1

Circuiti del primo ordine

•Contengono un solo elemento dinamico•Il loro comportamento è rappresentato da un’equazione differenziale del I ordine.

2

RC

vC(0)≠0i

Circuiti RC e RL in evoluzione libera •Leggi di Kirchhoff•Relazioni costitutive

( ) ( ) ( ) ( )tempo di costanteRC

tvdt

tdvtvtRi cC

c

=

=+→=+

ττ

010

R LiL(0)≠0

iL

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

tempo di costanteRL

tidt

tdi

tidt

tdiRLti

Rtv

LL

LL

L

=

=+

=+→=+

τ

τ01

00

v(t)

( ) ( ) 01 =+ txdt

tdxτ

Forma standard

-1

3

( ) ( ) 01 =+ txdt

tdxτ

Equazione differenziale •del I ordine (la derivata di ordine massimo è la derivata prima)•lineare (l’incognita e la sua derivata compaiono solo come termini di I grado)•a coefficienti costanti (i coefficienti che moltiplicano l’incognita e la sua derivata sono costanti)•omogenea (compaiono solo termini che contengono l’incognita e la sua derivata)

Fissata la condizione iniziale (c.i.), x(0), ha un’unica soluzione

tKetx λ=)(

-2

4

Determinazione di K e λλλλ

Quindi oSostituend

- 0

ticacaratteris equazioneL'

τ

τ

τλ

τλ

t

t

)ex(tx

K)x(t

Ketx

−

−

=

=→=

=→=→=+

0)(

00

)(11

-3

5

RCtCC evtv −= )0()( LtR

LL eiti −= )0()(tempo un di dimensioni le hanno e R/LRC

Risposta libera (non ci sono generatori):

Matematicamente -∞<t<+ ∞Nella pratica t>0

∞→→ tpertitv LC 0)(),(x(t)

x(0)

0.37x(0)

τ

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0067.00)5(

0018.00)4(005.00)3(

0135.00)2(037.00)(

5

4

3

2

1

xexxxexx

xexxxexx

xexx

≅=

≅=≅=

≅=

≅=

−

−

−

−

−

ττττ

τ

)0()0( xtRCx +−

-4

6

A prescindere da x(0), dopo 4 costanti di tempo x(t) vale circa il 2% del valore iniziale; dopo 5 costanti di tempo x(t) vale meno dell’ 1% del valore iniziale.

La risposta dei circuiti RC e RL ha una durata di 4 o 5 costanti di tempo.La costante di tempo t è anche una misura inversa della velocità di decadimento.

I risultati esposti possono estendersi a tutti i circuiti riconducibili alla configurazione RC o RL.

-5

7

L’evoluzione libera del circuito è una conseguenza della progressiva dissipazione dell’energia immagazzinata inizialmente nel condensatore. La potenza dissipata nel resistore deve coincidere col tasso didiminuzione dell’energia immagazzinata

( ) ( )

00

21

2

22

=+=+

−=

−=−=

RCv

dtdv

dtdvCv

Rv

dtdvCvtCv

dtd

dttdw

Rv

CCCC

C

CCC

C

Ciò spiega perché aumentando la costante di tempo (RC), la tensione diminuisce più lentamente: a parità di tensione l’energia immagazzinata aumenta se aumenta C, la potenza dissipata diminuisce se aumenta R.

che coincide con l’equazione precedente.

-6

8

R

CvC(0)≠0

i

Circuiti RC e RL con un generatore costante•Leggi di Kirchhoff•Relazioni costitutive

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

tempo di costanteRC

Vtvdt

tdv

Vtvdt

tdvRCVtvtRi

sc

C

scC

sc

=

=+

=+→=+

τττ

1

R LiL(0)≠0

iL

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

tempo di costanteRL

Itidt

tdi

Itidt

tdiRLIti

Rtv

sL

L

sLL

sL

=

=+

=+→=+

τ

ττ1

v(t)

( ) ( )ττ

pxtx

dttdx =+ 1

Forma standard

VsIs

-1

9

( ) ( )ττ

pxtx

dttdx =+ 1

Equazione differenziale •del I ordine, lineare, a coefficienti costanti• NON omogenea nell’incognita x(t) (compare il termine xp/τ)

Fissata la condizione iniziale (c.i.), x(0), ha un’unica soluzione

AKetxt

+=−

τ)(

A è una costante che soddisfa da sola l’eqne differenziale per t>0 (integrale particolare)

