Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 1/44
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ
ΦρΦρ. . ΚουτελιέρηςΚουτελιέρηςΕπίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 2/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
1.1. ΟρισµοίΟρισµοί2.2. ΕίδηΕίδη διανυσµάτωνδιανυσµάτων3.3. ΠράξειςΠράξεις διανυσµάτωνδιανυσµάτων4.4. ΕσωτερικόΕσωτερικό, , εξωτερικόεξωτερικό καικαι µικτόµικτό
γινόµενογινόµενο
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 3/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
∆ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος
που περιγράφεται από µια τριάδατριάδα στοιχείων: το
µέτροµέτρο, τη διεύθυνσηδιεύθυνση και τη φοράφορά του.
a
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 4/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
∆ιάνυσµα∆ιάνυσµα είναιείναι έναένα προσανατολισµένοπροσανατολισµένο
ευθύγραµµοευθύγραµµο τµήµατµήµα..
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 5/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΦορέαςΦορέας του διανύσµατος ονοµάζεται η µοναδική
ευθεία η οποία διέρχεται από τα άκρα του
διανύσµατος.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 6/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΜέτροΜέτρο του διανύσµατος ονοµάζεται ο µη
αρνητικός πραγµατικός αριθµός ο οποίος
εκφράζει το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος
το οποίο έχει αρχή την αρχή του διανύσµατος και
τέλος, το τέλος του.
a
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 7/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
∆ιεύθυνση∆ιεύθυνση του διανύσµατος ονοµάζεται το
σύνολο όλων των ευθειών που είναι παράλληλες
µε το φορέα του διανύσµατος.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 8/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΦοράΦορά του διανύσµατος ονοµάζεται η φορά της
ηµιευθείας που ορίζεται από την αρχή του
διανύσµατος πάνω στο φορέα του.
Αν δυο ηµιευθείες έχουν ίδια φορά ονοµάζονται
οµόρροπεςοµόρροπες,ενώ αν έχουν αντίθετη αντίρροπεςαντίρροπες.
ΑυθαίρεταΑυθαίρετα χαρακτηρίζεται θετικήθετική η µια από τις δυο
φορές, οπότε η άλλη χαρακτηρίζεται αρνητικήαρνητική.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 9/44
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 10/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΜηδενικόΜηδενικό ονοµάζεται το διάνυσµα του οποίου η
αρχή και το τέλος συµπίπτουν.
0
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 11/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΜοναδιαίοΜοναδιαίο ονοµάζεται το διάνυσµα το οποίο
έχει µοναδιαίο µέτρο.
e
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 12/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
∆υο διανύσµατα ονοµάζονται συγγραµµικάσυγγραµµικά ή
παράλληλαπαράλληλα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 13/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
∆υο διανύσµατα ονοµάζονται διαδοχικάδιαδοχικά όταν η
αρχή του ενός συµπίπτει µε το τέλος του άλλου.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 14/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
∆υο διανύσµατα είναι ίσαίσα όταν έχουν όλα τα
στοιχεία τους ίσα, δηλ. αν έχουν ίσαίσα µέτραµέτρα και
είναι συγγραµµικάσυγγραµµικά και οµόρροπαοµόρροπα.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 15/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΠρόσθεσηΠρόσθεση
Αν a,b είναι δυο διανύσµατα, τότε το άθροισµα
τους είναι το διάνυσµα a+b το οποίο έχει για
αρχή του την αρχή του a και για τέλος του το
τέλος του b ότανόταν τατα aa,,bb είναιείναι διαδοχικάδιαδοχικά.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 16/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΙδιότητεςΙδιότητες
a b b a+ = +1. Μεταθετική
2. Προσεταιριστική
3. Ουδέτερο στοιχείο
4. Αντίθετο στοιχείο
5. Ισοδυναµία
( ) ( )a b c a b c+ + = + +
0 0a a a+ = + =
( ) ( ) 0a a a a+ − = − + =
a b a c b c+ = + ⇔ =
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 17/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΠαρατηρήσειςΠαρατηρήσεις
0 0− =1.
