ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος

Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2ο μέρος)

Παπάνα Αγγελική

Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘE-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

1

2

Περιεχόμενο ενότητας

1. Ανάλυση της διακύμανσης στο υπόδειγμα πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης

2. Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού 𝐑𝟐

3. Η σχέση μεταξύ της στατιστικής 𝐅 και του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού 𝐑𝟐

4. Μερικοί συντελεστές συσχέτισης

5. Κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων της παλινδρόμησης

6. Έλεγχος γραμμικών σχέσεων μεταξύ των συντελεστών της παλινδρόμησης

3

1. Ανάλυση της διακύμανσης στο υπόδειγμα πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης

Η συνολική μεταβλητότητα της εξαρτημένης μεταβλητής δίνεται από:

𝒕=𝟏

𝑻

(𝐘𝒕 − 𝐘)𝟐 =

𝒕=𝟏

𝑻

( 𝐘𝒕 − 𝐘)𝟐 +

𝒕=𝟏

𝑻

(𝐘𝒕 − 𝐘𝒕)𝟐

𝑺𝑺𝑻 = 𝑺𝑺𝑹 + 𝑺𝑺𝑬

𝑺𝑺𝑻: συνολική μεταβλητότητα ή συνολικό άθροισμα τετραγώνων

𝑺𝑺𝐑: μεταβλητότητα που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ή άθροισμα

τετραγώνων της παλινδρόμησης

𝑺𝑺𝜠: μεταβλητότητα που δεν ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ή

άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων

4

Η ανάλυση των ποσοτήτων 𝑺𝑺𝑹 και 𝑺𝑺𝑬 που προκαλούν την συνολική μεταβλητότητα της 𝚼, είναι γνωστή ως ανάλυση της διακύμανσης στο πολλαπλό υπόδειγμα της παλινδρόμησης ή ANOVA (analysis of variance).

Οι βαθμοί ελευθερίας για τα αθροίσματα είναι αντίστοιχα:

• 𝑻 − 𝟏: για το 𝑺𝑺𝑻 = 𝒕=𝟏𝑻 (𝐘𝒕 − 𝐘)𝟐 ένας βαθμός ελευθερίας χάνεται

για τον υπολογισμό του μέσου όρου 𝐘

• 𝑻 − (𝒌 + 𝟏): για το 𝑺𝑺𝑹 = 𝒕=𝟏𝑻 ( 𝐘𝒕 − 𝐘)𝟐, διότι το υπόδειγμα έχει

(𝒌 + 𝟏) άγνωστες παραμέτρους ( 𝛃𝟎, 𝛃𝟏, … 𝛃𝒌)

• 𝒌: για το 𝑺𝑺𝚬 = 𝒕=𝟏𝑻 (𝐘𝒕 − 𝐘𝒕)

𝟐, διότι το υπόδειγμα έχει 𝒌 ανεξάρτητες μεταβλητές

5

Ανάλυση της διακύμανσης του πολλαπλού υποδείγματος παλινδρόμησης (ANOVA).

Μέσα αθροίσματα τετραγώνων (mean sum of squares):

𝜧𝑺𝑺𝑹: 𝑺𝑺𝑹

𝒌, 𝜧𝑺𝑺𝑬:

𝑺𝑺𝑬

𝑻−(𝒌+𝟏)

Πηγή διακύμανσης

Άθροισμα τετραγώνων

Βαθμοί ελευθερίας

Μέσα αθροίσματα τετραγώνων

𝑭

Παλινδρόμηση𝐒𝐒𝐑 = ( 𝐘𝒕 − 𝚼)𝟐

𝒌 𝑺𝑺𝑹

𝒌 𝐅 =

𝑺𝑺𝑹𝒌𝑺𝑺𝑬

𝐓 − (𝒌 + 𝟏)

=𝜧𝑺𝑺𝑹

𝑴𝐒𝐒𝐄

Κατάλοιπα𝑺𝑺𝑬 = (𝐘𝒕 − 𝚼)𝟐

𝚻 − (𝒌 + 𝟏) 𝑺𝑺𝑬

𝐓 − (𝒌 + 𝟏)

Σύνολο𝑺𝑺𝑻 = (𝐘𝒕 − 𝚼)𝟐

𝚻 − 𝟏

6

Με την στατιστική 𝐅 ελέγχουμε την στατιστική σημαντικότητα όλων των συντελεστών του πολλαπλού υποδείγματος παλινδρόμησης με τη μηδενική υπόθεση να διαμορφώνεται ως Η0: 𝛃𝟏 = ⋯ = 𝛃𝒌 = 𝟎.

