ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Ενότητα 10: Οικονομετρικά προβλήματα:

Παραβίαση των υποθέσεων

Β’ μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα

Παπάνα Αγγελική

Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘE-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

1

2

Περιεχόμενο ενότητας

1. Εισαγωγή

2. Συνέπειες της ετεροσκεδαστικότητας

3. Τρόποι διαπίστωσης της ετεροσκεδαστικότητας

4. Εκτίμηση υποδείγματος όταν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα

3

1. Εισαγωγή

Μια από τις βασικές υποθέσεις του κλασικού γραμμικού υποδείγματος είναι πως ο διαταρακτικός όρος 𝛆𝒕 (του πληθυσμού) είναι μια τυχαία μεταβλητή που έχει μέσο το μηδέν 𝚬(𝛆𝒕) = 𝟎 και σταθερή διακύμανση για όλες τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής 𝚼𝒕.

Όταν η διακύμανση του διαταρακτικού όρου είναι σταθερή, τότε το υπόδειγμα χαρακτηρίζεται από ομοσκεδαστικότητα(homoskedasticity):

𝐕𝐚𝐫(𝛆𝒕) = 𝝈𝜺𝟐 =σταθερή, για 𝐭 = 𝟏,… , 𝐓

Σε αντίθετη περίπτωση, όταν η διακύμανση του διαταρακτικού όρου δεν είναι σταθερή, τότε στο υπόδειγμα υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα

4

(heteroskedasticity):

𝐕𝐚𝐫(𝛆𝒕) = 𝝈𝒕𝟐, για 𝐭 = 𝟏,… , 𝐓

όπου όλες οι διακυμάνσεις 𝝈𝒕𝟐 δεν είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε

λέμε ότι υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα στους διαταρακτικούςόρους.

Η ετεροσκεδαστικότητα αναφέρεται στην περίπτωση στην οποία σε διαφορετικές παρατηρήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής 𝚾𝒕, η διακύμανση του διαταρακτικού όρου 𝛆𝒕 δεν είναι σταθερή.

5

Στα παρακάτω σχήματα παρουσιάζετε γραφικά η ύπαρξη ομοσκεδαστικότητας και αντίστοιχα ετεροσκεδαστικότητας σε τυχαία δεδομένα.

6

2. Η φύση της ετεροσκεδαστικότητας

Η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας του διαταρακτικού όρου σημαίνει ότι η διασπορά των τιμών του γύρω από τον μέσο δεν εξαρτάται από τις τιμές της ερμηνευτικής μεταβλητής 𝚾.

Για πολλές όμως οικονομετρικές σχέσεις, η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας δεν ισχύει.

Π.χ. Η μεταβλητότητα στη συμπεριφορά της αποταμιεύσεως είναι μεγαλύτερη στις οικογένειες με μεγάλο εισόδημα παρά στις οικογένειες με μικρό εισόδημα. Η αποταμιευτική ικανότητα είναι πολύ περιορισμένη στις οικογένειες με χαμηλό εισόδημα και επομένως οι διαφορές τους στο επίπεδο αποταμιεύσεων δεν θα είναι σημαντικές. Αντίθετα, οι οικογένειες με μεγάλα εισοδήματα

7

έχουν μεγάλες διαφορές τους στο επίπεδο αποταμιεύσεων, αφού έχουν την δυνατότητα να δαπανούν περισσότερο. Στην περίπτωση αυτή, το διάγραμμα διασποράς του εισοδήματος και της αποταμιεύσεως για ένα υποθετικό δείγμα οικογενειών θα είναι ως εξής:

εισόδημα

απ

οτα

μίε

υσ

η

8

3. Συνέπειες της ετεροσκεδαστικότητας

Έστω το υπόδειγμα 𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕

και ας υποθέσουμε ότι ισχύουν όλες οι βασικές υποθέσεις του κλασικού γραμμικού υποδείγματος, εκτός από την ομοσκεδαστικότητα. Δηλαδή υποθέτουμε ότι:

𝐕𝐚𝐫(𝛆𝒕) = 𝝈𝒕𝟐, για 𝐭 = 𝟏,… , 𝐓.

Οι εκτιμητές των συντελεστών του παραπάνω υποδείγματος, που προκύπτουν από την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, όταν ο διαταρακτικός όρος είναι ετεροσκεδαστικός, εξακολουθούν να είναι γραμμικοί και αμερόληπτοι. Το πρόβλημα που δημιουργείται αναφέρεται κυρίως στις εκτιμήσεις των διακυμάνσεων τους και την αποτελεσματικότητα τους.

9

Δηλαδή οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων δεν έχουν την μικρότερη διακύμανση (συνήθως γίνεται υποεκτίμηση των διακυμάνσεων).

Λόγω της υποεκτίμηση των διακυμάνσεων, εκτιμώνται υψηλότερες τιμές των στατιστικών 𝒕 και 𝑭.

