, i}).

{ a, b, c, f , g, h, i, j }{ a, b, c, f , i, j }{ a, b, c, e, f , g, h, i, j }{ a, b, c, e, f , i, j }{ a, b, c, d, f , g, h, i, j }{ a, b, c, d, f , i, j }{ a, b, c, d, e, f , g, h, i, j }{ a, b, c, d, e, f , i, j }

Otomata

Documents

Transcript of Otomata