Επίσης με την στατιστική 𝐅 ελέγχουμε την στατιστική σημαντικότητα του πολλαπλού συντελεστή προσδιορισμού, δηλαδή εξετάζουμε την μηδενική υπόθεση Η0: 𝑹𝟐 = 𝟎:

O συντελεστής προσδιορισμού είναι στατιστικά σημαντικός σε επίπεδο σημαντικότητας 𝜶 (συνήθως 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓), αν 𝐅 > 𝐅𝒌,𝑻− 𝒌+𝟏 ,𝒂.

• Αν 𝐅 μικρό, τότε μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών και της εξαρτημένης μεταβλητής υπάρχει ασθενής συσχέτιση.

• Αν 𝐅 μεγάλο, τότε μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών και της εξαρτημένης μεταβλητής υπάρχει ισχυρή συσχέτιση.

7

2. Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού 𝐑𝟐

O συντελεστής προσδιορισμού είναι ένα μέτρο της ικανότητας προσαρμογής του υποδείγματος και ορίζεται ως αναλογία της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής 𝚼 που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση προς την συνολική της μεταβλητότητα:

𝐑𝟐 = 𝒕=𝟏𝚻 ( 𝐘𝒕 − 𝐘)𝟐

𝒕=𝟏𝚻 (𝐘𝒕 − 𝐘)𝟐

=𝑺𝑺𝑹

𝑺𝑺𝑻= 𝟏 −

𝑺𝑺𝑬

𝑺𝑺𝑻=

= 𝟏 − 𝒕=𝟏𝚻 𝒆𝒕

𝟐

𝒕=𝟏𝑻 𝐘𝒕 − 𝐘 𝟐

= 𝟏 −

𝒕=𝟏𝚻 𝒆𝒕

𝟐

𝐓 𝒕=𝟏𝑻 𝐘𝒕 − 𝐘 𝟐

𝐓

= 𝟏 −𝑽𝒂𝒓(𝐞𝒕)

𝑽𝒂𝒓(𝐘𝒕)

όπου 𝑽𝒂𝒓(𝐞𝒕), 𝑽𝒂𝒓(𝚼𝒕) είναι οι διακυμάνσεις των καταλοίπων και τηςμεταβλητής 𝚼.

8

To 𝐑𝟐 επηρεάζεται από το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν το δείγμα είναι μικρό και το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών μεγάλο, τότε η εκτίμηση του 𝐑𝟐δεν είναι καλή.

Διορθωμένος (προσαρμοσμένος) συντελεστής προσδιορισμού

Αν αντικαταστήσουμε τις διακυμάνσεις με τις αντίστοιχες αμερόληπτες εκτιμήσεις τους, τότε:

𝐑𝟐 = 𝟏 −𝑽𝒂𝒓 𝐞𝒕𝑽𝒂𝒓 𝐘𝒕

= 𝟏 −

𝒕=𝟏𝚻 𝒆𝒕

𝟐

𝐓 − 𝒌 + 𝟏

𝒕=𝟏𝑻 𝐘𝒕 − 𝐘 𝟐

𝐓 − 𝟏

= 𝟏 −𝑻 − 𝟏

𝐓 − 𝒌 + 𝟏

𝒕=𝟏𝚻 𝒆𝒕

𝟐

𝒕=𝟏𝑻 𝐘𝒕 − 𝐘 𝟐

= 𝟏 −𝑻 − 𝟏

𝐓 − 𝒌 + 𝟏(𝟏 − 𝐑𝟐)

9

To 𝐑𝟐 είναι κατάλληλο μέτρο για την σύγκριση υποδειγμάτων με διαφορετικό αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών και διαφορετικό πλήθος δειγμάτων.

Παρατηρήσεις

• Οι συντελεστές 𝐑𝟐 και 𝐑𝟐 μετρούν την καλή προσαρμογή της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος.

• Ο διορθωμένος συντελεστής 𝐑𝟐 παίρνει τιμές μικρότερες από το 𝐑𝟐: 𝐑𝟐 < 𝐑𝟐.