Τα διαστήματα εμπιστοσύνης είναι αναξιόπιστα και οι προβλέψεις του υποδείγματος είναι μη αποτελεσματικές.

Τα συμπεράσματα μας για τις παραμέτρους του πληθυσμού θα είναι αναξιόπιστα.

Οι εκτιμητές όμως εξακολουθούν να είναι αμερόληπτοι και συνεπείς. Αυτό συμβαίνει γιατί καμία από τις ερμηνευτικές μεταβλητές δεν συσχετίζεται με τον όρο του σφάλματος. Έτσι, οι τιμές των εκτιμημένων συντελεστών θα είναι πολύ κοντά στις πραγματικές παραμέτρους.

10

4. Τρόποι διαπίστωσης της ετεροσκεδαστικότητας

Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός ελέγχων για την διαπίστωση του προβλήματος της ετεροσκεδαστικότητας, ανάλογα με τα διαθέσιμα στατιστικά στοιχεία. Αν για κάθε τιμή της ερμηνευτικής μεταβλητής υπάρχουν αρκετές παρατηρήσεις για την εξαρτημένη μεταβλητή, ή αν το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο ώστε να χωριστεί σε ομάδες, ο έλεγχος για ετεροσκεδαστικότητα μπορεί να γίνει με το κλασικό κριτήριο ελέγχου ομοιογένειας (ισότητας) των διακυμάνσεων. Πολλοί έλεγχοι βασίζονται στην ανάλυση των καταλοίπων που προκύπτουν από την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

11

Κάποιοι βασικοί έλεγχοι ετεροσκεδαστικότητας είναι οι παρακάτω:

α. Κριτήριο Barlett

β. Συντελεστής συσχετίσεως Spearman

γ. Ο έλεγχος των Goldfeld-Quandt

δ. Ο έλεγχος των Breusch-Pagan-Godfrey

ε. Ο έλεγχος του White

12

α. Κριτήριο Barlett

Έστω ότι σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης οι παρατηρήσεις (𝚴) μπορούν να χωριστούν σε 𝐆 ομάδες. Ας παραστήσουμε με 𝚴𝟏 τον αριθμό των παρατηρήσεων για την πρώτη ομάδα, 𝚴𝟐 τον αριθμό των παρατηρήσεων για την δεύτερη ομάδα κ.ο.κ.

Ο έλεγχος για την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας μπορεί να γίνει με τη στατιστική:

𝝀 =𝑸

𝟏+𝑴~𝑿𝟐 𝛍𝛆 (𝑮 − 𝟏) βαθμούς ελευθερίας

όπου 𝑸 = 𝚴 𝒍𝒏 𝒈=𝟏𝑮 𝑵𝒈𝑺𝒈

𝟐

𝑵− ( 𝒈=𝟏

𝑮 𝑵𝒈 𝒍𝒏𝑺𝒈𝟐), 𝜧 =

𝟏

𝟑(𝐆−𝟏)(

𝟏

𝑵𝒈−

𝟏

𝑵)

Απορρίπτουμε την Η0: υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, για μεγάλες τιμές

του 𝝀.

13

Παράδειγμα 1 Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι δαπάνες για στέγαση (𝚼) και το εισόδημα (𝚾) για ένα υποθετικό δείγμα 20 οικογενειών. Οι παρατηρήσεις χωρίζονται σε 4 ομάδες που αντιστοιχούν σε 4 επίπεδα οικογενειακού εισοδήματος.

𝚾 𝚴𝐠 𝚼

50 4 18 20 21 21

100 6 30 32 35 35 36 36

150 5 42 42 45 48 48

200 5 48 50 55 60 62

14

Οι μέσοι όροι των παρατηρήσεων της 𝚼για την κάθε μια ομάδα είναι:

𝒙𝟏 = 𝟐𝟎, 𝒙𝟐 = 𝟑𝟒 , 𝒙𝟑 = 𝟒𝟓, 𝒙𝟒 = 𝟓𝟓

Οι διακυμάνσεις των παρατηρήσεων της 𝚼για την κάθε μια ομάδα είναι:

𝑺𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟓, 𝑺𝟐

𝟐 = 𝟓, 𝑺𝟑𝟐 = 𝟕. 𝟐, 𝑺𝟒

𝟐 = 𝟐𝟗. 𝟔

Οπότε είναι:

𝑸 = 𝚴 𝒍𝒏 𝒈=𝟏𝑮 𝑵𝒈𝑺𝒈

𝟐

𝑵−

𝒈=𝟏

𝑮

𝑵𝒈 𝒍𝒏𝑺𝒈𝟐

= 𝟐𝟎𝒍𝒏 𝟒 ∗ 𝟏. 𝟓 + 𝟔 ∗ 𝟓 + 𝟓 ∗ 𝟕. 𝟐 + 𝟓 ∗ 𝟐𝟗. 𝟔− 𝟒 ∗ 𝟎. 𝟒𝟎𝟓 + 𝟔 ∗ 𝟏. 𝟔𝟎 + 𝟓 ∗ 𝟏, 𝟗𝟕 + 𝟓 ∗ 𝟑, 𝟑𝟖 = 𝟗, 𝟖𝟕𝟏

