ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ιusers.uwg.gr/~fkoutel/maths/files/M1-03.pdfΑΣΚΗΣΕΙΣ Title Microsoft...

Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 1/44

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ

ΦρΦρ. . ΚουτελιέρηςΚουτελιέρηςΕπίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων


ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα

1.1. ΟρισµοίΟρισµοί2.2. ΕίδηΕίδη διανυσµάτωνδιανυσµάτων3.3. ΠράξειςΠράξεις διανυσµάτωνδιανυσµάτων4.4. ΕσωτερικόΕσωτερικό, , εξωτερικόεξωτερικό καικαι µικτόµικτό

γινόµενογινόµενο



∆ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος

που περιγράφεται από µια τριάδατριάδα στοιχείων: το

µέτροµέτρο, τη διεύθυνσηδιεύθυνση και τη φοράφορά του.

a



∆ιάνυσµα∆ιάνυσµα είναιείναι έναένα προσανατολισµένοπροσανατολισµένο

ευθύγραµµοευθύγραµµο τµήµατµήµα..



ΦορέαςΦορέας του διανύσµατος ονοµάζεται η µοναδική

ευθεία η οποία διέρχεται από τα άκρα του

διανύσµατος.



ΜέτροΜέτρο του διανύσµατος ονοµάζεται ο µη

αρνητικός πραγµατικός αριθµός ο οποίος

εκφράζει το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος

το οποίο έχει αρχή την αρχή του διανύσµατος και

τέλος, το τέλος του.

a



∆ιεύθυνση∆ιεύθυνση του διανύσµατος ονοµάζεται το

σύνολο όλων των ευθειών που είναι παράλληλες

µε το φορέα του διανύσµατος.



ΦοράΦορά του διανύσµατος ονοµάζεται η φορά της

ηµιευθείας που ορίζεται από την αρχή του

διανύσµατος πάνω στο φορέα του.

Αν δυο ηµιευθείες έχουν ίδια φορά ονοµάζονται

οµόρροπεςοµόρροπες,ενώ αν έχουν αντίθετη αντίρροπεςαντίρροπες.

ΑυθαίρεταΑυθαίρετα χαρακτηρίζεται θετικήθετική η µια από τις δυο

φορές, οπότε η άλλη χαρακτηρίζεται αρνητικήαρνητική.



ΜηδενικόΜηδενικό ονοµάζεται το διάνυσµα του οποίου η

αρχή και το τέλος συµπίπτουν.

0



ΜοναδιαίοΜοναδιαίο ονοµάζεται το διάνυσµα το οποίο

έχει µοναδιαίο µέτρο.

e



∆υο διανύσµατα ονοµάζονται συγγραµµικάσυγγραµµικά ή

παράλληλαπαράλληλα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση.



∆υο διανύσµατα ονοµάζονται διαδοχικάδιαδοχικά όταν η

αρχή του ενός συµπίπτει µε το τέλος του άλλου.



∆υο διανύσµατα είναι ίσαίσα όταν έχουν όλα τα

στοιχεία τους ίσα, δηλ. αν έχουν ίσαίσα µέτραµέτρα και

είναι συγγραµµικάσυγγραµµικά και οµόρροπαοµόρροπα.



ΠρόσθεσηΠρόσθεση

Αν a,b είναι δυο διανύσµατα, τότε το άθροισµα

τους είναι το διάνυσµα a+b το οποίο έχει για

αρχή του την αρχή του a και για τέλος του το

τέλος του b ότανόταν τατα aa,,bb είναιείναι διαδοχικάδιαδοχικά.



ΙδιότητεςΙδιότητες

a b b a+ = +1. Μεταθετική

2. Προσεταιριστική

3. Ουδέτερο στοιχείο

4. Αντίθετο στοιχείο

5. Ισοδυναµία

( ) ( )a b c a b c+ + = + +

0 0a a a+ = + =

( ) ( ) 0a a a a+ − = − + =

a b a c b c+ = + ⇔ =



ΠαρατηρήσειςΠαρατηρήσεις

0 0− =1.

2.

3.

4.

( )a a− − =

( ) ( ) ( )a b a b− + = − + −

a a− =



ΒαθµωτόςΒαθµωτός πολλαπλασιασµόςπολλαπλασιασµός

Αν a είναι ένα διάνυσµα και λ ένας

πραγµατικός αριθµός, τότε το αποτέλεσµα του

εξωτερικού πολλαπλασιασµού λa είναι ένα

διάνυσµα συγγραµµικό µε το διάνυσµα a και

µε µέτρο . Αν λ>0 τότε το λa είναι

οµόρροπο του a, ενώ αν λ<0 είναι αντίρροπο.

a aλ λ=




( )a a aλ µ λ µ+ = +

( )a b a bλ λ λ+ = +

( ) ( )a aλ µ λµ=

1a a=




0 0a =

0 0λ =

, 0a b a bλ λ λ= ⇔ = ≠

, 0a a aλ µ λ µ= ⇔ = ≠


ΚΚ3: 3: ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα

ΠροβολήΠροβολή ενός διανύσµατος σε ένα άλλο

διάνυσµα είναι ένα διάνυσµα , το οποίο είναι

συγγραµµικό µε το και επιπλέον ,

όπου είναι η γωνία που σχηµατίζουν οι φορείς

των διανυσµάτων και .

a

b c

b cosc a ϑ=

ϑa b



ΣυστήµαταΣυστήµατα αναφοράςαναφοράς

Οι διευθύνσεις (φορείς) των µοναδιαίων

καθέτωνκαθέτων διανυσµάτων ορίζουν ένα ορθογώνιοορθογώνιο

σύστηµασύστηµα αναφοράςαναφοράς στο χώρο που ανήκουν τα

διανύσµατα.