• Είναι 𝟎 ≤ 𝐑𝟐 ≤ 𝟏, ενώ το 𝐑𝟐 παίρνει και αρνητικές τιμές.

10

3. Η σχέση μεταξύ της στατιστικής 𝐅 και του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού 𝐑𝟐

Είναι:

𝐅 =

𝐑𝟐

𝒌𝟏 − 𝐑𝟐

𝐓 − (𝒌 + 𝟏)

→ 𝐅𝒌,𝑻− 𝒌+𝟏 ,𝒂

• Αν 𝐑𝟐 → 𝟎 τότε 𝐅 → 𝟎.

• Αν 𝐑𝟐 → 𝟏 τότε 𝐅 → ∞.

11

4. Μερικοί συντελεστές συσχέτισης

Ο συντελεστής συσχέτισης 𝒓 μεταξύ δύο μεταβλητών 𝚾 και 𝚼 δείχνει τον βαθμό της ταυτόχρονης μεταβολής των δυο μεταβλητών του απλού γραμμικού υποδείγματος του πληθυσμού και παίρνει τιμές από −𝟏 έως +𝟏.

Ορίζεται ως:

𝒓 =𝒄𝒐𝒗(𝑿, 𝒀)

𝝈𝑿𝝈𝒀

𝒄𝒐𝒗(𝑿, 𝒀): η συνδιακύμανση των 𝚾 και 𝚼

𝝈𝑿, 𝝈𝒀: τυπικές αποκλίσεις των 𝚾 και 𝚼

Αν σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης ορίσουμε ως 𝒓𝒊𝒋τον απλό συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών του ανά δύο, τότεόλοι οι απλοί συντελεστές συσχέτισης δίνονται από την μήτρασυσχετίσεων:

12

𝐑 =

𝒓𝒀𝒀 𝒓𝒀𝑿𝟏 … 𝒓𝒀𝑿𝒌𝒓𝑿𝟏𝒀…

𝒓𝑿𝟏𝑿𝟏…

……

𝒓𝑿𝟏𝑿𝒌…

𝒓𝑿𝒌𝒀𝒓𝑿𝒌𝑿𝟏 … 𝒓𝑿𝒌𝑿𝒌

Η μήτρα συσχετίσεων είναι συμμετρική ως προς την κύρια διαγώνιο της και όλα τα στοιχεία της διαγώνιου είναι ίσα με μονάδα.

Ο απλός συντελεστής συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών δεν λαμβάνει υπόψιν τις πιθανές σχέσεις των μεταβλητών αυτών ως προς μια άλλη Τρίτη μεταβλητή. Δηλαδή, δεν μετράει την αληθινή συσχέτιση μεταξύ των δυο μεταβλητών του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος, όταν υπάρχει και κάποια άλλη μεταβλητή που συσχετίζεται με αυτές τις δυο μεταβλητές.

Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε τους μερικούς συντελεστές συσχέτισης (partial correlation coefficient).

13

Στα πολλαπλά γραμμικά υποδείγματα μπορούμε να προσδιορίσουμε την καθαρή μεταβλητότητα της εξαρτημένης μεταβλητής που οφείλεται σε κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή ξεχωριστά, χωρίς την επίδραση των υπόλοιπων ανεξάρτητων μεταβλητών.

Η μέτρηση της καθαρής μεταβλητότητας της ανεξάρτητης μεταβλητής, π.χ. 𝑿𝟏, επί της εξαρτημένης μεταβλητής 𝚼 γίνεται με τον μερικό συντελεστή συσχέτισης.

Σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα με τρεις μεταβλητές (μια εξαρτημένη μεταβλητή 𝚼 και δύο ανεξάρτητες 𝑿𝟏, 𝑿𝟐), οι μερικοί συντελεστές συσχέτισης δίνονται από τους παρακάτω τύπους:

14

𝒓𝒀𝑿𝟏,𝑿𝟐 =𝒓𝒀𝑿𝟏−𝒓𝒀𝑿𝟐𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐

𝟏−𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐𝟐 𝟏−𝒓𝒀𝑿𝟐

𝟐μερικός συντελεστής προσδιορισμού μεταξύ

𝚼 και 𝑿𝟏, όταν η 𝑿𝟐 παραμένει σταθερή

𝒓𝒀𝑿𝟐,𝑿𝟏 =𝒓𝒀𝑿𝟐−𝒓𝒀𝑿𝟏𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐

𝟏−𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐𝟐 𝟏−𝒓𝒀𝑿𝟏

𝟐μερικός συντελεστής προσδιορισμού μεταξύ

𝚼 και 𝑿𝟐, όταν η 𝑿𝟏 παραμένει σταθερή

𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐,𝒀 =𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐−𝒓𝑿𝟏𝒀𝒓𝑿𝟐𝚼