𝚾 𝚴𝐠 𝚼

50 4 18 20 21 21

100 6 30 32 35 35 36 36

150 5 42 42 45 48 48

200 5 48 50 55 60 62

15

𝜧 =𝟏

𝟑(𝐆 − 𝟏)

𝟏

𝑵𝒈−𝟏

𝑵=

=𝟏

𝟑(𝟒 − 𝟏)

𝟏

𝟒+𝟏

𝟔+𝟏

𝟓+𝟏

𝟓−

𝟏

𝟐𝟎= 𝟎, 𝟎𝟖𝟓

Επομένως:

𝝀 =𝑸

𝟏 +𝑴=

𝟗. 𝟖𝟕𝟏

𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟖𝟓= 𝟗. 𝟎𝟗

όπου 𝝀~𝑿𝟐 𝛍𝛆 (𝑮 − 𝟏)=3 βαθμούς ελευθερίας=7.815

Επειδή 𝝀 = 𝟗. 𝟎𝟗 > 𝟕. 𝟖𝟏𝟓, η Η0 απορρίπτεται. Άρα υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα.

𝚾 𝚴𝐠 𝚼

50 4 18 20 21 21

100 6 30 32 35 35 36 36

150 5 42 42 45 48 48

200 5 48 50 55 60 62

16

β. Συντελεστής συσχέτισης Spearman

O συντελεστής συσχέτισης κατά τάξεις του Spearman δίνεται από τον τύπο:

𝒓 𝒖𝒙 = 𝟏 −𝟔 𝒊=𝟏

𝐓 𝒅𝒊𝟐

𝐓(𝐓𝟐 − 𝟏)

όπου το 𝒅𝒊 παριστάνει τις διαφορές των τάξεων των καταλοίπων και των αντίστοιχων τιμών της ερμηνευτικής μεταβλητής. Για τον καθορισμό της τάξης, δεν λαμβάνεται υπόψη το πρόσημο των καταλοίπων.

Η Η0: δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, ισοδυναμεί με την Η0: ο συντελεστής συσχέτισης κατά τάξεις είναι μηδέν.

17

• Για μεγάλα δείγματα (𝐓 ≥ 𝟑𝟎), η Η0 απορρίπτεται αν

𝐙 > 𝒁𝒂/𝟐, όπου 𝐙 = 𝒓 𝒖𝒙 𝚻 − 𝟏

• Για μικρά δείγματα (𝐓 < 𝟑𝟎), η Η0 απορρίπτεται αν

𝐃𝐓 < 𝐃𝒂,𝐓 και 𝒓 𝒖𝒙 > 𝟎 ή

𝐃𝐓 <𝚻(𝐓𝟐−𝟏)

𝟑−𝐃𝒂,𝐓 και 𝒓 𝒖𝒙 < 𝟎

όπου 𝐃𝒂,𝐓 κριτική τιμή που δίνεται από πίνακες και 𝐃𝐓 = 𝒊=𝟏𝐓 𝒅𝒊

𝟐

18

Παράδειγμα 2 Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι μεταβλητές αποταμίευση (𝚼) και εισόδημα (𝚾) για τα έτη 1958-1979.

Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾

1958 9.8 105.5 1966 26.2 182.4 1974 44.6 296.5

1959 6.9 107.5 1967 26.6 192.9 1975 40.3 306.7

1960 9.1 111.9 1968 24 204.2 1976 42.7 324.1

1961 12.2 124.7 1969 30.9 221.9 1977 51.7 347.6

1962 16 130.1 1970 34.7 240.5 1978 61.6 373.6

1963 14.3 142.1 1971 50.6 267.8 1979 70.9 390.8

1964 22.2 155.3 1972 57.1 289.4

1965 25.2 171.5 1973 68.2 318.5

19

Η γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος είναι:

𝐘𝒕 = −𝟏𝟐. 𝟒𝟓 + 𝟎. 𝟐𝟎𝟑𝑿𝒕

οπότε τα κατάλοιπα θα υπολογιστούν ως:

𝒖𝒕 = 𝐘𝒕 − 𝐘𝒕 = 𝐘𝒕 − (−𝟏𝟐. 𝟒𝟓 + 𝟎. 𝟐𝟎𝟑𝑿𝒕)

για κάθε 𝒕 = 𝟏, . . , 𝟐𝟐.

Δημιουργούμε έναν πίνακα με τις τιμές και τις τάξεις των 𝑿𝒕 και 𝒖𝒕, καθώς και τις διαφορές των τάξεων.