ΑντίστροφαΑντίστροφα

∆οθέντος ενός συστήµατος αναφοράς, κάθε

διάνυσµα αναλύεταιαναλύεται µεµε µοναδικόµοναδικό τρόποτρόπο σε

διανύσµατα συγγραµµικά των µοναδιαίων

διανυσµάτων του συστήµατος.

2 52 102x y za e e e= + +



Το µέτρο της κάθε

µιας τέτοιας

προβολής

ονοµάζεται

συντεταγµένησυντεταγµένη του

διανύσµατος. x

y

O

AC

B

φ

cosOB OA ϕ=

sinOC OA ϕ=



1 2 , , , ne e e�

Αν είναι τα µοναδιαία διανύσµατα του

συστήµατος αναφοράς, τότε είναι

µε όπου είναι η γωνία του

διανύσµατος µε το µοναδιαίο .

1 2 , , , ne e e�

1 1 2 2 n na a e a e a e= + + +�

cosi i ia a e ϑ=

iϑ

a ie



1 2 , , , ne e e�

Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσµα

συµβολίζεται και ως

( )1 2, , , na a a a= �



ΞανάΞανά οιοι πράξειςπράξεις

( )1 2, , , na a a a= � ( )1 2, , , nb b b b= � λ∈�

( )1 1 2 2, , , n na b a b a b a b± = ± ± ±�

( )1 2, , , na a a aλ λ λ λ= �



ΕσωτερικόΕσωτερικό γινόµενογινόµενο

Αν είναι δυο διανύσµατα, τότε το

εσωτερικό τους γινόµενο είναι ο αριθµόςαριθµός

ο οποίος ισούται µε όπου είναι

η γωνία του διανύσµατος µε το διάνυσµα .

,a b

cosa b a b ϑ⋅ =

a b

a b⋅

ϑ



ΕσωτερικόΕσωτερικό γινόµενογινόµενο

( )1 2, , , na a a a= � ( )1 2, , , nb b b b= �

1 1 2 2 n na b ab a b a b⋅ = + + +�



ΓεωµετρικήΓεωµετρική ερµηνείαερµηνεία

Το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι

το µέτρο της προβολής του ενός διανύσµατος

στο άλλο.




a b b a⋅ = ⋅

( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅

( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅

0 0 η 0 η a b a b a b⋅ = ⇒ = = ⊥i i



ΣυνθήκηΣυνθήκη καθετότηταςκαθετότητας

0 a ≠

0b ≠

0a b⋅ =

a b⊥



ΕξωτερικόΕξωτερικό γινόµενογινόµενο

Αν είναι δυο διανύσµατα, τότε το

εξωτερικό τους γινόµενο είναι το διάνυσµαδιάνυσµα

το οποίος έχει µέτρο , διεύθυνση

κάθετη στο επίπεδο των και φορά εκείνην

που θα προχωρούσε δεξιόστροφος κοχλίας από

το προς το .

,a b

sina b ϑ

a b

a b×

,a b



ΕξωτερικόΕξωτερικό γινόµενογινόµενο

( )1 2 3, ,a a a a= ( )1 2 3, ,b b b b=

( ) 1 2 3

1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

, ,

e e e

a b a a a a b a b a b ab ab a b

b b b

× = = − − −




Το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου δυο

διανυσµάτων είναι το εµβαδόν του

παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα δυο

διανύσµατα όταν αυτά γίνουν διαδοχικά.




a b b a× = − ×

( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ× = × = ×

( )a b c a b a c× + = × + ×

( ) ( )a b c a b c× × = × ×

0a a× =



ΣυνθήκηΣυνθήκη συγγραµικότηταςσυγγραµικότητας ((παραλληλίαςπαραλληλίας))

0 a ≠

0b ≠

0a b× =

a b�



ΜικτόΜικτό γινόµενογινόµενο

Αν είναι τρία διανύσµατα, τότε το

εξωτερικό τους γινόµενο είναι ο αριθµόςαριθµός

, ,a b c

a b c× ⋅



ΠαρατήρησηΠαρατήρηση

a b c× ⋅

( )a b c= × ⋅

( )a b c= × ⋅



ΜικτόΜικτό γινόµενογινόµενο

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

a b c b b b

c c c

× ⋅ =

( )1 2 3, ,a a a a= ( )1 2 3, ,b b b b= ( )1 2 3, ,c c c c=




Το µικτό γινόµενο τριών διανυσµάτων είναι ο

όγκος του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από

τα τρία αυτά διανύσµατα.

a

bc

a b c× ⋅




a b c b c a c a b× ⋅ = × ⋅ = × ⋅

a b c a c b× ⋅ = − × ⋅



ΣυνθήκηΣυνθήκη οµοεπίπεδωνοµοεπίπεδων διανυσµάτωνδιανυσµάτων

0 a ≠

0b ≠

0a b c× ⋅ =

0c ≠, ,a b c οµοεπίπεδα


ΚΚ3: 3: ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα

ΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ιusers.uwg.gr/~fkoutel/maths/files/M1-03.pdfΑΣΚΗΣΕΙΣ Title Microsoft...

Documents

Transcript of ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ιusers.uwg.gr/~fkoutel/maths/files/M1-03.pdfΑΣΚΗΣΕΙΣ Title Microsoft...