Optimisation – TD · 2016-11-02 · x3 x2 x1 Figure 1–Pav´edeR3 de cot´es de longueurs x 1, x...
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ENSAI 2015 - 2016 Optimisation – TD Exercice 1. ´ Etudier les extrema locaux de la fonction f : R 2 → R d´ efinie par f (x, y)= e x - xy. Exercice 2. Soit φ : R × R×]0, +∞[→ R d´ efinie par ∀(x, m, σ) ∈ R × R×]0, +∞[, φ(x, m, σ)= 1 √ 2πσ 2 e - (x-m) 2 2σ 2 . On fixe x 1 ,...,x n ∈ R. On suppose que les x i ne sont pas tous ´ egaux. Montrer que la fonction f :(m, σ) ∈ R×]0, ∞[ -→ n i=1 φ(x i , m, σ) admet un unique maximum local (m , σ ) que l’on pr´ ecisera. Indication : on pourra passer au logarithme. Exercice 3. On consid` ere l’ensemble T = {(x, y) ∈ R 2 x 0,y 0,x + y 1}. On souhaite r´ esoudre le probl` eme : min (x,y)∈T x 2 + xy + y 2 . (1) 1. Dessiner l’ensemble T et ´ etudier la qualification des contraintes. 2. ´ Ecrire le lagrangien du probl` eme (1) et d´ eterminer les points critiques. 3. R´ esoudre le probl` eme. Exercice 4. Les mod` eles de croissance ´ economique supposent que la production Y est fonction du capital K et du travail L. Souvent, on fait l’hypoth` ese suivante pour la fonction de production Y = K α L 1-α (0 < α < 1). Pour simplifier, on supposera que K repr´ esente les d´ epenses annuelles li´ ees ` a l’investissement et L le nombre de salari´ es de l’entreprise. En outre, le salaire annuel s est suppos´ e fix´ e et ´ egal pour tous les salari´ es. La production est, elle-aussi, suppos´ ee constante, ´ egale ` a Y 0 > 0. Comment choisir K et L de sorte que les d´ epenses (investissement + salaires) soient les plus faibles possibles, tout en produisant la quantit´ e Y 0 (on supposera qu’il existe un tel minimum) ? Exercice 5. Soit S> 0. Quels sont les pav´ es de R 3 (voir Figure 1) de surface S ayant un volume maximal ? On supposera qu’on a existence pour ce probl` eme.
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ENSAI 2015 - 2016
Optimisation – TD
Exercice 1. Etudier les extrema locaux de la fonction f : R2 ! R definie par
f(x, y) = ex " xy.
Exercice 2. Soit ! : R# R#]0,+$[! R definie par
%(x,m,") & R# R#]0,+$[, !(x,m,") =1'2#"2
e!(x!m)2
2!2 .
On fixe x1, . . . , xn & R. On suppose que les xi ne sont pas tous egaux. Montrer que la fonction
f : (m,") & R#]0,$[ ("!n!
i=1
!(xi,m,")
admet un unique maximum local (m!,"!) que l’on precisera.
Indication : on pourra passer au logarithme.
Exercice 3. On considere l’ensemble T = {(x, y) & R2 x ! 0, y ! 0, x + y " 1}. On souhaite resoudre leprobleme :
min(x,y)"T
x2 + xy + y2. (1)
1. Dessiner l’ensemble T et etudier la qualification des contraintes.
2. Ecrire le lagrangien du probleme (1) et determiner les points critiques.
3. Resoudre le probleme.
Exercice 4. Les modeles de croissance economique supposent que la production Y est fonction du capital Ket du travail L. Souvent, on fait l’hypothese suivante pour la fonction de production
Y = K"L1!" (0 < $ < 1).
Pour simplifier, on supposera que K represente les depenses annuelles liees a l’investissement et L le nombrede salaries de l’entreprise. En outre, le salaire annuel s est suppose fixe et egal pour tous les salaries. Laproduction est, elle-aussi, supposee constante, egale a Y0 > 0.
Comment choisir K et L de sorte que les depenses (investissement + salaires) soient les plus faibles possibles,tout en produisant la quantite Y0 (on supposera qu’il existe un tel minimum) ?
Exercice 5. Soit S > 0. Quels sont les paves de R3 (voir Figure 1) de surface S ayant un volume maximal ?On supposera qu’on a existence pour ce probleme.
x3
x2
x1
Figure 1 – Pave de R3 de cotes de longueurs x1, x2, x3.
Exercice 6. On note x = (x1, . . . , xn) & Rn et on s’interesse au probleme d’optimisation suivant :
maxx"K
n"
i=1
x2i , (2)
ou l’ensemble K est donne par
K =#
x & Rn ;
n"
i=1
xi = 1 et xi ! 0 pour tout i$
.
1. Montrer l’existence de solutions pour le probleme (2).
2. Etudier la qualification des contraintes.
3. Definir le Lagrangien du probleme (2) et determiner les points critiques.
4. Conclure.
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![KRR3: Inference in First-order logic 2 - LAAS[Animal(F(x)) ∨ Loves(G(x),x)] ∧ [¬Loves(x,F(x)) ∨ Loves(G(x),x)]. Conversion to CNF Method 1 Elimination of implications A ⇒](https://static.fdocument.org/doc/165x107/6145772007bb162e665fb591/krr3-inference-in-first-order-logic-2-laas-animalfx-a-lovesgxx-a.jpg)