𝟏−𝒓𝑿𝟏𝚼𝟐 𝟏−𝒓𝑿𝟐𝒀

𝟐μερικός συντελεστής προσδιορισμού μεταξύ

𝑿𝟏 και 𝑿𝟐, όταν η 𝚼 παραμένει σταθερή

𝒓𝒀𝑿𝟏 , 𝒓𝒀𝑿𝟐 , 𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐: οι απλοί συντελεστές συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών

15

Οι μερικοί συντελεστές προσδιορισμού παίρνουν τιμές από −𝟏 έως +𝟏.

Όταν ο μερικός συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με μηδέν, τότε λέμε ότι δεν υπάρχει καμία γραμμική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών, όταν οι άλλες μεταβλητές είναι σταθερές.

Συγκεκριμένα, αν ο μερικός συντελεστής συσχέτισης 𝒓𝒀𝑿𝟏,𝑿𝟐 είναι κοντά

στο ένα, τότε λέμε ότι υπάρχει ισχυρή γραμμική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών 𝚼 και 𝑿𝟏, για αυτό και η μεταβλητή 𝑿𝟏 είναι απαραίτητη στο υπόδειγμα.

Αν ο μερικός συντελεστής συσχέτισης 𝒓𝒀𝑿𝟐,𝑿𝟏 είναι κοντά στο ένα (ή στο

− 𝟏), τότε λέμε ότι υπάρχει ισχυρή γραμμική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών 𝚼 και 𝑿𝟐, για αυτό και η μεταβλητή 𝑿𝟐 είναι απαραίτητη στο υπόδειγμα.

16

Έλεγχος μερικών συντελεστών προσδιορισμού

Θέλουμε να ελέγξουμε την σημαντικότητα των μερικών συντελεστών συσχέτισης του πληθυσμού με την στατιστική 𝒕 − 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄.

H0: 𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐,𝒀 = 𝟎

H1: 𝒓𝑿𝟏𝑿𝟐,𝒀 ≠ 𝟎

Απορρίπτουμε την Η0 όταν 𝒕𝑿𝟏𝑿𝟐,𝒀 ≥ 𝒕𝐓− 𝒌+𝟏 ,𝒂

𝟐(πίνακες 𝒕 κατανομής).

17

5. Κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων της παλινδρόμησης

Ο συντελεστής προσδιορισμού 𝐑𝟐 μετράει την αναλογία της συνολικήςμεταβλητότητας στην εξαρτημένη μεταβλητή που ερμηνεύεται από τηνπαλινδρόμηση.

Άρα ένας δείκτης που χρησιμοποιούμε για την σύγκριση υποδειγμάτωνείναι το 𝐑𝟐 ή ο προσαρμοσμένος συντελεστής προσδιορισμού 𝐑𝟐.

Όταν όμως υπάρχουν δύο υποδείγματα των οποίων οι εξαρτημένεςμεταβλητές τους αποτελούν απλός διαφορετικές συναρτησιακές μορφές,π.χ. 𝒀𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝐗𝟐𝒕 + 𝐞𝒕 και

𝒍𝒏𝒀𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝒍𝒏𝐗𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝒍𝒏𝐗𝟐𝒕 + 𝐞𝒕,

τότε δεν μπορούμε να συγκρίνουμε τα υποδείγματα με βάση το 𝐑𝟐 ή το 𝐑𝟐.

