www.informationsuebertragung.ch Dr. M. Hufschmid

Inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT)

Die inverse diskrete Fouriertransformation eines Vektors 0 1 N 1Y Y Y − = Y ⋯ der Länge N ist

wie folgt definiert:

k nN 1 j 2N

knk 0

y Y e⋅− ⋅ ⋅π⋅

== ⋅∑ .

Damit das Ergebnis reell ist, muss die Bedingung

*N i i

NY Y , i 1,2, 1

2− = = −…

erfüllt sein.

OFDM-Signal

Wir betrachten ein OFDM-Signal mit K Kanälen, deren Mittenfrequenzen gemäss

kS

kf , k 1,2, K

T= = ⋯

gewählt werden. Amplitude und Phase des Signals des k-ten Kanals hängen von der Information ab, die über diesen Kanal übertragen werden soll und werden durch den komplexen Zeiger Xk repräsentiert. Damit kann das entsprechende Signal wie folgt beschrieben werden:

( ) ( )kj 2 f tk k kk k ks (t) Re X e Re X cos 2 f t Im X sin 2 f t⋅ ⋅π⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅π ⋅ ⋅

.

Für den zeitlichen Verlauf des OFDM-Signals erhält man

kK K

j 2 f tk k

k 1 k 1

s(t) s (t) Re X e⋅ ⋅π⋅ ⋅

= =

= = ⋅ ∑ ∑ .

Erzeugung eines OFDM-Signals mit Hilfe der inversen diskreten Fouriertransformation

Wir möchten im Folgenden zeigen, dass mit Hilfe der inversen diskreten Fouriertransformation aus den komplexen Zeigern Xk die Abtastwerte des OFDM-Signals s(t) bestimmt werden können. Dazu wählen wir für die Länge der Fouriertransformation

N 2 K 2= ⋅ + .

Ferner setzen wir

2K 2 k

kk

*

0 k 0

X k 1,2, KY 0 k K 1

X k K 2,K 3, 2 K 1+ −

= == = + = + + ⋅ +

⋯

⋯

Die komplexen Zeiger Xk werden also gemäss der nachfolgenden Figur im Vektor Y abgelegt.

0 X1 X2 X3 XK 0

0 1 2 K K+1 K+2 2K-1 2K 2K+13

X*1X*2X*3X*K

www.informationsuebertragung.ch Dr. M. Hufschmid

Die Definition der inversen diskreten Fouriertransformation liefert

( )

2 K 2 k

m

m

n kN 1 j 2N

knk 0

n k n kK 2 K 1j 2 j 2*2 K 2 2 K 2k

k 1 k K 2

n 2 K 2 mn kK Km 2 K 2 k j 2 j 2*2 K 2 2 K 2k

k 1 m 1

n k n mK j 2 j 2 j 2*2 K 2 2 K 2k

k 1

y Y e

X e X e

X e X e

X e X e e

⋅ + −

⋅− ⋅ ⋅π⋅

=⋅ ⋅⋅ +⋅ ⋅π⋅ ⋅ ⋅π⋅

⋅ + ⋅ +

= = +⋅ ⋅ + −⋅= ⋅ + − ⋅ ⋅π⋅ ⋅ ⋅π⋅

⋅ + ⋅ +

= =⋅ ⋅⋅ ⋅π⋅ − ⋅ ⋅π⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ +

=

= ⋅

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑( )n 2 K 2K2 K 2

m 1 1

n kK j 22 K 2

kk 1

2 Re X e

⋅ ⋅ +π⋅

⋅ +

= =⋅⋅ ⋅π⋅

⋅ +

=

= ⋅ ⋅

∑

∑

�������

Tastet man andererseits das Signal s(t) zu den Zeitpunkten

S ST Tt n n

N 2 K 2= ⋅ = ⋅

⋅ +

ab, so resultiert

S

S

Tk k nK Kj 2 n j 2T 2 K 2S 2 K 2k k

k 1 k 1

Ts[n] s n Re X e Re X e

2 K 2

⋅⋅ ⋅π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π⋅⋅ + ⋅ +

= =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ +

∑ ∑ ,

was, bis auf den Faktor 2, dem Ergebnis der inversen diskreten Fouriertransformation entspricht.