Όταν λέμε τάξη, εννοούμε την θέση που βρίσκεται μια τιμή μιας μεταβλητής, αν βάλουμε σε αύξουσα σειρά τις παρατηρήσεις της.

20

O συντελεστής συσχέτισης κατά τάξεις του Spearmanείναι:

𝒓 𝒖𝒙 = 𝟏 −𝟔 𝒊=𝟏

𝐓 𝒅𝒊𝟐

𝐓 𝐓𝟐 − 𝟏

= 𝟏 −𝟔 × 𝟔𝟑𝟒

𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐 − 𝟏= 𝟎. 𝟔𝟒𝟐

Μικρό δείγμα 𝐓 = 𝟐𝟐 < 𝟑𝟎

𝐃𝟐𝟐 = 𝒊=𝟏𝐓 𝒅𝒊

𝟐 = 𝟔𝟑𝟒𝐃𝒂,𝐓 = 𝟏𝟏𝟑𝟐 (από πίνακα)

Επειδή𝐃𝒂,𝐓 > 𝐃𝟐𝟐 και 𝒓 𝒖𝒙 > 𝟎

απορρίπτεται η Η0. Άρα υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα.

𝚾 𝒖𝒕 Τάξεις των 𝚾 Τάξεις των 𝒖𝒕 Διαφορές 𝐝

105.5 0.758 1 3 -2

107.5 -2.54 2 11 -9

111.9 -1.24 3 4 -1

124.7 0.752 4 2 2

130.1 1.94 5 8 -3

142.1 -2.19 6 10 4

155.3 3.01 7 13 -6

171.5 2.7 8 12 -4

182.4 1.49 9 5 4

192.9 -0.24 10 1 9

204.2 -5.14 11 16 -5

221.9 -1.85 12 7 5

240.5 -1.84 13 6 7

267.8 8.4 14 18 -4

289.4 10.5 15 20 -5

318.5 15.7 16 22 -4

296.5 -3.3 17 14 2

306.7 -9.7 18 19 -2

324.1 -10.8 19 21 -2

347.6 -6.6 20 17 3

373.6 -2.05 21 9 12

390.8 3.7 22 15 7

21

γ. Ο έλεγχος των Goldfeld-Quandt

Ο έλεγχος των Goldfeld-Quandt γίνεται ως εξής:

Κατατάσσουμε τις παρατηρήσεις σύμφωνα με την τάξη μεγέθους των τιμών μιας μεταβλητής (συνήθως μιας ερμηνευτικής).

Επιλέγουμε αυθαίρετα, 𝐂 κεντρικές παρατηρήσεις, τις οποίες παραλείπουμε. Συνήθως το 𝐂 ισούται με το ¼ του αρχικού πλήθους παρατηρήσεων.

Το δείγμα χωρίζεται σε δύο ομάδες. Η πρώτη περιλαμβάνει τις πρώτες 𝚻 − 𝐂 /𝟐 χαμηλές τιμές της ερμηνευτικής μεταβλητής και η δεύτερη τις 𝚻 − 𝐂 /𝟐 υπόλοιπες υψηλές τιμές της.

Εφαρμόζουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και εκτιμάμε το υπόδειγμα χωριστά με τις παρατηρήσεις κάθε μιας από τις ομάδες.

22

Έστω 𝒖𝟏𝟐 το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων από την

πρώτη παλινδρόμηση και 𝒖𝟐𝟐 αντίστοιχα από την δεύτερη. Η

στατιστική 𝒖𝟐

𝟐

𝒖𝟏𝟐 όταν η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας είναι

σωστή, ακολουθεί την κατανομή 𝑭 με 𝝂𝟏 𝛋𝛂𝛊 𝝂𝟐 βαθμούς

ελευθερίας, όπου 𝝂𝟏 = 𝝂𝟐 =𝚻−𝐂

𝟐− (𝑲 + 𝟏).

Όταν ισχύει η Η0: δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, τα 𝒖𝟏𝟐, 𝒖𝟐

𝟐

δεν διαφέρουν σημαντικά. Αντίθετα, αν δεν ισχύει η Η0, θα

διαφέρουν ( 𝒖𝟐𝟐 μεγαλύτερο από το 𝒖𝟏

𝟐).

Η Η0 απορρίπτεται για μεγάλες τιμές της 𝑭.

23

Παράδειγμα 3 Για τα δεδομένα του Παραδείγματος 2, να εφαρμόσετε τον έλεγχο των Goldfeld-Quandt και να εξετάσετε την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας.

Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾

1958 9.8 105.5 1966 26.2 182.4 1974 44.6 296.5

1959 6.9 107.5 1967 26.6 192.9 1975 40.3 306.7

1960 9.1 111.9 1968 24 204.2 1976 42.7 324.1

1961 12.2 124.7 1969 30.9 221.9 1977 51.7 347.6

1962 16 130.1 1970 34.7 240.5 1978 61.6 373.6

1963 14.3 142.1 1971 50.6 267.8 1979 70.9 390.8

1964 22.2 155.3 1972 57.1 289.4

1965 25.2 171.5 1973 68.2 318.5

24

Ταξινομούμε τις παρατηρήσεις με βάση την τάξη μεγέθους της (𝚾) και παραλείπουμε τις έξι κεντρικές παρατηρήσεις, οπότε προκύπτουν δύο ομάδες των 8 παρατηρήσεων.

1η ομάδα 2η ομάδα

𝚼 𝚾 𝚼 𝚾

9.8 105.5 57.1 289.4

6.9 107.5 68.2 318.5

9.1 111.9 44.6 296.5

12.2 124.7 40.3 306.7

16 130.1 42.7 324.1

14.3 142.1 51.7 347.6

22.2 155.3 61.6 373.6

25.2 171.5 70.9 390.8

1η ομάδα 𝐘𝟏𝒕 = −𝟏𝟗. 𝟕𝟏 + 𝟎. 𝟐𝟔𝑿𝒕

𝐑𝟐 = 𝟎. 𝟗𝟐𝟕, 𝒖𝟏𝟐 = 𝟐𝟏. 𝟎𝟏

2η ομάδα 𝐘𝟐𝒕 = −𝟔. 𝟐𝟐 + 𝟎. 𝟏𝟖𝑿𝒕

𝐑𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟎, 𝒖𝟐𝟐 = 𝟔𝟒𝟑. 𝟎𝟓

Επομένως

𝐅 = 𝒖𝟐

𝟐

𝒖𝟏𝟐 =

𝟔𝟒𝟑.𝟎𝟓

𝟐𝟏.𝟎𝟏= 𝟑𝟎. 𝟔 > 𝟖. 𝟒𝟕 =

𝑭𝝂𝟏,𝝂𝟐,𝜶 = 𝑭𝟔,𝟔,𝟎.𝟎𝟓 Η Η0 απορρίπτεται

25

δ. Ο έλεγχος των Breusch-Pagan-Godfrey (ΒΡG)

Για τον έλεγχο αυτό, δεν απαιτείται η ταξινόμηση των παρατηρήσεων της ανεξάρτητης μεταβλητής ανά τάξη μεγέθους, όπως ο έλεγχος των Goldfeld-Quandt. Εφαρμόζεται και σε περιπτώσεις όπου το πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας οφείλεται σε περισσότερες από μια ερμηνευτικές μεταβλητές.

Ο έλεγχος Breusch-Pagan-Godfrey γίνεται ως εξής:

Εκτιμούμε το πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και σώζουμε τα κατάλοιπα και την

διακύμανση του διαταρακτικού όρου 𝝈𝟐 = 𝒖𝟐

𝚻.

Εκτιμάται μια βοηθητική παλινδρόμηση όπου θεωρούμε ότι η διακύμανση των διαταρακτικών όρων δίνεται ως συνάρτηση των μη

26

στοχαστικών μεταβλητών 𝒁𝟏, … , 𝒁𝒎:

𝒖𝒕𝟐

𝝈𝟐= 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒁𝟏𝒕 +⋯+ 𝒂𝒎𝒁𝒎𝒕 + 𝜺𝒕

Οι 𝒁𝟏, … , 𝒁𝒎 είναι γνωστές (συνήθως αναζητούνται ανάμεσα στις ερμηνευτικές μεταβλητές του υποδείγματος).

Υπολογίζεται το άθροισμα των τετραγώνων της βοηθητικής παλινδρόμησης (𝐒𝐒𝐑).

Όταν η στατιστική 𝐒𝐒𝐑

𝟐παίρνει χαμηλές τιμές, τότε δεν υπάρχει

ετεροσκεδαστικότητα.

H H0 απορρίπτεται αν 𝐒𝐒𝐑

𝟐< 𝚾𝟐 με 𝐦 βαθμούς ελευθερίας.

27

Παράδειγμα 4 Για τα δεδομένα του Παραδείγματος 2, να εφαρμόσετε τον έλεγχο των Breusch-Pagan-Godfrey και να εξετάσετε την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας.

Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾

1958 9.8 105.5 1966 26.2 182.4 1974 44.6 296.5

1959 6.9 107.5 1967 26.6 192.9 1975 40.3 306.7

1960 9.1 111.9 1968 24 204.2 1976 42.7 324.1

1961 12.2 124.7 1969 30.9 221.9 1977 51.7 347.6

1962 16 130.1 1970 34.7 240.5 1978 61.6 373.6

1963 14.3 142.1 1971 50.6 267.8 1979 70.9 390.8

1964 22.2 155.3 1972 57.1 289.4

1965 25.2 171.5 1973 68.2 318.5

28

Αρχικά, βρίσκουμε το γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Έπειτα επιλέγουμε:

View Residuals Diagnostics Heteroscedasticity Tests

και επιλέγουμε στο ‘Test Type’: Breusch-Pagan-Godfrey

29

Με βάση την κατανομή 𝚾𝟐,

η Η0 απορρίπτεται διότι

𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝟕 < 𝟎. 𝟎𝟓.