K va determinata imponendo la c.i. x(0)

t>0

-2

10

Sostituendo( ) ( ) ,1nella)(

ττpx

txdt

tdxAtx =+=

.)(0 p

t

pp xKetxxA

xA +=→=→=+−

τ

ττIn t=0, si ha

pp xxKxKx −=→+= )0()0(

( ) per )( .)0()( ∞→→+−=−

txtxxexxtx pp

t

pτ

( )RC

VeVvtv s

t

scc

=+−=

−

τ

τ .)0()(( )

RL

IeIiti s

t

sLL

=

+−=−

τ

τ .)0()(

-3

11

x(t)

x(0)

x(∞)

τ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )∞−≅∞−≅∞−

∞−≅∞−

∞+∞−=

−

−

−

xxexxxx

exxxtx

xexxtxt

t

)0(368.0)0()(

)0()(

)0()(

1τ

τ

τ

( )∞− xx )0(368.0x(τ)

-4

12

Circuiti del I ordine autonomi o con un generatore costante

I risultati esposti possono estendersi a tutti i circuiti del I ordine autonomi o con generatori indipendenti di valore costante. Consideriamo circuiti che contengono

1 condensatoreNR resistoriNg generatori indipendenti di valore costante

1 induttoreNR resistoriNg generatori indipendenti di valore costante

R RC L

Applicando il teorema di Thevenin al bipolo R si ottiene un circuito RC con un generatore costante

Applicando il teorema di Norton al bipolo R si ottiene un circuito RL con un generatore costante

-5

13

( )CR

vevvtv

eq

Th

t

Thcc

=+−=

−

τ

τ)0()( ( )eq

N

t

NLL

RLieiiti

/)0()(

=+−=

−

τ

τ

Req è la resistenza equivalente del bipolo Rτ >0 se Req >0

∞→→ tvtv Thc per )(

( )( ) ( )∞+∞−=−

vevvtvt

ccτ)0()( ( ) )()()0()( ∞+∞−=

−

L

t

LLL ieiiti τ

∞→→ titi NL per )(

Per determinare vc o iL basta conoscere•Il valore iniziale•Il valore finale•La costante di tempo

-6

14

Il valore iniziale

Spesso è un dato del problema. Spesso però nel circuito avviene una variazione in t=0, ad esempio un interruttore cambia posizione.0- è l’istante che precede la variazione0+ è l’istante immediatamente successivo alla variazionePer la proprietà di continuità:vc(0+)=vc(0-)=vc(0) iL(0+)= iL(0-)= iL(0)Se il circuito in t= 0- era in regime costante, determino x(0+)studiando il circuito resistivo a regime costante, in cui il condensatore è un circuito aperto e l’induttore è un corto circuito.

-7

15

Tutte le grandezze ottenute sono di tipo esponenziale.

In un circuito autonomo del I ordine, con Req>0, qualunque tensione/corrente y(t), per t>0, ha l’espressione

( )( ) ( )∞+∞−=−+ yeyyty

tτ)0()(

Tutte le grandezze del circuito hanno la stessa costante di tempo che vale ReqC oppure L/Req.

Nella espressione di y compare y(0+): le grandezze diverse da vc e iL possono essere discontinue in t=0, ovvero

y(0+)≠ y(0-)

-8

16

Sovrapposizione degli effettirisposta libera e risposta forzataUna generica grandezza si può ottenere sommando 1. il contributo della c.i. con i generatori indipendenti spenti

(risposta libera)2. il contributo dei singoli generatori indipendenti calcolati con

la c.i. nulla (risposta nello stato zero).

)(1)0()( ∞

−+=

−−yeeyty

ttττ

Risposta libera Risposta nello stato zero Risposta forzata

-1

17

RETE Y1(t)u1(t) RETE Y2(t)u2(t)

u(t) = au1(t) + bu2(t)

y(t) = ay1(t) + by2(t)

LA RELAZIONE I/O E’ LINEARESi dice che una rete e’ lineare se vale la precedente proprieta’ per qualunque variabile. Allora: La risposta nello stato zero e’ lineare rispetto all’ingressoLo stato zero e’ una specificazione indispensabile

RETE Y(t)u(t)

-2

18

Proprieta’ di tempo invarianzau(t) � y(t)u(t-T) � y(t-T)

T

u(t)

y(t)

u(t-T)

y(t-T)