2.
3.
4.
( )a a− − =
( ) ( ) ( )a b a b− + = − + −
a a− =
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 18/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΒαθµωτόςΒαθµωτός πολλαπλασιασµόςπολλαπλασιασµός
Αν a είναι ένα διάνυσµα και λ ένας
πραγµατικός αριθµός, τότε το αποτέλεσµα του
εξωτερικού πολλαπλασιασµού λa είναι ένα
διάνυσµα συγγραµµικό µε το διάνυσµα a και
µε µέτρο . Αν λ>0 τότε το λa είναι
οµόρροπο του a, ενώ αν λ<0 είναι αντίρροπο.
a aλ λ=
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 19/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΙδιότητεςΙδιότητες
( )a a aλ µ λ µ+ = +
( )a b a bλ λ λ+ = +
( ) ( )a aλ µ λµ=
1a a=
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 20/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΙδιότητεςΙδιότητες
0 0a =
0 0λ =
, 0a b a bλ λ λ= ⇔ = ≠
, 0a a aλ µ λ µ= ⇔ = ≠
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 21/44
ΚΚ3: 3: ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΠροβολήΠροβολή ενός διανύσµατος σε ένα άλλο
διάνυσµα είναι ένα διάνυσµα , το οποίο είναι
συγγραµµικό µε το και επιπλέον ,
όπου είναι η γωνία που σχηµατίζουν οι φορείς
των διανυσµάτων και .
a
b c
b cosc a ϑ=
ϑa b
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 22/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΣυστήµαταΣυστήµατα αναφοράςαναφοράς
Οι διευθύνσεις (φορείς) των µοναδιαίων
καθέτωνκαθέτων διανυσµάτων ορίζουν ένα ορθογώνιοορθογώνιο
σύστηµασύστηµα αναφοράςαναφοράς στο χώρο που ανήκουν τα
διανύσµατα.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 23/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΑντίστροφαΑντίστροφα
∆οθέντος ενός συστήµατος αναφοράς, κάθε
διάνυσµα αναλύεταιαναλύεται µεµε µοναδικόµοναδικό τρόποτρόπο σε
διανύσµατα συγγραµµικά των µοναδιαίων
διανυσµάτων του συστήµατος.
2 52 102x y za e e e= + +
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 24/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
Το µέτρο της κάθε
µιας τέτοιας
προβολής
ονοµάζεται
συντεταγµένησυντεταγµένη του
διανύσµατος. x
y
O
AC
B
φ
cosOB OA ϕ=
sinOC OA ϕ=
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 25/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
1 2 , , , ne e e�
Αν είναι τα µοναδιαία διανύσµατα του
συστήµατος αναφοράς, τότε είναι
µε όπου είναι η γωνία του
διανύσµατος µε το µοναδιαίο .
1 2 , , , ne e e�
1 1 2 2 n na a e a e a e= + + +�
cosi i ia a e ϑ=
iϑ
a ie
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 26/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
1 2 , , , ne e e�
Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσµα
συµβολίζεται και ως
( )1 2, , , na a a a= �
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 27/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΞανάΞανά οιοι πράξειςπράξεις
( )1 2, , , na a a a= � ( )1 2, , , nb b b b= � λ∈�
( )1 1 2 2, , , n na b a b a b a b± = ± ± ±�
( )1 2, , , na a a aλ λ λ λ= �
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 28/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΕσωτερικόΕσωτερικό γινόµενογινόµενο
Αν είναι δυο διανύσµατα, τότε το
εσωτερικό τους γινόµενο είναι ο αριθµόςαριθµός
ο οποίος ισούται µε όπου είναι
η γωνία του διανύσµατος µε το διάνυσµα .