Ομοίως με βάση την κατανομή 𝑭,

η Η0 απορρίπτεται διότι

𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝟏 < 𝟎. 𝟎𝟓

Άρα υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα.

30

ε. Ο έλεγχος του White

Ο έλεγχος αυτός βασίζεται στα κατάλοιπα, αλλά δεν έχει περιορισμός όπως ότι τα κατάλοιπα πρέπει να είναι κανονικά κατανεμημένα (όπως στον έλεγχο Breusch-Pagan-Godfrey) ούτε και την αυθαίρετη εξαίρεση κεντρικών τιμών των μεταβλητών (όπως στον έλεγχο Goldfeld-Quandt). Επίσης, δεν προϋποθέτει τον καθορισμό των μεταβλητών που ευθύνονται για την ετεροσκεδαστικότητα.

Ο έλεγχος του White, στην περίπτωση δύο ερμηνευτικών μεταβλητών:

Εκτιμούμε το πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝚾𝟐𝒕 + 𝐮𝒕

με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και σώζουμε τα κατάλοιπα 𝒖𝒕.

31

Εκτιμούμε την παρακάτω βοηθητική παλινδρόμηση με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων

𝒖𝒕𝟐 = 𝛂𝟎 + 𝛂𝟏𝚾𝟏𝒕 + 𝛂𝟐𝚾𝟐𝒕 + 𝛂𝟑𝑿𝟏𝒕

𝟐 + 𝛂𝟒𝑿𝟐𝒕𝟐 + 𝛂𝟓𝚾𝟏𝒕𝚾𝟐𝒕 + 𝐯𝒕

και παίρνουμε τον συντελεστή προσδιορισμού 𝐑𝟐.

Υπολογίζουμε την στατιστική του White ως εξής:

𝑾 = 𝒏𝐑𝟐, όπου 𝒏 το μέγεθος του δείγματος.

Η στατιστική 𝑾 ακολουθεί ασυμπτωτικά την 𝚾𝟐 κατανομή με 𝚱 = 𝟓βαθμούς ελευθερίας, όπου 𝚱 είναι το πλήθος των ερμηνευτικών μεταβλητών στην βοηθητική παλινδρόμηση.

Η Η0: 𝛂𝟎= 𝛂𝟏 = 𝛂𝟐 = 𝛂𝟑 = 𝛂𝟒 = 𝛂𝟓 = 𝟎 (δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα), απορρίπτεται αν 𝑾 > 𝚾𝟐(𝜶, 𝟓).

32

Αν απορριφθεί η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας, δεν συνάγεται η μορφή της ετεροσκεδαστικότητας ώστε να γίνει και η ανάλογη διόρθωση.

Επίσης, στην βοηθητική παλινδρόμηση έχουμε μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών, με αποτέλεσμα να χάνονται πολλοί βαθμοί ελευθερίας.

33

Παράδειγμα 5 Για τα δεδομένα του Παραδείγματος 2, να εφαρμόσετε τον έλεγχο του White και να εξετάσετε την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας.

Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾

1958 9.8 105.5 1966 26.2 182.4 1974 44.6 296.5

1959 6.9 107.5 1967 26.6 192.9 1975 40.3 306.7

1960 9.1 111.9 1968 24 204.2 1976 42.7 324.1

1961 12.2 124.7 1969 30.9 221.9 1977 51.7 347.6

1962 16 130.1 1970 34.7 240.5 1978 61.6 373.6

1963 14.3 142.1 1971 50.6 267.8 1979 70.9 390.8

1964 22.2 155.3 1972 57.1 289.4

1965 25.2 171.5 1973 68.2 318.5

Αρχικά, βρίσκουμε το γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Έπειτα επιλέγουμε:

View Residuals Diagnostics Heteroscedasticity Tests

και επιλέγουμε στο ‘Test Type’: White

34

Με βάση την κατανομή 𝚾𝟐,

η Η0 απορρίπτεται διότι

𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎. 𝟎𝟒𝟖𝟔 < 𝟎. 𝟎𝟓.

Ομοίως με βάση την κατανομή 𝑭,

η Η0 απορρίπτεται διότι

𝑷𝒓𝒐𝒃.= 𝟎. 𝟎𝟒𝟕𝟐 < 𝟎. 𝟎𝟓

Άρα υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα.