18

Κριτήρια σύγκρισης υποδειγμάτων που λαμβάνουν υπόψιν το μέγεθος τουδείγματος και τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών:

• Κριτήριο του Akaike AIC = −𝟐𝑳𝑳

𝐓+

𝟐𝒌

𝐓

• Κριτήριο του Schwarz SC = −𝟐𝑳𝑳

𝐓+

𝒌𝒍𝒏𝐓

𝐓

• Κριτήριο των Hannan και Quinn HQ = −𝟐𝑳𝑳

𝐓+

𝟐𝒌𝒍𝒏(𝒍𝒏𝐓)

𝐓

όπου 𝑳𝑳 = −𝚻

𝟐[𝟏 + 𝒍𝒏 𝟐𝝅 + 𝒍𝒏(

𝒆𝒕𝟐

𝐓)] (log likelihood)

Με βάση τα παραπάνω κριτήρια, επιλέγουμε εκείνο το υπόδειγμα που έχειτην μικρότερη τιμή στα κριτήρια αυτά.

Οι τιμές των κριτηρίων μπορεί να είναι και αρνητικές.

Όλα τα κριτήρια δεν υποδεικνύουν πάντα το ίδιο βέλτιστο υπόδειγμα.

19

6. Έλεγχος γραμμικών σχέσεων μεταξύ των συντελεστών της παλινδρόμησης

Πολλές φορές σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης,οι συντελεστές του πρέπει να ικανοποιούν έναν ή περισσότερουςγραμμικούς περιορισμούς.

Έστω το γραμμικό πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης

𝒀𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝐗𝟐𝒕 + 𝛃𝟑𝐗𝟑𝒕 + 𝐞𝒕και έστω ότι θέλουμε να ισχύει ο περιορισμός 𝛃𝟐 = 𝛃𝟑 ή 𝛃𝟐 − 𝛃𝟑 = 𝟎.

Στην περίπτωση αυτή πρέπει να ελέγξουμε την υπόθεση

Η0: 𝛃𝟐 = 𝛃𝟑 ή 𝛃𝟐 − 𝛃𝟑 = 𝟎

Η1: 𝛃𝟐 ≠ 𝛃𝟑 ή 𝛃𝟐 − 𝛃𝟑 ≠ 𝟎

20

Αν αντικαταστήσουμε τον περιορισμό στο γραμμικό πολλαπλό υπόδειγμαπαλινδρόμησης, τότε θα έχουμε:

𝒀𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝐗𝟐𝒕 + 𝛃𝟑𝐗𝟑𝒕 + 𝐞𝒕 (𝛃𝟐 = 𝛃𝟑)

𝒀𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝐗𝟐𝒕 + 𝛃𝟐𝐗𝟑𝒕 + 𝐞𝒕𝒀𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏𝒕 + 𝛃𝟐(𝐗𝟐𝒕 + 𝐗𝟑𝒕) + 𝐞𝒕𝒀𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝚭𝒕 + 𝐞𝒕Δηλαδή δημιουργούμε ένα νέο υπόδειγμα που είναι συνεπές με τονπεριορισμό που θέλουμε να ισχύει και το ονομάζουμε υπόδειγμα μεπεριορισμό, ενώ το αρχικό μας υπόδειγμα είναι το υπόδειγμα χωρίςπεριορισμό.

Για να ελέγξουμε αν ισχύει ή όχι ο περιορισμός στο υπόδειγμα,ακολουθούμε τα εξής βήματα:

21

• Εκτιμούμε με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων το αρχικό υπόδειγμαχωρίς περιορισμούς και υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων τωνκαταλοίπων 𝑺𝑺𝑬.

• Εκτιμούμε με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων το υπόδειγμα μεπεριορισμούς και υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων τωνκαταλοίπων 𝑺𝑺𝑬′.

• Υπολογίζουμε τη στατιστική 𝐅 =𝑺𝑺𝑬′−𝑺𝑺𝑬

𝝂𝑺𝑺𝑬

𝐓−(𝒌+𝟏)

,

όπου 𝝂 ο αριθμός των περιορισμών που θέλουμε να ελέγξουμε.

• Αν 𝐅 > 𝐅𝝂,𝐓− 𝒌+𝟏 ,𝒂 απορρίπτουμε την Η0, οπότε λέμε ότι δεν ισχύει ο

περιορισμός μας στο υπόδειγμα.