Resistori, induttori, capacitori, mutue, sono componenti tempo-invarianti

Ci sono casi in cui la tempo-invarianza e’ voluta (es. interruttore)

-3

T

19

Rete lineare tempo-invariante nello stato zero

Statozero

Statozero

Statozero

Statozero

Statozero

)(tu

)( htu +

[ ])()(1 tuhtuh

±+ [ ])()(1 tyhtyh

±+

)( hty +

)(ty

dtdu

dtdy

∫t

du0

)( ττ ∫t

dy0

)( ττ

tempo-invarianza

linearità

limite per h����0 (operatore lineare)

o anche

E’ importante che lo stato iniziale sia nullo altrimenti ci sarebbero delle costanti di integrazione che non renderebbero leciti tali passaggi

-4

20

Stabilitàrisposta transitoria e risposta permanente

I circuiti del I ordine con Req>0 sono detti stabili.In un circuito stabile qualunque risposta ha la forma

( )( ) ( )∞+∞−=−

yeyytytτ)0()(

Risposta transitoria(esponenziale)

Risposta permanente(costante)

La risposta transitoria scompare col passare del tempo

La risposta permanente coincide col valore finale. E’ costante se i generatori indipendenti sono di tipo costante.

-1

21

Circuiti instabili

I circuiti del I ordine con Req<0 sono detti instabili.Qualunque risposta ha ancora la forma

( )( ) ( )∞→∞→

∞+∞−=−

ttyyeyyty

t

per)()0()( τ

Per i bipoli passivi Req>0. I circuiti passivi sono sempre stabili.

I circuiti attivi possono essere instabili.

-2

22

Funzioni singolari elementariLe Funzioni singolari elementari sono funzioni discontinue o con derivate discontinue

Gradino unitarioImpulso unitarioRampa unitaria

δ-1(t)

><

=− 0per t 10per t 0

)(1 tδ

Sono buone approssimazioni di segnali che si incontrano nei circuiti che subiscono fenomeni di commutazione

Gradino unitario

Non è definita in t=0

-1

23

δ-1(t)

><

=−−0

001 per t 1

per t 0)(

tt

ttδ

Non è definita in t=t0 t0

�Dal punto di vista fisico, corrisponde all’inserzione di un generatore di valore unitario all’istante t=t0

Retev(t)

t=t0

><

=00

00)(

ttVtt

tv )()( 010 ttVtv −= −δ

�Moltiplicare una funzione continua nel tempo per δ-1 consente automaticamente di considerare tale funzione identicamente nulla per t<0

-2

24

V0δ-1(t)

a

b

a

b

V0

t=0

a

b

a

b

I0

t=0

I0δ-1(t)

Circuiti equivalenti -3

25

t0

V

Impulso rettangolare

)()()( 011 ttVtVtu −−= −− δδ

-4u(t)

t

26

δ(t)

>=

<= −

0per t 00per t indefinita

0per t 0)()( 1

dttdt δδ

Impulso unitario

Correnti e tensioni impulsive sono conseguenza di operazioni dicommutazione o di sorgenti impulsive.

L’impulso unitario può essere immaginato come un impulso di durata molto breve ed area unitaria. Matematicamente:

∫+

−

=0

0

1)( dttδ

La funzione impulso bδ(t) ha area pari a b.

-5

27

δ(t)5

3

-2

1

5δ(t-3)

−2δ(t+1)

Esempi

Proprietà di selezione

)()()( 00 tfdttttfb

a

=−∫ δ

� La funzione impulsiva non puo’ essere realizzata ma solo approssimata

-6

a<t0<b

28

δ−2(t)

≥−≤

=−

≥≤

=

==

−

−

−∞−

−− ∫

00

002

2

112

0)(

000

)(

)()()(

tttttt

tt

ttt

t

ttdtttt

δ

δ

δδδ

Rampa unitaria-7

δ−2(t-t0)

t0

29

Per la linearità e tempo invarianza della relazione I/O la risposta alla u(t) puo’ essere ottenuta come somma delle risposte a ciascuno dei termini delle sommatorie a secondo membro. Allora se h(t) e’ la risposta all’impulso e

∫∫∞−∞−

==tt

dktedhtk ττττ )()(;)()(

)()()( jj

jii

i tteRttkGty −⋅+−⋅= ∑∑

)()()( 21 jj

jii

i ttRttGtu −⋅+−⋅= −− ∑∑ δδ

Qualunque funzione lineare a tratti può essere decomposta in gradini e rampe e si può scrivere in forma generale come:

-8

30

Ingresso cisoidale

0 )()cos()( 1 >+= − UttUetu t δϕωσE’ un ingresso generalizzato

( )( )

( )( )

0101

1

1

1

p1

........)(........)( epolinomial f)Ingresso

)()( lineare Ingresso e)

)cos()()cos()( cisoidale Ingresso d)

)sin()cos()()cos()( esinusoidal Ingresso c)

)(cos)( leesponenzia Ingresso b)

costante)(y cosU)( costante Ingresso a)

btbtbtyatatatu

DtCtyBtAtu

tBetyttAetu

tBtAtyttUtuBetyteUtu

tttu

nnp

nn

p

tp

t

p

tp

t

+++=⇒+++=

+=⇒+=

+=⇒+=

+=⇒+=

=⇒=

=⇒=

−

−

−

−

:iparticolar integrali Altri

θωδϕω

ωωδϕωδϕ

ϕδ

σσ

σσ

-9

31

Risposta al gradino di un circuito RCLa risposta al gradino di un circuito è la risposta del circuito quando l’eccitazione è una funzione gradino.

R

Cv

iVs

t=0 R

Cv

iVsδ-1(t)

( ) 00 Vv =

Poiché la tensione non può variare istantaneamente

( ) ( ) 000 Vvv == +−

Prima della commutazione Dopo la commutazione

-1

32

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

>−+

<=

>−+=

−=→+=+==→

=→=−

+→

+=

−=−=

−=→=+

=+>=+=+→

−

−

−

−

−

−−

0

0 )(

0)(

)0(K

0)(

)(

; Posto

101

:0Per ;

/0

0

/0

0/

0

/

/0

11

teVVVtV

tv

teVVVtv

VVKVKvKeVv

VvR

VvC

dttdv

Cv

vKetveVVVvRC

RCRC

RCV

RCv

dttdvttVv

dttdvRCtVvRiLKT

tss

tss

sspt

spspp

p

pt

tss

sss

τ

τ

τ

τ

ττ

λλ

δδ

Risposta completa

Vs

V0

t

v(t)

-2

33

Se V0=0( )

( ) ( )

( )teRVti

teRV

t

dtdvCti

teVtv

teVt

tv

ts

ts

ts

ts

1/

/

1/

/

)(

0

0 0)(

1)(

0 10 0

)(

−−

−

−−

−

=

>

<==

−=

>−

<=

δ

δ

τ

τ

τ

τ

Vs

V0

t

v(t)Vs/R

t

i(t)

continua discontinua

-3

34

( ) ( ) V1)( /0

//0

τττ tts

tss eeVeVVVtv −−− +−=−+=

Risposta libera e risposta forzata

La risposta libera è legata all’energia immagazzinata nel circuito prima dell’applicazione del generatore. Essa tende a estinguersi al crescere di t;La risposta forzata è dovuta all’applicazione di una forza esterna.

Risposta transitoria e risposta di regime

La risposta transitoria è la porzione della risposta completa che tende ad estinguersi quando il tempo tende all’infinito.La risposta a regime è la porzione della risposta completa che rimane quando la risposta transitoria si è esaurita.

( ) )( /0

τtss eVVVtv −−+=

-4

35

( ) )( /0

τtss eVVVtv −−+=

In generale

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

τ

τ

τ

/0

/

0)(

000)(

tt

t

evtvvtv

evvv

evvvtv

−−

+

−

∞−+∞=

∞=

∞−+∞=si determina per t<0si determinano per t>0

-5

36

Risposta al gradino di un circuito RLProcedimento alternativo

R

Lv

iVs

t=0 R

Lv

iVsδ-1(t)

( ) 00 Vv =

==

===

+=

−

RVii

RLAeii

iiti

sfforzata

t

llibera

forzatalibera

ττ

)(

RVAeti st += − τ/)(

-6

37

Poiché la corrente non può variare istantaneamente( ) ( ) 000 Iii == +−

RVIA

RVAI ss −=→+= 00

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )teRVti

IiSeeitiitieiiiti

eRVI

RVti

ts

tt

t

tss

1/

0

/0

/

/0

1)(

00)(

0)(

)(

0

−−

−−

−

−

−=

==∞−+∞=

∞−+∞=

−+=

δτ

τ

τ

τ

Vs/Ri(t)

Vs

v(t)

-7