35

36

5. Εκτίμηση υποδείγματος όταν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα

Η σωστή κατασκευή ενός οικονομετρικού υποδείγματος είναι το σημαντικότερο στάδιο της οικονομετρικής μεθοδολογίας. Έστω ότι πρόκειται να εκτιμήσουμε το παρακάτω απλό γραμμικό υπόδειγμα:

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝟏𝒕 + 𝛆𝒕

Η εκτίμηση του παραπάνω υποδείγματος πιθανώς να δείξει ετεροσκεδαστικότητα στα κατάλοιπα, επειδή ορισμένες σημαντικές ερμηνευτικές μεταβλητές δεν συμπεριλαμβάνονται στο υπόδειγμα που εκτιμήθηκε. Η διόρθωση της ετεροσκεδαστικής συμπεριφοράς μπορεί να επιτευχθεί με την εκτίμηση ενός υποδείγματος που συμπεριλαμβάνει κάποιες επιπλέον μακροοικονομικές ερμηνευτικές μεταβλητές ως εξής:

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝚾𝟐𝒕 + 𝛃𝟑𝚾𝟑𝒕 + 𝛆𝒕

37

Το υπόδειγμα αυτό είναι πιο αντιπροσωπευτικό διότι αντιμετωπίζει καλύτερα την οικονομική πραγματικότητα. Παρόλο που μπορεί το υπόδειγμα αυτό να έχει κατασκευαστεί σωστά, μπορεί πάλι να παρατηρηθεί ετεροσκεδαστικότητα στον διαταρακτικό όρο. Η αποτελεσματική τεχνική για την διόρθωση της ετεροσκεδαστικότηταςεξαρτάται από το κατά πόσο είναι γνωστή η διακύμανση του διαταρακτικού όρου.

38

Α. Εκτίμηση του υποδείγματος όταν υπαρχει ετεροσκεδαστικότητα και είναι γνωστή η διακύμανση του διαταρακτικού όρου

Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε το υπόδειγμα

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝚾𝟐𝒕 + 𝛆𝒕

όπου ο διαταρακτικός όρος 𝛆𝒕 είναι ετεροσκεδαστικός με 𝐕𝐚𝐫(𝛆𝒕) = 𝝈𝒕𝟐.

Με την σταθμική μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, μετασχηματίζουμε τον διαταρακτικό όρο, ώστε να γίνει ομοσκεδαστικός.

Διαιρούμε τα μέλη του υποδείγματος με 𝝈𝒕 και έχουμε:

𝒀𝒕𝝈𝒕

=𝛃𝟎𝝈𝒕

+ 𝛃𝟏𝚾𝟏𝒕𝝈𝒕

+ 𝛃𝟐𝚾𝟐𝒕𝝈𝒕

+𝛆𝒕𝝈𝒕

ή 𝒀𝒕∗ = 𝛃𝟎

∗𝐗𝟎𝒕∗ + 𝛃𝟏

∗𝐗𝟏𝒕∗ + 𝛃𝟐

∗𝐗𝟐𝒕∗ + 𝜺𝒕

∗

39

Στο υπόδειγμα αυτό τα κατάλοιπα 𝜺𝒕∗ είναι ομοσκεδαστικά με διακύμανση

σταθερή και ίση με 1.

Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και να εκτιμήσουμε τους συντελεστές του υποδείγματος.

40

Β. Εκτίμηση του υποδείγματος όταν υπαρχει ετεροσκεδαστικότητα και είναι άγνωστη η διακύμανση του διαταρακτικού όρου

Στην περίπτωση αυτή, γίνεται μια υπόθεση σχετικά με το είδος της ετεροσκεδαστικότητας του διαταρακτικού όρου και στην συνέχεια εφαρμόζεται μια μέθοδος διόρθωσης της.

π.χ. Έστω ότι η ετεροσκεδαστικότητα των καταλοίπων του υποδείγματος

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝟏𝒕 + 𝛃𝟐𝚾𝟐𝒕 + 𝛆𝒕

οφείλεται στην συσχέτιση μεταξύ του διαταρακτικού όρου 𝛆𝒕 και της μεταβλητής 𝚾𝟐𝒕. Άρα θα ισχύει: 𝐕𝐚𝐫(𝛆𝒕) = 𝜹𝚾𝟐𝒕, 𝜹: σταθερά. Η σχέση αυτή μας δίνει την δυνατότητα να θεωρήσουμε γνωστή την διακύμανση του διαταρακτικού όρου.

Αν διαιρέσουμε τα μέρη του υποδείγματος με την τετραγωνική ρίζα της 𝚾𝟐𝒕

41

θα έχουμε (σταθμική μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων):

𝒀𝒕

𝑿𝟐𝒕

=𝛃𝟎

𝑿𝟐𝒕

+ 𝛃𝟏𝚾𝟏𝒕

𝑿𝟐𝒕

+ 𝛃𝟐𝚾𝟐𝒕

𝑿𝟐𝒕

+𝛆𝒕

𝑿𝟐𝒕

ή

𝒀𝒕∗ = 𝛃𝟎

∗𝐗𝟎𝒕∗ + 𝛃𝟏

∗𝐗𝟏𝒕∗ + 𝛃𝟐

∗𝐗𝟐𝒕∗ + 𝜺𝒕

∗

Στο υπόδειγμα αυτό ο διαταρακτικός όρος είναι ομοσκεδαστικός και μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και να εκτιμήσουμε τους συντελεστές του υποδείγματος.