22

Παράδειγμα

• Συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas

𝑸: παραγωγή

𝑳: εργατικό δυναμικό

𝜥: κεφάλαιο

∈: διαταρακτικός όρος

𝑸𝒕 = 𝛃𝟎𝑳𝒕𝛃𝟏𝑲𝒕

𝛃𝟐𝒆∈𝒕

• Λογαριθμούμε την συνάρτηση, και προκύπτει το γραμμικό υπόδειγμαχωρίς περιορισμούς:

𝒍𝒏𝑸𝒕 = 𝒍𝒏𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝒍𝒏𝐋𝒕 + 𝛃𝟐𝒍𝒏𝐊𝒕+∈𝒕

23

• Αν υπάρχουν σταθερές αποδόσεις τότε: 𝛃𝟏 + 𝛃𝟐 = 𝟏 (περιορισμός)

• Γραμμικό υπόδειγμα με περιορισμούς:

𝒍𝒏𝑸𝒕 = 𝒍𝒏𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝒍𝒏𝐋𝒕 + 𝛃𝟐𝒍𝒏𝐊𝒕+∈𝒕 (𝛃𝟐 = 𝟏 − 𝛃𝟏)

𝒍𝒏𝑸𝒕 = 𝒍𝒏𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝒍𝒏𝐋𝒕 + (𝟏 − 𝛃𝟏)𝒍𝒏𝐊𝒕+∈𝒕𝒍𝒏𝑸𝒕 = 𝒍𝒏𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝒍𝒏𝐋𝒕 + 𝒍𝒏𝐊𝒕 − 𝛃𝟏𝒍𝒏𝐊𝒕+∈𝒕𝒍𝒏𝑸𝒕 − 𝒍𝒏𝐊𝒕 = 𝒍𝒏𝛃𝟎 + 𝛃𝟏 𝒍𝒏𝐋𝒕 − 𝒍𝒏𝐊𝒕 +∈𝒕

𝒍𝒏𝐐𝒕

𝐊𝒕= 𝒍𝒏𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝒍𝒏

𝐋𝒕

𝐊𝒕𝐋𝒕+∈𝒕

• Για να ελέγξουμε αν ισχύει ο περιορισμός, υπολογίζουμε το άθροισματων τετραγώνων των καταλοίπων των δύο υποδειγμάτων.

• Αν 𝐅 > 𝐅𝝂,𝐓− 𝒌+𝟏 ,𝒂 απορρίπτουμε την Η0, οπότε λέμε ότι δεν ισχύει ο

περιορισμός μας στο υπόδειγμα (για 𝝂 = 𝟏 περιορισμό).

24

Άσκηση

Δίνονται στοιχεία σχετικά με τη ζήτηση του χρήματος στην Ελληνική οικονομία (Lecture6_exercise.xls) για την περίοδο 1960-2008, όπου συμβολίζουμε με Μ1 την ζήτηση χρήματος, GDP το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν και r% το επιτόκιο.

1. Να εκτιμηθεί η συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος της Ελληνικής οικονομίας.

2. Να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τους συντελεστές 𝛃𝟎, 𝛃𝟏, 𝛃𝟐 της γραμμής παλινδρόμησης του πληθυσμού.

3. Να ελεγχθεί η συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ως προς την ποιότητα των αποτελεσμάτων της.

4. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας 5% αν η ζήτηση του χρήματος επηρεάζεται ταυτόχρονα από το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν και το επιτόκιο.

25

5. Να συγκρίνεται το πολλαπλό υπόδειγμα ζήτησης με το υπόδειγμα ζήτησης με μόνη ερμηνευτική μεταβλητή το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν.

6. Αν στην αρχική συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος χρησιμοποιήσουμε ως εξαρτημένη μεταβλητή την 𝒍𝒏𝐌𝟏, να βρείτε ποια από τις δύο αυτές συναρτήσεις είναι η καλύτερη. Σύμφωνα με την Οικονομική θεωρία, το πρόσημο του επιτοκίου πρέπει να είναι αρνητικό.

7. Να εκτιμηθούν οι απλοί και μερικοί συντελεστές συσχέτισης και να ελέγξετε τη σημαντικότητα τους.

8. Ποια από τις δύο ερμηνευτικές μεταβλητές συμβάλλει περισσότερο στη μεταβλητότητα της ζήτησης του χρήματος.

9. Να βρεθεί η μήτρα συνδιακυμάνσεων και να γίνει έλεγχος της σημαντικότητας συνδιακυμάνσεων.