,a b
cosa b a b ϑ⋅ =
a b
a b⋅
ϑ
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 29/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΕσωτερικόΕσωτερικό γινόµενογινόµενο
( )1 2, , , na a a a= � ( )1 2, , , nb b b b= �
1 1 2 2 n na b ab a b a b⋅ = + + +�
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 30/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΓεωµετρικήΓεωµετρική ερµηνείαερµηνεία
Το εσωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι
το µέτρο της προβολής του ενός διανύσµατος
στο άλλο.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 31/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΙδιότητεςΙδιότητες
a b b a⋅ = ⋅
( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅
( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅
0 0 η 0 η a b a b a b⋅ = ⇒ = = ⊥i i
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 32/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΣυνθήκηΣυνθήκη καθετότηταςκαθετότητας
0 a ≠
0b ≠
0a b⋅ =
a b⊥
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 33/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΕξωτερικόΕξωτερικό γινόµενογινόµενο
Αν είναι δυο διανύσµατα, τότε το
εξωτερικό τους γινόµενο είναι το διάνυσµαδιάνυσµα
το οποίος έχει µέτρο , διεύθυνση
κάθετη στο επίπεδο των και φορά εκείνην
που θα προχωρούσε δεξιόστροφος κοχλίας από
το προς το .
,a b
sina b ϑ
a b
a b×
,a b
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 34/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΕξωτερικόΕξωτερικό γινόµενογινόµενο
( )1 2 3, ,a a a a= ( )1 2 3, ,b b b b=
( ) 1 2 3
1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2 3
, ,
e e e
a b a a a a b a b a b ab ab a b
b b b
× = = − − −
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 35/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΓεωµετρικήΓεωµετρική ερµηνείαερµηνεία
Το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου δυο
διανυσµάτων είναι το εµβαδόν του
παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα δυο
διανύσµατα όταν αυτά γίνουν διαδοχικά.
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 36/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΙδιότητεςΙδιότητες
a b b a× = − ×
( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ× = × = ×
( )a b c a b a c× + = × + ×
( ) ( )a b c a b c× × = × ×
0a a× =
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 37/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΣυνθήκηΣυνθήκη συγγραµικότηταςσυγγραµικότητας ((παραλληλίαςπαραλληλίας))
0 a ≠
0b ≠
0a b× =
a b�
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 38/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΜικτόΜικτό γινόµενογινόµενο
Αν είναι τρία διανύσµατα, τότε το
εξωτερικό τους γινόµενο είναι ο αριθµόςαριθµός
, ,a b c
a b c× ⋅
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 39/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΠαρατήρησηΠαρατήρηση
a b c× ⋅
( )a b c= × ⋅
( )a b c= × ⋅
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 40/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΜικτόΜικτό γινόµενογινόµενο
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
a b c b b b
c c c
× ⋅ =
( )1 2 3, ,a a a a= ( )1 2 3, ,b b b b= ( )1 2 3, ,c c c c=
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 41/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΓεωµετρικήΓεωµετρική ερµηνείαερµηνεία
Το µικτό γινόµενο τριών διανυσµάτων είναι ο
όγκος του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από
τα τρία αυτά διανύσµατα.
a
bc
a b c× ⋅
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 42/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΙδιότητεςΙδιότητες
a b c b c a c a b× ⋅ = × ⋅ = × ⋅
a b c a c b× ⋅ = − × ⋅
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 43/44
ΚΚ33: : ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΣυνθήκηΣυνθήκη οµοεπίπεδωνοµοεπίπεδων διανυσµάτωνδιανυσµάτων
0 a ≠
0b ≠
0a b c× ⋅ =
0c ≠, ,a b c οµοεπίπεδα
Ακαδ. Έτος 2008-9Μαθηµατικά Ι 44/44
ΚΚ3: 3: ∆ιανύσµατα∆ιανύσµατα
ΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΕΙΣ
Top Related