42

Γ. Εκτίμηση του υποδείγματος όταν υποθέτουμε την μορφή της ετεροσκεδαστικότητας

Έστω ότι η διακύμανση του διαταρακτικού όρου είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής 𝐙𝒕 που δεν είναι στοχαστική. Η συνάρτηση 𝒇(𝐙𝒕) μπορεί να πάρει διάφορες μορφές, άρα και η διακύμανση του διαταρακτικού όρου. Εφόσον η διακύμανση είναι πάντα θετική, θα πρέπει η συνάρτηση 𝒇(𝐙𝒕)να είναι μεγαλύτερη του μηδενός για όλες τις τιμές της μεταβλητής 𝐙𝒕.

Κάποιες μορφές που πιθανόν μπορεί να πάρει η διακύμανση του διαταρακτικού όρου:

43

α. Η διακύμανση είναι ανάλογη της 𝚾𝟐

(Διαιρούμε με 𝚾 τα μέλη του υποδείγματος)

𝟎𝚾

𝝈𝟐

44

β. Η διακύμανση είναι ανάλογη της 𝚾

(Διαιρούμε με την τετραγωνική ρίζα της 𝚾 τα μέλη του υποδείγματος)

𝟎𝚾

𝝈𝟐

45

γ. Η διακύμανση είναι ανάλογη του τετραγώνου του μέσου της 𝚼

(Διαιρούμε με τον μέσο της 𝚼, δηλ. με 𝚬(𝚼))

𝟎 𝚼

𝜺𝟐

46

Παράδειγμα 6 Για τα δεδομένα του Παραδείγματος 2, να εκτιμήσετε το υπόδειγμα αν γνωρίζετε ότι η διακύμανση του διαταρακτικού όρου είναι ανάλογη της 𝚾𝟐.

Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾 Έτος 𝚼 𝚾

1958 9.8 105.5 1966 26.2 182.4 1974 44.6 296.5

1959 6.9 107.5 1967 26.6 192.9 1975 40.3 306.7

1960 9.1 111.9 1968 24 204.2 1976 42.7 324.1

1961 12.2 124.7 1969 30.9 221.9 1977 51.7 347.6

1962 16 130.1 1970 34.7 240.5 1978 61.6 373.6

1963 14.3 142.1 1971 50.6 267.8 1979 70.9 390.8

1964 22.2 155.3 1972 57.1 289.4

1965 25.2 171.5 1973 68.2 318.5

47

Η γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος, αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, είναι:

𝐘𝒕 = −𝟏𝟐. 𝟒𝟓 + 𝟎. 𝟐𝟎𝟑𝑿𝒕

Υποθέτουμε ότι υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, και η διακύμανση του διαταρακτικού όρου είναι ανάλογη της 𝚾𝟐. Στην περίπτωση αυτή, το μετασχηματισμένο υπόδειγμα που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε προκύπτει αν διαιρέσουμε τα μέλη του αρχικού απλού γραμμικού υποδείγματος με 𝚾:

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝛆𝒕

𝒀𝒕𝚾𝒕

=𝛃𝟎𝚾𝒕

+ 𝛃𝟏 +𝛆𝒕𝚾𝒕

48

𝒀𝒕𝚾𝒕

= 𝛃𝟏 + 𝛃𝟎𝟏

𝚾𝒕+𝛆𝒕𝚾𝒕

ή 𝒀𝒕∗ = 𝛃𝟎

∗ + 𝛃𝟏∗𝐗𝒕

∗ + 𝜺𝒕∗

όπου 𝒀𝒕∗ =

𝒀𝒕

𝚾𝒕

𝛃𝟎∗ = 𝛃𝟏

𝛃𝟏∗ = 𝛃𝟎

𝐗𝒕∗ =

𝟏

𝚾𝒕

𝜺𝒕∗ =

𝛆𝒕

𝚾𝒕

Το υπόδειγμα που εκτιμάμε με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων είναι:

𝒀𝒕∗ = 𝟎. 𝟐𝟎𝟕 − 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝐗𝒕

∗

Επομένως, η συνάρτηση αποταμιεύσεως που προκύπτει αν μετασχηματίσουμε τις μεταβλητές είναι:

𝒀𝒕 = −𝟏𝟑. 𝟐𝟏 + 𝟎. 𝟐𝟎𝟕𝚾𝒕

Βιβλιογραφία

Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε.

Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης -Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε.

Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg.

Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις.

49