26

1. H συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος της Ελληνικής οικονομίας είναι

𝚼𝒕 = −𝟗𝟒𝟎. 𝟐𝟕𝟑𝟕 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟐𝟖𝟏𝑮𝑫𝑷𝒕 − 𝟏𝟖𝟓. 𝟎𝟖𝟑𝟗𝒓𝒕

27

2. To 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τους συντελεστές 𝛃𝟎, 𝛃𝟏, 𝛃𝟐 της γραμμής παλινδρόμησης του πληθυσμού είναι αντίστοιχα:

−𝟏𝟔𝟐𝟖, 𝟏𝟔𝟗 < 𝛃𝟎< −𝟐𝟓𝟐, 𝟑𝟕𝟖𝟑

𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟑𝟐𝟖𝟏 < 𝛃𝟏< 𝟎. 𝟎𝟒𝟖𝟎𝟕𝟎

−𝟏𝟖𝟔, 𝟎𝟖𝟑𝟗 < 𝛃𝟐< −𝟏𝟑𝟕, 𝟏𝟓𝟒𝟐

28

3. Να ελεγχθεί η συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ως προς την ποιότητα των αποτελεσμάτων της.

Στατιστικά σημαντικοί οι συντελεστές του υποδείγματος πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης(Prob. < 0.05)

Συντελεστής προσδιορισμού R2=0,897 (κοντά στο 1) άρακαλή προσαρμογή του υποδείγματος στα δεδομέναΤυπικό σφάλμα se=664.0105Μικρό σφάλμα

29

3. (συνέχεια)

Η0: R2=0Στατιστική F=201.2044Μεγάλη τιμή της F άρα το ποσοστό της μεταβλητότητας της ζήτησης Μ1 που εξηγείται από την παλινδρόμηση είναι μεγάλο σε σχέση με το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων Prob. =0.0000 < 0.05 άρα η Η0

απορρίπτεται

30

4. Να ελεγχθεί αν η συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος επηρεάζεται ταυτόχρονα από το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν και το επιτόκιο.

Η0: 𝛃𝟏 = 𝛃𝟐 = 𝟎Στατιστική F=201.2044Prob. =0.0000 < 0.05 άρα η Η0

απορρίπτεται

31

5. Να συγκρίνεται το πολλαπλό υπόδειγμα ζήτησης με το υπόδειγμαζήτησης με μόνη ερμηνευτική μεταβλητή το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν.

32

5. (συνέχεια) Συγκρίνουμε τα υποδείγματα με βάση τον προσαρμοσμένο συντελεστή προσδιορισμού 𝐑𝟐, καθώς δεν έχουν τον ίδιο αριθμό μεταβλητών. Καλύτερο υπόδειγμα είναι αυτό με το μεγαλύτερο 𝐑𝟐.

Συγκρίνουμε τα υποδείγματα με βάση τα κριτήρια Akaike (AIC), Schwarz (SC) και των Hannan και Quinn (HQ). Καλύτερο υπόδειγμα είναι όποιο έχει την μικρότερη τιμή στα κριτήρια αυτά.

Κριτήριο Πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα Απλό γραμμικό υπόδειγμα με ερμηνευτική μεταβλητή την GDP

𝐑𝟐 𝟎. 𝟖𝟗𝟐 𝟎. 𝟕𝟔𝟏

AIC 𝟏𝟓. 𝟖𝟗𝟑𝟕𝟒 𝟏𝟔. 𝟔𝟕𝟒𝟒𝟓

SC 𝟏𝟔. 𝟎𝟎𝟗𝟓𝟕 𝟏𝟔. 𝟕𝟓𝟏𝟔𝟕

HQ 𝟏𝟓. 𝟗𝟑𝟕𝟔𝟗 𝟏𝟔. 𝟕𝟎𝟑𝟕𝟓

Καλύτερο υπόδειγμα

33

6. Στην αρχική συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος, χρησιμοποιήσουμε ως εξαρτημένη μεταβλητή την 𝒍𝒏𝐌𝟏: 𝒍𝒏𝐌𝟏 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝑮𝑫𝑷𝒕 + 𝛃𝟐𝒓𝒕Οπότε εκτιμάμε την γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος:

𝒍𝒏𝐌𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟐𝟒𝟎𝟐𝟎 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟕𝟑𝑮𝑫𝑷𝒕 + 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟗𝟓𝟕𝒓𝒕

34

6. (συνέχεια)

Το υπόδειγμα αυτό δεν συμφωνεί με την Οικονομική Θεωρία γιατί το πρόσημο του επιτοκίου πρέπει να είναι αρνητικό. Άρα το αρχικό πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα είναι πιο κατάλληλο.

Διαφορετικά, αν θέλαμε να συγκρίνουμε με το αρχικό υπόδειγμα με αυτό

δεν θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το 𝐑𝟐 ή το 𝐑𝟐, αλλά μόνο τα κριτήρια AIC, SC, HQ.

35

7. Oι απλοί συντελεστές συσχέτισης και η σημαντικότητα τους:

• 𝒓𝑴𝟏,𝑮𝑫𝑷 = 𝟎, 𝟖𝟕𝟓 Ισχυρή θετική συσχέτιση

𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎 < 𝟎, 𝟎𝟓 Στατιστικά

σημαντικός ο συντελεστής συσχέτισης

• 𝒓𝑴𝟏,𝒓 = −𝟎, 𝟑𝟗𝟗 Ασθενής αρνητική

συσχέτιση

𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟓 < 𝟎, 𝟎𝟓 Στατιστικά

σημαντικός ο συντελεστής συσχέτισης

• 𝒓𝑮𝑫𝑷,𝒓 = −𝟎, 𝟎𝟒𝟑 Μη συσχετισμένες μεταβλητές

𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟕𝟔𝟓𝟑 > 𝟎, 𝟎𝟓 Μη στατιστικά σημαντικός ο συντελεστής συσχέτισης

36

7. (συνέχεια) Oι μερικοί συντελεστές συσχέτισης και η σημαντικότητα τους:

View Covariance Analysis

-

37

7. (συνέχεια) Oι μερικοί συντελεστές συσχέτισης και η σημαντικότητα τους:

• 𝒓𝑴𝟏 𝑮𝑫𝑷,𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟔 Ισχυρή θετική συσχέτιση (𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎)

• 𝒓𝑴𝟏 𝒓,𝑮𝑫𝑷 = −𝟎. 𝟕𝟒𝟖 Μέτρια αρνητική συσχέτιση (𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎)

• 𝒓𝑮𝑫𝑷 𝒓,𝑴𝟏 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟏 Μέτρια συσχετισμένες μεταβλητές (𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎)

38

8. Ποια από τις δύο ερμηνευτικές μεταβλητές συμβάλλει περισσότερο στη μεταβλητότητα της ζήτησης του χρήματος:

Αποφασίζουμε με βάση τους μερικούς συντελεστές συσχέτισης, όπου ελέγχουμε την συσχέτιση της εξαρτημένης μεταβλητής με κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, αφαιρώντας την επίδραση των υπολοίπων ανεξάρτητων μεταβλητών:

• 𝒓𝑴𝟏 𝑮𝑫𝑷,𝒓 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟔 Ισχυρή θετική συσχέτιση (𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎)

• 𝒓𝑴𝟏 𝒓,𝑮𝑫𝑷 = −𝟎. 𝟕𝟒𝟖 Μέτρια αρνητική συσχέτιση (𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎)

Και οι δυο ανεξάρτητες μεταβλητές συσχετίζονται γραμμικά με την εξαρτημένη μεταβλητή αλλά η μεταβλητή GDP συμβάλλει περισσότερο στην μεταβλητότητα της 𝚼 καθώς 𝒓𝑴𝟏 𝑮𝑫𝑷,𝒓 > 𝒓𝑴𝟏 𝒓,𝑮𝑫𝑷.

9. Να βρεθεί η μήτρα συνδιακυμάνσεων και να γίνει έλεγχος σημαντικότητας των συνδιακυμάνσεων.

View Covariance Analysis

39

-

• 𝒄𝒐𝒗 𝑴𝟏, 𝑮𝑫𝑷 = 𝟕𝟎𝟏𝟖𝟓𝟖𝟗𝟔Στατιστικά σημαντική (≠ 𝟎) (𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎)

• 𝒄𝒐𝒗 𝑴𝟏, 𝐫 = −𝟑𝟏𝟑𝟒, 𝟑𝟓𝟏Στατιστικά σημαντική (𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎)

• 𝒄𝒐𝒗 𝐆𝐃𝐏, 𝐫 = −𝟔𝟖𝟏𝟗, 𝟗𝟖𝟖Μη στατιστικά σημαντική (𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎, 𝟕𝟔𝟓𝟑 > 𝟎, 𝟎𝟓)

Βιβλιογραφία

Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε.

Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης -Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε.

Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg.

Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις.

40